Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...

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2 Lösungen: 006 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 006: Pflichtteil Benötigte Kenntnisse: Analsis: Ableiten, Stammfunktion, Nullstellen bestimmen, ganzrationale Gleichungen lösen, Funktionsgleichung aufstellen, Differenzialrechnung Aussagen bewerten. Analtische Geometrie: Lage zwischen Gerade und Ebene, Abstand Gerade Ebene, Darstellen von Ebenen im Koordinatensstem, Smmetrieebene bestimmen. Aufgabe 1: 1 Die Ableitung der Funktion f() = sin(4 ) wird mit der Kettenregel bestimmt. Man erhält: 8 1 f () = cos(4 ) 8 8 = cos(4 ) Aufgabe : Um eine Stammfunktion von f() = zu bestimmen, sollte man zunächst den Funktionsterm folgendermaßen umformen: f() = 4 0, Mit den Regeln zur Bestimmung der Stammfunktion erhält man dann: Aufgabe 3: F() = 4 0, = ,5 8 8 Zur Bestimmung der Nullstellen von f mit f() = muss man die Gleichung = 0 lösen. Diese Gleichung kann in dieser Form nicht eakt gelöst werden. Man muss daher mithilfe der angegebenen Lösung 1 = 1 eine Polnomdivision durchführen: ( ) : ( 1) = 3 ( 3 ) + 3 ( + ) ( 3 + 3) 0 Die weiteren Nullstellen sind die Lösung der Gleichung 3 = 0. b ± b 4ac Mit der Formel,3 = erhält man: = 3 und 3 = 1 a Ergebnis: Die Nullstellen der Funktion f sind: 1 = 1, = 3 und 3 = 1 Mathematik-Verlag,

3 Lösungen: 006 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 006: Pflichtteil Aufgabe 4: Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat die allgemeine Form: f() = a 3 + b + c + d, mit a, b, c und d IR. Die erste Ableitung ist: f () = 3a + b + c Aus den angegebenen Eigenschaften erhält man folgende Bedingungen für die gesuchte Funktionsgleichung: Das Schaubild berührt die -Achse im Ursprung : f(0) = 0 (I) f (0) = 0 (II) Der Punkt H(1 1) ist Hochpunkt des Schaubilds : f(1) = 1 (III) f (1) = 0 (IV) Mit den obigen Funktionsgleichungen lauten die Gleichungen (I) bis (IV): Gleichung (I): a b 0 + c 0 + d = 0 Gleichung (II): Gleichung (III): d = 0 (I) 3a 0 + b 0 + c = 0 a b 1 + c 1 + d = 1 Gleichung (IV): c = 0 (II) a + b + c + d = 1 (III) 3a 1 + b 1 + c = 0 3a + b + c = 0 (IV) Indem man d = 0 und c = 0 in die Gleichungen (III) und (IV) einsetzt, erhält man das Gleichungssstem: a + b = 1 3a + b = 0 (VI) (VII) 3 (VI) + (VII) ergibt: b = 3 b = 3 Einsetzen in Gleichung (VI) ergibt: a + 3 = 1 a = Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also: f() = Mathematik-Verlag, 3

4 Lösungen: 006 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 006: Pflichtteil Aufgabe 5: Bewertung der Aussagen: Aussage (1) ist falsch, da f bei = das Vorzeichen (von minus nach plus) wechseln müsste, wenn das Schaubild von f an dieser Stelle einen Tiefpunkt haben sollte. Aussage () ist wahr, da das Schaubild von f im Intervall 3 < < 6 zwei Etrempunkte hat. Aussage (3) ist wahr. Weil das Schaubild von f die -Achse bei = 4 schneidet, hat das Schaubild von f im Schnittpunkt mit der -Achse die Steigung m = 4. Das Schaubild von f verläuft dort also steiler als die erste Winkelhalbierende, die nur die Steigung 1 hat. Aussage (4) ist falsch. Da das Schaubild von f im Intervall 0 < < 5 oberhalb der -Achse verläuft, ist das Schaubild von f in diesem Intervall monoton steigend. Somit kann der Funktionswert f(0) nicht größer sein als der Funktionswert f(5). Aufgabe 6: Beweis, dass g parallel zu E verläuft: 1 Wenn die Gerade g: = 16 + t 4 parallel zur Ebene E: = 0 1 verlaufen soll, darf es zwischen g und E keinen Schnittpunkt geben. Zur Ermittlung der Schnittmenge setzt man die Punktkoordinaten von g: 1 = + t, = t und 3 = + t in die Ebenengleichung ein: ( + t) + ( t) ( + t) + 15 = 0 4 t t 4 t + 15 = 0 9 = 0 falsche Aussage Es gibt also keinen Wert für t, der die Gleichung erfüllt. Die Schnittmenge ist demnach leer, und es gibt keinen Schnittpunkt zwischen g und E. Demnach verläuft g parallel zu E. Abstand zwischen g und E: Da die Gerade g parallel zur Ebene E verläuft, ist der gesuchte Abstand der Abstand zwischen einem beliebigen Punkt von g und der Ebene. Beispielsweise kann man den Stützpunkt P( 16 ) der Geraden g nehmen. Zur Bestimmung des Abstands zwischen P und E benötigt man die Hesse-Normalen-Form der Ebene: 9 Einsetzen der Koordinaten von P( 16 ) ergibt: d P-E = d g-e = = 3 LE Mathematik-Verlag, 4

