303 Statistik. 1. Aufgaben. 2. Grundlagen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "303 Statistik. 1. Aufgaben. 2. Grundlagen"

Transkript

1 303 Statistik 1. Aufgaben 1.1 Dokumentieren Sie mit Hilfe eines Würfel-Simulationsprogrammes, wie aus einer gleichverteilten Zufallsgröße durch Mittelwertbildung eine Normalverteilung entsteht. Bestätigen Sie die Richtigkeit des Zusammenhangs s x = s / n! 1.2 Messen Sie die Zählrate (Impulse pro Zeiteinheit) der natürlichen, ständig vorhandenen Radioaktivität! Untersuchen Sie die dabei entstehende Verteilung! 2. Grundlagen Stichworte: Basiswissen: arithmetisches Mittel, Standardabweichung, Varianz, Grundgesamtheit, Stichprobe, Normalverteilung, Zentraler Grenzwertsatz der Statistik, Vertrauensbereich, Histogramm Weiterführend: Poisson-Verteilung, t-parameter 2.1 Statistik in Wissenschaft und Natur Bei wissenschaftlichen Messaufgaben ist es zur Erhöhung der Auswertegenauigkeit oft sinnvoll, mehrfach zu messen. Es existiert hier zwar ein durch den physikalischen Zusammenhang vorgegebener wahrer Wert, aber aufgrund unvermeidlicher zufälliger Fehler misst man bei mehrmaliger Wiederholung derselben Messung meist unterschiedliche Werte. Welcher davon der richtige ist, weiß man nicht, aber man versucht, durch Mittelwertbildung über viele unterschiedliche Einzelmesswerte, dem wahren Wert möglichst nahe zu kommen. Treten bei der Messung keine systematischen Fehler auf, so kann das arithmetische Mittel der Messwerte als beste Schätzung für den tatsächlichen Wert angenommen werden. Auch in der Natur existieren zufällige (statistische) Größen. Ein Beispiel dafür ist die ständig vorhandene natürliche Radioaktivität, experimentell bestimmbar als die Zählrate (Impulse pro Zeiteinheit) der von einem geeigneten Detektor registrierten γ-quanten. Hier gibt es keinen wahren Wert, von Interesse ist aber z.b. der häufigste Wert (Maximum der Verteilungskurve) oder auch der durchschnittliche Wert (arithmetisches Mittel). Weitere Beispiele finden wir bei diversen Glücksspielen. Beim Würfeln kommen im Falle eines ideal gebauten Würfels und einer großen Zahl von Würfen alle Zahlen von 1 bis 6 gleich oft vor. Es entsteht eine Gleich- (bzw. Rechteck-) Verteilung (vgl. Bild 1a). 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 1 von 10 10/14

2 Voraussetzung für eine sinnvolle statistische Auswertung ist immer das Vorhandensein einer hinreichend großen Anzahl von Einzelmesswerten, d.h. einer genügend großen Stichprobe. Prinzipiell gilt, dass die Aussagekraft einer Statistik mit steigendem Stichprobenumfang wächst. Wie groß eine Messreihe gewählt werden muss, hängt von der gewünschten Ergebnisgenauigkeit der speziellen Aufgabe ab. 2.2 Vorbereitung der Auswertung statistischer Messreihen Das Ziel aller statistischen Untersuchungen besteht darin, von einer endlichen Stichprobe auf die Verhältnisse in der Grundgesamtheit zu schließen. Der erste Schritt hierzu ist, das Datenmaterial zu sichten, tabellarisch oder grafisch darzustellen und mit wenigen geeigneten Zahlen zusammenzufassen. Wenn die Messreihe nur diskrete Werte annehmen kann und nur wenige verschiedene Werte vorkommen (z.b. die natürlichen Zahlen von 1 bis 6 beim Würfeln), benutzt man zur Darstellung das Stabdiagramm. Dabei werden über den einzelnen Werten "Stäbe" aufgetragen, deren Längen den absoluten bzw. relativen Häufigkeiten der beobachteten Werte entsprechen (vgl. Bild 1a). Wenn die Messgröße stetige Werte annehmen kann oder sehr viele verschiedene Werte vorkommen (z.b. Zählrate der Radioaktivität), wählt man für die Darstellung ein Histogramm (Bild 1b). Dafür unterteilt man den Wertebereich der Messgröße in äquidistante Intervalle (Klasseneinteilung) und bestimmt für jedes Intervall die Anzahl der darin liegenden Messwerte. Das Histogramm besteht also aus Rechtecken, deren Grundseiten gleich sind und deren Höhen den absoluten bzw. relativen Häufigkeiten entsprechen. Die Beschriftung erfolgt an den Klassenmittelpunkten. Als Richtwert für die Anzahl k der Intervalle gilt k = n (n... Anzahl der Messwerte). Bild 1a) diskrete Verteilung im Stabdiagramm. 1b) Verteilung in einem Histogramm: Beispielmessvorgang: Zerfallsrate Radioaktivität. (Darstellung von Klassenmittelpunkten!) Was fängt man nun mit den gesammelten und aufbereiteten Daten an? Das hängt davon ab, welches Ziel man verfolgt. Interessiert die Art der Verteilung (Gleich, Dreieck, Gauß,...)? Oder die Lage des Maximums/der Maxima (falls vorhanden)? Oder der Mittelwert, die Breite der Verteilungskurve (Streuung bzw. Standardabweichung), die Genauigkeit der Mittelwertbestimmung usw.? Wir beginnen mit dem Mittelwert und der Standardabweichung. 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 2 von 10 10/14

3 2.3 Mittelwert, Standardabweichung, Varianz Der arithmetische Mittelwert x einer Messreihe x 1, x 2,..., x n wird nach 1 x = n berechnet. Der Mittelwert macht eine Aussage über die Lage der Verteilungkurve. n xk (1) k 1 Als ein geeignetes Maß für die Breite der Verteilung (Streuung der einzelnen Messwerte bezüglich ihres Mittelwertes) benutzt man die sogenannte Varianz s 2 (mittlere quadratische Abweichung) bzw. deren Wurzel, welche Standardabweichung s genannt wird und sich mittels s = 1 n (n 1) (x k x ) 2 k=1 (2) berechnen lässt. Im Nenner ist durch den Term (n 1) berücksichtigt, dass zur Schätzung der Standardabweichung schon ein anderer Schätzwert benutzt wird, nämlich der Mittelwert. Kennt man den wahren Wert, so wird durch n geteilt. In Statistiklehrbüchern findet man diesen Unterschied unter den Begriffen Standardabweichung der Stichprobe (n 1) bzw. Standardabweichung der Grundgesamtheit (n). Bei gängigen Softwareprodukten und modernen Taschenrechnern können meist beide Werte berechnet werden. Bei wissenschaftlichen Messreihen wird die Standardabweichung durch die Qualität der Messung bestimmt (aus dem Zusammenwirken aller Messfehler ergibt sich eine Streuung der Einzelwerte um den Mittelwert). Bei der Radioaktivitätsmessung erhält man eine sogenannte Poisson-Verteilung (s.unten). Hier ist die Standardabweichung s direkt abhängig von der Größe des Mittelwertes x (sie ist für eine hinreichend große Zahl n von Messwerten gleich der Wurzel des Mittelwertes s = x ). Für die Varianz gilt daher s 2 = x. Beim Würfeln gilt immer: s 1,71. Begründung: Für die Berechnung der Varianz kommen als Differenz (x k x ) nur die drei Beträge 0,5 = 3 3,5 = 4 3,5, 1.5 = 2 3,5 = 5 3,5 und 2.5 = 1 3,5 = 6 3,5 vor, und zwar alle gleich oft. Daraus ergibt sich (für n ) ein fester Wert, nämlich: s 2 = 1 6 ( 2 0, , ,5 2 ) 2,92. Für die Standardabweichung erhält man daraus: s = , Statistisch verteilte Messwerte Seite 3 von 10 10/14

