Erforderliche Kenntnisse: Grundlagen der Geometrie. Der Goldene Schnitt

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1 Stephanie Schäfer & Jenny Linke im 1. Semester Der Goldene Schnitt Unter dem Goldenen Schnitt versteht man die Teilung einer Strecke in zwei Abschnitte in der Weise, dass sich die ganze Strecke zu ihrem größeren Abschnitt wie dieser zu ihrem kleineren Abschnitt verhält: A T B AB:AT= AT:TB Man spricht auch von einer Teilung der Strecke AB durch T im Goldenen Schnitt oder auch einer stetigen Teilung der Strecke AB durch T. Der goldene Schnitt, auf griechisch "sectio aurea" wurde vom griechischen Philosophen und Mathematiker Eudoos von Knidos entdeckt. Durch den Goldenen Schnitt entwickelte sich ein anderes Schönheitsempfinden in der Kunst und Architektur. In Mathematik taucht dieser auch immer wieder auf, wir werden später auf ein Beispiel genauer eingehen. Anleitung zur Konstruktion des "Goldenen Schnitts." Man zeichne die Strecke AB, rechtwinklig dazu die Strecke BC, so dass BC=1/2 AB ist. Man zeichne jetzt um Punkt C ein Kreis mit Radius BC. Der Schnittpunkt der Strecke AC und des Kreises nenne man Punkt D. Man zeichne jetzt um Punkt A ein Kreis mit Radius AD, der Schnittpunkt der Strecke AB mit dem neuen Kreis ist der Goldene Schnitte der Strecke AB. Geometrische Beweis mit Hilfe des Strahlensatzes: Zunächst zeichne man eine Gerade durch D und B, verschiebe diese so lange bis sie durch den Punkt T geht, diese Gerade schneidet AC in Punkt E, so sind die Strecken DB und ET parallel. Nach Strahlensatz gilt AD:AE=AB:AT. Die Strecke AD ist gleich der Strecke AT, wegen dem Kreis mit Radius AD um Punkt A. Da auch AE gleich TB ist, folgt hier heraus die Behauptung AB:AT=AT:TB. Nach der alternativen Definition, wie sie in Euklids Werken zu finden ist, kann man das Problem auch analytisch formulieren: "Eine gegebene Strecke a ist so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke a und dem einen Abschnitt a- dem Quadrat über dem anderen Abschnitt flächengleich ist." Seite 1 von 7

2 a a- a(a-)=² oder nach Streckendefinition: a/ =/(a-) Wenn man die beiden Gleichungen auflöst, erhält man eine quadratische Gleichung: ²+a-a²=0 =-a/2+[ (-a/2)²+a²]^1/2 =-a/2+[a²/4+a²]^1/2 =-a/2+[ (a²+4a²)/4 ]^1/2 =-a/2+[5a²/4]^1/2 =-a/2+a/2[5]^1/2 =a/2 ( [5]^1/2-1) 0,618a Die längere Strecke ist, a ist die ganze Strecke. (Bem: die negative Lösung entfällt, weil Strecken nicht negativ sein können.) Beispiel aus der Mathematik: der Goldene Schnitt im Pentagramm (Bem: das Pentagramm ist der Stern innerhalb des Fünfecks) Seite 2 von 7

3 Die Dreiecke ABE, CDE, BCE überdecken das Fünfeck. Für die Innenwinkel des Fünfecks gilt BAE, AED, CDE, ABC, BCD = (3*180 )/5=108 =γ Die Innenwinkel des Fünfecks BAE, AED, CDE, ABC, BCD sind gleich den Innenwinkeln des Pentagramms B`A`E`, A`E`D`, C`D`E`, A`B`C`, B`C`D`, da das Dreieck AEE gleichschenklig und der Winkel in A`E`D` gleich γ ist. Der Winkel BAA` ist gleich α und ebenso der Winkel β = A`AE = 108-2*α = 36 = α. Die Dreiecke ACD und ABB haben also den gleichen Winkel in BAE und sind damit ähnlich, da beide auch gleichschenklig sind. Desweiteren sind die Winkel ABB` = EAA` = α + β = 2α und BB`A=180 - ABB`- BAB`= 180-2α-α=5α-3α =2α Nun wird deutlich, dass sich die entsprechenden Seiten gleich verhalten, z.b gilt AC:CD=AB:BB` oder AC=a AB=CD=AB`= BB`=B`C=AC-AB`=a- So jetzt können wir schreiben a:=:(a-) Daraus folgt =a/2([5]^1/2-1) oder anders AC:AB`=AB`:B`C. Man sieht also, dass die Seiten eines Pentagramms sich im Goldenen Schnitt schneiden. Seite 3 von 7

