Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) Letzte Änderung 14. Juni 2000, 27 Seiten

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) Letzte Änderung 14. Juni 2000, 27 Seiten"

Transkript

1 1 Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) Letzte Änderung 14. Juni 2000, 27 Seiten 1 Definition der Normalverteilung Eine Zufallsvariable mit der Dichte f: R R 1 (x-µ) 2 f(x) = 2π 2 e- 2 2 heißt normalverteilt mit Parametern µ R, 2 R ++. Eine verbreitete Kurzschreibweise für diese Universalverteilung der Normalverteilung ist N(µ, 2 ) oder N(µ, 2 ) oder N(µ,). Ob 2 oder als zweites Argument verwandt wird, ist im Regelfall aus dem Zusammenhang klar. Die Verteilung für die (0,1) Variable, d.h. N(0,1), die Standard- Normalverteilung wird wie folgt bezeichnet (die Abkürzung der Normalverteilung): Φ(x) = x - f(u) du 2 Die Gestalt der Verteilung und Dichte Eine Kurvendiskussion von f bzw. Φ (ohne eine explizit vorgeführte Integration, die in einer Vorlesung für Wirtschaftswissenschaftler ausgelassen werden darf) liefert das bekannte Bild der Glockenkurve der Normalverteilung Die Normalverteilung N(0,1)

2 2 Eine Kurvendiskussion von f(x) liefert sofort: 1. Symmetrie f ist symmetrisch um den Extremwert µ, d.h. f'(µ)= Monotonie f ist streng monoton steigend von - bis µ, und streng monoton fallend von µ bis Konkavität/Konvexität f hat zwei Wendepunkte in µ ± 4. Aus der Symmetrie von f um µ folgt die für Φ, d.h. 1 - Φ(µ - x) = Φ(µ + x) Damit ist f, eine stetige Funktion, vollständig beschrieben. Üblicherweise bezeichnet man sie als Glockenkurve der Normalverteilung. Die numerischen Werte sind aus den Tafeln auf den Seiten zu entnehmen. Für die Verteilung gibt es keinen geschlossenen Ausdruck, d.h. es existiert keine Stammfunktion F(x). Aber die entsprechenden Werte der Fläche unter obiger Kurve können numerisch gefunden werden. Deswegen ist eine Tabelle der einzige Weg, F(x) schnell verfügbar zu haben; sie wird üblicherweise mit Φ(x) bezeichnet. Ohne Beweis sei darauf hingewiesen, daß (1) E(X) = µ (2) var(x) = 2. M.a.W. die in der Spezifikation der Normaldichte auftretenden Parameter sind Erwartungswert und Varianz.

3 3 3 Variationen Die Vielfalt der Normalverteilung läßt sich schnell durch eine Folge von Parameter- Variationen zeigen 1. Zur Vielfalt der Normalverteilungen: die Variation der Varianz Die Dichten und Verteilungen zu N(0, 1), N(0, 1.69), N(0, 3.21) Ein gutes Maß für die Lage der Verteilung wird durch die Antwort zu der Frage: "Wie sehen die Dezile aus?" gegeben: Die Dezile für N(0,1): für N(0,1.69 für N(0,3.21) = Median = Mittelwert (Dezil k liefert die Wahrscheinlichkeit P[X d k ] = k. 0.1, k=1, 2,,9, 10)

4 4 2. Der Grenzfall einer nicht-zufälligen Größe: die Variation der Varianz 0 Für eine monoton sinkende Varianz schrumpft die Zufallsgröße X zu einer Konstanten, ein Grenzübergang, der später als Konsistenz bezeichnet wird (s.u. Statistik II). Die bildliche Darstellung der Normalverteilung mit 2 0, ist eine Glockenkurve, die immer nadelförmiger um µ herum wird: Die hier benutzten Varianzen, die das Phänomen bereits deutlich zeigen, sind 2 = 1.7 2, 1.3 2, 1.0, 0.7 2, bei gemeinsamen Mittelwert µ = 0

5 3. Zur Vielfalt der Normalverteilungen: die Variation des Mittelwertes Die Dichten und Verteilungen zu N(0, 1), N(-2, 1), N(2, 1) 5 Die Dezile für N(-2, 1): Median Die Dezile für N(2, 1): Median

6 4. Variation: Mischungen normal-verteilter Zufallsvariabler (Siehe z.b. J. Fan, Test of Significance based on Wavelet Thresholding and Neyman's Truncation, Journal of the American Statistical Association 1996, 682) Seien X und Y zwei voneinander unabhängig normalverteilte Zufallsvariable, dann sind (hier ohne Beweis) die folgenden Summen (Mischungen normal-verteilter Zufallsgrößen) ebenfalls normalverteilt. Sei Z:= a 1. X + a2. Y, X ~ N(µ1, 2 1 ), Y ~ N(µ 2, 2 ) dann ist Z ebenfalls normalverteilt, und zwar vom Typ: 2 2 Z ~ N( Σ a i µ i, a 2 i i 2 Σ ) i=1 i=1 für alle Mischungsverhältnisse, Mittelwerte und Varianzen. Die folgenden Graphiken zeigen zwei Anwendungen: Mischung 1 Mischung 2 6 Die durchgezogene Line bezeichnet die (0,1) Variable, die Standard-Normalverteilung.

7 5. Einige Aufschlag-Übungen zur Normalverteilung Quantile jeder Art Berücksichtigung der Symmetrie Eindeutigkeit der Tafel zum Rückrechnen des Mittelwertes bzw. der Varianz Einige Hauptfälle 1. Der Verteilungswert (Quantil) Die Bestimmung eines α%-punktes P[X ist höchstens c], c (-, + ) (die übliche Verteilung) X ~N(µ, 2 ): P(X c) = F(c) = Φ( c - µ ): X ~ N(0, 1) Illustration (Formulierung als Aufgabe) Es sei µ = 150 und 2 = a) Berechnen Sie F(µ). (F bezeichnet die Verteilungsfunktion von X.) b) Berechnen und interpretieren Sie F(150.5). zu a) P(X µ) = F(µ) = Φ( µ - µ ) = Φ(0) = zu b) P(X 150.5) = F(150.5) = Φ( ) = Φ(1) = Illustration (Formulierung als Aufgabe) Bestimmen Sie den 75%-Punkt einer normalverteilten Zufallsgröße X, für die gilt X ~ N(4000, ) Zu dieser Fragestellung wird auch die Umkehrfunktion der Verteilung Φ -1 benutzt: P(X x 0.75 ) = 0.75 = Φ( x ) = 0.75 x = x 0.75 = Φ -1 (0.75) = Der Schwanz der Verteilung P[X ist mindestens c], c (-, + ) (der Schwanz der Verteilung) P(X > c) = 1 - F(c) = 1 - Φ( c - µ ) 3. Die Punktwahrscheinlichkeit P[X ist genau c] = 0, c (-, + ) (eine Frage der Stetigkeit, Unsinn, P 0)