4 2.4 Streubreite des Mittelwertes Bei physikalischen Messreihen (also auch im Praktikum) interessiert neben der Größe des Mittelwertes vor allem dessen Genauigkeit (Stichwort: Fehlerrechnung). Dazu eine Aussage zu treffen, ist nicht trivial, da man in der Regel die Messreihe nur ein Mal aufnimmt und der Mittelwert am Ende als Zahl auf dem Taschenrechner steht. Wenn man sich aber die Zeit nimmt und die Messreihe (bestehend aus jeweils n Messwerten) mehrfach wiederholt und jedes Mal den Mittelwert bildet, so sieht man, dass die entstehenden Mittelwerte nicht gleich sind, sondern ebenfalls streuen. Sie streuen aber weniger (bei genauer Betrachtung um den Faktor n weniger) als die Einzelwerte. Das liegt daran, dass sich durch die Mittelwertbildung die großen Ausreißer gegenseitig aufheben. Die Streubreite des Mittelwertes ist also: s x (3). n Im Versuch wird dieser Zusammenhang mit Hilfe des Würfel-Simulationsprogramms nachgewiesen. Durch die Aufnahme vieler Messwerte (großes n) verbessert man also nicht die Güte der Messung an sich (s ist unabhängig von n), dafür aber die Zuverlässigkeit der Schätzung von x ( x wird kleiner). Bei rein statistischen Messungen wird somit die Genauigkeit allein durch die Anzahl der Messwerte bestimmt. Bei Messungen von physikalischen Größen kann dagegen auch s beeinflusst werden (durch genaueres Messen). Die Größe x = s/ n kann man als den Fehler (die Messgenauigkeit) des statistisch gefundenen besten Schätzwertes x betrachten. Genau genommen gilt dieser sogenannte Standardfehler aber nur in ca. zwei Drittel aller Fälle, denn er ist eigentlich nur der Vertrauensbereich für die statistische Sicherheit von 68%. Zum Verständnis dessen müssen wir jetzt noch die Normalverteilung und den Zentralen Grenzwertsatz mit ins Spiel bringen. 2.5 Gaußsche Normalverteilung Die Normal- oder Gaußverteilung ist die bekannteste und wichtigste statistische Verteilung (vgl. Bild 2). Das liegt zum einen daran, dass sie als mathematische Funktion analytisch einfacher zu handhaben ist als diskrete Zusammenhänge wie Zählraten und Ziffern und daher schon aus praktischen Gründen oft das Ziel verfolgt wird, eine gegebene Verteilung nach Möglichkeit durch eine Normalverteilung anzunähern. Ihre herausragende Bedeutung erhält die Gauß-Verteilung aber durch die Gültigkeit des Zentralen Grenzwertsatzes (vgl. Abschnitt 2.6). Denn dadurch kann sie tatsächlich bei vielen Messungen in Naturwissenschaft und Technik als die Fehlerverteilung schlechthin betrachtet werden. Sie entsteht immer dann, wenn sich viele unabhängige Zufallsgrößen aufsummieren, 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 4 von 10 10/14

5 was in der Praxis häufig der Fall ist, aber (Vorsicht!) im konkreten Fall ggf. auch erstmal nachgewiesen werden muss (nicht alles ist gaußverteilt). Bild 2: Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung w(x) der Gaußschen Glockenkurve. Bei der Gauß-Verteilung liegen ca. 68% aller Werte im Intervall μ σ ( 1σ-Bereich) um den Mittelwert μ, ca. 95% im Intervall μ σ ( 2σ-Bereich), ca. 99.7% im Intervall μ σ ( 3σ-Bereich) usw. Die Gleichung der Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung w(x) lautet: 1 wx ( ) = e σ 2 1 x µ 2 2 (4). Hinweis: Bei theoretischen Verteilungen verwendet man für Mittelwert und Standardabweichung meist die Variablen μ und σ, bei praktischen Messaufgaben dagegen x und s. Experiment (Stichprobe) x s Theorie (Grundgesamtheit) μ σ 2.6 Zentraler Grenzwertsatz der Statistik Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass Summen von jeweils n Zufallszahlen, die derselben Grundgesamtheit entnommen werden, für große n eine Normalverteilung bilden, unabhängig davon, wie die einzelnen Zufallszahlen selber verteilt sind. 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 5 von 10 10/14

6 Das liegt vereinfacht gesagt daran, dass sich beim Aufsummieren die Ausreißer (nach oben und unten) gegenseitig kompensieren und somit eine Häufung hin zu mittleren Werten bevorzugt wird. Je größer die Anzahl n der Summanden, desto deutlicher ist dieser Effekt. Teilt man eine Summe durch die Anzahl ihrer Summanden n, so erhält man das arithmetische Mittel. Damit kann der Satz in gleicher Weise auch für die Mittelwerte formuliert werden: Die Mittelwerte x von Stichproben, bestehend aus jeweils n Zufallszahlen xk einer beliebiger Ausgangsverteilung, sind immer normalverteilt. Dabei ist der Mittelwert dieser Verteilung derselbe wie der von x k, nämlich x, während die 2 Varianz s x um den Faktor n kleiner ist als die Varianz s 2 der Ausgangsverteilung. Für die Standardabweichung s x der Mittelwert-Verteilung gilt daher: s x s (5). n Das ist derselbe Ausdruck wie Gl.3 in Abschnitt 2.4. Die Standardabweichung s x der Verteilung aller Mittelwerte nach dem Zentralen Grenzwertsatz entspricht also unserer Streuung Δ x der Mittelwerte, welche damit als die Breite eines 1σ-Intervalls einer Normalverteilung gedeutet werden kann. Da nur rund 68% aller Werte im 1σ-Intervall liegen, kann die Fehlerangabe ± (s/ n) auch nur für 68% aller Fälle garantiert werden (in ca. 1/3 der Fälle könnte der Fehler größer sein). Wenn die Fehlerangabe auf das Doppelte, also ± 2 (s/ n) erhöht wird, erhält man eine 95%- ige statistische Sicherheit, mit ± 3 (s/ n) werden es 99.7% usw. 2.7 Der t-parameter Da in der Statistik keine 100%-igen Aussagen möglich sind, geht es immer darum, unter Berücksichtigung der gewünschten bzw. geforderten statistischen Sicherheit den zugehörigen Vertrauensbereich ( x = t s / n) des Ergebnisses x anzugeben. Die Zahl t (der sogenannte t-parameter ) kommt von der Student- oder t-verteilung und kann ganzzahlig (1, 2, 3, ) oder beliebig krumm sein. Er hängt außer von der Statistischen Sicherheit bzw. der Irrtumswahrscheinlichkeit α = (1 p) auch vom Stichprobenumfang ab und kann Tabellen entnommen werden. Tab. 1: Parameter t in Anhängigkeit von der Wahrscheinlichkeit p und der Stichprobengrösse n p n = 5 n = 10 n = 20 n = 50 n = % % % Statistisch verteilte Messwerte Seite 6 von 10 10/14

