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1 Customization (Zuschneiden) Anpassen der (Graph)Datenstruktur an die Anwendung. I Ziel: schnell, kompakt. I benutze Entwurfsprinzip: make the common case fast I Listen vermeiden Mögliches Problem: Software-Engineering-Alptraum Möglicher Ausweg: Trennung von Algorithmus und Repräsentation 317

2 Beispiel: DAG-Erkennung Vgl. Folie 73ff. (dort aber Test auf Ausgangsgrad)! Function isdag(g =(V, E)) // Adjazenzarray! dropped:= 0 compute array indegree of indegrees of all nodes // Zeit O(m)! droppable={v 2 V : indegree[v]=0} : Stack while droppable 6= /0 do invariant G is a DAG iff the input graph is a DAG v:= droppable.pop dropped++ foreach edge (v,w) 2 E do indegree[w] if indegree[w]=0 then droppable.push(w) return V = dropped Laufzeit: O(m + n) (auch ohne dynamische Graphdatenstruktur!) 318

3 Adjazenz-Matrix A 2 {0,1} n n with A(i,j)=[(i,j) 2 E] + platzeffizient für sehr dichte Graphen platzineffizient sonst. Übung: was bedeutet sehr dicht hier? + einfache Kantenanfragen langsame Navigation ++ verbindet lineare Algebra und Graphentheorie Beispiel: C = A k. C ij =# k-kanten-pfade von i nach j Wichtige Beschleunigungstechniken: I O(log k) Matrixmult. für Potenzberechnung I Matrixmultiplikation in subkubischer Zeit, z. B., Strassens Algorithmus 4 1 C A 319

4 Pfade zählen mittels LA Adjanzenzmatrix: A 2 {0,1} n n mit A(i,j)=[(i,j) 2 E] Sei C:= A k. Behauptung: C ij =# k-kanten-pfade von i nach j. Beweis: IA (k = 1) C = A 1 = A stimmt nach Definition von A. Schluss k k + 1: C ij =(A k A) ij = ÂA k i`a`j ` A k i` =#k-kanten-pfade von i nach ` (nach IV). A k i`a`j =#k + 1-Kanten-Pfade von i nach j mit (`,j) als letzter Kante. Jede mögliche letzte Kante wird genau einmal gezählt. Übung: zähle Pfade der Länge apple k C A 320

5 Beispiel, wo Graphentheorie bei LA hilft Problemstellung: löse Bx = c Sei G =(1..n,E = {{i,j} : B ij 6= 0}) Nehmen wir an, G habe zwei Zusammenhangskomponenten ) tausche Zeilen und Spalten derart, dass B1 0 x1 c1 = 0 B 2 x 2 c 2 zu lösen bleibt. Übung: Was passiert, wenn (1..n,E = {(i,j):b ij 6= 0}) ein DAG ist? 321

6 Implizite Repräsentation Kompakte Repräsentation möglicherweise sehr dichter Graphen Implementiere Algorithmen direkt mittels dieser Repräsentation Beispiel: Intervall-Graphen Knoten: Intervalle [a,b] R Kanten: zwischen überlappenden Intervallen 322

7 Zusammenhangstest für Intervallgraphen V = {[a 1,b 1 ],...,[a n,b n ]} E = {{[a i,b i ],[a j,b j ]} :[a i,b i ] \ [a j,b j ] 6= /0} Idee: durchlaufe Intervalle von links nach rechts. Die Anzahl überlappender Intervalle darf nie auf null sinken. Annahme: Startpunkte in Sortierung vor Endpunkten! Function isconnected(l : SortedListOfIntervalEndPoints) : {0, 1} remove first element of L; overlap := 1 foreach p 2 L do if overlap= 0 return false if p is a start point then overlap++ else overlap // end point return true O(n log n) Algorithmus für bis zu O n 2 Kanten! Übung: Zusammenhangskomponenten finden 323

8 Beispiel Function isconnected(l : SortedListOfIntervalEndPoints) : {0, 1} remove first element of L; overlap := 1 foreach p 2 L do if overlap= 0 return false if p is a start point then overlap++ else overlap // end point return true 324

9 Graphrepräsentation: Zusammenfassung I Welche Operationen werden gebraucht? I Wie oft? I Adjazenzarrays gut für statische Graphen I Pointer flexibler, aber auch teurer I Matrizen eher konzeptionell interessant 325

10 Kap. 9: Graphtraversierung Ausgangspunkt oder Baustein fast jedes nichttrivialen Graphenalgorithmus 326

11 Graphtraversierung als Kantenklassifizierung forward s tree backward cross 327

12 Breitensuche Baue Baum von Startknoten s, der alle von s erreichbaren Knoten mit möglichst kurzen Pfaden erreicht. Berechne Abstände: s b c d e f g tree backward cross forward

13 Breitensuche I Einfachste Form des Kürzeste-Wege-Problems I Umgebung eines Knotens definieren (ggf. begrenzte Suchtiefe) I Einfache, effiziente Graphtraversierung (auch wenn Reihenfolge egal) s b c d e f g tree backward cross forward

14 Breitensuche Algorithmenidee: Baum Schicht für Schicht aufbauen s b c d e f g tree backward cross forward

15 Function bfs(s) : Q:= hsi // aktuelle Schicht while Q 6= hi do exploriere Knoten in Q merke dir Knoten der nächsten Schicht in Q 0 Q:= Q 0 s b c d e f g tree backward cross forward

8 Graphrepräsentation

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