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2 Dieses Buch wurde auf FSC -zertifiziertem Papier gedruckt. FSC (Forest Stewardship Council) ist eine nichtstaatliche, gemeinnützige Organisation, die sich für eine ökologische und sozialverantwortliche Nutzung der Wälder unserer Erde einsetzt. Die Worlddidac Stiftung zeichnete das Lehrmittel «MatheMagie» im Juni 2008 mit dem Qualitätszertifikat «Certificate of Quality of the Worlddidac Foundation» aus. Diese Auszeichnung unterstreicht die Qualität und Nützlichkeit des Lehrmittels. Daniel Fürst MatheMagie Rechnen für Beruf und Alltag ISBN Grafikdesign und Layout: Satz: Technische Zeichnungen: Lektorat: Fachlektorat: Martina Matter Raphael Hitter, Daniel Fürst und Christina Bärlocher Daniel Fürst Eleonor Schnetzler Dr. Ulrich Zweifel Herausgeber: Gerig Design AG Alpsteinstrasse 18 CH-9515 Hosenruck 2. Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten 2011 Gerig Design AG

3 Vorwort Mathematik ist bei der Mehrheit der Jugendlichen, aber auch bei Erwachsenen ein Thema für sich. Nicht viele können von sich behaupten, dass sie beispielsweise Prozentrechnungen fehlerfrei lösen können oder einfache Dreisatzaufgaben beherrschen. Was ist der Grund dafür? Warum löst die Mathematik bei einigen von uns nur schon beim Gedanken daran schlechte Erinnerungen aus? Warum sind viele der Meinung, dass sie Mathematik nicht brauchen? Liegt es etwa an der Mathematik selber? Ist sie schlicht und einfach zu komplex für den Durchschnittsbürger? Mit Sicherheit nicht! Die Mathematik, die im täglichen Leben und im Berufsalltag benötigt wird, ist nicht schwierig. Sie wird schlicht und einfach komplizierter gemacht, als sie effektiv ist. Diesem Problem wirkt das vorliegende Buch MatheMagie entgegen. Es zeichnet sich durch seine Einfachheit, seine Benutzerfreundlichkeit und seine didaktische Struktur aus. Anders als bei den gängigen Lehrmitteln können alle Übungen ins Buch gelöst werden. Zudem verleihen Lernziele und Lernkontrollen dem Buch eine didaktische Struktur und machen es äusserst attraktiv für das Selbststudium. MatheMagie richtet sich an Berufsschülerinnen und Berufsschüler, an Erwachsene die sich beruflich weiterbilden und an alle, die ihre Mathematikkenntnisse auffrischen wollen. Das Buch besteht aus einem gedruckten Hauptwerk und einem Fachrechenteil, der zum Download auf bereit steht. Zudem bieten wir Lehrpersonen die einzigartige Möglichkeit, selbst einen Fachrechenteil online auf unserer Webseite zu erstellen. Ich bin überzeugt, dass das vorliegende Buch Lernenden und Lehrenden das Rechnen bzw. den Rechenunterricht erleichtern wird. In diesem Sinne wünsche ich Ihnen dabei viel Erfolg und Befriedigung. Selbstverständlich nehme ich Anregungen und Kritik gerne entgegen. Daniel Fürst Autor

4 Hinweis zum Gebrauch des Lehrmittels Da sich das vorliegende Buch hauptsächlich an Berufsschülerinnen und Berufsschüler richtet, habe ich bewusst auf die Höflichkeitsform verzichtet und spreche darum den Leser bewusst mit «Du» an. Selbstverständlich möchte ich niemanden damit provozieren, sondern viel mehr versuchen, die weit verbreitete Distanz zur Mathematik schon auf dieser Ebene zu überwinden. Zusätzlich habe ich in der Regel im Text nur die männliche Form verwendet, da ich der Meinung bin, dass die Übersichtlichkeit und die Lesefreundlichkeit dadurch beträchtlich verbessert werden können. Natürlich ist das weibliche Geschlecht in allen Bereichen immer auch miteinbezogen. Der Aufbau vom Buch MatheMagie ist so konzipiert, dass es sich sehr gut zum Selbststudium eignet. Das Buch ist in sieben Hauptkapitel gegliedert, welche jeweils verschiedene Unterkapitel beinhalten. Am Anfang eines Unterkapitels stehen jeweils Lernziele. Sie zeigen die Ziele für das zu bearbeitende Thema auf und sollten regelmässig konsultiert werden. Um lange, ermüdende Theorieteile zu vermeiden, werden sie so oft wie möglich mit Übungen aufgefrischt. Anhand dieser Übungen sollte es möglich sein, die kürzlich behandelte Theorie zu festigen. Alle Übungen können direkt ins Buch gelöst werden und haben wann immer möglich einen Bezug zum alltäglichen Leben. In der Theorie selber werden sehr oft eine oder mehrere Beispielsaufgaben vorgelöst. Im Lösungsschlüssel, der online unter zum Download bereit steht, ist zu fast jeder Übung im Buch ein detaillierter Lösungsweg vorhanden. Am Schluss eines grösseren oder mehrerer kleinerer Unterkapitel befindet sich jeweils eine Lernkontrolle. Bevor eine solche Lernkontrolle gelöst wird, rate ich, nochmals den Lernzielkatalog der Themen zu konsultieren, die in der Lernkontrolle behandelt werden. Dabei sollte man sich die Frage stellen, ob auch wirklich alle Lernziele erreicht wurden. Die Lernkontrollen eignen sich gut als Prüfungsvorbereitung oder zur Vertiefung oder Repetition eines Themas, da sie hauptsächlich weitere Übungen, aber auch Fragen zur Theorie beinhalten. Im hinteren Teil des Buches sind zusätzlich ein Glossar und eine ausklappbare Formelsammlung vorhanden.

