Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) Letzte Änderung 14. Juni 2000, 27 Seiten

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1 1 Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) Letzte Änderung 14. Juni 2000, 27 Seiten 1 Definition der Normalverteilung Eine Zufallsvariable mit der Dichte f: R R 1 (x-µ) 2 f(x) = 2π 2 e- 2 2 heißt normalverteilt mit Parametern µ R, 2 R ++. Eine verbreitete Kurzschreibweise für diese Universalverteilung der Normalverteilung ist N(µ, 2 ) oder N(µ, 2 ) oder N(µ,). Ob 2 oder als zweites Argument verwandt wird, ist im Regelfall aus dem Zusammenhang klar. Die Verteilung für die (0,1) Variable, d.h. N(0,1), die Standard- Normalverteilung wird wie folgt bezeichnet (die Abkürzung der Normalverteilung): Φ(x) = x - f(u) du 2 Die Gestalt der Verteilung und Dichte Eine Kurvendiskussion von f bzw. Φ (ohne eine explizit vorgeführte Integration, die in einer Vorlesung für Wirtschaftswissenschaftler ausgelassen werden darf) liefert das bekannte Bild der Glockenkurve der Normalverteilung Die Normalverteilung N(0,1)

2 2 Eine Kurvendiskussion von f(x) liefert sofort: 1. Symmetrie f ist symmetrisch um den Extremwert µ, d.h. f'(µ)= Monotonie f ist streng monoton steigend von - bis µ, und streng monoton fallend von µ bis Konkavität/Konvexität f hat zwei Wendepunkte in µ ± 4. Aus der Symmetrie von f um µ folgt die für Φ, d.h. 1 - Φ(µ - x) = Φ(µ + x) Damit ist f, eine stetige Funktion, vollständig beschrieben. Üblicherweise bezeichnet man sie als Glockenkurve der Normalverteilung. Die numerischen Werte sind aus den Tafeln auf den Seiten zu entnehmen. Für die Verteilung gibt es keinen geschlossenen Ausdruck, d.h. es existiert keine Stammfunktion F(x). Aber die entsprechenden Werte der Fläche unter obiger Kurve können numerisch gefunden werden. Deswegen ist eine Tabelle der einzige Weg, F(x) schnell verfügbar zu haben; sie wird üblicherweise mit Φ(x) bezeichnet. Ohne Beweis sei darauf hingewiesen, daß (1) E(X) = µ (2) var(x) = 2. M.a.W. die in der Spezifikation der Normaldichte auftretenden Parameter sind Erwartungswert und Varianz.

3 3 3 Variationen Die Vielfalt der Normalverteilung läßt sich schnell durch eine Folge von Parameter- Variationen zeigen 1. Zur Vielfalt der Normalverteilungen: die Variation der Varianz Die Dichten und Verteilungen zu N(0, 1), N(0, 1.69), N(0, 3.21) Ein gutes Maß für die Lage der Verteilung wird durch die Antwort zu der Frage: "Wie sehen die Dezile aus?" gegeben: Die Dezile für N(0,1): für N(0,1.69 für N(0,3.21) = Median = Mittelwert (Dezil k liefert die Wahrscheinlichkeit P[X d k ] = k. 0.1, k=1, 2,,9, 10)

4 4 2. Der Grenzfall einer nicht-zufälligen Größe: die Variation der Varianz 0 Für eine monoton sinkende Varianz schrumpft die Zufallsgröße X zu einer Konstanten, ein Grenzübergang, der später als Konsistenz bezeichnet wird (s.u. Statistik II). Die bildliche Darstellung der Normalverteilung mit 2 0, ist eine Glockenkurve, die immer nadelförmiger um µ herum wird: Die hier benutzten Varianzen, die das Phänomen bereits deutlich zeigen, sind 2 = 1.7 2, 1.3 2, 1.0, 0.7 2, bei gemeinsamen Mittelwert µ = 0