5 Lösungen: 006 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 006: Pflichtteil Aufgabe 7: Man kann eine Ebene sehr leicht im Koordinatensstem darstellen, wenn man ihre Spurpunkte kennt; das sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Den Schnittpunkt mit der 1 -Achse bestimmt man, indem man in der Koordinatengleichung der Ebene = 0 und 3 = 0 setzt und nach 1 auflöst. Den Schnittpunkt mit der -Achse bestimmt man, indem man in der Koordinatengleichung der Ebene 1 = 0 und 3 = 0 setzt und nach auflöst. Den Schnittpunkt mit der 3 -Achse bestimmt man, indem man in der Koordinatengleichung der Ebene 1 = 0 und = 0 setzt und nach 3 auflöst. Die Spurpunkte von E 1 : = 1 sind: S 1 (3 0 0), S (0 4 0), S 3 (0 0 6) Die Spurpunkte von E : = 6 sind: T 1 ( 0 0), T (0 3 0) Da die Ebene E keinen Schnittpunkt mit der 3 -Achse hat, verläuft sie parallel zur 3 -Achse. Die Schnittgerade g zwischen den beiden Ebenen erkennt man in der Zeichnung an den Schnittpunkten A und B. A 3 4 E 1 E B 4 g 1 4 Aufgabe 8: Verfahren zur Bestimmung der Gleichung von E: Da die Punkte A und B smmetrisch zur Ebene E liegen, steht der der Vektor AB senkrecht auf E und ist damit ein Normalenvektor n der Ebene E. Es gilt: AB = n. B n. M. E Mit n = n n n 1 3 kann man bis auf die Konstante d eine Koordi- natengleichung von E aufstellen: n n + n 3 3 = d (*) Zur Berechnung des Werts für d benötigt man einen Ebenenpunkt von E. Aufgrund der Smmetrie muss der Mittelpunkt M der Strecke AB auf der Ebene liegen. Für den Ortsvektor von 1 M gilt: OM = 1 (OA + OB) Durch Einsetzen der Koordinaten von M(m 1 m m 3 ) in die Gleichung (*) erhält man schließlich d: n 1 m 1 + n m + n 3 m 3 = d. A Mathematik-Verlag, 5

6 Lösungen: 006 Wahlteil Analsis 1 Lösungen zur Prüfung 006: W ahlteil - A nalsis 1 Benötigte Kenntnisse: Funktionsterm aufstellen, Schaubilder zeichnen, Etremwertberechnung, Flächenberechnung mit Integralen. Aufgabe 1a): Die Schaubilder von K und C: C Die für die Zeichnung der Schaubilder erforderlichen Wertetabellen erstellt man mithilfe des GTR. 0 K Bestimmen der Koeffizienten a, b und c: Durch jeweiliges Einsetzen der Punktkoordinaten von P 1 (0 95), P (10 95) und P 3 (0 9) in die Funktionsgleichung g() = a + b + c erhält man folgende drei Gleichungen: Mit P 1 (0 95): g(0) = a 0 + b 0 + c = 95 c = 95 (I) Mit P (10 95): g(10) = a 10 + b 10 + c = 95 a + 10b + c = 95 Mit P 3 (0 9): g(0) = a 0 + b 0 + c = 9 0a + 0b + c = 9 (II) (III) Einsetzen von c = 95 in die Gleichungen (II) und (III) ergibt: In Gleichung (II): a + 10b + 95 = In Gleichung (III): 0a + 0b + 95 = 9 95 a + 10b = 0 (IV) 0a + 0b = 3 (V) Die Werte für a und b erhält man, indem man folgendes Gleichungssstem löst: a + 10b = 0 (IV) 0a + 0b = 3 (V) 4 (IV) + (V) ergibt: 0b = 3 :( 0) b = 0,15 Mathematik-Verlag, 6

