Modellieren von Natur

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1 Modellieren von Natur Oliver Deussen Natürliche Objekte 1

2 bisher: Kombination relativ einfacher Primitive zur Generierung (geschlossener) glatter Oberflächen aber: Wie modelliert man natürliche Objekte? (Bäume, Berge, Feuer, Wasser, Wolken) komplett neue Ansätze sind erforderlich effiziente Verfahren zur Herstellung der komplexen Geometrie hierarchische Methoden, um mit der Komplexität umzugehen Oliver Deussen Natürliche Objekte 2

3 prozedurales Modellieren: Objekte werden über einen Algorithmus erzeugt Ausgabe: Dreiecke (Problem: Komplexität) Spezielle Generierungsprozeduren: Fraktale, IFS L-Systeme Partikelsysteme Oliver Deussen Natürliche Objekte 3

4 Prozedurales Modellieren Prozedur (Generierungsvorschrift) beschreibt Objektgeometrie ( Erzeuge Kugel mit 120 Facetten, anstatt Facetten explizit angegeben) Vorteil: Platzersparnis Objekt kann je nach Anforderung dargestellt werden Ähnlich der Primitiv-Instanzierung aber: auch Topologie kann sich verändern Oliver Deussen Natürliche Objekte 4

5 Beispiel: Brücke Prozeduren beschreiben Aufbau der Straße, Seile, Pfosten usw. Teile beeinflussen sich gegenseitig Modellwechsel: Nachts besteht Brücke nur aus Punktlichtquellen weiterer wichtiger Vorteil: Prozeduren/Objekte können mit Umgebung interagieren (Baum wächst antlang einer Mauer) Oliver Deussen Natürliche Objekte 5

6 Fraktale Modelle Fraktal: Objekt, das in allen Auflösungen (Vergrößerungsstufen) Selbstähnlichkeit aufweist Erste Beobachtung: Brownsche Molekularbewegung Bewegung eines kleinen Teilchens in Öl Bahn: zufällig, aber ähnlich aussehend in verschiedenen Vergrößerungen Oliver Deussen Natürliche Objekte 6

7 funktionaler Fall: H=2.0 H=1.0 H=0.67 H=0.33 H=0.0 Brownsche Bewegung für verschiedene Rauhigkeiten Oliver Deussen Natürliche Objekte 7

8 wird beschrieben durch Zufallsfunktion: ( B(t + t) B(t) P t H ) < x = Φ(x) Φ(x) Gauß-Verteilt, H = 1/2 Hölder-Exponent. Eigenschaften der Brownschen Bewegungsfunktion: nicht differenzierbar charakteristisches Frequenzspektrum 1/f β mit f: Frequenz, β [1, 3]. statistisch selbstaffin (Aussehen ist ähnlich auf allen Vergrößerungsstufen modulo eines vertikalen Skalierungsfaktors) Oliver Deussen Natürliche Objekte 8

9 Synthetisierung der Brownschen Bewegung: Summe von Sinuswellen: B(t) = f= A f r fh sin(2πr f t + Θ f ) A f Gaußsche Zufallsvariable, r Ortsauflösung, Θ Zufallsphase, H Hölder-Exponent. Bandlimitierte Zufallsfunktionen (Perlinsche Rauschfunktionen) B(t) = n i=1 r fh N(tr i ). N Rauschfunktion, n zwischen 3 und 12 Oliver Deussen Natürliche Objekte 9

10 Geometrische Unterteilung: t new = 1 2 (t i + x t+1 ) B new = 1 2 (B i + B t+1 ) + P (t i+1 t i )N(t new ). Oliver Deussen Natürliche Objekte 10

11 Brownsche Bewegung generiert durch Unterteilung Oliver Deussen Natürliche Objekte 11

12 Konzept hinter der geometrischen Generierung: Initiator: legt Grundform fest Generator: ersetzt Geometrie durch verfeinerte Geometrie Beispiel: Koch-Kurve aus: The Algorithmic Beauty Of Plants Oliver Deussen Natürliche Objekte 12