7 3. Versuchsdurchführung 3.1 Würfelsimulation Programmbeschreibung Das Programm simuliert einen idealen Würfel, bei dem die möglichen Ziffern 1 bis 6 im statistischen Mittel alle mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten. Im Einzel-Modus ( Einzelner Durchlauf ) sind Messreihen beginnend beim Einzelwurf bis zu einer maximalen Zahl (Anzahl der Würfe n) von etwa möglich. Es wird die Häufigkeitsverteilung der Ziffern 1 bis 6 als Balken- bzw. Stabdiagramm dargestellt, sowie der Mittelwert und die Varianz bzw. Standardabweichung der Verteilung berechnet. Dasselbe kann anstatt mit nur einem Würfel auch für die Augensumme bei gleichzeitigem Werfen mit 2, 3, 5 oder 10 Würfeln durchgeführt werden. Im Automatischen Modus wird das Nacheinander-Ausführen mehrerer gleichartiger Messreihen simuliert (m Durchläufe zu je n Würfen, m 1000). Das Programm berechnet für jeden Durchlauf den Mittelwert. Die Verteilung aller Mittelwerte wird als Histogramm dargestellt. Der Mittelwert und die Varianz bzw. Standardabweichung dieser Verteilung werden berechnet. Zur Erstellung des Histogramms müssen die Mittelwerte in Klassen eingeordnet werden. Deren Anzahl sowie der Klassenmittelpunkt der untersten und der obersten Klasse müssen vorgegeben werden. Der Rest erfolgt automatisch Aufgaben Testen Sie das Programm, d.h. würfeln Sie einzeln mit einem Würfel! Erhöhen Sie die Zahl der Würfe langsam bis zum Maximum und beobachten Sie die Veränderungen in der Form der Verteilung sowie bei den ausgegebenen Werten (speziell Mittelwert und Standardabweichnung)! Notieren Sie x und s für die nahezu ideale (n ) Gleichverteilung! Stellen Sie im Einzelmodus die Zahl n der Würfe auf 100, führen Sie mehrere Messreihen hintereinander durch und beobachten Sie die dabei entstehenden Mittelwerte. In welchem Bereich streuen sie, wo häufen sie sich? Stellen Sie danach im Automatischen Modus die Zahl n der Würfe ebenfalls auf 100 und die Anzahl m der Durchläufe auf Betrachten Sie die nun entstehende (Gauß-?) Verteilung (vorher Klasseneinteilung optimieren). Notieren Sie die Werte für x und s und überprüfen Sie die Richtigkeit des Zusammenhangs s x = s / n! Wiederholen Sie das Ganze für n = 10 und n = Drucken Sie je ein Beispiel für Gleichverteilung und Mittelwertverteilung aus 10, 100 und 1000 Werten aus! Fertigen Sie eine (qualitative) Skizze an, welche die vier Verteilungen im selben Maßstab (x- Achse) zeigt. Diskutieren Sie das Ergebnis! 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 7 von 10 10/14

8 3.2 Messung der natürlichen Radioaktivität Messmethode Die Bestimmung der Zählrate erfolgt mit einem kommerziellen Strahlungsmessgerät. Dabei werden durch die statistisch einfallenden γ-quanten der natürlichen Radioaktivität in einem Szintillationskristall Lichtblitze erzeugt. Diese fallen auf die Fotokatode eines Sekundärelektronenvervielfachers (SEV) und lösen dort Elektronen aus, welche durch das Dynodensystem des SEV verstärkt werden. Die Registrierung der Ausgangsimpulse des SEV erfolgt nach weiterer Verstärkung durch einen Digitalzähler. Jeder gezählte Spannungsimpuls entspricht einem γ-quant. Die einzelnen Ereignisse sind statistisch unabhängig voneinander. Das zugrundeliegende Verteilungsgesetz ist eine Poisson-Verteilung. Hinweise zu den Einstellungen am Strahlungsmessgerät liegen am Versuchsplatz aus Aufgaben Machen Sie sich in einem Vorversuch mit Messzeit 1s ein Bild über die zu erwartenden Zählraten und passen Sie ggf. die Einstellungen am Gerät an! Die mittlere Zählrate (Impulse pro Sekunde) sollte im Bereich 30 bis 60 Imp/s liegen. Beachten Sie dabei auch, wie stark die Werte von Messung zu Messung streuen. Stellen Sie dann die Zählzeit von 1s auf 10s und nehmen Sie mindestens 20 Werte auf! Wer einen Taschenrechner mit Statistikfunktion besitzt und diesen beherrscht, kann auch bis zu 50 Werte aufnehmen (je mehr, desto besser ist die Statistik) Auswertung 1.) Stellen Sie die Verteilung der Zählraten in einem Histogramm der Klassenbreite 10 dar! Welche Art von Verteilung ist zu vermuten? Berechnen Sie x und s a) direkt aus allen gemessenen Werten über die Statistikfunktion des Taschenrechners oder per Hand aus Gl.(1) und Gl.(2) und b) über die Klassenmittelpunkte des Histogramms: anstatt der Originalwerte wird der jeweilige Klassenmittelpunkt mal die Anzahl der in diese Klasse fallenden Werte verwendet (Bild 1b)! Beispiel: in den Bereich 420 bis 430 fallen drei Messwerte, nämlich 421, 422 und 427; für die Berechnung von x und s wird aber dreimal der Klassenmittelpunkt 425 verwendet. Beantworten Sie folgende Fragen im Protokoll: Ergeben sich Unterschiede zwischen (a) und (b) und wenn ja warum? Wann würde man sinnvollerweise Methode (b) verwenden? Gilt s x (Poisson-Verteilung)? Hinweis dazu am Ende der Versuchsanleitung. 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 8 von 10 10/14

9 2.) Fertigen Sie eine grafische Darstellung entsprechend Bild 3 an (Mittelwert mit angrenzendem 1s- und 2s - Intervall)! Es sollten etwa 68% der Werte im 1s - Intervall und 95% im 2s - Intervall liegen. Prüfen Sie es nach und diskutieren Sie, welche Schlussfolgerungen sich daraus für die Fehlerangabe x ± x eines statistisch gewonnenen wissenschaftlichen Messresultats ergeben. Bild 3: Darstellung von Mittelwerten einzelner Messreihen im Vergleich zu x ± 1s, ± 2s Poisson-Verteilung: Diese Art von Verteilung ist in der Natur sehr häufig anzutreffen. Sie entsteht immer dann, wenn eine sehr geringe Ereigniswahrscheinlichkeit einer sehr großen Zahl von Ereignismöglichkeiten gegenübersteht (radioaktives Isotop mit einer Halbwertszeit von Millionen Jahren zerfällt ausgerechnet jetzt, während wir es beobachten, aber es gibt extrem viele dieser Isotope). Die Poisson-Verteilung (Bild 4) hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Gaußschen Glockenkurve und kann für große Mittelwerte x auch durch diese angenähert werden. Für kleine Mittelwerte ist sie unsymmetrisch. Dass eine Normalverteilung ursprünglich aus einer Poisson-Verteilung hervorgegangen ist, sieht man am Zusammenhang s 2 = x bzw. s x, d.h. wenn man eine Normalverteilung findet, deren Breite s etwa gleich der Wurzel ihres Mittelwertes ist, so kann man vermuten, dass ihr eigentlich ein poisson-verteilter Zusammenhang zugrunde liegt. Bild 4: Poisson-Verteilung mit x = Statistisch verteilte Messwerte Seite 9 von 10 10/14