8 8 Illustration Aufgabe Ein Sportfischerverein veranstaltet ein Wettangeln, bei dem derjenige gewinnt, dessen erste zehn gefangenen Fische das höchste Gesamtgewicht erbringen. Aus Erfahrung weiß man, daß das Gesamtgewicht von 10 in diesem See gefangenen Fischen normalverteilt ist mit Erwartungswert µ = 4000 g. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Gesamtgewicht der von einem Angler gefangenen Fische größer als 6 kg, wenn die Varianz g2 ist? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt das Gesamtgewicht der von einem Angler gefangenen Fische genau 4000 g? c) Mit Wahrscheinlichkeit beträgt das Gesamtgewicht der zehn von einem Angler gefangenen Fische zwischen 3 kg und 5 kg. Wie groß ist die Standardabweichung? (s.u. Fall 4) Lösung: X ~ N(4000, ), d.h. µ = 4000, 2 = a) P(X > 6000) = 1 - P(X 6000) = 1 - Φ( ) = 1 - Φ(2) = Φ(-2) = b) P(X = 4000) 0 (eine für stetige Zufallsvariable unsinnige Frage) 4. Die Intervall-Wahrscheinlichkeit P[ X liegt in einem Bereich (Intervall) (c<d c,d (-, + )) ] P(c X d) = F(d) -F(c) = Φ( d - µ ) - Φ( c - µ ) (die Differenz zweier Verteilungswerte) Fortsetzung der Illustration der Aufgabe Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Gesamtgewicht der zehn von einem Angler gefangenen Fische zwischen 3 kg und 5 kg beträgt und wenn die Varianz 2 = 2 ist. Lösungsvariante 1 (µ und 2, beide Parameter, sind bekannt) P(3000 X 5000) = Φ( ) - Φ( )=Φ(1) - Φ(-1) = = Für die Lösungsvariante 2, daß beide Parameter, µ und 2, oder einer der beiden Parameter µ oder 2 nicht bekannt sind, siehe unten.

9 9 Illustration (-Intervalle) Für die Intervallbestimmung gibt es für die Normalverteilung eine bedeutsame Sonder-Anwendung: die -Intervalle P(µ X µ + ) P(µ 2 X µ + 2) P(µ 3 X µ + 3) usw. P(µ X µ + ) = F(µ + ) - F(µ ) = Φ( µ + - µ ) - Φ( µ - µ ) = Φ(1) - Φ(-1) = = /3 Regel (± eine Standardabweichung) P(µ - 2 X µ + 2) = F(µ +2) - F(µ 2) = Φ( µ µ ) - Φ( µ 2 - µ ) = Φ(2) - Φ(-2) = = = % Regel (± zwei Standardabweichungen) P(µ 3 X µ + 3) = F(µ + 3) - F(µ 3) = Φ( µ µ ) - Φ( µ 3 - µ ) = Φ(3) - Φ(-3)= = = % Regel (± drei Standardabweichungen) Die inhaltliche Bedeutung ist offensichtlich als Überschlag wichtig: Für normalverteilte Zufallsgrößen liegen 2/3 bzw. 95% bzw. so gut wie 100% der Beobachtungen innerhalb der 1- bzw. 2- bzw. 3--Schranken. Entsprechend wichtig ist die numerische Bestimmung von µ und.

10 10 5. Bestimmen der Lageparameter µ und/oder 2 Vorgabe eines Tafelwertes und eines der Lageparameter und damit Bestimmen des fehlenden Lageparameters Die folgende Kurzschreibweise heißt aus { } folgt die rechte Seite vom. Fall 1: {c, Φ( c - µ ), µ } 2 Fall 2: {c, Φ( c - µ ), 2 } µ Vorgabe zweier Tafelwerte und damit Bestimmen beider Lageparameter Fall 3: {c, Φ( c - µ ), d, Φ( d - µ ) } (µ, 2 ) Fortsetzung der Illustration der Aufgabe (Bestimmung von ) Mit Wahrscheinlichkeit beträgt das Gesamtgewicht der zehn von einem Angler gefangenen Fische zwischen 3 kg und 5 kg. Wie groß ist die Standardabweichung? P(3000 X 5000) = Φ( = Φ( - ) - Φ( ) - Φ( ) = 2Φ( ) - 1 = ) = Zu dieser Fragestellung wird die Umkehrfunktion der Verteilung Φ -1 benutzt (s.u.): gehört in diesem symmetrischen Fall zu zwei Rest-Intervallen der Größe /2 = (links in der Verteilung) und = (rechts in der Verteilung), d.h. aber Φ(c) = und Φ(d) = = 1 - Φ(c) werden gesucht. Es folgen aus der Tafel c = und d = 1.245, und damit - = , also = d.h. P(3000 X 5000) = Φ( = Φ(d) - Φ(c) =Φ(d) - (1- Φ(d)) = 2Φ(d) - 1 = 2Φ( Φ( ) = = Φ -1 (0.8944) = ) - Φ( ) = = 1.25 = 800 ) - 1 =

11 11 Fortsetzung der Illustration der Aufgabe (Bestimmung von µ) Mit Wahrscheinlichkeit beträgt das Gesamtgewicht der zehn von einem Angler gefangenen Fische zwischen 3 kg und 5 kg, wobei die Varianz ist. Wie groß ist der Mittelwert? Zu dieser Fragestellung wird auch die Umkehrfunktion der Verteilung Φ -1 benutzt. Es ist eine Anwendung, die ohne weiteres nicht gelingt: P(3000 X 5000) = Φ( µ ) - Φ( µ ) = Hierfür kann nicht Symmetrie gelten, denn das hieße µ = 4000 Φ(d) - (1- Φ(d)) = 2Φ(d) - 1 = 2Φ( µ ) - 1 = Φ( µ ) = = µ = 1.25 µ = 3750, ein Widerspruch Eine zweite Anwendung: Nun sei µ unbekannt und 2 = Außerdem weiß man, daß P(X > 5000) = Wie groß ist der Mittelwert? P(X > 5000) = 1 - Φ( µ ) = Φ( µ ) = µ Φ -1 (0.1587) = - 1 = -1 µ = 6000

