Bericht zur Prüfung im Mai 2004 über Bausparmathematik (Grundwissen)

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1 Bericht zur Prüfung im Mai 2004 über Bausparmathematik (Grundwissen) Hans Laux (Kornwestheim) Am 8. Mai 2004 fand in Bad Neuenahr die Prüfung über das Grundwissen der Bausparmathematik statt. Der Klausur unterzogen sich 40 Teilnehmer, von denen 35 die Prüfung bestanden haben. Die Klausur umfasste vier Aufgaben, für die maximal die jeweils angegebene Zahl von Punkten, insgesamt 90 Punkte, erzielbar waren. Die Klausur war auf 90 Minuten ausgelegt und galt als bestanden, wenn 40 Punkte erreicht wurden. Hilfsmittel waren außer einem Taschenrechner nicht zugelassen. 1. Aufgabe (32 Punkte) In einem Bauspartarif werden die Guthabenzinsen (wie in der Bausparmathematik) vierteljährlich ermittelt und kapitalisiert. Ein Bausparer entrichtet auf seinen Bausparvertrag mit der Bausparsumme postnumerando einen gleichbleibenden Quartalssparbeitrag A während s(1) ganzzahligen Quartalen, bis das Bausparguthaben BG mindestens so hoch ist wie das tarifliche Mindestsparguthaben M SG = a. Im darauffolgenden Quartal stellt er die Besparung ein, muss aber noch s(2) Quartale warten, bis die Bewertungszahl BZ seines Vertrages die Mindestbewertungszahl M BZ erreicht oder überschreitet. Die BZ wird aus der Habensaldensumme HSS und dem Bewertungszahlfaktor BZF nach der Formel BZ = BZF HSS/ berechnet. Abschlussgebühr und Kontogebühr sind nicht zu berücksichtigen. a) Aus welchen Gleichungen kann man die Sparzeiten s(1) und s(2) herleiten? b) Berechnen Sie mit BZF = 1 die numerischen Werte der beiden Sparzeiten sowie die des Bausparguthabens BG(s) und der BZ(s), die im Zeitpunkt s = s(1)+s(2) erreicht sind, für folgende Parameter: = 1; r = 1, 00375; BZF = 1; A = 0, 015; a = 0, 4; und MBZ = 6, 5. Zu a) Formeln Bezeichnet s (1) und s (2) jeweils die genauen, also gebrochenen, nicht auf ganze Zahlen aufgerundeten Sparzeiten, so ergibt sich s (1) aus der Gleichung BG(s (1)) = A rs (1) 1 r 1 Die Auflösung der Gleichung (1.1) nach s (1) liefert die Formeln = a (1.1) und somit r s (1) = a (r 1) A + 1 = R(1) (1.2) s (1) = ln(r(1)). (1.3) ln(r) 727

2 Bezeichnet s(1) die nächsthöhere ganze Zahl nach s (1), falls nicht s (1) bereits ganzzahlig sein sollte, so ist analog (1.1) das Bausparguthaben BG(s(1)) zum Bewertungsstichtag, an dem BG erstmals das Mindestsparguthaben a überschreitet, zu berechnen. Die restliche ungerundete Sparzeit ist aus der Bestimmungsgleichung [ BG (s(1) + s ] (2)) s(1) A MBZ = BZF + BG (s(1) + s (2)) (1.4) r 1 zu bestimmen. Darin ist BG (s(1) + s (2)) = BG(s(1)) r s (2). (1.5) Das zweite Additionsglied in der Gleichung (1.4) erklärt sich aus der Tatsache, dass in dem vorhergehenden Bruch das BG zum Stichtag in der Habensaldensumme (HSS) nicht enthalten ist, aber bei der Habensaldenmethode mit bewertet wird. Natürlich ist auch eine Berechnung ohne die Erhöhung um BG (s(1) + s (2)) möglich; man erhält dann mittels des aufgerundeten s(2) zwar die zutreffende HSS, jedoch zugleich das BG zum nachfolgenden Stichtag. Nach Umformung erhält man aus (1.4) und MBZ = BZF BG(s(1)) (2)+1 rs + s(1) A, (1.6) r 1 r s (2)+1 = MBZ (r 1) + s(1) A BZF BG(s(1)) = R(2) (1.7) s (2) + 1 = ln(r(2)). (1.8) ln(r) Rundet man den (als nichtganzzahlig unterstellten) Wert von (1.6) auf die nächstniedrigere ganze Zahl ab, erlangt man die tatsächliche Restsparzeit s(2), die gesamte Sparzeit und damit das Bausparguthaben zum Stichtag sowie die Bewertungszahl BZ zum Stichtag BZ(s) = BZF HSS(s) s = s(1) + s(2) (1.9) BG(s) = BG(s(1)) r s(2) (1.10) = BZF (BG(s + 1) s(1) A ). (1.11) Zu b) Numerisches Beispiel Mit den vorgegebenen Parametern errechen sich 728 R(1) = s (1) = 0, 4 0, , = 1, 1, (1.12) ln(1, 1) = 25, 46, (1.13) ln(1, 00375) s(1) = 26, (1.14)

