Steuerung von Programmabläufen. Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Sommersemester 2009

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1 Steuerung von Programmabläufen Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Sommersemester und 14. Mai 2009

2 For-Schleifen Bisher: Matlab -Kommandos Befehl für Befehl am Prompt eingegeben oder im m-file (Script) gespeichert Folge: Matlab arbeitet die Befehle nacheinander, von oben nach unten ab Heute: Automatische Berechnung sich wiederholer Anweisungen

3 Beispiel: geometrische Reihe Berechnung von n j=0 2j, n = 10 x=1; x=x+2; x=x+2^2; x=x+2^3; x=x+2^4; x=x+2^5; x=x+2^6; x=x+2^7; x=x+2^8; x=x+2^9; x=x+2^10

4 Beispiel: geometrische Reihe, II einfache Vorschrift für beliebiges n: x 0, x x + 2 j, j = 0,..., n Umsetzung in einer Programmiersprache: allgemeine Form hier for j = array Matlab-Befehle x=0; n=10; for j = 0:n x = x+2^j;

5 for-schleifen Varianten: array = 1:n array = anf:inkrement: array = linspace(anf,,anzahl) array = 0:0.1:5 array = [ ]

6 Anwungen von for-schleifen for-schleifen sind anwbar, falls die Anzahl der Schleifurchläufe und die Werte der Schleifenvariablen bekannt sind for-schleifen können in Matlab häufig durch vektorisierte Ausdrücke ersetzt werden (Programme können kürzer, schneller und besser lesbar werden) Programmierstil: die Schleifenvariable sollte nicht in der Schleife verändert werden (obwohl dies erlaubt ist) verwen Sie nicht i oder j als Schleifenvariablen

7 Vektorisierung Beispiel: y(n) = sin ( πn 10 ), n = 1,..., 10 for n=1:10 y(n) = sin(n*pi/10); kann ersetzt werden durch oder Vorteile: n = 1:10; y = sin(n*pi/10); y = sin([1:10]*pi/10); intuitiver weniger zu tippen

8 Bemerkungen zu Dimensionen for n=1:10 y(n) = sin(n*pi/10); Beobachtung: Dimension von y wächst bei jedem Schleifurchlauf, Matlab muss daher die Dimension in jedem Durchlauf anpassen sehr teuer bei vielen Durchläufen. besser: Initialisierung vor der Schleife: y = zeros(1,n); for n=1:10 y(n) = sin(n*pi/10);

9 while-schleifen allgemeine Form while Bedingung Matlab-Befehle wobei Bedingung eine logische Variable sein muss. Die Schleife wird solange ausgeführt, bis die Bedingung nicht erfüllt ist (d.h. die logische Variable falsch (= 0) ist). Vorteil gegenüber for-schleifen: man muss nicht vorher wissen, wie oft eine Schleife durchlaufen wird. Vorsicht: Man muss sicherstellen, dass die Bedingung irgwann falsch wird (= 0), sonst läuft die Schleife los (Abbruch mit Ctrl-c).

10 Beispiel Berechnung der Maschinengenauigkeit als kleinste, positive, im Rechner darstellbare Zahl, die zu eins addiert werden kann, so dass die Summe größer als eins ist. n = 0; EPS = 1; while (1+EPS) > 1 EPS = EPS/2; n = n+1; EPS = EPS*2 % Zaehler fuer die % Schleifurchlaeufe % letzte Division der Schleife % war zuviel

11 if-anweisungen / Fallunterscheidungen allgemeine Form if Bedingung Matlab-Befehle wobei Bedingung eine logische Variable sein muss. Die Matlab-Befehle werden nur ausgeführt, wenn die Bedingung wahr (= 1) ist, sonst übersprungen. bei zwei Alternativen if Bedingung Matlab-Befehle (falls Bedingung wahr) else Matlab-Befehle (falls Bedingung falsch)

12 if-anweisungen II bei drei oder mehr Alternativen if Bedingung 1 Matlab-Befehle (falls Bedingung 1 wahr) elseif Bedingung 2 Matlab-Befehle (falls Bedingung 1 falsch und Bedingung 2 wahr) elseif Bedingung 3... else Matlab-Befehle (falls alle Bedingungen vorher falsch) Die Bedingungen werden nur so oft ausgewertet, bis eine wahr ist. Alle folgen Bedingungen werden ignoriert.

13 Schleifen allgemein Aus allen Schleifen kann man vorzeitig mit break ausssteigen. Beispiel: Berechnung der Maschinengenauigkeit mit einer for-schleife EPS = 1; for n=1:1000 % hoechstens 1000 % Schleifurchlaeufe EPS = EPS/2; if (1+EPS) <= 1 EPS = EPS*2 break % Ausstieg aus der for-schleife

14 Beispiel: ggt(m,n), Variante I Euklidischer Algorithmus: Falls m = n ist ggt = n, sonst subtrahiere kleineren Wert von größerem und wiederhole dies mit den neuen Werten. while m ~= n if m > n m = m-n; else n = n-m; g = n; % m ist groesser % n ist groesser

15 Beispiel: ggt(m,n), Variante II Weitere Verbesserung: richtige Eingaben sicherstellen, z.b. m, n > 0: if (m > 0 & n > 0) % vermeide Endlosschleife while m ~= n if m > n m= m-n; else n= n-m; g = n; fprintf( ggt ist: %g\n,g) else % Fehlermeldung error( fehlerhafte Eingabedaten );

16 Beispiel: Approximation von log x log x = k+1 (x 1)k ( 1), 0 < x 2 k k=1 Lösung: s 1 = x 1, k+1 (x 1)k s k = s k 1 + ( 1) k k > 1, Abbruch, falls s k log x < s(1)=x-1; k=1; while abs(s(k)-log(x))>=1e-10 k=k+1; s(k)=s(k-1) + (-1)^(k+1)*(x-1)^k/k; fprintf( k=%i, s(%i)=%g, Fehler=%g\n,k,k,s(k),abs(s(k)-log(x)))