5 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Geschichte der Zahlen Mathematische Zeichen Griechisches Alphabet Römische Zahlzeichen Taschenrechner Runden Schätzen Lernkontrolle Einheiten Lernkontrolle Algebra Addition Subtraktion Multiplikation Division Lernkontrolle Brüche Lernkontrolle Hierarchie der Operationen Klammern Potenzen Wurzeln Lernkontrolle Einfache Gleichungen...96 Lernkontrolle Textverständnis Textverständnis Lernkontrolle Dreisatz / Proportionen Direkte Proportionen Indirekte Proportionen Vielfachproportionen Lernkontrolle Währungsrechnen Durchschnittsrechnen Lernkontrolle

6 5 Prozentrechnen Prozente und Promille Vergleiche Lernkontrolle Zinsrechnen Rabatt und Skonto Abschreibungen Lernkontrolle Kostenrechnung Betriebs- und Verwaltungskosten Löhne Tarifberechnung Material- und Werkzeugeinkauf Fakturierung Lernkontrolle Geometrie Koordinatensystem Winkel Umfang und Diagonale Flächen Volumen Dichte Dreiecke Rechtwinkliges Dreieck Lernkontrolle Glossar Glossar

7 ON kg Grundlagen

8 1.1 Geschichte der Zahlen Vor Jahren haben Menschen zum ersten Mal Kerben in Knochen geritzt. Damals hatten sie noch keine Ahnung, was sie da genau machten und wofür es später einmal gut sein könnte. Sie taten es einfach. Dies änderte, so weiss man heute, um ca v. Chr.. Damals haben Menschen das erste Mal wirklich bewusst Kerben in Knochen geritzt, um Sachen zu zählen. Dieser Vorgang war ein Meilenstein in der Geschichte der Menschheit, denn die Zahl Eins war geboren. In der kommenden Zeit erfuhr die Eins eine enorme Weiterentwicklung. Die Sumerer haben 4000 v. Chr. entschlossen, die Eins freizulassen. Von da an wurde sie nicht mehr in Knochen geritzt, sondern nahm die Gestalt eines Zählsteines an. Mit der Erfindung der Zählsteine haben die Sumerer gleichzeitig die Arithmetik erfunden. Von nun an konnten Dinge nicht mehr nur gezählt (addiert) sondern auch von einander subtrahiert werden. Historiker gehen davon aus, dass die Sumerer die Zählsteine erfunden haben, weil sie in Städten wohnten. Früher mussten in Städten die Kornvorräte auf die Einwohner verteilt und Steuern eingetrieben werden. Um herauszufinden, wie viel jedem einzelnen Bürger zustand und wie viel Steuern er bezahlen musste, brauchte es die Arithmetik. Die Lösungen der Berechnungen wurden damals auch bereits notiert, weshalb die Zahlen die ersten Schriftzeichen überhaupt sind. Als diese Abrechnungssysteme komplexer wurden, benötigten sie ein neues System. Von da an wurden Zahlen in Tonplatten, die ständig ergänzt werden konnten, eingekerbt. Die Ägypter gingen 3000 v. Chr. einen Schritt weiter. Neben einem eigenen Zahlensystem definierten sie ihre eigene Eins in der Form eines Messmittels. Dieses Messmittel hatte die Länge einer Elle (Länge von Ellbogen bis Fingerspitzen plus eine Handbreite) und fand breite Verwendung in der ägyptischen Architektur, wie beispielsweise beim Bau der Pyramiden. Die Eins war von da an das Mass aller Dinge. Einige Tausend Jahre später, genauer gesagt 520 v. Chr., lehrte ein griechischer Philosoph und Physiker namens Pythagoras einer kleinen, auserwählten Gruppe sein mathematisches Wissen, welches er während seiner Jugend in Ägypten erlernt hatte. Pythagoras war auf der Suche nach dem Urelement. Er wollte aufzeigen, dass alles auf der Welt aus ganzen Zahlen aufgebaut ist. Ironischerweise wurde seine Annahme durch seine eigenen Erkenntnisse über das rechtwinklige Dreieck widerlegt, denn ein rechtwinkliges Dreieck kann nicht aus lauter Urelementen konstruiert werden. 8 Nach dem Zusammenbruch der Hypothese von Pythagoras machte sich Archimedes, auch ein griechischer Gelehrter, das erste Mal in der Geschichte der Mathematik daran, abstrakte Berechnungen aufzustellen, zu lösen und zu studieren. Er Geschichte der Zahlen