10 Würden wir im Versuch (Aufgabe 3.2.2) anstatt der relativ großen Zählzeiten von 1s bzw. 10s bereits nach z.b. 0.1s messen, so kämen (bei einer Zählrate von 30 Imp/s) Zahlen zwischen 0 und ~10 heraus, mit dem Maximum bei 3 (vergleichbar mit Bild 4: Poisson-Verteilung, deutlich unsymmetrisch). Lässt man aber das Gerät 10s messen und nimmt dann erst den Wert auf, so werden die 100 Werte (Zufallsgrößen) bereits intern aufaddiert und nur die Summe ausgegeben. Statistisch betrachtet sind damit unsere Messwerte Summen von unabhängigen Zufallsgrößen derselben Grundgesamtheit (genau wie vom Zentralen Grenzwertsatz verlangt), d.h. die hier gemessenen Zählraten sollten näherungsweise normalverteilt sein. Die ursprüngliche Poissonverteilung ist aber noch daran zu erkennen, dass die Standardabweichung etwa der Wurzel des Mittelwertes entspricht. Literatur: Siehe Link: Messabweichungen.html 1. Fehlerrechnung leicht gemacht 2. Vorlesungen zur Fehlerechnung I,II und III 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 10 von 10 10/14

303 Statistik Zur Auswertung größerer Stichproben wird ein Würfel-Simulationsprogramm verwendet.

303 Statistik Zur Auswertung größerer Stichproben wird ein Würfel-Simulationsprogramm verwendet. 303 Statistik 1. Aufgaben Dieser Versuch verfolgt mehrere Zielrichtungen. Zum einen soll der Einfluß der Größe einer Stichprobe auf das Ergebnis statistischer Messungen untersucht werden. Dies geschieht

Mehr

313 Statistische Verteilungen (Computer-Simulation)

313 Statistische Verteilungen (Computer-Simulation) 313 Statistische Verteilungen (Computer-Simulation) 1. Aufgaben 1.1 Berechnen Sie in Vorbereitung dieses Versuches einige Beispiele für Binomial-, Poisson- und Normalverteilungen (Übungsaufgaben 1-3, Abschnitt.

Mehr

Inferenzstatistik (=schließende Statistik)

Inferenzstatistik (=schließende Statistik) Inferenzstatistik (=schließende Statistik) Grundproblem der Inferenzstatistik: Wie kann man von einer Stichprobe einen gültigen Schluß auf di Grundgesamtheit ziehen Bzw.: Wie groß sind die Fehler, die

Mehr

Kapitel 2. Fehlerrechnung

Kapitel 2. Fehlerrechnung Fehlerrechnung 1 Messungen => quantitative Aussagen Messungen müssen zu jeder Zeit und an jedem Ort zu den gleichen Ergebnissen führen Messungen sind immer mit Fehler behaftet. => Angabe des Fehlers! Bespiel

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 15

Ü b u n g s b l a t t 15 Einführung in die Stochastik Sommersemester 07 Dr. Walter Oevel 2. 7. 2007 Ü b u n g s b l a t t 15 Hier ist zusätzliches Übungsmaterial zur Klausurvorbereitung quer durch die Inhalte der Vorlesung. Eine

Mehr

Messung von Rendite und Risiko. Finanzwirtschaft I 5. Semester

Messung von Rendite und Risiko. Finanzwirtschaft I 5. Semester Messung von Rendite und Risiko Finanzwirtschaft I 5. Semester 1 Messung von Renditen Ergebnis der Anwendung der Internen Zinsfuß- Methode ist die Rentabilität des Projekts. Beispiel: A0-100.000 ZÜ1 54.000

Mehr

Konfidenzintervall für den Anteilswert θ. Konfidenzintervalle. Jost Reinecke. Universität Bielefeld. 13. Juni 2005

Konfidenzintervall für den Anteilswert θ. Konfidenzintervalle. Jost Reinecke. Universität Bielefeld. 13. Juni 2005 Universität Bielefeld 13. Juni 2005 Einführung Einführung Wie kann die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Parameter einer Stichprobe dazu verhelfen auf die wahren Werte der Grundgesamtheit

Mehr

Analytische Statistik II

Analytische Statistik II Analytische Statistik II Institut für Geographie 1 Schätz- und Teststatistik 2 Grundproblem Generell sind wir nur selten in der Geographie in der Lage, Daten über die Grundgesamtheit zur Verfügung zu haben.

Mehr

Meßprozeß, Meßfehler und Statistik

Meßprozeß, Meßfehler und Statistik 0- Meßprozeß, Meßfehler und Statistik Vorbereitung : Begriff der Wahrscheinlichkeit, statistische Verteilungen (Binomialverteilung, Poissonverteilung, Gaussverteilung), Meßfehler und Fehlerfortpflanzung.

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen 1. Binomialverteilung 1.1 Abzählverfahren 1.2 Urnenmodell Ziehen mit Zurücklegen, Formel von Bernoulli 1.3 Berechnung von Werten 1.4 Erwartungswert und Standardabweichung

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Binomialverteilung und Bernoulli- Experiment

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Binomialverteilung und Bernoulli- Experiment Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Binomialverteilung und Bernoulli- Experiment Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de TOSSNET Der persönliche

Mehr

825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170 e 500 e 443 e 608 e. Zeichnen Sie das Box-Plot. Sind in dieser Stichprobe Ausreißer vorhanden?

825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170 e 500 e 443 e 608 e. Zeichnen Sie das Box-Plot. Sind in dieser Stichprobe Ausreißer vorhanden? 1. Aufgabe: Eine Bank will die jährliche Sparleistung eines bestimmten Kundenkreises untersuchen. Eine Stichprobe von 12 Kunden ergab folgende Werte: 825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170

Mehr

Übungen mit dem Applet Wahrscheinlichkeitsnetz

Übungen mit dem Applet Wahrscheinlichkeitsnetz Wahrscheinlichkeitsnetz 1 Übungen mit dem Applet Wahrscheinlichkeitsnetz 1 Statistischer Hintergrund... 1.1 Verteilungen... 1. Darstellung von Daten im Wahrscheinlichkeitsnetz...4 1.3 Kurzbeschreibung

Mehr

Über den Autor 7. Teil Beschreibende Statistik 29

Über den Autor 7. Teil Beschreibende Statistik 29 Inhaltsverzeichnis Über den Autor 7 Einführung Über dieses Buch - oder:»... für Dummies«verpflichtet! Wie man dieses Buch benutzt 22 Wie ich Sie mir vorstelle 22 Wie dieses Buch aufgebaut ist 23 Teil I:

Mehr

Verteilung von Summen

Verteilung von Summen Verteilung von Summen Beispiel: Würfelwurf Frage: Wie verhält sich die Verteilung der Augensumme von -Würfeln bei wachsendem? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationseperiment durch. 6 Würfe mit 1 Würfel

Mehr

Statistische Grundlagen I

Statistische Grundlagen I Statistische Grundlagen I Arten der Statistik Zusammenfassung und Darstellung von Daten Beschäftigt sich mit der Untersuchung u. Beschreibung von Gesamtheiten oder Teilmengen von Gesamtheiten durch z.b.