5 3. Zur Vielfalt der Normalverteilungen: die Variation des Mittelwertes Die Dichten und Verteilungen zu N(0, 1), N(-2, 1), N(2, 1) 5 Die Dezile für N(-2, 1): Median Die Dezile für N(2, 1): Median

6 4. Variation: Mischungen normal-verteilter Zufallsvariabler (Siehe z.b. J. Fan, Test of Significance based on Wavelet Thresholding and Neyman's Truncation, Journal of the American Statistical Association 1996, 682) Seien X und Y zwei voneinander unabhängig normalverteilte Zufallsvariable, dann sind (hier ohne Beweis) die folgenden Summen (Mischungen normal-verteilter Zufallsgrößen) ebenfalls normalverteilt. Sei Z:= a 1. X + a2. Y, X ~ N(µ1, 2 1 ), Y ~ N(µ 2, 2 ) dann ist Z ebenfalls normalverteilt, und zwar vom Typ: 2 2 Z ~ N( Σ a i µ i, a 2 i i 2 Σ ) i=1 i=1 für alle Mischungsverhältnisse, Mittelwerte und Varianzen. Die folgenden Graphiken zeigen zwei Anwendungen: Mischung 1 Mischung 2 6 Die durchgezogene Line bezeichnet die (0,1) Variable, die Standard-Normalverteilung.

7 5. Einige Aufschlag-Übungen zur Normalverteilung Quantile jeder Art Berücksichtigung der Symmetrie Eindeutigkeit der Tafel zum Rückrechnen des Mittelwertes bzw. der Varianz Einige Hauptfälle 1. Der Verteilungswert (Quantil) Die Bestimmung eines α%-punktes P[X ist höchstens c], c (-, + ) (die übliche Verteilung) X ~N(µ, 2 ): P(X c) = F(c) = Φ( c - µ ): X ~ N(0, 1) Illustration (Formulierung als Aufgabe) Es sei µ = 150 und 2 = a) Berechnen Sie F(µ). (F bezeichnet die Verteilungsfunktion von X.) b) Berechnen und interpretieren Sie F(150.5). zu a) P(X µ) = F(µ) = Φ( µ - µ ) = Φ(0) = zu b) P(X 150.5) = F(150.5) = Φ( ) = Φ(1) = Illustration (Formulierung als Aufgabe) Bestimmen Sie den 75%-Punkt einer normalverteilten Zufallsgröße X, für die gilt X ~ N(4000, ) Zu dieser Fragestellung wird auch die Umkehrfunktion der Verteilung Φ -1 benutzt: P(X x 0.75 ) = 0.75 = Φ( x ) = 0.75 x = x 0.75 = Φ -1 (0.75) = Der Schwanz der Verteilung P[X ist mindestens c], c (-, + ) (der Schwanz der Verteilung) P(X > c) = 1 - F(c) = 1 - Φ( c - µ ) 3. Die Punktwahrscheinlichkeit P[X ist genau c] = 0, c (-, + ) (eine Frage der Stetigkeit, Unsinn, P 0)

