Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie

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1 Kongress ur Weiterentwicklung des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts Mittwoch,. Mär 6,. Uhr bis 6. Uhr, AudiMa der Ruhruniersität Bochum Projektionsmatrien - Einblicke in die Raumgeometrie Eine anwendungsorientierte Unterrichtsreihe aus der Analtischen Geometrie Klaus Gerber Dreidimensionale Objekte können auf eine weidimensionale Ebene abgebildet werden. Dies ist.b. beim Schattenwurf eines Bauwerks im parallelen Sonnenlicht u beobachten. Mathematisch können diese Parallelprojektionen mit Hilfe on Projektionsmatrien erklärt werden. In diesem Workshop werden die notwendigen Grundlagen aus einer Unterrichtsreihe für einen Mathematik-Grundkurs orgestellt. Von Bedeutung sind dabei insbesondere die Einführung und Aufstellung on Matrien ur Beschreibung on Abbildungen. Diese Grundlagen können dann ur Projektion geometrischer und realer, analtisch modellierter Körper angewendet werden. Als Anwendung wird ein Bandenwerbungsteppich für ein Fußballstadion modelliert. Für weitere Beispiele dienen einfache Poleder. Die Darstellung der Bilder mit einem CAS erleichtert hier das Verständnis der geometrischen Zusammenhänge und eröffnet ielfältige Möglichkeiten für analtische Untersuchungen. Weitere Projekte behandeln Drehmatrien, Verkettungen on Abbildungen und Umkehrungen on Abbildungen mit inersen Matrien. Kontakt: Landrat-Lucas-Gmnasium, Peter-Neuenheuser-Str. 7-, 579 Leerkusen klaus@gerfi.de

2 Arbeitsblatt Bandenwerbung Aufgabe: Entwerfe einen Werbeteppich für das RheinEnergie-Stadion in Köln-Müngersdorf. Dieser Teppich soll in der rechten Spielfeldhälfte rechts neben dem Tor liegen (gesehen on der Haupttribüne oberhalb derer sich die Kamera befindet). - - Klaus Gerber, 6

3 Spielfeldmaße 5m 68m -- Klaus Gerber, 6

4 - 4 - Klaus Gerber, 6 Lösungsblatt Bandenwerbung Die maßstäblichen Berechnungen ergeben für den Richtungsektor om Punkt, in dem die Kamera montiert ist, u einem mittleren Buchstaben: 5 5. Bearbeitung als Schnittproblem: Projektion des Buchstabens T in die -Ebene Die obere linke Ecke des Buchstabens habe die Koordinaten P(,8 ). Gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden durch diesen Punkt in Richtung des Vektors mit der -Ebene ( ). Aus dem Ansat 5 5,8 p p λ λ folgt λ. Daraus folgt,8 5 5, p. Der gesuchte Schnittpunkt hat also die Koordinaten ( ) T ungefähr also ( ),,7 T. Da diese Berechnung nun für sehr iele Punkte erforderlich ist, entwickeln wir eine allgemeine Berechnungsmethode: Dabei soll der Punkt ( ) P in Richtung des Vektors in die -Ebene und dort auf den Punkt ( ) P mit abgebildet werden. Aus dem Ansat p p λ λ folgt λ. Daraus folgt ( ) p. Der gesuchte Punkt hat also die Koordinaten ( ) P. Hier wird ur Vereinfachung die Matrienschreibweise eingeführt: mit der Berechnungsorschrift: p A i h g f e d c b a i h g f e d c b a In unserem Fall lautet die Abbildungsmatri also: 5 5 A (Man beachte die Voreichen!)