9 leitete das goldene Zeitalter der Mathematik ein. Doch als die Römer ca. 220 v. Chr. Griechenland eroberten, war dies gleichzeitig das Ende dieser Epoche. Die Römer entwickelten das römische Zahlensystem, welches äusserst ungeeignet für jegliche Arten von mathematischen Berechnungen war. Doch dies war den Römern egal, sie waren nur daran interessiert, ihr Reich in Schwung zu halten, weshalb es nicht überrascht, dass aus der Zeit der Römer nicht ein berühmter Mathematiker hervorging. Mit dem Wachstum des römischen Reiches, verbreitete sich auch ihr Zahlensystem unter der Bevölkerung. Auf der östlichen Halbkugel der Erde entwickelten sich die Dinge etwas anders. 500 v. Chr. machten sich in Indien religiöse Gelehrte daran, kaum vorstellbar grosse, göttliche Zahlen zu erfinden, welche den unendlich langen Weg ins Nirvana veranschaulichen sollten. Etwas später konnten sie ihre Zahlen auch darstellen, denn sie erfanden Symbole für die heutigen Ziffern von Eins bis Neun. Die eigentliche Revolution in der Zahlenwelt fand ca Jahre später, wiederum in Indien statt. Die Inder haben aus dem Nichts eine Zahl gemacht, denn sie erfanden die Null. Damit war die Entwicklung des Zahlensystems vollendet. Die Null etablierte sich schnell als perfekte Partnerin der Eins, denn das neue Zahlensystem ermöglichte indischen Wissenschaftlern gewaltige Fortschritte in der Wissenschaft zu erzielen. Sie fanden beispielsweise heraus, dass sich die Erde um ihre eigene Achse dreht und die Sonne umkreist, was Kopernikus erst Jahre später erkannte. Es gelang ihnen sogar, den Erddurchmesser auf 1% genau zu berechnen. All dies wurde nur durch das Zahlensystem ermöglicht, weshalb eine Verbreitung auf der ganzen Welt und somit ein Konflikt mit dem römischen Zahlensystem vorprogrammiert war n. Chr. fand das neue Zahlensystem aus noch ungeklärten Gründen seinen Weg in den nahen Osten, genauer gesagt nach Bagdad, wo ein muslimischer Gelehrter namens Al-Chwarismi sich das neue Zahlensystem bald zu Nutzen machte. In seinen Werken befasste er sich hauptsächlich mit praktischen Problemen des kaufmännischen Rechnens, wobei er zahlreiche Regeln zum Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen fand. Die Algebra war geboren. Al-Chwarismi verdanken wir, dass das indische Zahlensystem schon bald, dank zahlreicher Übersetzungen seiner berühmten Arbeiten ins Lateinische, in Europa bekannt wurde. In Europa wollten die Römer das neue Zahlensystem nicht einfach so akzeptieren. Der eigentliche Niedergang der römischen Zahlen begann auf den nordafrikanischen Märkten, wo der Sohn eines in Algerien lebenden italienischen Diplomaten in die Kunst der neuen Zahlen eingeführt wurde und sofort davon begeistert war. Sein Name war Fibonacci. Fibonacci nahm sein neu erlangtes Wissen mit nach Italien und verfasste etwas später sein berühmtes Werk «Liber abbaci» (Buch der Rechenkunst), in dem er seine mathematischen Kenntnisse 9 Geschichte der Zahlen