8 8 Illustration Aufgabe Ein Sportfischerverein veranstaltet ein Wettangeln, bei dem derjenige gewinnt, dessen erste zehn gefangenen Fische das höchste Gesamtgewicht erbringen. Aus Erfahrung weiß man, daß das Gesamtgewicht von 10 in diesem See gefangenen Fischen normalverteilt ist mit Erwartungswert µ = 4000 g. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Gesamtgewicht der von einem Angler gefangenen Fische größer als 6 kg, wenn die Varianz g2 ist? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt das Gesamtgewicht der von einem Angler gefangenen Fische genau 4000 g? c) Mit Wahrscheinlichkeit beträgt das Gesamtgewicht der zehn von einem Angler gefangenen Fische zwischen 3 kg und 5 kg. Wie groß ist die Standardabweichung? (s.u. Fall 4) Lösung: X ~ N(4000, ), d.h. µ = 4000, 2 = a) P(X > 6000) = 1 - P(X 6000) = 1 - Φ( ) = 1 - Φ(2) = Φ(-2) = b) P(X = 4000) 0 (eine für stetige Zufallsvariable unsinnige Frage) 4. Die Intervall-Wahrscheinlichkeit P[ X liegt in einem Bereich (Intervall) (c<d c,d (-, + )) ] P(c X d) = F(d) -F(c) = Φ( d - µ ) - Φ( c - µ ) (die Differenz zweier Verteilungswerte) Fortsetzung der Illustration der Aufgabe Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Gesamtgewicht der zehn von einem Angler gefangenen Fische zwischen 3 kg und 5 kg beträgt und wenn die Varianz 2 = 2 ist. Lösungsvariante 1 (µ und 2, beide Parameter, sind bekannt) P(3000 X 5000) = Φ( ) - Φ( )=Φ(1) - Φ(-1) = = Für die Lösungsvariante 2, daß beide Parameter, µ und 2, oder einer der beiden Parameter µ oder 2 nicht bekannt sind, siehe unten.

9 9 Illustration (-Intervalle) Für die Intervallbestimmung gibt es für die Normalverteilung eine bedeutsame Sonder-Anwendung: die -Intervalle P(µ X µ + ) P(µ 2 X µ + 2) P(µ 3 X µ + 3) usw. P(µ X µ + ) = F(µ + ) - F(µ ) = Φ( µ + - µ ) - Φ( µ - µ ) = Φ(1) - Φ(-1) = = /3 Regel (± eine Standardabweichung) P(µ - 2 X µ + 2) = F(µ +2) - F(µ 2) = Φ( µ µ ) - Φ( µ 2 - µ ) = Φ(2) - Φ(-2) = = = % Regel (± zwei Standardabweichungen) P(µ 3 X µ + 3) = F(µ + 3) - F(µ 3) = Φ( µ µ ) - Φ( µ 3 - µ ) = Φ(3) - Φ(-3)= = = % Regel (± drei Standardabweichungen) Die inhaltliche Bedeutung ist offensichtlich als Überschlag wichtig: Für normalverteilte Zufallsgrößen liegen 2/3 bzw. 95% bzw. so gut wie 100% der Beobachtungen innerhalb der 1- bzw. 2- bzw. 3--Schranken. Entsprechend wichtig ist die numerische Bestimmung von µ und.

10 10 5. Bestimmen der Lageparameter µ und/oder 2 Vorgabe eines Tafelwertes und eines der Lageparameter und damit Bestimmen des fehlenden Lageparameters Die folgende Kurzschreibweise heißt aus { } folgt die rechte Seite vom. Fall 1: {c, Φ( c - µ ), µ } 2 Fall 2: {c, Φ( c - µ ), 2 } µ Vorgabe zweier Tafelwerte und damit Bestimmen beider Lageparameter Fall 3: {c, Φ( c - µ ), d, Φ( d - µ ) } (µ, 2 ) Fortsetzung der Illustration der Aufgabe (Bestimmung von ) Mit Wahrscheinlichkeit beträgt das Gesamtgewicht der zehn von einem Angler gefangenen Fische zwischen 3 kg und 5 kg. Wie groß ist die Standardabweichung? P(3000 X 5000) = Φ( = Φ( - ) - Φ( ) - Φ( ) = 2Φ( ) - 1 = ) = Zu dieser Fragestellung wird die Umkehrfunktion der Verteilung Φ -1 benutzt (s.u.): gehört in diesem symmetrischen Fall zu zwei Rest-Intervallen der Größe /2 = (links in der Verteilung) und = (rechts in der Verteilung), d.h. aber Φ(c) = und Φ(d) = = 1 - Φ(c) werden gesucht. Es folgen aus der Tafel c = und d = 1.245, und damit - = , also = d.h. P(3000 X 5000) = Φ( = Φ(d) - Φ(c) =Φ(d) - (1- Φ(d)) = 2Φ(d) - 1 = 2Φ( Φ( ) = = Φ -1 (0.8944) = ) - Φ( ) = = 1.25 = 800 ) - 1 =