4 Der Goldene Schnitt in der Kunst Außerhalb der Mathematik hat der Goldene Schnitt besonders in der Kunst große Bedeutung gewonnen. Für Formate und Flächengliederungen gemäß des Goldenen Schnitts sind bei Tests sehr angenehme, harmonische Empfindungen festgestellt worden. Zwei Größen die sich im Goldenen Schnitt zueinander verhalten, gelten als ästhetisch und somit besonders ansprechend. Bereits im Altertum orientierten sich die Griechen bei ihren Kunstwerken am Goldenen Schnitt. Der Tempel galt den Griechen als Weihgeschenk an die Götter. Sein Standort wurde stets im Hinblick auf das landschaftliche Umfeld gewählt, in dem der jeweilige Gott nach Vorstellung der Menschen wirkte und sich den Menschen auch ohne einen sakralen Bau mitteilte. Der Tempelbau wurde als die Hülle des Götterstandbildes aufgefasst, die schön, das heißt vollkommen gestaltet sein sollte, deshalb verwendete man den Goldenen Schnitt. Als Beispiel betrachten wir den Parthenon-Tempel auf der Akropolis in Athen. Um die Front des ursprünglichen Gebäudes kann man ein Rechteck zeichnen, bei dem die Seiten im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Ein solches Rechteck, dessen Seitenlängen im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen, heißt auch goldenes Rechteck. Es lässt sich immer in ein Quadrat und ein weiteres goldenes Rechteck teilen. Seite 4 von 7

5 Auch die Höhe der Säulen ist durch den Goldenen Schnitt gegeben. Nicht nur in der Architektur, auch in der Malerei und Bildhauerei spielt der Goldene Schnitt eine bedeutende Rolle. Wird die Höhe des Menschen nach dem Goldenen Schnitt unterteilt, dann teilt der Bauchnabel die Körpergröße im Verhältnis des Goldenen Schnitts. Dies kann man nicht nur bei Skulpturen beobachten, auch in der Malerei gilt ein solcher Körper als besonders wohlproportioniert und schön. Ein Beispiel dafür ist das Ölgemälde von J. A. D. Ingres mit dem Titel Die Quelle. Seite 5 von 7

6 Sehr bekannt ist auch die Proportionsstudie nach Vitruv (von ca. 1492) von Leonardo da Vinci. Leonardo da Vinci befasste sich neben seinen künstlerischen Tätigkeiten auch mit mathematischen Studien. Die Illustration beschäftigt sich eigentlich mit dem Problem der Quadratur des Kreises, eine antike Geometrieaufgabe, bei der mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Paar Kreis und Quadrat konstruiert werden soll. Doch auch sie beschreibt den Körperbau eines wohlgeformten Menschen im Goldenen Schnitt. Die Idee dazu entnahm er einer Abhandlung des römischen Architekten Vitruv. Bild von Leonardo da Vinci Diese Illustration ist übrigens auf der Rückseite der italienischen 1-Euro Münze zu finden! Das Verhältnis des goldenen Schnitts wird bis heute immer wieder in den verschiedenen Disziplinen der Kunst aufgegriffen. Seite 6 von 7

7 Aufgaben zum goldenen Schnitt: 1. Teile die Strecke AB = 13 cm zeichnerisch nach dem Goldenen Schnitt. 2. Wie lang sind die Teilstrecken einer Strecke AB = 80 cm, die nach dem Goldenen Schnitt geteilt wird? Berechne! 3. Versuche selbst, in Kunstwerken oder auch in Alltagsgegenständen den Goldenen Schnitt selbst zu entdecken! Quellenverzeichnis: - R. Müller-Fonfara, Mathematik verständlich, Baseermann Verlag Bertetsmann Discovery - Klaus Kowalsky, Abitur Wissen Architektur, Klett Verlag R. Scharle, Mathematik notwendig gesehen, hinreichend verstehen! Verlag Harri Deutsch Tilman Kayser, Carl Körner, Abitur Wissen Malerei, Klett Verlag Duden, Mathematik I, Dudenverlag 1999 Seite 7 von 7