10 niederschrieb. Fibonacci gilt als einer der grössten Mathematiker aller Zeiten. Er war kein Theoretiker, sondern verstand es den Händlern zu zeigen, wie sie Profite errechnen konnten. Die Verbreitung der neuen Zahlen ging ziemlich schleppend voran. Das einfache Volk hing an den alten Zahlen, zum einen aus traditionellen Gründen, zum anderen weil sie die neuen Zahlen ganz einfach nicht verstanden und ihnen dadurch misstrauten. Dieses Misstrauen war so gross, dass die Regierung von Florenz 1299 sogar ein Verbot der neuen Zahlen erliess. Trotzdem waren die Tage des römischen Zahlensystems bald gezählt. Durch die Reformation der Kirche, welche bis dahin wenig wirtschaftsfreundlich war, schwanden die Vorbehalte gegenüber dem Kapitalismus und die indischen Zahlen eroberten die westliche Welt. Navigatoren auf Schiffen waren nun beispielsweise in der Lage, ihre Position zu berechnen, was Christoph Columbus ermöglichte, zufälligerweise Amerika zu entdecken. Mit der Einführung der indischen Zahlen entstanden auch viele Irrtümer, was oftmals ein grosses Problem darstellte wollte ein Mann die Welt vom Irrtum befreien. Gottfried Wilhelm Leibnitz war davon überzeugt, dass die Null und die Eins die einzigen wichtigen Zahlen sind und entwickelte ausgehend von seiner Philosophie das Dualsystem. Damit hat er den Anbruch des Digitalzeitalters eingeleitet. Im Dualsystem können alle denkbaren Zahlen mit lauter Einsen und Nullen ausgedrückt werden. Leibnitz wusste, dass sein System äusserst gut für Maschinen geeignet war. Leider konnte er seinen Traum vom Bau einer solchen Rechenmaschine nie verwirklichen. Es vergingen weitere 300 Jahre, bis um 1940 die ersten Computer, basierend auf Leibnitz s Binärsystem gebaut wurden. Sie fanden beispielsweise Verwendung im Zweiten Weltkrieg zur Entschlüsselung von geheimen Nachrichten. Die Eins und die Null haben es zur Weltspitze gebracht! 10 Geschichte der Zahlen

11 1.2 Mathematische Zeichen Du kennst die wichtigsten mathematischen Zeichen und kannst sie korrekt anwenden. Lernziel Mathematik war nicht immer international. Anfänglich hatten Mathematiker aus verschiedenen Sprachregionen Schwierigkeiten, ihre mathematischen Gedanken einander mitzuteilen. Erst mit der Einführung von einheitlichen mathematischen Zeichen konnte dieses Problem gelöst werden und Mathematiker auf der ganzen Welt konnten sich problemlos, mindestens auf mathematischer Ebene, miteinander verständigen. Die folgende Zusammenstellung zeigt die wichtigsten Zeichen, die in der Mathematik verwendet werden. Zeichen Bedeutung Beispiel + Plus Minus 5-4 Multipliziert mit 4 5 / : Dividiert durch 5 : 4 = Gleich 4 = 4 Ungleich 4 5 Entspricht 100% CHF > Grösser als 5 > 4 Grösser oder gleich 4 4 oder 5 4 < Kleiner als 4 < 5 Kleiner oder gleich 5 5 oder 4 5 Daraus folgt A = s 2 s = A Unendlich ~ Ähnlich, etwa 2,345 2,35... Und so weiter bis 1, 2, 3..., 21, 22, 23 % Prozent 20% Promille 0,5 Wurzel aus 4 = 2 ( ) Klammern 1. Grades (3 + 4) 5 = 35 [ ] Klammern 2. Grades [(3 + 4) 5] : 7 = 5 ø Summe Durchschnitt ± Plus-minus ± 2 mm (Toleranz) 11 Mathematische Zeichen

12 Übung 1 Drücke folgende Anweisungen mit den korrekten mathematischen Zeichen aus. a) Dreihunderteinundachtzig ist nicht gleich wie Zweihundertundeins. b) Fünf ist kleiner als Zehn. c) Vier plus Sechs in Klammern 1. Grades dividiert durch Zwei ergibt Fünf. d) Die Unbekannte x ist grösser oder gleich Fünf. e) Die Wurzel aus Neun ist gleich Drei. f) Acht multipliziert mit Drei, ist kleiner als Sechshundert dividiert durch Sechs. 12 Mathematische Zeichen