11 11 Fortsetzung der Illustration der Aufgabe (Bestimmung von µ) Mit Wahrscheinlichkeit beträgt das Gesamtgewicht der zehn von einem Angler gefangenen Fische zwischen 3 kg und 5 kg, wobei die Varianz ist. Wie groß ist der Mittelwert? Zu dieser Fragestellung wird auch die Umkehrfunktion der Verteilung Φ -1 benutzt. Es ist eine Anwendung, die ohne weiteres nicht gelingt: P(3000 X 5000) = Φ( µ ) - Φ( µ ) = Hierfür kann nicht Symmetrie gelten, denn das hieße µ = 4000 Φ(d) - (1- Φ(d)) = 2Φ(d) - 1 = 2Φ( µ ) - 1 = Φ( µ ) = = µ = 1.25 µ = 3750, ein Widerspruch Eine zweite Anwendung: Nun sei µ unbekannt und 2 = Außerdem weiß man, daß P(X > 5000) = Wie groß ist der Mittelwert? P(X > 5000) = 1 - Φ( µ ) = Φ( µ ) = µ Φ -1 (0.1587) = - 1 = -1 µ = 6000

12 12 Das Aufschlagen der Tafelwerte aus den Tabellen auf Seiten geschieht nach folgendem Muster, das für zwei Werte illustriert wird. Das Aufschlagen aus der Φ Tabelle Φ(x) = führt zu x = 2.303, (Ablesen aus dem Inneren der Tabelle ) bzw. umgekehrt x = führt zu Φ(x) = (Ablesen vom Rand der Tabelle ). Φ(x) = Φ(2.303) Das Aufschlagen aus der Φ 1 Tabelle x = , führt zu Φ(x) = 0.916, (Ablesen aus dem Inneren der Tabelle ) bzw. umgekehrt Φ(x) = führt zu x = (Ablesen vom Rand der Tabelle ). Φ 1 (x) = Φ 1 (1.3787)

13 13 6 Explizite Bestimmung von Quantilen für stetige parametrische Verteilungen Das Aufschlagen eines beliebigen Quantils für die Normalverteilung geschieht aus der Tafel. Es ist ein einfaches Verfahren, aber dennoch eine Hilfskonkonstruktion, wie der Vergleich zum Bestimmen eines Quantils für andere stetige parametrische Verteilungen zeigt. In vielen anderen stetigen parametrischen Verteilungen kann nämlich das zu einem Wert α zugehörige x α unmittelbar, ohne jede Tafel, durch Rechnung explizit bestimmt werden. Hierzu werden einige Beispiele vorgeführt. Die Parameter a und b sind geeignet gewählte Konstanten, f und F Dichte und Verteilung und q das Quantil. Verteilung f(x) und F(x) x = F-1(α) = x α =q, 0 α 1 1.Gleichverteilung 2.Exponential- Verteilung 3.Weibull- Verteilung f(x) = 1 b a, F(x) = x a b a, a x b f(x) = 1 b e x b, F(x) = 1 - e - x b, 0 x f(x) = a b a xa-1 e x b a, F(x) = 1 - e x b a, 0 x q = a + (b - a). α, a b q = - b. ln(1 - α) 4.Beta-Verteilung f(x) = a. x a-1, F(x) = x a, 0 x 1 q = α 1/a q = b. (-ln(1 - α)) 1/a 5.Beta-Verteilung f(x) = b(1-x) b-1, F(x) = 1 - (1-x) b, 0 x 1 q =1 - (1 - α) 1/b 6.Pareto- Verteilung 7.Cauchy 8.Logistische Verteilung f(x) = f(x) = ab a x - (a+1), F(x) = 1 - b x b f(x) = π (b 2 + (x a) 2, ) F(x) = 1 π arctan(x a b )+ 1 2, - <x< a, b x q = b (1 α) 1/a q = a + b tan(π(α - 0.5)) e (a x)/b b(1+e (a x)/b ) 2, F(x) = e (a x)/b q = a - b ln(1/α - 1) Die Bestimmung des α-quantils geschieht aus der Umkehrfunktion der Verteilung dann wie folgt: α = F(x) F-1(α) = x α ; Für die Gleichverteilung ergibt sich z.b. aus α = x a b a das Quantil x α = a + (b-a). α Für den Median: α = 0.5 für die Exponentialverteilung folgt z.b. α = 1 - e - x b e - x b = 1 - α ln(1 - α) = - x b - b. ln(1 - α) = x α - b. ln 0.5 = x α