12 12 Das Aufschlagen der Tafelwerte aus den Tabellen auf Seiten geschieht nach folgendem Muster, das für zwei Werte illustriert wird. Das Aufschlagen aus der Φ Tabelle Φ(x) = führt zu x = 2.303, (Ablesen aus dem Inneren der Tabelle ) bzw. umgekehrt x = führt zu Φ(x) = (Ablesen vom Rand der Tabelle ). Φ(x) = Φ(2.303) Das Aufschlagen aus der Φ 1 Tabelle x = , führt zu Φ(x) = 0.916, (Ablesen aus dem Inneren der Tabelle ) bzw. umgekehrt Φ(x) = führt zu x = (Ablesen vom Rand der Tabelle ). Φ 1 (x) = Φ 1 (1.3787)

13 13 6 Explizite Bestimmung von Quantilen für stetige parametrische Verteilungen Das Aufschlagen eines beliebigen Quantils für die Normalverteilung geschieht aus der Tafel. Es ist ein einfaches Verfahren, aber dennoch eine Hilfskonkonstruktion, wie der Vergleich zum Bestimmen eines Quantils für andere stetige parametrische Verteilungen zeigt. In vielen anderen stetigen parametrischen Verteilungen kann nämlich das zu einem Wert α zugehörige x α unmittelbar, ohne jede Tafel, durch Rechnung explizit bestimmt werden. Hierzu werden einige Beispiele vorgeführt. Die Parameter a und b sind geeignet gewählte Konstanten, f und F Dichte und Verteilung und q das Quantil. Verteilung f(x) und F(x) x = F-1(α) = x α =q, 0 α 1 1.Gleichverteilung 2.Exponential- Verteilung 3.Weibull- Verteilung f(x) = 1 b a, F(x) = x a b a, a x b f(x) = 1 b e x b, F(x) = 1 - e - x b, 0 x f(x) = a b a xa-1 e x b a, F(x) = 1 - e x b a, 0 x q = a + (b - a). α, a b q = - b. ln(1 - α) 4.Beta-Verteilung f(x) = a. x a-1, F(x) = x a, 0 x 1 q = α 1/a q = b. (-ln(1 - α)) 1/a 5.Beta-Verteilung f(x) = b(1-x) b-1, F(x) = 1 - (1-x) b, 0 x 1 q =1 - (1 - α) 1/b 6.Pareto- Verteilung 7.Cauchy 8.Logistische Verteilung f(x) = f(x) = ab a x - (a+1), F(x) = 1 - b x b f(x) = π (b 2 + (x a) 2, ) F(x) = 1 π arctan(x a b )+ 1 2, - <x< a, b x q = b (1 α) 1/a q = a + b tan(π(α - 0.5)) e (a x)/b b(1+e (a x)/b ) 2, F(x) = e (a x)/b q = a - b ln(1/α - 1) Die Bestimmung des α-quantils geschieht aus der Umkehrfunktion der Verteilung dann wie folgt: α = F(x) F-1(α) = x α ; Für die Gleichverteilung ergibt sich z.b. aus α = x a b a das Quantil x α = a + (b-a). α Für den Median: α = 0.5 für die Exponentialverteilung folgt z.b. α = 1 - e - x b e - x b = 1 - α ln(1 - α) = - x b - b. ln(1 - α) = x α - b. ln 0.5 = x α

14 14 Für gleichmäßig unterteilte Quantilswerte gibt es feste Namen, z.b. für die Zweierteilung: der Median α = 1 2, α = i, k=2, i=1,2; k die Viererteilung: die Quartile α = 1 4, 2 4 = 1 2, 3 4, 4 4 = 1, α = i, k=4, i=1,2,3,4; k die Fünferteilung: die Quintile α = 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5 = 1, α = i, k=5, i=1,2,3,4,5; k die Zehnerteilung: die Dezile α = 0.1, 0.2,, 0.8, 0.9, 1.0, α = i, k=10, i=1,2,, 9,10; k die Hunderterteilung: die Prozente α = 0.01, 0.02,, 0.98, 0.99, 1.0, α = i, k=100, i=1,2,, 99,100; usw. k 7. Einige numerische Beispiele zu Quantilen Für die Normalverteilung, die Weibull-Verteilung und die Beta-Verteilung werden einige numerische Aufschlagübungen für die Quantile vorgeführt:

15 15 1. Die Standard-Normalverteilung zum Vergleich: Verteilung: normal; Parameter: {0, 1} x: {-3, 3}; Quantile:{0.01, 0.05, 0.5, 0.75, 0.95, 0.99} Quantil x-wert Einige Aufgaben, bzw. Beispiele illustrieren das Aufschlagen: Beispiel (Normal-Quantile) Betrachten Sie die Wahrscheinlichkeit P(X<2) einer N(0,1)-verteilten Zufallsvariablen. Solch eine Wahrscheinlichkeit α ist in vielen Fragestellungen der schließenden Statistik schon vorgegeben, und man sucht eine Zahl x α, so daß gerade P(X<x α ) = α. Beispiel 1: X sei N(1,4)-verteilt. Wie groß ist x 0.5, so daß also P(X<x 0.5 ) = 0.5? Antwort: x 0.5 = 1 Eine solche Zahl x α heißt allgemein α-quantil. Für Spezialfälle gibt es noch andere Bezeichnungen, z.b. für α = 0.50 das Quantil x 0.5 Median α = 0.25 das Quantil x 0.25 α = 0.75 das Quantil x 0.75 Lösung: s.o. Beispiel 2: Berechnen Sie a) das Quantil b) das Quantil unteres Quartil oberes Quartil. einer N(1, 4)-verteilten Zufallsvariablen X. Lösung: Quantil x-wert

16 16 2. Exponential <-> Weibull-Zusammenhang: 1 Verteilung: exp; Parameter: x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, 0.75} 4 Quantil x-wert Verteilung: Weibull; Parameter: {1, 4} x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert

17 17 3. Weibull-Quantil Darstellung 1 von der Verteilung rechts zur 'x-achse' links unten einige alternative Variationen Verteilung: Weibull; Parameter: {2, 1} x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert Verteilung: Weibull; Parameter: {2, 2} x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert

18 18 Verteilung: Weibull; Parameter: {2, 3} x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert Verteilung: Weibull; Parameter: {2, 4} x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert

19 19 Verteilung: Weibull; Parameter: {2, 5} x: {0, 6}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert /a Weibull-Quantil Darstellung 2: q = b (-Log[1 - x]) aus der inversen Funktion der Verteilung unten zur 'x-achse'(auf der Koordinate nach oben) a= 2; b= 5

20 20 4. Beta-Verteilungsfunktion F(x) = a x; 0 x 1 Verteilung: Beta; Parameter: {0.5, 1} x: {0, 1}; Quantile: {0.25, 0.5, Quantil x-wert Beta-Quantil Darstellung: 2 q = x (Beta-Quantil Darstellung: 1/a q ) = x aus der inversen Funktion der Verteilung unten zur 'x-achse'(auf der Koordinate nach oben)

21 21 Aufgabe (Symmetrische Intervalle um den Mittelwert) Von einer Zufallsvariablen X kennt man E(X) = var(x) = 100. Berechnen Sie P(80 X 120), wenn a) X normalverteilt, b) X stetig gleichverteilt, bzw. c) X von unbekannter Verteilung ist Hinweis 1: Für die Normalverteilung gilt E(X) = µ, var(x) = 2. Hinweis 2: Für die unbekannte Verteilung ist die Beantwortung mit den bisher verfügbaren Hilfmittel noch nicht möglich, sei hier jedoch schon als Frage vermerkt. Aufgabe X sei eine standardnormalverteilte Zufallsvariable N(0,1). Berechnen Sie, bzw. schlagen Sie auf: Lösung P(X < 0.2) P(- 1.5 X 1.5) P( X > 0.5) P( X ) P( X 2) P(X = 7) P(X < 0.2) = P(- 1.5 X 1.5) = = P( X ) = P( X 1) = = = P( X > 0.5) = = = P( X 2) = P( X 2) =! = = P(X = 7) = 0 (vgl. auch S. 10)

22 Aufgabe (kleinste und größte Intervalle) Eine Zufallsvariable X sei nach N(2,4) verteilt. Bestimmen Sie a) ein x R derart, daß gilt P(x X)=0.75 b) das kürzeste Intervall [x 1, x 2 ] derart, daß gilt P(x 1 X x 2 )=0.8. c) ein möglichst großes (möglicherweise offenes) Intervall mit P(x 1 X x 2 )=0.8. Lösung a) P(x X) = 0.75 P(X x) = 0.25 P( X aus der Tafel (s.u.) folgt: x = x = 0.65 x ) = Φ(x ) = 0.25 b) Gesucht wird P(x 1 X x 2 ) = 0.8, Symmetrie und Stetigkeit verlangen links und rechts vom gesuchten Intervall zwei gleichgroße Rest-Intervalle: P(X < x 1 ) = P(X > x 2 ) = 0.1 P(X < x 1 ) = P(X x 1 ) = 0.1 x 1-2 = x = x 1 = "Das Intervall ist symmetrisch zu µ=2", also x 2 = I = [-0.564, 4.564] c) Setze x 1 = - : P(X x 2 ) = 0.8 P( X x x 2-2 ) = 0.8 Φ( x ) = 0.8 = x 2-2 = x 2 = 3.684: I = (-, 3.684] Eine Alternative ist, die rechte Intervallgrenze auf + zu setzen. Aufgabe (kleinste und größte Intervalle) Sei X normalverteilt mit µ = 2 und 2 = 9. Bestimmen Sie ein 90% Intervall a) in beliebiger Lage, b) von möglichst kleiner Länge, c) von möglichst großer Länge. Lösung X~N(2, 9); zum Benutzen der Tafel der Standard-Normalverteilung X* ~ N(0,1) gilt x* = x µ x = x* + µ Dabei wird die Symmetrie zum Mittelwert und die Lage des Maximums der Dichte (des Modus) beachtet. Für a) und b) folgen P(x 0 X x 1 )= 0.9 P(x 0 * X* x 1 *)= 0.9 x 0 *= und x 1 *= x 1 = = , x 2 = = Für a) und c) sei das Intervall (-, x] und damit P(- < X x)= 0.9 F(x)= 0.9 Φ(x*)= 0.9 x*= x= = 5.846

23 23 8. Die halb-normale Verteilung Eine in der Wirtschaftstheorie erforderliche Modifikation ist die sog. halb-normale Verteilung. Die zugehörige Dichte ist f: (-,µ] R 2 f(x) := 2π 2 e - (x-µ) 2 2 2, x µ in der die Variable auf eine Halbachse beschränkt ist. 9. Die lognormale Verteilung Eine verwandte Verteilung ist die lognormale Verteilung. Eine Zufallsvariable X mit der Dichte f: R R 1 f(x) :=. 1 2π 2 x. e - (lnx-a) 2 2 2, x>0, 2 >0, a R heißt lognormal-verteilt mit Parametern a und 2. Diese Dichte spielt ähnlich wie die Pareto-Verteilung in Größenverteilungen eine Rolle. 10. Ein Bild der Normal-Verteilung (nach W. J. Youden, The American Statistician, April-May, 1950, p. 11, bottom, bzw. W. J. Youden, Topographical delight of a statistican, Multifunctioning graphical elements, 143) DIE N O R M A L- ODER GAUSS - VERTEILUNG IST EINES DER HERVORRAGENDSTEN ERGEBNISSE DER STATISTIK UND DER MENSCHLICHEN ERKENNTNIS ALLGEMEIN * SIE IST HEUTE EIN NAHEZU UNENTBEHRLICHER BEGRIFF FUER DIE EMPI- RISCHE FORSCHUNG IN DER NATUR- UND SOZIAL- WISSENSCHAFT, IN MEDIZIN, LANDWIRTSCHAFT UND INGENIEURWISSENSCHAFTEN * FUER DIE ANALYSE VON DATEN UND GRUNDWISSEN, DIE SICH AUS BEOBACHTUNG UND EXPERIMENT AUFBAUEN. Typische Beispiele normalverteilter Größen sind: Größe und Gewicht von Früchten, z.b. Maiskolben, Äpfel, Bananen; Größe und Gewicht von Mensch und Tier; Meßfehler; Krankheitsdauern, Fluthöhen;.