Mehr

4b. Wahrscheinlichkeit und Binomialverteilung

4b. Wahrscheinlichkeit und Binomialverteilung b. Wahrscheinlichkeit und Binomialverteilung Um was geht es? Häufigkeit in der die Fehlerzahl auftritt 9 6 5 3 2 2 3 5 6 Fehlerzahl in der Stichprobe Wozu dient die Wahrscheinlichkeit? Häfigkeit der Fehlerzahl

Mehr

Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen. 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen

Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen. 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen Biometrieübung 5 (Spezielle Verteilungen) - Aufgabe Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen Aufgabe 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen Anzahl weiblicher Mäuse (k) Anzahl Würfe

Mehr

Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.85

Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.85 Schätzverfahren Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.85 Schätzverfahren Ziel von Schätzverfahren: Ausgehend von Stichproben Aussagen über Populationskennwerte machen Kenntnis der Abweichung des

Mehr

Institut für Physik Physikalisches Grundpraktikum. Einführung in die Messung, Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physik

Institut für Physik Physikalisches Grundpraktikum. Einführung in die Messung, Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physik Institut für Physik Physikalisches Grundpraktikum Einführung in die Messung, Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physik (Fortsetzung) Schätzung von Messunsicherheiten für eine

Mehr

TEIL 13: DIE EINFACHE LINEARE REGRESSION

TEIL 13: DIE EINFACHE LINEARE REGRESSION TEIL 13: DIE EINFACHE LINEARE REGRESSION Die einfache lineare Regression Grundlagen Die einfache lineare Regression ist ebenfalls den bivariaten Verfahren für metrische Daten zuzuordnen 1 Sie hat einen

Mehr

Konfidenzintervalle. Einführung von Ac

Konfidenzintervalle. Einführung von Ac Konfidenzintervalle Einführung von Ac Problem: ( Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit - Schätzen ) Von einer binomialverteilten Zufallsgröße X sei n (der Stichprobenumfang) gegeben, aber p (Erfolgswahrscheinlichkeit)

Mehr

3.2 Streuungsmaße. 3 Lage- und Streuungsmaße 133. mittlere Variabilität. geringe Variabilität. große Variabilität 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.

3.2 Streuungsmaße. 3 Lage- und Streuungsmaße 133. mittlere Variabilität. geringe Variabilität. große Variabilität 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Eine Verteilung ist durch die Angabe von einem oder mehreren Mittelwerten nur unzureichend beschrieben. Beispiel: Häufigkeitsverteilungen mit gleicher zentraler Tendenz: geringe Variabilität mittlere Variabilität

Mehr

Von der Normalverteilung zu z-werten und Konfidenzintervallen

Von der Normalverteilung zu z-werten und Konfidenzintervallen Von der Normalverteilung zu z-werten und Konfidenzintervallen Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Universität Bielefeld 3. Mai 2005 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet

Mehr

Die richtige Wahl von Verteilungen

Die richtige Wahl von Verteilungen Die richtige Wahl von Verteilungen N. Schiering, ZMK GmbH Sachsen-Anhalt Agenda Einleitung Standardmessunsicherheiten Typ A und Typ B Normalverteilung Rechteckverteilung Dreieckverteilung Trapezverteilung

Mehr

1 Messfehler. 1.1 Systematischer Fehler. 1.2 Statistische Fehler

1 Messfehler. 1.1 Systematischer Fehler. 1.2 Statistische Fehler 1 Messfehler Jede Messung ist ungenau, hat einen Fehler. Wenn Sie zum Beispiel die Schwingungsdauer eines Pendels messen, werden Sie - trotz gleicher experimenteller Anordnungen - unterschiedliche Messwerte

Mehr

Der Weg eines Betrunkenen

Der Weg eines Betrunkenen Der Weg eines Betrunkenen 2 Hätte es damals schon Computer gegeben, wäre es für unseren Mathematiker um einiges leichter gewesen, den Weg des Betrunkenen zu bestimmen. Er hätte nicht nur eine beliebige

Mehr

Probeklausur zur Vorlesung Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende

Probeklausur zur Vorlesung Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende Probeklausur zur Vorlesung Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende im Sommersemester 2012 Prof. Dr. H. Küchenhoff, J. Brandt, G. Schollmeyer, G. Walter Aufgabe 1 Betrachten

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

Zentraler Grenzwertsatz

Zentraler Grenzwertsatz Statistik 2 für SoziologInnen Zentraler Grenzwertsatz Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik für SoziologInnen 1 Zentraler Grenzwertsatz Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Der zentrale Grenzwertsatz und

Mehr

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

Validierung von Messmethoden. Validierung von Messmethoden

Validierung von Messmethoden. Validierung von Messmethoden Validierung von Messmethoden Was soll eine gute Messmethode erfüllen? 1. Richtigkeit (accucacy) 2. Genauigkeit (precision) PD Dr. Sven Reese, LMU München 1 Richtigkeit (accuracy) Gibt Auskunft darüber,

Mehr

Maurizio Musso, Universität Salzburg, ver Physikalische Grundlagen der Meßtechnik. Teil 2

Maurizio Musso, Universität Salzburg, ver Physikalische Grundlagen der Meßtechnik. Teil 2 Teil 2 Auswertung von Messungen, zufällige oder statistische Abweichungen Auswertung direkter Messungen Häufigkeitsverteilung, Häufigkeitsfunktion Mittelwert, Standardabweichung der Einzelwerte Standardabweichung

Mehr

Einführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung

Einführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung Grundpraktikum der Physik Einführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung Wolfgang Limmer Institut für Halbleiterphysik 1 Fehlerrechnung 1.1 Motivation Bei einem Experiment soll der Wert einer

Mehr

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie

Mehr

Übungen mit dem Applet Zentraler Grenzwertsatz

Übungen mit dem Applet Zentraler Grenzwertsatz Zentraler Grenzwertsatz 1 Übungen mit dem Applet Zentraler Grenzwertsatz 1 Statistischer Hintergrund... 1.1 Zentraler Grenzwertsatz... 1. Beispiel Würfeln... 1.3 Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit...3

Mehr

Was ist Physik? Modell der Natur universell es war schon immer so

Was ist Physik? Modell der Natur universell es war schon immer so Was ist Physik? Modell der Natur universell es war schon immer so Kultur Aus was sind wir gemacht? Ursprung und Aufbau der Materie Von wo/was kommen wir? Ursprung und Aufbau von Raum und Zeit Wirtschaft

Mehr

Ringvorlesung Einführung in die Methoden der empirischen Sozialforschung II

Ringvorlesung Einführung in die Methoden der empirischen Sozialforschung II Ringvorlesung Einführung in die Methoden der empirischen Sozialforschung II Auswahlverfahren - Begriffe und theoretische Grundlagen 1 USA 1936: - Wahlstudie mit 10.000.000 Probestimmzetteln - Quelle: Telefonverzeichnis

Mehr

von x-würfeln bei wachsendem n? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationsexperiment durch.

von x-würfeln bei wachsendem n? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationsexperiment durch. Zentraler Grenzwertsatz Die Normalverteilung verdankt ihre universelle theoretische und praktische Bedeutung dem zentralen Grenzwertsatz. Unabhängig von der konkreten k Ausgangsverteilung konvergiert die

Mehr

Deskriptive Statistik Beschreiben, Zusammenfassen, Darstellen gegebener Daten (Datenreduktion!)