13 1.3 Griechisches Alphabet Du weisst, dass griechische Buchstaben in der Mathematik oft verwendet werden um Winkel, Funktionen oder Konstanten zu bezeichnen. Lernziel Gross-, Kleinbuchstabe Aussprache Gross-, Kleinbuchstabe A, a Alpha N, n Ny B, b Beta X, x Xi Aussprache G, g Gamma O, o Omikron D, d Delta P, p Pi E, e Epsilon R, r Rho Z, z Zeta S, s Sigma H, h Eta T, t Tau Q, q Theta U, u Ypsilon I, i Jota F, j Phi K, k Kappa C, c Chi L, l Lambda Y, y Psi M, m My W, w Omega In der Mathematik verwendet man oft griechische Buchstaben, um Winkel oder Funktionen zu bezeichnen. Ebenso gilt dies für mathematische und physikalische Konstanten. Das wohl bekannteste Beispiel ist die Kreiszahl p. 1.4 Römische Zahlzeichen Du kennst das Prinzip der römischen Zahlzeichen. Du kannst römische Zahlen lesen und selber römische Zahlen kreieren. Lernziele I = 1 X = 10 C = 100 XIX = 19 II = 2 XX = 20 CC = 200 XXIX = 29 III = 3 XXX = 30 CCC = 300 XXXIX = 39 IV = 4 XL = 40 CD = 400 XLIX od. IL = 49 V = 5 L = 50 D = 500 LIX = 59 VI = 6 LX = 60 DC = 600 LXIX = 69 VII = 7 LXX = 70 DCC = 700 LXXIX = 79 VIII = 8 LXXX = 80 DCCC = 800 LXXXIX = 89 IX = 9 XC = 90 CM = 900 XCIX od. IC = 99 X = 10 C = 100 M = CIX = Griechisches Alphabet Römische Zahlzeichen

14 Beispiel DCLXIX = 500 (D) (C) + 50 (L) + 10 (X) + 9 (IX) = 669 Im oberen Beispiel kannst du erkennen, dass die Werte der römischen Zahlzeichen fortlaufend miteinander addiert werden. Dabei musst du dir merken, dass nie mehr als drei Einer (III), drei Zehner (XXX) oder drei Hunderter (CCC) zusammen sind und Fünfer (V), Fünfziger (L) oder Fünfhunderter (D) immer alleine stehen. Ein Zeichen für die Null gibt es nicht. Übung 1 Um was für Zahlen handelt es sich? a) XIV = b) LXII = c) CCXL = d) MMVII = Übung 2 Schreibe folgende Zahlen in römischen Ziffern. a) 78 = b) 132 = c) 529 = d) 3468 = 14 Griechischen Alphabet Römisch Zahlzeichen

15 1.5 Taschenrechner Du kennst die gebräuchlichsten Funktionen auf deinem Taschenrechner und kannst diese einwandfrei anwenden. Lernziel Einführung In diesem Lehrmittel wirst du oft Aufgaben behandeln, bei denen du mit Vorteil einen Taschenrechner verwendest. Damit dies auch reibungslos klappt, wirst du in diesem Unterkapitel die wichtigsten Funktionen eines gängigen Taschenrechners kennenlernen und mit ihnen rechnen. Übersicht der Tasten eines Taschenrechners Ziffern und Dezimalpunkt Auf jedem Taschenrechner findest du die Zahlen von 0-9 und einen Dezimalpunkt. Den Dezimalpunkt brauchst du, um Dezimalzahlen einzugeben. Um beispielsweise die Zahl 3.5 einzugeben, drückst du zuerst die Taste 3, dann auf den Dezimalpunkt und zum Schluss auf die 5. Beispiel Gib folgende Zahlen in deinen Taschenrechner ein. Übung 1 a) 456 b) 2356 c) 2.58 d) e) Taschenrechner

16 Grundoperationen Die Grundoperationen sind am wichtigsten für das Rechnen mit dem Taschenrechner. Bei den Grundoperationen handelt es sich um die Addition (Plus-Taste), die Subtraktion (Minus-Taste), die Multiplikation (Mal-Taste) und die Division (Durch-Taste). Addition Für die Addition verwendest du die -Taste. Beispiel Um die Addition von 4 und 9 durchzuführen, drückst du zuerst auf die 4, dann auf die Plus-Taste, danach auf die 9 und am Schluss auf die Gleichheitstaste. Im Display erscheint 13 als Resultat. Subtraktion Für die Subtraktion verwendest du die -Taste. Das Vorgehen ist dasselbe wie bei der Addition, mit dem Unterschied, dass du anstatt der Plus- die Minus-Taste drückst. Genau gleich funktioniert das Vorgehen bei der Multiplikation und der Division. Übung 2 Berechne die folgenden Aufgaben mit deinem Taschenrechner. a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) = i) = 16 Taschenrechner