14 14 Für gleichmäßig unterteilte Quantilswerte gibt es feste Namen, z.b. für die Zweierteilung: der Median α = 1 2, α = i, k=2, i=1,2; k die Viererteilung: die Quartile α = 1 4, 2 4 = 1 2, 3 4, 4 4 = 1, α = i, k=4, i=1,2,3,4; k die Fünferteilung: die Quintile α = 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5 = 1, α = i, k=5, i=1,2,3,4,5; k die Zehnerteilung: die Dezile α = 0.1, 0.2,, 0.8, 0.9, 1.0, α = i, k=10, i=1,2,, 9,10; k die Hunderterteilung: die Prozente α = 0.01, 0.02,, 0.98, 0.99, 1.0, α = i, k=100, i=1,2,, 99,100; usw. k 7. Einige numerische Beispiele zu Quantilen Für die Normalverteilung, die Weibull-Verteilung und die Beta-Verteilung werden einige numerische Aufschlagübungen für die Quantile vorgeführt:

15 15 1. Die Standard-Normalverteilung zum Vergleich: Verteilung: normal; Parameter: {0, 1} x: {-3, 3}; Quantile:{0.01, 0.05, 0.5, 0.75, 0.95, 0.99} Quantil x-wert Einige Aufgaben, bzw. Beispiele illustrieren das Aufschlagen: Beispiel (Normal-Quantile) Betrachten Sie die Wahrscheinlichkeit P(X<2) einer N(0,1)-verteilten Zufallsvariablen. Solch eine Wahrscheinlichkeit α ist in vielen Fragestellungen der schließenden Statistik schon vorgegeben, und man sucht eine Zahl x α, so daß gerade P(X<x α ) = α. Beispiel 1: X sei N(1,4)-verteilt. Wie groß ist x 0.5, so daß also P(X<x 0.5 ) = 0.5? Antwort: x 0.5 = 1 Eine solche Zahl x α heißt allgemein α-quantil. Für Spezialfälle gibt es noch andere Bezeichnungen, z.b. für α = 0.50 das Quantil x 0.5 Median α = 0.25 das Quantil x 0.25 α = 0.75 das Quantil x 0.75 Lösung: s.o. Beispiel 2: Berechnen Sie a) das Quantil b) das Quantil unteres Quartil oberes Quartil. einer N(1, 4)-verteilten Zufallsvariablen X. Lösung: Quantil x-wert

16 16 2. Exponential <-> Weibull-Zusammenhang: 1 Verteilung: exp; Parameter: x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, 0.75} 4 Quantil x-wert Verteilung: Weibull; Parameter: {1, 4} x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert

17 17 3. Weibull-Quantil Darstellung 1 von der Verteilung rechts zur 'x-achse' links unten einige alternative Variationen Verteilung: Weibull; Parameter: {2, 1} x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert Verteilung: Weibull; Parameter: {2, 2} x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert

18 18 Verteilung: Weibull; Parameter: {2, 3} x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert Verteilung: Weibull; Parameter: {2, 4} x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert

19 19 Verteilung: Weibull; Parameter: {2, 5} x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert /a Weibull-Quantil Darstellung 2: q = b (-Log[1 - x]) aus der inversen Funktion der Verteilung unten zur 'x-achse'(auf der Koordinate nach oben) a= 2; b= 5