5 -5- Klaus Gerber, 6

6 Information Graphische Darstellung mit dem TI Zur Erstellung on Zeichnungen mit dem TI89 benötigten wir ein kleines Programm, das Punkte in einem -dimensionalen Koordinatensstem erbindet. Dieses wird in der Applikation Program Editor wie nebenstehend eingegeben. Mit m ist dabei eine Matri mit Spalten und beliebig ielen Zeilen beeichnet. Jede Zeile enthält die Koordinaten eines Punktes der -Ebene, der mit dem nachfolgenden Punkt erbunden werden soll. (Quelle: Hubert Weller, Lahnau: Darstellung on Objekten mit dem TI9 ) Anleitung um Zeichnen mit dem TI89: Die Koordinaten der Eckpunkte des aufrecht stehenden Buchstabens werden eingegeben und unter der Beeichnung te gespeichert. Wird die Matri te mit dem Operator.. T aus dem Catalog transponiert, so werden die Spalten der Matri als Zeilen dargestellt. Die lette Zeile der Abbildungsmatri enthält nur Nullen. Wird sie weggelassen, so erhält man bei der Abbildung Vektoren mit wei Komponenten. Die entsprechenden Punkte können in einem weidimensionalen Koordinatensstem graphisch dargestellt werden. Zur graphischen Darstellung mit dem Programm matplot muss das Ergebnis erneut transponiert werden, um eine Matri mit Spalten u erhalten. Zeichnung mit den Fenstereinstellungen Ergebnis: ollständiger Befehl um Zeichnen Klaus Gerber, 6

7 Information Definitionen und Säte Definition Ein Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten, in das reelle Zahlen a ij ( i m j n ) a a... an a a... an eingetragen sind, heißt m n Matri A. A ; m, n IN : : : am am a... mn Eine Matri A heißt quadratisch, wenn sie ebenso iele Zeilen wie Spalten hat. ( m n ) Definition Matri-Vektor-Multiplikation n n Das Produkt einer m n Matri A mit einem Vektor p IR ergibt einen Vektor p IR, dessen j-te Komponente das Skalarprodukt aus der j-ten Zeile der Matri A mit dem Vektor p ist. a a a p a p a p a p p A p a a a p a p a p a p a a a p a p a p a p Hier schließt ein Ekurs um Rechnen mit Matrien an (s. Schulbuch): - Verielfachen on Matrien - Addieren on Matrien - Multiplikation on Matrien mit Rechengeseten (Nicht-Kommutatiität!) Definition n n Eine Zuordnung, die jedem Punkt P des IR einen Bildpunkt P des IR uordnet, heißt lineare Abbildung, wenn es eine m n Matri A gibt, so dass für die Ortsektoren gilt: p A p. Die Matri A heißt die Abbildungsmatri der linearen Abbildung. Hauptsat über Abbildungsmatrien Die Spalten der Abbildungsmatri sind die Bilder der Einheitsektoren. a a a a Beispiel: e A e a a a a usw.. a a a a Aufgrund dieses Sates kann die Abbildungsmatri auch durch Berechnung der Bilder der Einheitsektoren ermittelt werden. Beispiel: Projektion in die -Ebene in Richtung des Vektors Die Einheitsektoren e und e liegen bereits in der -Ebene und stimmen daher mit ihren Bildern überein. Es bleibt also die Berechnung on e : Aus dem Ansat e λ e λ folgt λ und damit e Klaus Gerber, 6

8 - 8 - Klaus Gerber, 6 Parallelprojektionssat Die Matri A beschreibt die Parallelprojektion in die -Ebene in Richtung des Projektionsektors. Entsprechend: A für die Parallelprojektion in die -Ebene und A für die Parallelprojektion in die -Ebene Analog können Abbildungsmatrien aufgestellt werden ur Projektion auf beliebige Ebenen, die den Koordinatenursprung enthalten. Dau bieten sich iele Übungsaufgaben an.

9 - 9 - Klaus Gerber, 6 Arbeitsblatt -dimensionale Darstellung räumlicher Objekte Über die Bilder der Einheitsektoren ) sin(45 ) cos(45 ; ; wird die Projektionsmatri aufgestellt. PRO Dies entspricht einer Projektion in die -Ebene. Aufgaben:. Erläutere die Herleitung der Projektionsmatri.. Zeichne damit Schrägbilder on Häusern, Würfeln, Pramiden u.ä. mit dem TI89. Beispiel: Information: Wenn der Vektor e erkürt dargestellt wird (.B. mit dem Faktor ½), entsteht ein etwas natürlicher Eindruck. Statt im Winkel on 45 kann die -Achse auch in einem anderen Winkel dargestellt werden. In beiden Fällen ergibt sich eine andere Projektionsmatri.