17 k) = l) = m) = Prozentrechnen Die -Taste ist sehr vielfältig und kann für verschiedene Berechnungen verwendet werden. Berechnung des Prozentsatzes Um herauszufinden, wie viel 40% von 250 ausmacht, tippst du folgendes in deinen Rechner: % = 100 Beispiele Berechnung des Prozentwertes Um herauszufinden, wie viel Prozent 50 von 250 ausmacht, gehst du folgendermassen vor: % = 20% Berechnung des Grundwertes Annahme: 10 sind 20% eines unbekannten Grundwertes. Um diesen Grundwert auszurechnen, gehst du folgendermassen vor: 10 20% = 50 Berechnung eines Zuschlages Um herauszufinden, wie viel ein 40%iger Zuschlag zu 250 ergibt, gehst du so vor: % = 350 Berechnung eines Abschlages Um herauszufinden, wie viel ein 40%iger Abschlag von 250 entspricht, gehst du folgendermassen vor: % = Taschenrechner

18 Übung 3 Berechne den Prozentsatz. a) 50% von 850 sind? b) 45% von 45 sind? c) 13% von 85 sind? Übung 4 Berechne den Prozentwert. a) Wie viel % macht 4 von 5 aus? b) Wie viel % macht 120 von 4586 aus? c) Wie viel % macht 120 von 100 aus? Übung 5 Berechne den Grundwert. a) 10 sind 50% welches Grundwertes? b) 458 sind 43% welches Grundwertes? c) 4783 sind 2% welches Grundwertes? Übung 6 Berechne den Zuschlag. a) 40% Zuschlag zu 4567 sind? b) 20% Zuschlag zu 80 sind? c) 100% Zuschlag zu 152 sind? Übung 7 Berechne den Abschlag. a) 80% Abschlag von 80 entspricht? b) 45% Abschlag von 2343 entspricht? c) 25% Abschlag von 100 entspricht? 18 Taschenrechner

19 Wurzel Um die Wurzel einer beliebigen Zahl zu ziehen, gibst du zuerst die Zahl, von der du die Wurzel ziehen möchtest, ein und drückst dann die -Taste. Beispiel Berechne die Wurzel aus folgenden Zahlen. Übung 8 a) 4 = b) 25 = c) 49 = d) 87 = e) 105 = Speicher Neben der Zahl auf dem Display, können wir im Speicher eine zweite Zahl haben. Mit der -Taste kannst du eine Zahl auf der Anzeige im Speicher ablegen oder die Zahl zu einem bereits vorhanden Speicherinhalt addieren. Mit der -Taste subtrahierst du die Anzeige vom Speicherinhalt. Mit der -Taste kannst du die gespeicherte Zahl auf dem Display anzeigen. Mit der -Taste löschst du eine gespeicherte Zahl aus deinem Speicher. Löschen Um das Display zu reinigen, drückst du die -Taste. Bei manchem Taschenrechner kannst du mit der CE- oder der CE /E-Taste einzelne Ziffern löschen. 19 Taschenrechner

20 1.6 Runden Lernziele Du kannst beliebige Zahlen auf eine beliebige Anzahl Nachkommastellen runden. Du weisst, dass Schweizerfranken auf fünf Rappen genau gerundet werden. Du weisst, dass Flächen- und Längenmasse, Zeiteinheiten und Prozente auf zwei Nachkommastellen gerundet werden. Du weisst, dass Raummasse, Volumen und Massen auf drei Stellen nach dem Komma gerundet werden. Du weisst, dass du beim Rechnen mit dem Taschenrechner Teilresultate nicht runden sollst, damit das Endresultat möglichst genau ist. Einführung Gerade bei Berechnungen, die du mit einem Taschenrechner ausführst, erhältst du oft Endresultate mit einigen Nachkommastellen. Solche Resultate werden mit Vorteil auf eine vernünftige Anzahl Nachkommastellen gerundet (meistens 2-3). Einerseits kannst du somit Platz sparen und andererseits täuschst du keine unnötige Genauigkeit vor. Massgebend für das Auf- bzw. Abrunden ist immer die erste Ziffer, die im Resultat nicht mehr notiert wird. Ist diese Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird die vorangehende, zu rundende Ziffer um 1 erhöht. Ist die Ziffer jedoch eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so bleibt die zu rundende Stelle gleich. Aufrunden Beispiel 1,3458 soll auf zwei Nachkommastellen gerundet werden. Die erste Ziffer, die nicht mehr im Resultat notiert wird ist eine 5. Die zu rundende Stelle (4) wird deshalb aufgerundet. 1,3458 1,35 Abrunden Beispiel 3,13428 soll auf drei Nachkommastellen gerundet werden. Die erste Ziffer, die nicht mehr im Resultat notiert wird, ist eine 2. Die zu rundende Stelle (4) bleibt somit gleich. 3, , Runden