20 20 4. Beta-Verteilungsfunktion F(x) = a x; 0 x 1 Verteilung: Beta; Parameter: {0.5, 1} x: {0, 1}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert Beta-Quantil Darstellung: 2 q = x (Beta-Quantil Darstellung: 1/a q ) = x aus der inversen Funktion der Verteilung unten zur 'x-achse'(auf der Koordinate nach oben)

21 21 Aufgabe (Symmetrische Intervalle um den Mittelwert) Von einer Zufallsvariablen X kennt man E(X) = var(x) = 100. Berechnen Sie P(80 X 120), wenn a) X normalverteilt, b) X stetig gleichverteilt, bzw. c) X von unbekannter Verteilung ist Hinweis 1: Für die Normalverteilung gilt E(X) = µ, var(x) = 2. Hinweis 2: Für die unbekannte Verteilung ist die Beantwortung mit den bisher verfügbaren Hilfmittel noch nicht möglich, sei hier jedoch schon als Frage vermerkt. Aufgabe X sei eine standardnormalverteilte Zufallsvariable N(0,1). Berechnen Sie, bzw. schlagen Sie auf: Lösung P(X < 0.2) P(- 1.5 X 1.5) P( X > 0.5) P( X ) P( X 2) P(X = 7) P(X < 0.2) = P(- 1.5 X 1.5) = = P( X ) = P( X 1) = = = P( X > 0.5) = = = P( X 2) = P( X 2) =! = = P(X = 7) = 0 (vgl. auch S. 10)

22 Aufgabe (kleinste und größte Intervalle) Eine Zufallsvariable X sei nach N(2,4) verteilt. Bestimmen Sie a) ein x R derart, daß gilt P(x X)=0.75 b) das kürzeste Intervall [x 1, x 2 ] derart, daß gilt P(x 1 X x 2 )=0.8. c) ein möglichst großes (möglicherweise offenes) Intervall mit P(x 1 X x 2 )=0.8. Lösung a) P(x X) = 0.75 P(X x) = 0.25 P( X aus der Tafel (s.u.) folgt: x = x = 0.65 x ) = Φ(x ) = 0.25 b) Gesucht wird P(x 1 X x 2 ) = 0.8, Symmetrie und Stetigkeit verlangen links und rechts vom gesuchten Intervall zwei gleichgroße Rest-Intervalle: P(X < x 1 ) = P(X > x 2 ) = 0.1 P(X < x 1 ) = P(X x 1 ) = 0.1 x 1-2 = x = x 1 = "Das Intervall ist symmetrisch zu µ=2", also x 2 = I = [-0.564, 4.564] c) Setze x 1 = - : P(X x 2 ) = 0.8 P( X x x 2-2 ) = 0.8 Φ( x ) = 0.8 = x 2-2 = x 2 = 3.684: I = (-, 3.684] Eine Alternative ist, die rechte Intervallgrenze auf + zu setzen. Aufgabe (kleinste und größte Intervalle) Sei X normalverteilt mit µ = 2 und 2 = 9. Bestimmen Sie ein 90% Intervall a) in beliebiger Lage, b) von möglichst kleiner Länge, c) von möglichst großer Länge. Lösung X~N(2, 9); zum Benutzen der Tafel der Standard-Normalverteilung X* ~ N(0,1) gilt x* = x µ x = x* + µ Dabei wird die Symmetrie zum Mittelwert und die Lage des Maximums der Dichte (des Modus) beachtet. Für a) und b) folgen P(x 0 X x 1 )= 0.9 P(x 0 * X* x 1 *)= 0.9 x 0 *= und x 1 *= x 1 = = , x 2 = = Für a) und c) sei das Intervall (-, x] und damit P(- < X x)= 0.9 F(x)= 0.9 Φ(x*)= 0.9 x*= x= = 5.846