Deskriptive Statistik Beschreiben, Zusammenfassen, Darstellen gegebener Daten (Datenreduktion!) Deskriptive Statistik Beschreiben, Zusammenfassen, Darstellen gegebener Daten (Datenreduktion!) - Arithmetisches Mittel o Das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt) ist ein Mittelwert, der als Quotient

Mehr

Übungen mit dem Applet Vergleich von zwei Mittelwerten

Übungen mit dem Applet Vergleich von zwei Mittelwerten Vergleich von zwei Mittelwerten 1 Übungen mit dem Applet Vergleich von zwei Mittelwerten 1 Statistischer Hintergrund... 2 1.1 Typische Fragestellungen...2 1.2 Fehler 1. und 2. Art...2 1.3 Kurzbeschreibung

Mehr

Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften

Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Stetige und diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Lageparameter Streuungsparameter Diskrete und stetige Zufallsvariablen Eine Variable (oder Merkmal

Mehr

Kenngrößen von Zufallsvariablen

Kenngrößen von Zufallsvariablen Kenngrößen von Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch die sogenannten Kenngrößen beschrieben werden, sie charakterisieren sozusagen die Verteilung. Der Erwartungswert Der Erwartungswert

Mehr

Physikalische Übungen für Pharmazeuten

Physikalische Übungen für Pharmazeuten Helmholtz-Institut für Strahlen- und Kernphysik Seminar Physikalische Übungen für Pharmazeuten Ch. Wendel Max Becker Karsten Koop Dr. Christoph Wendel Übersicht Inhalt des Seminars Praktikum - Vorbereitung

Mehr

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch 6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt. 0.2 6

Mehr

Arbeitsblatt 27: Normalverteilung Kerzen

Arbeitsblatt 27: Normalverteilung Kerzen Erläuterungen und Aufgaben Zeichenerklärung: [ ] - Drücke die entsprechende Taste des Graphikrechners! [ ] S - Drücke erst die Taste [SHIFT] und dann die entsprechende Taste! [ ] A - Drücke erst die Taste

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen. 0 sonst.

Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen. 0 sonst. Aufgabe 1 (2 + 4 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y : { 2x + 2y für 0.5 x 0.5, 1 y 2 f(x, y) = 3 0 sonst. a) Berechnen

Mehr

1.3 Das Testen von Hypothesen am Beispiel des Einstichproben t-tests

1.3 Das Testen von Hypothesen am Beispiel des Einstichproben t-tests 1.3 Das Testen von Hypothesen am Beispiel des Einstichproben t-tests Statistische Tests dienen dem Testen von Vermutungen, so genannten Hypothesen, über Eigenschaften der Gesamtheit aller Daten ( Grundgesamtheit

Mehr

Kapitel 1: Deskriptive Statistik

Kapitel 1: Deskriptive Statistik Kapitel 1: Deskriptive Statistik Grafiken Mit Hilfe von SPSS lassen sich eine Vielzahl unterschiedlicher Grafiken für unterschiedliche Zwecke erstellen. Wir besprechen hier die zwei in Kapitel 1.1 thematisierten

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Stetige Zufalls-Variable Erweitert man den Begriff der diskreten Zufallsvariable

Mehr

Zur Berechnung der Wertziffern bei Teamturnieren

Zur Berechnung der Wertziffern bei Teamturnieren Zur Berechnung der Wertziffern bei Teamturnieren Wolfhart Umlauft und Michael Stieglitz 30. März 2009 1 Das Problem Die in der Rangliste für Teamturniere angegebenen Zahlen sind sog. Wertziffern. Sie spiegeln

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Stetige Zufalls-Variable Erweitert man den Begriff der diskreten Zufallsvariable

Mehr

Anfänger-Praktikum I WS 11/12. Michael Seidling Timo Raab Enrico Mank. Praktikumsbericht: Galton-Brett

Anfänger-Praktikum I WS 11/12. Michael Seidling Timo Raab Enrico Mank. Praktikumsbericht: Galton-Brett Anfänger-Praktikum I WS 11/12 Michael Seidling Timo Raab Enrico Mank Praktikumsbericht: Galton-Brett Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis I. Theoretische Grundlagen 2 1. Zentraler Grenzwertsatz 2 2. Binomialverteilung

Mehr

Messungen und Messfehler

Messungen und Messfehler Messungen und Messfehler B. Schönfeld LMPT, ETH Zürich September 2007 1 Einleitung Messfehler sind (meistens) keine Fehler, sondern Messunsicherheiten. Was man in Messungen bestimmt, sind Schätzwerte,

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung Wallstr. 3, 6. Stock, Raum 06-206 Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de lordsofthebortz.de lordsofthebortz.de/g+

Mehr

5. Seminar Statistik

5. Seminar Statistik Sandra Schlick Seite 1 5. Seminar 5. Seminar Statistik 30 Kurztest 4 45 Testen von Hypothesen inkl. Übungen 45 Test- und Prüfverfahren inkl. Übungen 45 Repetitorium und Prüfungsvorbereitung 15 Kursevaluation

Mehr

Trim Size: 176mm x 240mm Lipow ftoc.tex V1 - March 9, :34 P.M. Page 11. Über die Übersetzerin 9. Einleitung 19

Trim Size: 176mm x 240mm Lipow ftoc.tex V1 - March 9, :34 P.M. Page 11. Über die Übersetzerin 9. Einleitung 19 Trim Size: 176mm x 240mm Lipow ftoc.tex V1 - March 9, 2016 6:34 P.M. Page 11 Inhaltsverzeichnis Über die Übersetzerin 9 Einleitung 19 Was Sie hier finden werden 19 Wie dieses Arbeitsbuch aufgebaut ist

Mehr

Glücksrad-Aufgabe. Das Glücksrad ist in 2 Sektoren mit den Zahlen 1 (Winkel 120 ) und 2 eingeteilt.