7 Lösungen: 006 Wahlteil Analsis 1 Lösungen zur Prüfung 006: W ahlteil - A nalsis 1 Einsetzen in Gleichung (IV) ergibt: a + 1,5 = 0 1,5 a = 1,5 : a = 0,015 Die Funktionsgleichung von g lautet also: g() = 0, , Aufgabe 1b): Die Koordinaten des Aufsprungpunktes: Der Aufsprungpunkt ist der Punkt A, an dem sich die beiden Schaubilder schneiden. Die Koordinaten dieses Punktes kann man mithilfe des GTR bestimmen. C Man erhält: A( 50) A( 50) 0 K Die maimale vertikale Höhe des Springers über dem Aufsprunghang: Die Höhe h() des Springers über dem Aufsprunghang wird im Intervall 0 < < (zwischen Absprung und Landepunkt) durch die Differenz von g() und f() beschrieben: h() = g() f() Das Maimum h ma von h() kann man mit dem GTR entweder rechnerisch oder grafisch bestimmen. Zur rechnerischen Bestimmung definiert man im GTR die Funktion 3 = g() f() und lässt sich mit dem 0 C h() = g() f() 0 K 10 1 Befehl CALC 3:maimum das Maimum berechnen. Zur zeichnerischen Bestimmung zeichnet man mit dem GTR das Schaubild von h() und bewegt den Cursor auf den Hochpunkt. Im Displa erscheinen dann die - und die - Koordinaten des Hochpunkts. Die -Koordinate gibt die gesuchte Höhe an. Man erhält: 6,1 m und = h ma = 1,6 m Mathematik-Verlag, 7

8 Lösungen: 006 Wahlteil Analsis 1 Lösungen zur Prüfung 006: W ahlteil - A nalsis 1 Aufgabe 1c): Berechnung des Parameters k: Wenn der Skispringer nicht über den Wendepunkt W(71 ) hinaus fliegen soll, muss das Schaubild von C k spätestens ab dem Wert = 71 unterhalb des Schaubilds von K (dem Aufsprungprofil) verlaufen. Es muss also gelten: g k (71) 0, k Flugbahnen C k für verschiedene k-werte W(71 ) 75, k , k 19,385 0 g k (71)< K 71k 0,615 :71 k 0,9 Der Parameter k darf also höchstens den Wert k = 0,9 annehmen Die rote Kurve führt über den kritischen Punkt W hinaus. Bei der blauen Flugbahn landet der Springer genau auf dem kritischen Punkt W, bei der grünen Flugbahn hinter dem kritischen Punkt W. Aufgabe 1d): Berechnung der Erdmenge beim Ändern des Profils: Um entscheiden zu können, ob Erde benötigt wird oder abgetragen werden muss, berechnet man jeweils das Erdvolumen für den alten bzw. neuen Hang. Da die Breite b des Aufsprunghangs überall gleich ist, gilt für das Volumen des alten Hangs: V alt = A alt b Dabei ist A alt die Querschnittsfläche des alten Profils. Entsprechend gilt für das Volumen des neuen Hangs: V neu = A neu b 0 altes Profil neues Profil Die beiden Querschnittsflächen werden durch Integration berechnet. Es gilt: A alt = A neu = 130 f() d, mit f() = 10( 10) + ( 10) Mit dem GTR: A alt = 5978, m h() d, mit h() = 0,0001 (1, ). Mit dem GTR: A neu = 5964,6 m 0 Da das neue Profil etwas kleiner ist als das alte Profil, ist wegen V = A b auch das neue Hangvolumen kleiner als das alte. Es muss also insgesamt Erde weggefahren werden. Mathematik-Verlag, 8

9 Ende der Musterseiten zu den Lösungen 006. (Die Original-Datei umfasst 9 Seiten.) Mathematik-Verlag, 9

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