24 Weitere Aufgaben Aufgabe 1 a) Beweisen Sie für die Dichtefunktion f der N(µ, 2 )-Verteilung: 1. f ist symmetrisch um µ, d.h. x R: f(µ - x) = f(µ + x). 2. µ ist Maximalstelle von f. 3. f ist streng konvex für x (-, µ - ) (µ +, ) und streng konkav für x (µ -, µ + ). b) Berechnen Sie für eine N(µ, 2 )-verteilte Zufallsvariable X die Wahrscheinlichkeiten P(µ - k X µ + k) mit k = 1, 2, 3. c) Berechnen Sie für eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert E(X) und Varianz var(x) untere Schranken für die Wahrscheinlichkeiten P( E(X) - k. var(x) X E(X) + k. var(x) ) mit k = 1, 2, 3. Aufgabe 2 (eine bedeutsame, aber auch anspruchsvollere Frage) Die Stutzung einer Verteilung: Sei eine Zufallsvariable X beliebig über dem Intervall [a 1,b 1 ] verteilt und sei A das Ereignis, daß X auf ein Teilintervall [a 2,b 2 ], a 1 a 2, b 2 b 1 eingeschränkt sei, z.b. für die Normalverteilung N(0, 2 ) a 1 = -, b 1 = + und a 2 = -, b 2 = +. Zeigen Sie, daß, falls F(x) eine Verteilung über [a 1, b 1 ] ist, F(x A) eine Verteilung über [a 2, b 2 ] ist und F(x A) = F(x) -F(a 2 ) F(b 2 ) - F( a 2 ). 12. Die Standard-Normal-Tafeln Hierzu siehe die drei folgenden Seiten bzw. die zu der Vorlesung zugehörige Formelsammlung.

25 25 Tafel 1 Die Normalverteilung Φ(x) x x

26 26 Die Normalverteilung Φ(x) x x

27 27 Tafel 2 Die Umkehrfunktion der Normalverteilung Φ(x): Φ 1 (x) Φ(x)\ Φ(x)/

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.77: Normalverteilung & Standardnormalverteilung Es sei µ R und 0 < σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt

Mehr

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie

Mehr

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch 6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt. 0.2 6

Mehr

825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170 e 500 e 443 e 608 e. Zeichnen Sie das Box-Plot. Sind in dieser Stichprobe Ausreißer vorhanden?

825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170 e 500 e 443 e 608 e. Zeichnen Sie das Box-Plot. Sind in dieser Stichprobe Ausreißer vorhanden? 1. Aufgabe: Eine Bank will die jährliche Sparleistung eines bestimmten Kundenkreises untersuchen. Eine Stichprobe von 12 Kunden ergab folgende Werte: 825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170

Mehr

5. Spezielle stetige Verteilungen

5. Spezielle stetige Verteilungen 5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für

Mehr

Standardnormalverteilung

Standardnormalverteilung Standardnormalverteilung 1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben 1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß 1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet alternative

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Stetige Zufalls-Variable Erweitert man den Begriff der diskreten Zufallsvariable

Mehr

Sigma-Umgebung. Vergleichen wir die beiden Binomialverteilungen: n = 30 p = 0,5. n = 20 p = 0,75

Sigma-Umgebung. Vergleichen wir die beiden Binomialverteilungen: n = 30 p = 0,5. n = 20 p = 0,75 Sigma-Umgebung Vergleichen wir die beiden Binomialverteilungen: n = 30 p = 0,5 0,2 (z.b. 30-maliges Werfen einer Münze, X Anzahl von Zahl ) 5 10 15 20 n = 20 p = 0,75 0,2 5 10 15 20 Der Erwartungswert

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind:

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind: Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

Bestimmte Zufallsvariablen sind von Natur aus normalverteilt. - naturwissenschaftliche Variablen: originär z.b. Intelligenz, Körpergröße, Messfehler

Bestimmte Zufallsvariablen sind von Natur aus normalverteilt. - naturwissenschaftliche Variablen: originär z.b. Intelligenz, Körpergröße, Messfehler 6.6 Normalverteilung Die Normalverteilung kann als das wichtigste Verteilungsmodell der Statistik angesehen werden. Sie wird nach ihrem Entdecker auch Gaußsche Glockenkurve genannt. Die herausragende Stellung

Mehr

Kenngrößen von Zufallsvariablen

Kenngrößen von Zufallsvariablen Kenngrößen von Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch die sogenannten Kenngrößen beschrieben werden, sie charakterisieren sozusagen die Verteilung. Der Erwartungswert Der Erwartungswert

Mehr

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion Kapitel 1 Stetige Zufallsvariablen 1.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig

Mehr

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern.

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. Aufgabe 1 (2 + 1 + 2 + 2 Punkte) Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. a) Wieviele Möglichkeiten hat

Mehr

Kapitel VII. Einige spezielle stetige Verteilungen

Kapitel VII. Einige spezielle stetige Verteilungen Kapitel VII Einige spezielle stetige Verteilungen D. 7.. (Normalverteilung) Eine stetige Zufallsgröße X sei als normalverteilt bezeichnet, wenn sie folgende Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt: µ f ( ; µ,

Mehr

Inferenzstatistik (=schließende Statistik)

Inferenzstatistik (=schließende Statistik) Inferenzstatistik (=schließende Statistik) Grundproblem der Inferenzstatistik: Wie kann man von einer Stichprobe einen gültigen Schluß auf di Grundgesamtheit ziehen Bzw.: Wie groß sind die Fehler, die

Mehr

Arbeitsblatt 27: Normalverteilung Kerzen

Arbeitsblatt 27: Normalverteilung Kerzen Erläuterungen und Aufgaben Zeichenerklärung: [ ] - Drücke die entsprechende Taste des Graphikrechners! [ ] S - Drücke erst die Taste [SHIFT] und dann die entsprechende Taste! [ ] A - Drücke erst die Taste

Mehr

Beispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung)

Beispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung) Beispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung) Aufgabe (Anwendung der Chebyshev-Ungleichung) Sei X eine Zufallsvariable mit E(X) = µ und var(x) = σ a) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß

Mehr

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen 12.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig

Mehr

Normalverteilung und Dichtefunktionen

Normalverteilung und Dichtefunktionen Normalverteilung und Dichtefunktionen Ac Einführung der Normalverteilung als Approximationsfunktion der Binomialverteilung Da die Binomialverteilung für große n das Aussehen einer Glockenkurve besitzt

Mehr

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels

Mehr

Von der Normalverteilung zu z-werten und Konfidenzintervallen

Von der Normalverteilung zu z-werten und Konfidenzintervallen Von der Normalverteilung zu z-werten und Konfidenzintervallen Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH

Mehr

DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr

DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr 1.4.2 Kontinuierliche Zufallsvariablen als Grenzwerte diskreter Zufallsvariablen Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable. Wir können aus X leicht eine diskrete Zufallsvariable konstruieren, indem wir

Mehr

70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen

70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen 70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen 70. Motivation Zufallsvariablen sind nicht immer diskret, sie können oft auch jede beliebige reelle Zahl in einem Intervall [c, d] einnehmen. Beispiele für solche

Mehr

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen. Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen. Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung Typisierung der stetigen theoretischen Verteilungen Bibliografie:

Mehr

12 Die Normalverteilung

12 Die Normalverteilung 12 Die Normalverteilung Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Praxis, weil aufgrund des sogenannten zentralen Grenzwertsatzes in vielen Situationen angenommen

Mehr

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) :=

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := Definition 2.34. Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := x f(x)dx der Erwartungswert von X, sofern dieses Integral existiert. Entsprechend wird die Varianz V(X)

Mehr

Stetige Standardverteilungen

Stetige Standardverteilungen Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Stetige Standardverteilungen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die stetige Gleichverteilung 2. Die Normalverteilung (a) Einstimmung (b) Standardisierung

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 1. Dezember 21 1 Integralrechnung Flächeninhalt Stammfunktion Rechenregeln 2 Dichten von Erwartungswert und Varianz

Mehr

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Markus Höchstötter Lehrstuhl

Mehr

Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9

Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9 Diskrete Zufallsgrößen Zu Aufgabe Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines Servers pro Jahr genüge folgender Verteilung: ai 0 3 4 5 6 >6 pi /0 /0 3/0 /0 /0 /0 /0 0 Ein Ausfall des Servers verursacht

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 15

Ü b u n g s b l a t t 15 Einführung in die Stochastik Sommersemester 07 Dr. Walter Oevel 2. 7. 2007 Ü b u n g s b l a t t 15 Hier ist zusätzliches Übungsmaterial zur Klausurvorbereitung quer durch die Inhalte der Vorlesung. Eine

Mehr

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Zufallsvariable Erinnerung: Merkmal, Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik:

Mehr

Eine Zufallsvariable X sei stetig gleichverteilt im Intervall [0,5]. Die Wahrscheinlichkeit P(2< x <4) ist dann

Eine Zufallsvariable X sei stetig gleichverteilt im Intervall [0,5]. Die Wahrscheinlichkeit P(2< x <4) ist dann 4. Übung Themenkomplex: Zufallsvariablen und ihre Verteilung Aufgabe 1 Für eine stetige Zufallsvariable gilt: a) P (x = t) > 0 b) P (x 1) = F (1) c) P (x = 1) = 0 d) P (x 1) = 1 F(1) e) P (x 1) = 1 F(1)

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI

Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik Anpassung von Verteilungen Zu Aufgabe ) a) Zeichnen des Histogranmmes: Um das Histogramm zu zeichnen, benötigen wir die Höhe der Balken. Die Höhe

Mehr

Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm.

Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm. Veranstaltung: Statistik für das Lehramt 16.12.2016 Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm Erwartungswert Varianz Standardabweichung Die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

Glücksrad-Aufgabe. Das Glücksrad ist in 2 Sektoren mit den Zahlen 1 (Winkel 120 ) und 2 eingeteilt.

Glücksrad-Aufgabe. Das Glücksrad ist in 2 Sektoren mit den Zahlen 1 (Winkel 120 ) und 2 eingeteilt. Glücksrad-Aufgabe Das Glücksrad ist in Sektoren mit den Zahlen (Winkel ) und eingeteilt. a) Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: A: Die

Mehr

f : x 2 x f : x 1 Exponentialfunktion zur Basis a. Für alle Exponentialfunktionen gelten die Gleichungen (1) a x a y = a x+y (2) ax a y = ax y

f : x 2 x f : x 1 Exponentialfunktion zur Basis a. Für alle Exponentialfunktionen gelten die Gleichungen (1) a x a y = a x+y (2) ax a y = ax y 5. Die natürliche Exponentialfunktion und natürliche Logarithmusfunktion ================================================================== 5.1 Die natürliche Exponentialfunktion f : x 2 x f : x 1 2 x

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilungen stetiger Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Binomialverteilung und Bernoulli- Experiment

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Binomialverteilung und Bernoulli- Experiment Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Binomialverteilung und Bernoulli- Experiment Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de TOSSNET Der persönliche

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung Wallstr. 3, 6. Stock, Raum 06-206 Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de lordsofthebortz.de lordsofthebortz.de/g+

Mehr

Zufallsvariablen. f(x) dx = 1. Die stetige Zufallsvariable X wird also durch seine Dichtefunktion beschrieben. P(c < X < d) =

Zufallsvariablen. f(x) dx = 1. Die stetige Zufallsvariable X wird also durch seine Dichtefunktion beschrieben. P(c < X < d) = Diskrete Sei X stetig auf (a,b), wobei a, b unendlich sein können, a x 0 < x 1 b P(X = x 0 ) = 0, P(x 0 < X < x 1 ) > 0 (wenn f > 0). Die Funktion f heißt Dichtefunktion (von X) falls: 1. f(x) 0, a < x

Mehr

+ 2 F2 (u) X 1 F1 (u)) Der Koeffizient der unteren Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert:

+ 2 F2 (u) X 1 F1 (u)) Der Koeffizient der unteren Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert: Tail Abhängigkeit Definition 12 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit Randverteilungen F 1 und F 2. Der Koeffizient der oberen Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert: λ U (X

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2 Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaften, Teil Zusatzblatt SS 09 Dr. J. Schürmann keine Abgabe Aufgabe : Eine Familie habe fünf Kinder. Wir nehmen an, dass die

Mehr

Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen. 0 sonst.

Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen. 0 sonst. Aufgabe 1 (2 + 4 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y : { 2x + 2y für 0.5 x 0.5, 1 y 2 f(x, y) = 3 0 sonst. a) Berechnen

Mehr

Vet. Med. Uni. Budapest 5. Übung Biomathematik 2017

Vet. Med. Uni. Budapest 5. Übung Biomathematik 2017 5. Übung (Normalverteilung) Die Normalverteilung spielt eine sehr wichtige Rolle in den Biowissenschaften, unter anderem auch in der Tiermedizin. Ihre Wichtigkeit beruht an dem sog. zentralen Grenzwertsatz.

Mehr

8. Stetige Zufallsvariablen

8. Stetige Zufallsvariablen 8. Stetige Zufallsvariablen Idee: Eine Zufallsvariable X ist stetig, falls ihr Träger eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen R ist. Beispiel: Glücksrad mit stetigem Wertebereich [0, 2π] Von Interesse

Mehr

Wahrscheinlichkeitsfunktion. Binomialverteilung. Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitshistogramme

Wahrscheinlichkeitsfunktion. Binomialverteilung. Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitshistogramme Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion Konstruktionsprinzip: Ein Zufallsexperiment wird n mal unabhängig durchgeführt. Wir interessieren uns jeweils nur, ob ein bestimmtes Ereignis A eintritt oder

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

1.3 Das Testen von Hypothesen am Beispiel des Einstichproben t-tests

1.3 Das Testen von Hypothesen am Beispiel des Einstichproben t-tests 1.3 Das Testen von Hypothesen am Beispiel des Einstichproben t-tests Statistische Tests dienen dem Testen von Vermutungen, so genannten Hypothesen, über Eigenschaften der Gesamtheit aller Daten ( Grundgesamtheit

Mehr

Fit for Abi & Study Stochastik

Fit for Abi & Study Stochastik Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung

Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung HSR Hochschule für Technik Rapperswil Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung beinhaltet Teile des Skripts von Herrn Hardy von Lukas Wilhelm lwilhelm.net 12. Januar 2007 Inhaltsverzeichnis 1

Mehr

Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert

Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert Beispiel für Konfidenzintervall Im Prinzip haben wir

Mehr

Messung von Rendite und Risiko. Finanzwirtschaft I 5. Semester

Messung von Rendite und Risiko. Finanzwirtschaft I 5. Semester Messung von Rendite und Risiko Finanzwirtschaft I 5. Semester 1 Messung von Renditen Ergebnis der Anwendung der Internen Zinsfuß- Methode ist die Rentabilität des Projekts. Beispiel: A0-100.000 ZÜ1 54.000

Mehr

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Zufallsvariablen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführung 2. Zufallsvariablen 3. Diskrete Zufallsvariablen 4. Stetige Zufallsvariablen 5. Erwartungswert

Mehr

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Einführung Stetige Verteilungen

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Einführung Stetige Verteilungen Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Einführung Stetige Verteilungen Stetige Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung Bibliografie: Prof. Dr. Kück Universität Rostock

Mehr

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Ü1.1 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren numerischer Wert solange unbekannt ist, bis er beobachtet wird. Der Wert einer Zufallsvariable

Mehr

9 Die Normalverteilung

9 Die Normalverteilung 9 Die Normalverteilung Dichte: f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2, µ R,σ > 0 9.1 Standard-Normalverteilung µ = 0, σ 2 = 1 ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 Dichte Φ(x) = 1 x 2π e t2 /2 dt Verteilungsfunktion 331 W.Kössler,

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 6 Bedingte

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5. Vorlesung Verteilungsfunktion (VF) Definition 9 Die Verteilungsfunktion (VF) einer Zufallsgröße X ist F : R R definiert als F (x) := P({ω Ω : X (ω) x}) = P( X x ) für jedes x R. Satz 9 - Eigenschaften

Mehr

Beziehungen zwischen Verteilungen

Beziehungen zwischen Verteilungen Kapitel 5 Beziehungen zwischen Verteilungen In diesem Kapitel wollen wir Beziehungen zwischen Verteilungen betrachten, die wir z.t. schon bei den einzelnen Verteilungen betrachtet haben. So wissen Sie

Mehr

Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung

Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung Wolfgang König (WIAS und TU Berlin) Mohrenstraße 39 10117 Berlin Tel. 030 20372 0 www.wias-berlin.de

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 24. November 2010 1 Stetige Verteilungen Normalapproximation Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalapproximation

Mehr

6. Schätzverfahren für Parameter

6. Schätzverfahren für Parameter 6. Schätzverfahren für Parameter Ausgangssituation: Ein interessierender Zufallsvorgang werde durch die ZV X repräsentiert X habe eine unbekannte Verteilungsfunktion F X (x) Wir interessieren uns für einen

Mehr

Biostatistik, Winter 2011/12

Biostatistik, Winter 2011/12 Biostatistik, Winter 2011/12 Wahrscheinlichkeitstheorie:, Kenngrößen Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 7. Vorlesung: 09.12.2011 1/58 Inhalt 1 2 Kenngrößen von Lagemaße 2/58 mit Dichte Normalverteilung

Mehr

STETIGE VERTEILUNGEN

STETIGE VERTEILUNGEN STETIGE VERTEILUNGEN. Die Näherungsformel von Moivre Laplace Betrachtet man die Binomialverteilungen Bnp für wachsendes n bei konstantem p, so werden die Histogramme einer binomialverteilten Zufallsvariablen

Mehr

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 203/4 Blatt 20.0.204 Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag 4. a) Für a R betrachten wir die Funktion

Mehr

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 5.05.0 Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen Wird ein Bernoulli- Versuch, bei

Mehr

Übungen zur Vorlesung Statistische Methoden Kapitel 1-2

Übungen zur Vorlesung Statistische Methoden Kapitel 1-2 TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND Sommersemester 2011 FAKULTÄT STATISTIK Dr. M. Arnold Dipl.-Stat. R. Walter Übungen zur Vorlesung Statistische Methoden Kapitel 1-2 Aufgabe 1: Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable

Mehr

Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen. 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen

Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen. 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen Biometrieübung 5 (Spezielle Verteilungen) - Aufgabe Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen Aufgabe 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen Anzahl weiblicher Mäuse (k) Anzahl Würfe