3 BG(26) = 0, 015 1, = 0, 4088, (1.15) 0, R(2) = 6, 5 0, , 015 0, 4088 s (2) + 1 = Nach s = 29 Quartalen weist der Bausparvertrag ein BG von also 41, 34% der, und eine BZ von = 1, 0135, (1.16) ln(1, 0135) = 3, 58 und (1.17) ln(1, 00375) s(2) = 3. (1.18) BG(29) = 0, , = 0, 4134, (1.19) auf. BZ(29) = 0, , 015 0, , , = 6, 65 (1.20) 2. Aufgabe (10 Punkte) In den Allgemeinen Bedingungen für Bausparverträge (ABB) heißt es sinngemäß in Bezug auf unproportionale Teilungen von Bausparverträgen bei einer Bausparkasse A: Bei einer Teilung werden Bausparsumme und Bausparguthaben nach Wahl des Bausparers auf neu gebildete Verträge aufgeteilt. Die Summe der Habensalden wird im Verhältnis der Guthaben auf die neu gebildeten Verträge verteilt. Die Bewertungszahl wird neu berechnet. Bausparkasse B: Bei einer unproportionalen Teilung wird die Bewertungszahl im Verhältnis der Bausparguthaben aufgeteilt. Anschließend wird die Bewertungszahl jedes Teilvertrages im Verhältnis der bisherigen Bausparsumme zu der Bausparsumme des Teilvertrages erhöht. Vergleichen Sie die BZ nach einer unproportionalen Teilung für beide Methoden unter der Annahme, dass beide Bausparkassen die Habensaldenmethode mit dem gleichen Bewertungszahlfaktor BZF anwenden. Ausgehend von dem Bausparvertrag über die Bausparsumme mit dem Bausparguthaben BG und der Habensaldensumme HSS werden die Teilverträge (1) + (2) = mit BG(1) + BG(2) = BG und HSS(1) + HSS(2) = HSS gebildet. Für beide Bausparkassen gilt mit gleichem Bewertungszahlfaktor BZF die Formel zur Errechnung der Bewertungszahl (BZ) BZ = BZF HSS. (2.1) Zu vergleichen sind die Daten der entstehenden Teilverträge BV (i) mit i = 1 und 2 bei übereinstimmender unproportionaler Teilung. 729

4 Die Bausparkasse A errechnet die Habensaldensummen HSS der Teilverträge zu und deren Bewertungszahlen zu HSS(i) = HSS BG(i) BG (2.2) BZ(i) = BZF HSS(i) (i) = BZF HSS BG BG(i) (i) Für die Bausparkasse B gilt folgender Rechengang bei dem BV (i): (2.3) BZ(i) = BZ BG(i) BG (i) HSS = BZF BG(i) BG (i) = BZF HSS BG BG(i) (i). (2.4) Bei gleich hohen BZ, die ebenfalls anzunehmen sind, ergeben sich mithin auch für die Teilverträge gleich hohe BZ. Im Ergebnis stimmen trotz abweichender ABB-Bestimmungen bei gleichem Vertragsverlauf die BZ der beiden Bausparkassen überein. 3. Aufgabe (15 Punkte) Was wissen Sie über die mit Bausparverträgen verbundene Risikolebensversicherung? Stichworte genügen. Durch die Versicherung auf den Todesfall des Bausparers bzw. Darlehensnehmers besteht Schutz der Hinterbliebenen (im allgemeinen keine Tilgungsbeiträge nach Eintritt des Versicherungsfalls mehr zu entrichten). Zusätzliche Sicherung zugunsten der Bauspargemeinschaft. Den Versicherungsschutz gewährt nicht die Bausparkasse selbst, die hierfür keine Zulassung besitzt, sondern ein Lebensversicherungsunternehmen, mit dem die Bausparkasse im Rahmen eines Gruppenversicherungsvertrages kooperiert. Beim Obligatorium im allgemeinen keine Gesundheitsprüfung, sondern automatischer Versicherungsbeginn bei Zuteilungsannahme, Beginn der Darlehensauszahlung oder ähnlichem Ereignis. Wenig genutzte freiwillige Risikolebensversicherung (RLV) mit Risikoprüfung auf Wunsch des Bausparers oder vereinzelt aus Sicherungsgründen von der Bausparkasse verlangt. Widerrufsrecht des Versicherungsnehmers (das ist meist, aber nicht immer der Bausparer). RLV kann generell entfallen gegen Abtretung der Rechte aus entsprechenden Lebensversicherungsverträgen. Versicherungssumme wird alljährlich nach Darlehensstand neu bestimmt und sinkt mit fortschreitender Tilgung ab, bleibt für das Kalenderjahr mit dem Stand vom 1.Januar konstant. Auch Voraus- und Zwischendarlehen können (mit,,darlehens -teil) in RLV einbezogen werden. Es existieren Höchsteintrittsalter und Höchstversicherungssummen, für die einzelnen Bausparkasse in unterschiedlicher Höhe. Technisch einjährige Beiträge zur RLV, die je Tausend Euro Versicherungssumme (Promille- Beiträge) ab Alter 30 bis 35 mit zunehmendem Alter ansteigen. Günstige Beitragssätze von Gruppenverträgen. Beitragssätze für Frauen niedriger als für Männer. 730