21 Runde folgende Zahlen auf zwei Dezimalstellen nach dem Komma. Übung 1 a) 3456, b) 8,34578 c) 123,89458 d) ,239 Runde folgende Zahlen auf drei Dezimalstellen nach dem Komma. Übung 2 a) 0,34578 b) 77, c) 478,6476 d) 2448,4894 Runde folgende Zahlen auf ganze Zahlen. Übung 3 a) 0,8 b) 8,998 c) 18,999 Darstellung von Resultaten In der Regel schätzt man selber ab, auf wie viele Stellen man ein Resultat runden möchte. Dabei sollte man immer beachten, dass man nicht versucht ein Resultat genauer zu machen, als es ist. Folgendes Beispiel soll dies veranschaulichen. Wir nehmen ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 3,75 m, b = 7,43 m und berechnen dessen Fläche: A = a b = 3,75 m 7,43 m = 27,8625 m 2 Beispiel Es wäre falsch, dieses Resultat in dieser Form stehen zu lassen, weil es eine unnötige Genauigkeit vortäuscht. Der Grund liegt in den Ausgangswerten, die wir für die Berechnung der Rechteckfläche verwendet haben. Beide Werte weisen jeweils zwei Stellen nach dem Komma auf; sie sind also auf Zentimeter genau angegeben. Es macht deshalb wenig Sinn, das Resultat 21 Runden

22 plötzlich auf Millimeter, oder sogar halbe Millimeter genau anzugeben. Es hat sich deshalb eingebürgert, gewisse Einheiten auf eine bestimmte Anzahl Dezimalstellen nach dem Komma zu runden. Beispiele Einheiten die auf zwei Nachkommastellen gerundet werden: Schweizerfranken / Rappen Schweizerfranken werden mit Ausnahme von Wechselkursen immer auf 5 Rappen genau gerundet: Schweizer Franken sind gerundet CHF Schweizer Franken sind gerundet CHF Achte dabei auf die korrekte Darstellung des Betrages. Die Einheit der Schweizerfranken wird in gekürzter Form «CHF» vor dem Betrag notiert. Beispiel Wenn die Rappen fehlen, wird der Geldbetrag normalerweise nicht mit.00, sondern mit einem. dargestellt Schweizer Franken sind gerundet CHF Beispiel Meter 5,1946 m sind gerundet 5,19 m. Beispiel Quadratmeter 0, m 2 sind gerundet 0,89 m 2. Beispiel Stunden, Minuten, Sekunden Wenn du beispielsweise bei einer Rechenaufgabe mit dem Taschenrechner ein Resultat von 2,7524 h ermittelst, notierst du es wie folgt: 2,7524 h sind gerundet 2,75 h oder 2 h 45 min. Beispiel Verwende immer die grösstmögliche Einheit: 52,503 h sind demnach 2 d 4,5 h oder 2 d 4 h 30 min. 22 Runden

23 Prozente 85,34578% sind gerundet 85,35%. Beispiel Einheiten die auf drei Nachkommastellen gerundet werden: Kubikmeter, Liter, Kilogramm 134,2676 m 3 sind gerundet 134,268 m 3. 5,5784 l sind gerundet 5,578 l. 2, kg sind gerundet 2,460 kg. Beispiele Runde folgende Resultate auf die korrekte Anzahl stellen Übung 4 a) CHF b) CHF c) CHF d) 8,2937 m e) 35,8553 m f) 487,23784 m g) 3,8576 m 2 h) 45, m 2 i) 947,5999 m 2 k) 2,503 h l) 22,2045 h m) 34,7532 h n) 5,43987% Runden mit dem Taschenrechner Beim Lösen einer Aufgabe mit dem Taschenrechner ist es wichtig, dass du nur das Endresultat rundest. Teilresultate solltest du niemals runden, weil sonst das Endergebnis zu stark vom wirklichen Wert abweichen kann. 23 Runden