Mehr

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a

Mehr

Bachelor BEE Statistik Übung: Blatt 1 Ostfalia - Hochschule für angewandte Wissenschaften Fakultät Versorgungstechnik Aufgabe (1.1): Gegeben sei die folgende Messreihe: Nr. ph-werte 1-10 6.4 6.3 6.7 6.5

Mehr

1 Dichte- und Verteilungsfunktion

1 Dichte- und Verteilungsfunktion Tutorium Yannick Schrör Klausurvorbereitungsaufgaben Statistik Lösungen Yannick.Schroer@rub.de 9.2.26 ID /455 Dichte- und Verteilungsfunktion Ein tüchtiger Professor lässt jährlich 2 Bücher drucken. Die

Mehr

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsraume

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsraume Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsraume 1. Einfuhrung 1.1 Motivation Interpretation der Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung. DWT 1.1 Motivation 195/460 Beispiel 78 Wir betrachten

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen Georg Bol georg.bol@statistik.uni-karlsruhe.de Markus Höchstötter hoechstoetter@statistik.uni-karlsruhe.de Stetige Verteilungen Definition: Sei

Mehr

1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)?

1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)? 1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)? Als Wahrscheinlichkeit verwenden wir ein Maß, welches die gleichen Eigenschaften wie die relative Häufigkeit h n () besitzt, aber nicht zufallsbehaftet ist. Jan

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Gaußsche Normalverteilung [7] S.77 [6] S.7 ORIGIN µ : Mittelwert σ : Streuung :, 9.. Zufallsvariable, Zufallsgröße oder stochastische

Mehr

Einführung in Quantitative Methoden

Einführung in Quantitative Methoden Einführung in Quantitative Methoden Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides 11. Mai 2011 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 1/40 Poisson-Verteilung Diese Verteilung

Mehr

Chi-Quadrat-Verteilung

Chi-Quadrat-Verteilung Chi-Quadrat-Verteilung Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/chi-quadrat-verteilung 1 von 7 6/18/2009 6:13 PM Chi-Quadrat-Verteilung aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Die Chi-Quadrat-Verteilung ist

Mehr

Philipp Sibbertsen Hartmut Lehne. Statistik. Einführung für Wirtschafts- und. Sozialwissenschaftler. 2., überarbeitete Auflage. 4^ Springer Gabler

Philipp Sibbertsen Hartmut Lehne. Statistik. Einführung für Wirtschafts- und. Sozialwissenschaftler. 2., überarbeitete Auflage. 4^ Springer Gabler Philipp Sibbertsen Hartmut Lehne Statistik Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler 2., überarbeitete Auflage 4^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Teil I Deskriptive Statistik 1 Einführung

Mehr

4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen

4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen 4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen Allgemeine Problemstellung: Gegeben sei die gemeinsame Verteilung der ZV en X 1,..., X n (d.h. bekannt seien f X1,...,X n bzw. F X1,...,X n ) Wir betrachten

Mehr

Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften

Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Stetige und diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Lageparameter Streuungsparameter Diskrete und stetige Zufallsvariablen Eine Variable (oder Merkmal

Mehr

Zufallsvariablen: Die allgemeine Definition

Zufallsvariablen: Die allgemeine Definition KAPITEL 8 Zufallsvariablen: Die allgemeine Definition 8.1. Zufallsvariablen Bis zu diesem Zeitpunkt haben wir ausschließlich Zufallsvariablen mit endlich oder abzählbar vielen Werten (also diskrete Zufallsvariablen)

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

Wirtschaftsstatistik Normalverteilung

Wirtschaftsstatistik Normalverteilung Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 1, Tel 39 14 jutta.arrenberg@fh-koeln.de Wirtschaftsstatistik Normalverteilung Aufgabe 10.1 Die Lebensdauer

Mehr

2.3 Intervallschätzung

2.3 Intervallschätzung 2.3.1 Motivation und Hinführung Bsp. 2.11. [Wahlumfrage] Der wahre Anteil der rot-grün Wähler 2009 war genau 33.7%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Zufallsstichprobe von 1000 Personen genau

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Lageparameter: Erwartungswert d) Erwartungswert

Mehr

Das Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern.

Das Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern. 10. Stetige Zufallsvariable, Normalverteilung 55 Die in den folgenden Beispielen dargestellten Verteilungen haben ungefähr Glockenform. Sie können durch die sogenannte Normalverteilung oder Gaussverteilung

Mehr

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f.

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f. Stetige Funktionen Abbildungen f : X Y, wobei X und Y strukturierte Mengen sind (wie z.b. Vektorräume oder metrische Räume), spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik. In der Analysis sind Abbildungen

Mehr

Exponentialfunktion, Logarithmus

Exponentialfunktion, Logarithmus Exponentialfunktion, Logarithmus. Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0 Bei Exponentialfunktionen ist die Basis konstant und der Exponent variabel... Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0. Sei

Mehr

Statistik für Informatiker, SS Verteilungen mit Dichte

Statistik für Informatiker, SS Verteilungen mit Dichte 1/39 Statistik für Informatiker, SS 2017 1.1.6 Verteilungen mit Dichte Matthias Birkner http://www.staff.uni-mainz.de/birkner/statinfo17/ 17.5.2017 Zufallsvariablen mit Dichten sind ein kontinuierliches

Mehr

KATA LOGO Mathematik Statistik Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Beispiele

KATA LOGO Mathematik Statistik Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Beispiele KATA LOGO Mathematik Statistik Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Beispiele Verteilungen Problemstellung Ergebnisraum Ω Stichprobe (n aus N) mehrfaches Auswählen = wiederholen Formel für P Erwartungswert

Mehr

Konfidenzintervall für den Anteilswert θ. Konfidenzintervalle. Jost Reinecke. Universität Bielefeld. 13. Juni 2005

Konfidenzintervall für den Anteilswert θ. Konfidenzintervalle. Jost Reinecke. Universität Bielefeld. 13. Juni 2005 Universität Bielefeld 13. Juni 2005 Einführung Einführung Wie kann die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Parameter einer Stichprobe dazu verhelfen auf die wahren Werte der Grundgesamtheit

Mehr

Formelsammlung: Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

Formelsammlung: Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Formelsammlung: Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 1: Deskriptive und explorative Statistik Empirische Verteilungsfkt (S15): Quantile (S24): Bei Typ7 1.Pkt = 0 Danach 1/(n-1) Median (S24):

Mehr