Glücksrad-Aufgabe. Das Glücksrad ist in 2 Sektoren mit den Zahlen 1 (Winkel 120 ) und 2 eingeteilt. Glücksrad-Aufgabe Das Glücksrad ist in Sektoren mit den Zahlen (Winkel ) und eingeteilt. a) Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: A: Die

Mehr

Test auf einen Anteilswert (Binomialtest) Vergleich zweier Mittelwerte (t-test)

Test auf einen Anteilswert (Binomialtest) Vergleich zweier Mittelwerte (t-test) Spezielle Tests Test auf einen Anteilswert (Binomialtest) Vergleich zweier Anteilswerte Test auf einen Mittelwert (Ein-Stichproben Gauss bzw. t-test) Vergleich zweier Mittelwerte (t-test) Test auf einen

Mehr

Deskriptive Statistik

Deskriptive Statistik Modul G.1 WS 07/08: Statistik 8.11.2006 1 Deskriptive Statistik Unter deskriptiver Statistik versteht man eine Gruppe statistischer Methoden zur Beschreibung von Daten anhand statistischer Kennwerte, Graphiken,

Mehr

TEIL 13: DIE LINEARE REGRESSION

TEIL 13: DIE LINEARE REGRESSION TEIL 13: DIE LINEARE REGRESSION Dozent: Dawid Bekalarczyk GLIEDERUNG Dozent: Dawid Bekalarczyk Lineare Regression Grundlagen Prognosen / Schätzungen Verbindung zwischen Prognose und Zusammenhang zwischen

Mehr

Schnellkurs und Übersicht zur Gröÿtfehlerabschätzung und Fehlerrechnung

Schnellkurs und Übersicht zur Gröÿtfehlerabschätzung und Fehlerrechnung 1 Schnellkurs und Übersicht zur Gröÿtfehlerabschätzung und Fehlerrechnung Zum Messergebnis gehören immer eine Fehlerangabe und nur signikante Stellen 1 Beim Messen arbeiten wir mit Näherungswerten! Selbst

Mehr

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 5.05.0 Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen Wird ein Bernoulli- Versuch, bei

Mehr

Einführung Fehlerrechnung

Einführung Fehlerrechnung Einführung Fehlerrechnung Bei jeder Messung, ob Einzelmessung oder Messreihe, muss eine Aussage über die Güte ( Wie groß ist der Fehler? ) des Messergebnisses gemacht werden. Mögliche Fehlerarten 1. Systematische

Mehr

von x-würfeln bei wachsendem n? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationsexperiment durch.

von x-würfeln bei wachsendem n? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationsexperiment durch. Zentraler Grenzwertsatz Die Normalverteilung verdankt ihre universelle theoretische und praktische Bedeutung dem zentralen Grenzwertsatz. Unabhängig von der konkreten k Ausgangsverteilung konvergiert nämlich

Mehr

Grundlagen der Statistik und Fehlerrechnung

Grundlagen der Statistik und Fehlerrechnung Physikalisches Grundpraktikum Teil 1 WS 2010/2011 Grundlagen der Statistik und Fehlerrechnung Stefan Diehl 28.02.2011 12.30 13.30 HS I 01.03.2011 12.30 13.30 CHEG18 Inhalt Grundbegriffe der Statistik Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Mehr

N 1 0 50 0.5 50 0.5 2 1 20 0.2 70 0.7 3 2 15 0.15 85 0.85 4 3 10 0.1 95 0.95 5 4+ 5 0.05 100 1-100 1.00 - -

N 1 0 50 0.5 50 0.5 2 1 20 0.2 70 0.7 3 2 15 0.15 85 0.85 4 3 10 0.1 95 0.95 5 4+ 5 0.05 100 1-100 1.00 - - 2 Deskriptive Statistik 1 Kapitel 2: Deskriptive Statistik A: Beispiele Beispiel 1: Im Rahmen einer Totalerhebung der Familien eines Dorfes (N = 100) wurde u.a. das diskrete Merkmal Kinderanzahl (X) registriert.

Mehr

SozialwissenschaftlerInnen II

SozialwissenschaftlerInnen II Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II Henning Best best@wiso.uni-koeln.de Universität zu Köln Forschungsinstitut für Soziologie Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.1 Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Mehr

Standardisierte Vorgehensweisen und Regeln zur Gewährleistung von: Eindeutigkeit Schlussfolgerungen aus empirischen Befunden sind nur dann zwingend

Standardisierte Vorgehensweisen und Regeln zur Gewährleistung von: Eindeutigkeit Schlussfolgerungen aus empirischen Befunden sind nur dann zwingend Standardisierte Vorgehensweisen und Regeln zur Gewährleistung von: Eindeutigkeit Schlussfolgerungen aus empirischen Befunden sind nur dann zwingend oder eindeutig, wenn keine alternativen Interpretationsmöglichkeiten

Mehr

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind:

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind: Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

LANGFRISTIGE HAUSAUFGABE (STOCHASTIK)

LANGFRISTIGE HAUSAUFGABE (STOCHASTIK) LANGFRISTIGE HAUSAUFGABE (STOCHASTIK) Aufgabe 1: 6 und 7, gleichgeblieben? Anna sagt: Die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der Augensumme 6 oder 7 beim Werfen zweier Würfel sind gleichgroß, da sie

Mehr

Deskriptive Statistik Kapitel IX - Kontingenzkoeffizient

Deskriptive Statistik Kapitel IX - Kontingenzkoeffizient Deskriptive Statistik Kapitel IX - Kontingenzkoeffizient Georg Bol bol@statistik.uni-karlsruhe.de Markus Höchstötter hoechstoetter@statistik.uni-karlsruhe.de Agenda 1. Untersuchung der Abhängigkeit 2.

Mehr

Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften

Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften Peter von der Lippe Brückenkurs tatistik für Wirtschaftswissenschaften Lösungen UVK Verlagsgesellschaft mbh Konstanz mit UVK/Lucius München Brückenkurs tatistik für Wirtschaftswissenschaften: Lösungen

Mehr

5. Meßfehler. Zufällige Messfehler machen das Ergebnis unsicher - ihre Abschätzung ist nur unter Verwendung statistischer Methoden durchführbar

5. Meßfehler. Zufällige Messfehler machen das Ergebnis unsicher - ihre Abschätzung ist nur unter Verwendung statistischer Methoden durchführbar 5. Meßfehler Man unterscheidet... zufällige Meßfehler systematische Meßfehler Zufällige Messfehler machen das Ergebnis unsicher - ihre Abschätzung ist nur unter Verwendung statistischer Methoden durchführbar

Mehr

Einführung in die Theorie der Messfehler

Einführung in die Theorie der Messfehler Einführung in die Theorie der Messfehler Ziel der Vorlesung: Die Studentinnen/Studenten sollen die Grundlagen der Theorie der Messfehler sowie den Unterschied zwischen Ausgleichsrechnung und statistischer

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 3. Vorlesung Dr. Jochen Köhler 1 Inhalte der heutigen Vorlesung Ziel: Daten Modellbildung Probabilistisches Modell Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Im ersten

Mehr

Kapitel 5 Kenngrößen empirischer Verteilungen 5.1. Lagemaße. x mod (lies: x-mod) Wofür? Lageparameter. Modus/ Modalwert Zentrum. Median Zentralwert

Kapitel 5 Kenngrößen empirischer Verteilungen 5.1. Lagemaße. x mod (lies: x-mod) Wofür? Lageparameter. Modus/ Modalwert Zentrum. Median Zentralwert Kapitel 5 Kenngrößen empirischer Verteilungen 5.1. Lagemaße Wofür? Lageparameter Modus/ Modalwert Zentrum Median Zentralwert Im Datensatz stehende Informationen auf wenige Kenngrößen verdichten ermöglicht

Mehr

Binomialverteilung Vertrauensbereich für den Anteil

Binomialverteilung Vertrauensbereich für den Anteil Übungen mit dem Applet Binomialverteilung Vertrauensbereich für den Anteil Binomialverteilung Vertrauensbereich für den Anteil 1. Statistischer Hintergrund und Darstellung.... Wie entsteht der Vertrauensbereich?...