5 Versicherungsbeiträge (V B) für die jeweilige Versicherungssumme in Euro, welche die Bausparkasse zu Versicherungsbeginn und danach jährlich zum 1. Januar dem Bausparkonto belastet und an das Lebensversicherungsunternehmen abführt, ändern sich von Jahr zu Jahr, sinken im allgemeinen ab, weil Darlehenstilgung stärker wirkt als Zunahmen des Promille- Beitrags. Ummünzung der V B in gleichbleibenden Versicherungszuschlag (V Z), der zum Tilgungsbeitrag für das Bauspardarlehen hinzutritt. Unterschiede zwischen V Z pro Jahr und V B beschleunigen oder verlangsamen Tilgungsvorgang. Bei Bausparkassen, die auf V Z verzichten, besteht,,preis der RLV in Tilgungsverlängerung. V B verschaffen Versicherungsschutz und haben anderen Kostencharakter als Darlehenszinsen. Deshalb Einbeziehung der V B in den effektiven Jahreszins nicht gerechtfertigt. Signifikant niedrigere Sterblichkeit der versicherten Bausparer als die Gesamtbevölkerung nachgewiesen. Daraus entstehen Risikoüberschüsse. Überschussbeteiligung der Versicherungsnehmer wird meist als Sofortüberschussbeteiligung durch Kürzung der den Bausparkonten belasteten V B ausgeschüttet. 4. Aufgabe (33 Punkte) In einem Bauspartarif, der das Quartalsmodell der Darlehensverzinsung (Zinsfaktor q) enthält, hat der Bausparer zur Verzinsung und Tilgung seines Bauspardarlehens pro Quartal nicht einen gleichbleibenden, sondern einen gestaffelten Tilgungsbeitrag zu entrichten, der sich in den ersten t(1) Quartalen auf B(1) und in den restlichen t(2) Quartalen der Tilgungszeit auf B(2) beläuft. a) Nach welcher Formel kann man t(2) berechnen, wenn die übrigen Größen - q, D(0), B(1), B(2) und t(1) - bekannt sind? b) Wie lautet hier die Gleichung für die Kassenleistung KL? c) Berechnen Sie die numerischen Werte zu a) und b) für folgende Spezialisierung: = 1; q = 1, 01125; D(0) = 0, 48; t(1) = 16; B(1) = 0, 012 und B(2) = 0, Zu a) Formeln für t(2) Die Grundgleichung der progressiven Tilgung ist abzuwandeln auf Nach Umformung ergibt sich D(0) q t(1)+t(2) = B(1) q t(2) qt(1) 1 + B(2) qt(2) 1 (4.1) und daraus q t(2) = B(2) = Q(1) (4.2) B(1) (q t(1) 1) + B(2) () q t(1) D(0) t(2) = ln(q(1)). (4.3) ln(q) 731

6 Eine Lösung ist auch möglich über den Stand des Bauspardarlehens zur Zeit t(1) in Höhe von D(t(1)) = D(0) q t(1) B(1) qt(1) 1 (4.4) und der Anwendung der allgemeinen Formel für die geometrische Tilgung auf die Resttilgungszeit in Gestalt von D(t(1)) q t(2) = B(2) qt(2) 1. (4.5) Daraus resultiert die denselben Wert wie (4.2) ergebende Formel q t(2) = B(2) = Q(2) = Q(1). (4.6) B(2) () D(t(1)) Zu b) Kassengleichung Die Gleichung für die Kassenleistung KL wird nach dem Grundsatz, dass die Darlehenszinsen im Zähler der Formel sich als Differenz zwischen der Summe der geleisteten Tilgungsbeiträge und der Summe der Tilgungen ergeben, hergeleitet zu Zu c) Numerisches Beispiel KL = B(1) t(1) + B(2) t(2) D(0). (4.7) Die numerischen Werten erhält man mit 1, = 1, wie folgt: Q(1) = 0, 0135 = 1, , (4.8) 0, 012 0, , , , , 48 und t(2) = ln(1, ) ln(101125) = 32, 42 Quartale (4.9) KL = 0, , , 42 0, 48 0, = 13, 304. (4.10) 732