10 Arbeitsblatt Drehungen im Raum um eine Koordinatenachse Ermittlung einer Drehmatri für Drehungen um die -Achse. Über die Bilder der Einheitsektoren cos( α ) sin( α ) sin( α ) ; cos( α ) ; wird die Drehmatri aufgestellt. RotZ ( α ) cos sin ( α ) sin( α ) ( α ) cos( α ) Abb.: Blick on oben auf die -Ebene Aufgaben:. Erläutere die Herleitung der Drehmatri.. Drehe damit die uor betrachteten Körper um einen beliebigen Winkel um die -Achse und stelle die Ergebnisse mit dem TI89 dar. Beispiel:. Erstelle umfangreichere Darstellungen. Beispiel: 4. Bestimme eine Matri M, die die Hintereinanderausführung der Projektion nach der Drehung um 9 um die -Achse ermöglicht. - - Klaus Gerber, 6

11 Information Verkettung und Umkehrung linearer Abbildungen Für die Verkettung (Hintereinanderausführung) on einer Projektion nach einer Drehung muss die cos( α ) sin( α ) Matri PRO on links an die Drehmatri RotZ ( α ) ( ) ( ) sin α cos α multipliiert werden. Beispiel: PRO RotZ ( 9 ) Warum ist hier die Reihenfolge der Matrien on Bedeutung? Umkehrung on Abbildungen Die Drehung um eine Koordinatenachse kann wieder rückgängig gemacht werden entweder durch eine inerse Drehung um den Winkel α RotZ α. Dann muss gelten ( α ) RotZ( α ) Beispiel für α 9 : oder mit der inersen Matri ( ) RotZ. (Warum?) Unter welchen Bedingungen gelingt die Verkettung und Umkehrung linearer Abbildungen? - - Klaus Gerber, 6

12 Arbeitsblatt Poleder Sind Körper nur on ebenen Flächen begrent, werden sie Vielflächner oder Poleder genannt. Diejenigen Poleder, die keine nach innen einspringenden Ecken haben, heißen konee Poleder. Für alle koneen Poleder gilt die Eulersche Polederformel: E: Anahl der Ecken E - K F K: Anahl der Kanten F: Anahl der Flächen Ein Poleder, das on gleichseitigen kongruenten Flächen begrent wird, heißt reguläres Poleder oder platonischer Körper. Daon gibt es nur fünf erschiedene: Aufgabe: Überprüfe die Euler sche Poleder-Formel: Kuboktaeder Oktaederstumpf Tetraeder Heaeder Oktaeder Ikosaeder Dodekaeder E K F E - K F - - Klaus Gerber, 6

13 Arbeitsblatt Platonische Körper Die Untersuchung und graphische Darstellung der Platonischen Körper gelingt, wenn man einen Würfel als Koordinatenstütkörper erwendet. Diesem wird das Poleder dann ein- oder umschrieben. Zur Ermittlung der Koordinaten der Eckpunkte wird der Ursprung des Koordinatensstems in die Mitte des Würfels mit der Kantenlänge LE gelegt. Aufgaben:. Berechne für Tetraeder und Oktaeder geometrische Größen wie Längen, Winkel, Flächeninhalte und Volumina. Hierbei können Grundkenntnisse aus der Mittelstufe und aus der Analtischen Geometrie angewendet und wiederholt werden.. Stelle diese Körper graphisch dar. Die Bestimmung der Eckpunktkoordinaten bei Ikosaeder und Dodekaeder ist schon recht aufwändig und als Vertiefung möglich. - - Klaus Gerber, 6