Mehr

Anteile Häufigkeiten Verteilungen Lagemaße Streuungsmaße Merkmale von Verteilungen. Anteile Häufigkeiten Verteilungen

Anteile Häufigkeiten Verteilungen Lagemaße Streuungsmaße Merkmale von Verteilungen. Anteile Häufigkeiten Verteilungen DAS THEMA: VERTEILUNGEN LAGEMAßE - STREUUUNGSMAßE Anteile Häufigkeiten Verteilungen Lagemaße Streuungsmaße Merkmale von Verteilungen Anteile Häufigkeiten Verteilungen Anteile und Häufigkeiten Darstellung

Mehr

Prozesskontrolle Modul 7 Dr.-Ing. Klaus Oberste Lehn Fachhochschule Düsseldorf Sommersemester 2012 Quellen www.business-wissen.de www.wikipedia.de www.sdreher.de 2012 Dr. Klaus Oberste Lehn 2 SPC Statistische

Mehr

Statistische Messdatenauswertung

Statistische Messdatenauswertung Roland Looser Statistische Messdatenauswertung Praktische Einführung in die Auswertung von Messdaten mit Excel und spezifischer Statistik-Software für naturwissenschaftlich und technisch orientierte Anwender

Mehr

Grundlagen der statistischen Prozessregelung (SPC)

Grundlagen der statistischen Prozessregelung (SPC) Fachinformation Nr.: 2013-01 MeßTechnikNord GmbH Team Jena Prüssingstraße 41 07745 Jena Telefon: 03641-65-3780 Fax: 03641-65-3927 E-Mail: info@messtechniknord.de Internet http://www.messtechniknord.de

Mehr

10. Vorlesung. Grundlagen in Statistik. Seite 291. Martin-Luther-Universität Halle/Wittenberg

10. Vorlesung. Grundlagen in Statistik. Seite 291. Martin-Luther-Universität Halle/Wittenberg . Vorlesung Grundlagen in Statistik Seite 29 Beispiel Gegeben: Termhäufigkeiten von Dokumenten Problemstellung der Sprachmodellierung Was sagen die Termhäufigkeiten über die Wahrscheinlichkeit eines Dokuments

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie KAPITEL 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Zufallsexperimente, Ausgänge, Grundmenge In der Stochastik betrachten wir Zufallsexperimente. Die Ausgänge eines Zufallsexperiments fassen wir

Mehr

POCKET POWER. Qualitätssicherung Produktionsprozess

POCKET POWER. Qualitätssicherung Produktionsprozess POCKET POWER Qualitätssicherung im Produktionsprozess Prüfdaten/Prüfaufzeichnungen 19 Was sind die Anforderungen an das Arbeitsergebnis aus der Sicht der Kunden? Was sind die Anforderungen der nächsten

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.77: Normalverteilung & Standardnormalverteilung Es sei µ R und 0 < σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt

Mehr

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen. Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen. Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung Typisierung der stetigen theoretischen Verteilungen Bibliografie:

Mehr

Übungen mit dem Applet

Übungen mit dem Applet Übungen mit dem Applet 1. Visualisierung der Verteilungsform... 1.1. Normalverteilung... 1.. t-verteilung... 1.3. χ -Verteilung... 1.4. F-Verteilung...3. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten...3.1. Visualisierung

Mehr

Statistische Tests für unbekannte Parameter

Statistische Tests für unbekannte Parameter Konfidenzintervall Intervall, das den unbekannten Parameter der Verteilung mit vorgegebener Sicherheit überdeckt ('Genauigkeitsaussage' bzw. Zuverlässigkeit einer Punktschätzung) Statistischer Test Ja-Nein-Entscheidung

Mehr

12 Die Normalverteilung

12 Die Normalverteilung 12 Die Normalverteilung Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Praxis, weil aufgrund des sogenannten zentralen Grenzwertsatzes in vielen Situationen angenommen

Mehr

Dr. I. Fahrner WiSe 2016/17 Fakultät Grundlagen Hochschule Esslingen Übungsblatt 2. Statistik

Dr. I. Fahrner WiSe 2016/17 Fakultät Grundlagen Hochschule Esslingen Übungsblatt 2. Statistik Dr. I. Fahrner WiSe 2016/17 Fakultät Grundlagen 6.10.2016 Hochschule Esslingen Übungsblatt 2 Statistik Stichworte: arithmetischer Mittelwert, empirische Varianz, empirische Standardabweichung, empirischer

Mehr

Bachelor BEE Statistik Übung: Blatt 1 Ostfalia - Hochschule für angewandte Wissenschaften Fakultät Versorgungstechnik Aufgabe (1.1): Gegeben sei die folgende Messreihe: Nr. ph-werte 1-10 6.4 6.3 6.7 6.5

Mehr

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Gaußsche Normalverteilung [7] S.77 [6] S.7 ORIGIN µ : Mittelwert σ : Streuung :, 9.. Zufallsvariable, Zufallsgröße oder stochastische

Mehr

Polizeidienst-Aufgabe Abiturprüfung Bayern LK 2003

Polizeidienst-Aufgabe Abiturprüfung Bayern LK 2003 Polizeidienst-Aufgabe Abiturprüfung Bayern LK 003 a) Bei einem Einstellungstermin für den Polizeidienst waren 0% der Bewerber Frauen, von denen 90% die Aufnahmeprüfung bestanden. Drei Viertel derjenigen,

Mehr

Mittelwertvergleiche, Teil I: Zwei Gruppen

Mittelwertvergleiche, Teil I: Zwei Gruppen FB W. Ludwig-Mayerhofer Statistik II Mittelwertvergleiche Herzlich willkommen zur Vorlesung Mittelwertvergleiche, Teil I: Zwei Gruppen FB W. Ludwig-Mayerhofer Statistik II Mittelwertvergleiche Mittelwertvergleiche:

Mehr

Statistik Einführung // Stichprobenverteilung 6 p.2/26

Statistik Einführung // Stichprobenverteilung 6 p.2/26 Statistik Einführung Kapitel 6 Statistik WU Wien Gerhard Derflinger Michael Hauser Jörg Lenneis Josef Leydold Günter Tirler Rosmarie Wakolbinger Statistik Einführung // 6 p.0/26 Lernziele 1. Beschreiben

Mehr

1. Einführung in die induktive Statistik

1. Einführung in die induktive Statistik Wichtige Begriffe 1. Einführung in die induktive Statistik Grundgesamtheit: Statistische Masse, die zu untersuchen ist, bzw. über die Aussagen getroffen werden soll Stichprobe: Teil einer statistischen

Mehr