13 Fraktale Dimension (Ähnlichkeitsdimension): Objekt wird in N gleich große Teile zerlegt Um wieviel muß ich jedes Teil vergrößern, damit ich ähnlich dem Original werde? N 1 d = r(n) = S d: Dimension, S: Skalierungsfaktor (1) r(n)=2 (1) r(n)=2 r(n)=3 (1) (2) (1) (2) N=2 (3) (4) N=4 (1) (2) (3) N=4 (4) Oliver Deussen Natürliche Objekte 13

14 Ergebnis: Linie: d = 1, Quadrat: d = 2, Koch-Kurve: D = log 4 log 3 1, 2618 mehr: B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur Computergraphik: auch endliche Generierungsprozesse werden als Fraktale bezeichnet Generierungsprozedur stoppt bei genügender Genauigkeit Vorteil von Fraktalen: oftmals sehr einfache Generierungsvorschrift für komplexe Geometrie Oliver Deussen Natürliche Objekte 14

15 Wie modelliert man fraktal? zuerst: fraktale Punktmengen danach fraktale Geometrien Gebirge (Brownsche Molekularbewegung) Plfanzengeometrie (Prozeduren + Regelsysteme) Oliver Deussen Natürliche Objekte 15

16 Die Mandelbrot-Menge einfaches 2D-Fraktal für jeden Punkt (komplexe Zahl) in der komplexen Ebene im Bereich: wende Iteration an: P i+1 = P 2 i + P i wenn P i > l max oder i > i max breche ab. kodiere P i als Farbe (l=0 schwarz) Julia-Menge: Iteration: P i+1 = P 2 i + c für eine Konstante c Oliver Deussen Natürliche Objekte 16

17 oben: Mandelbrot Menge, unten: Julia-Mengen Oliver Deussen Natürliche Objekte 17

18 Iterierte Funktionen-Systeme (IFS) Methode zur Erzeugung von Bildern und Punktobjekten (oftmals Fraktale) benötigt werden: n Funktionen M j R 2 R 2, M = {M 1, M 2,..., M n } m Wahrscheinlichkeiten P = {P 1, P 2,..., P m } n j=1 P j = 1 Startpunkt z 0 bzw. Menge von Startpunkten Z 0 Funktion M j : Affine Abbildung ( a b M j (x, y) = c d ) ( x y ) + ( e f ) Oliver Deussen Natürliche Objekte 18

19 Deterministischer Algorithmus wähle kompakte Menge von Startpunkten z 0 m z n+1 = M j (z n ) Beispiel: Sierpinski-Dreieck j=1 Definition der affinen Abbilungen: w a b c d e f p Oliver Deussen Natürliche Objekte 19

20 Ergebnisbild nach 1,2,3,5 Anwendungen: eigentlich: Baum aufbauen und abgehen Deterministischer Algorithmus: Breitenabstieg Stochastischer Algorithmus: Tiefenabstieg, zufällig für Startpunkte hierbei: wähle nach Wahrscheinlichkeiten, die der Kontraktion der Abbildung entsprechen Oliver Deussen Natürliche Objekte 20

21 Stochastischer Algorithmus wähle Startpunkt z 0 z n+1 = M j (z n ) Adaptiver Algorithmus Breitensuche mit adaptivem Abschneiden der Teilbäume je nach Gesamtkontraktion Beispiel: Abbildungen für Farnblatt: j a b c d e f Oliver Deussen Natürliche Objekte 21

22 Generierung eine Farnblattes: a) Breitenabstieg; b) stochastisch; c) Abstieg mit Abschneiden Oliver Deussen Natürliche Objekte 22

23 weitere Beispiele (aus Barnsley: Fractals everywhere) Oliver Deussen Natürliche Objekte 23

24 Fraktale Geometrieerzeugung Beispiel: Gebirge rekursive Unterteilung anlog Generierung Brownscher Bewegung in 2D: unterteile Linie in der Mitte und verschiebe Mittelpunkt zufällig Oliver Deussen Natürliche Objekte 24

25 in 3D (a) (b) aus Foley et al.: Computer Graphics Principles and Practice Oliver Deussen Natürliche Objekte 25

26 wird zufällige Verschiebung an Größe der Linie / des Dreiecks orientiert, ergibt sich ähnliches Aussehen auf jeder Vergrößerungsstufe aus: Texturing and Modeling Oliver Deussen Natürliche Objekte 26