23 23 8. Die halb-normale Verteilung Eine in der Wirtschaftstheorie erforderliche Modifikation ist die sog. halb-normale Verteilung. Die zugehörige Dichte ist f: (-,µ] R 2 f(x) := 2π 2 e - (x-µ) 2 2 2, x µ in der die Variable auf eine Halbachse beschränkt ist. 9. Die lognormale Verteilung Eine verwandte Verteilung ist die lognormale Verteilung. Eine Zufallsvariable X mit der Dichte f: R R 1 f(x) :=. 1 2π 2 x. e - (lnx-a) 2 2 2, x>0, 2 >0, a R heißt lognormal-verteilt mit Parametern a und 2. Diese Dichte spielt ähnlich wie die Pareto-Verteilung in Größenverteilungen eine Rolle. 10. Ein Bild der Normal-Verteilung (nach W. J. Youden, The American Statistician, April-May, 1950, p. 11, bottom, bzw. W. J. Youden, Topographical delight of a statistican, Multifunctioning graphical elements, 143) DIE N O R M A L- ODER GAUSS - VERTEILUNG IST EINES DER HERVORRAGENDSTEN ERGEBNISSE DER STATISTIK UND DER MENSCHLICHEN ERKENNTNIS ALLGEMEIN * SIE IST HEUTE EIN NAHEZU UNENTBEHRLICHER BEGRIFF FUER DIE EMPI- RISCHE FORSCHUNG IN DER NATUR- UND SOZIAL- WISSENSCHAFT, IN MEDIZIN, LANDWIRTSCHAFT UND INGENIEURWISSENSCHAFTEN * FUER DIE ANALYSE VON DATEN UND GRUNDWISSEN, DIE SICH AUS BEOBACHTUNG UND EXPERIMENT AUFBAUEN. Typische Beispiele normalverteilter Größen sind: Größe und Gewicht von Früchten, z.b. Maiskolben, Äpfel, Bananen; Größe und Gewicht von Mensch und Tier; Meßfehler; Krankheitsdauern, Fluthöhen;.

24 Weitere Aufgaben Aufgabe 1 a) Beweisen Sie für die Dichtefunktion f der N(µ, 2 )-Verteilung: 1. f ist symmetrisch um µ, d.h. x R: f(µ - x) = f(µ + x). 2. µ ist Maximalstelle von f. 3. f ist streng konvex für x (-, µ - ) (µ +, ) und streng konkav für x (µ -, µ + ). b) Berechnen Sie für eine N(µ, 2 )-verteilte Zufallsvariable X die Wahrscheinlichkeiten P(µ - k X µ + k) mit k = 1, 2, 3. c) Berechnen Sie für eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert E(X) und Varianz var(x) untere Schranken für die Wahrscheinlichkeiten P( E(X) - k. var(x) X E(X) + k. var(x) ) mit k = 1, 2, 3. Aufgabe 2 (eine bedeutsame, aber auch anspruchsvollere Frage) Die Stutzung einer Verteilung: Sei eine Zufallsvariable X beliebig über dem Intervall [a 1,b 1 ] verteilt und sei A das Ereignis, daß X auf ein Teilintervall [a 2,b 2 ], a 1 a 2, b 2 b 1 eingeschränkt sei, z.b. für die Normalverteilung N(0, 2 ) a 1 = -, b 1 = + und a 2 = -, b 2 = +. Zeigen Sie, daß, falls F(x) eine Verteilung über [a 1, b 1 ] ist, F(x A) eine Verteilung über [a 2, b 2 ] ist und F(x A) = F(x) -F(a 2 ) F(b 2 ) - F( a 2 ). 12. Die Standard-Normal-Tafeln Hierzu siehe die drei folgenden Seiten bzw. die zu der Vorlesung zugehörige Formelsammlung.

25 25 Tafel 1 Die Normalverteilung Φ(x) x x

26 26 Die Normalverteilung Φ(x) x x

27 27 Tafel 2 Die Umkehrfunktion der Normalverteilung Φ(x): Φ 1 (x) Φ(x)\ Φ(x)/