24 Algebra

25 2.1 Addition Lernziele Du kennst die Begriffe «addieren», «Addition», «Summe» und «Summand». Du weisst, dass bei einer Addition die Summanden beliebig vertauscht werden können. Einführung Bei einer Addition werden zwei oder mehrere Zahlen, auch Summanden genannt, addiert. Dies wird mit dem Additionszeichen zum Ausdruck gebracht. Das Ergebnis aus der Berechnung nennt man Summe. Additions- zeichen = 9 Summand Summand Summe Bei der Addition spielt die Reihenfolge der Summanden keine Rolle. Du kannst sie beliebig untereinander vertauschen und erhältst immer das gleiche Ergebnis. Beispiele = = = = 16 Übung 1 Löse folgende Aufgaben ohne deinen Taschenrechner. a) = b) = c) = d) = e) = 48 Addition

26 f) = g) = h) = i) = k) = l) = m) = Wie kannst du folgende Additionen auch noch notieren, ohne dass sich was am Resultat ändert? Übung 2 a) = b) = c) = d) = e) = Wie nennt man das Resultat einer Addition? Übung 3 Nenne ein anderes Wort für «zusammen zählen», bzw. «plus rechnen». Übung 4 Stimmt folgende Aussage? «Bei einer Addition können die Summanden nicht vertauscht werden!» Übung 5 49 Addition

27 Übung 6 Wie gross ist die Summe der Summanden 21 und 48? Übung 7 Die Summe zweier gleicher Summanden beträgt 42. Wie gross sind die Summanden? Übung 8 Die Summe zweier Summanden beträgt 15, wobei der eine Summand doppelt so gross ist wie der andere. Um welche Summanden handelt es sich? Übung 9 Löse folgende Aufgaben mit dem Taschenrechner. a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) = 50 Addition

28 Löse folgende Aufgaben. Übung 10 a) 3 Äpfel + 5 Äpfel = b) 8 Ä + 13 Ä = c) 7a + 4a = d) 6 Birnen + 9 Birnen = e) 3 B + 7 B = f) 15b + 65b = g) 15x + 48x = h) -5x + 22x = i) 2 Äpfel + 3 Birnen = k) 2a + 3b = 51 Addition

29 Geometrie

30 7.1 Koordinatensystem Lernziele Du weisst, wofür Koordinatensysteme gebraucht werden. Du kennst die Begriffe «x-achse» und «y-achse». Du weisst, dass ein Punkt im Koordinatensystem mit einem grossen P und seinen Koordinaten, bestehend aus x- und y-achsenwert, gekennzeichnet wird. Du weisst, dass der Nullpunkt dem Schnittpunkt aus x- und y-achse entspricht und die Koordinaten (0 / 0) hat. Du weisst, dass mehrere Punkte in einem Koordinatensystem fortlaufend nummeriert werden. Du kannst Punkte im Koordinatensystem einzeichnen und die Koordinaten von bereits eingezeichneten Punkten bestimmen. Einführung Koordinatensysteme werden in der Mathematik für die Darstellung von Funktionen verwendet. In der Industrie finden sie mehrheitlich Anwendung bei der Programmierung von Maschinen zur Verarbeitung von Werksstoffen. Das Koordinatensystem besteht aus einer x-achse (Abszisse) und einer y-achse (Ordinate). Sie teilen das Koordinatensystem in vier Teile, die sogenannten Quadranten (siehe Abbildung). 234 Koordinatensystem

31 Punkte im Koordinatensystem Wie du in der vorangehenden Abbildung erkennen kannst, können in Koordinatensystemen Punkte eingezeichnet werden. Ein Punkt im Koordinatensystem wird mit einem grossen P und seinen Koordinaten gekennzeichnet. Die Koordinaten setzten sich aus dem x-achsenwert und dem y-achsenwert zusammen und stehen in Klammern. P ( 2 / 4 ) x-achsenwert y-achsenwert Der Punkt mit den Koordinaten (0/ 0) wird Nullpunkt genannt. Er ist der Schnittpunkt der x- und der y-achse. Falls mehrere Punkte in einem Koordinatensystem eingezeichnet sind, werden sie fortlaufend mit einer tiefgestellten Zahl, beginnend bei 1, nummeriert (P 1, P 2, P 3... usw.). Zeichne ein Koordinatensystem, beschrifte es korrekt mit den Begriffen x- und y-achse und zeichne folgende Punkte darauf ein. Übung 1 P 1 (-3 / 3) P 2 (1 / 2) P 3 (0 / -4) P 4 (-4 / -1) 235 Koordinatensystem

Daniel Fürst MatheMagie Rechnen für Beruf und Alltag ISBN mathemagie.com

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