Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

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1 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya

2 Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch einen anderen Vektor dieser Geraden darstellen: u, v g, u = v, R Im Beispiel der Abbildung: u = 2 v, v = 2 u - Ma Lubov Vassilevskaya

3 Eindimensionaler Raum Abb. -2: Vektoren auf parallelen Geraden g g 2, u, v g, w, z g 2 v = u, w = 2 u, z = 2 u u = 2 z, v = 2 z, w = 4 z Kollineare Vektoren sind linear abhängig. Der Name kommt daher, dass man alle Vektoren auf einer Geraden oder auf parallelen Geraden durch einen einzigen von Null verschiedenen Vektor ausdrücken kann. -2 Ma Lubov Vassilevskaya

4 Zweidimensionaler Raum Abb. 2-: Zwei nicht kollineare Vektoren u und v Zwei nicht kollineare Vektoren im 2D-Raum sind linear unabhängig. Es gibt kein λ, das die Vektorgleichung u = λ v erfüllt. 2- Ma Lubov Vassilevskaya

5 Zweidimensionaler Raum Abb. 2-2: Fünf nicht kollineare Vektoren der Ebene Jeden Vektor der Ebene kann man aus zwei nicht kollinearen Vektoren konstruieren, z.b.: u = (2,, v = (, 2, s = 2 u v 2, s 2 = 2 u + v, s 3 = u v 2-2 Ma Lubov Vassilevskaya

6 Zweidimensionaler Raum Abb. 2-3: Drei nicht kollineare Vektoren u, v und w der Ebene Linear abhängig im 2D-Raum sind: Zwei kollineare Vektoren (ein Vektor ist ein Vielfaches des anderen Drei oder mehr Vektoren w = u 2 v,, 2 R 2-3 Ma Lubov Vassilevskaya

7 Zweidimensionaler Raum Sind u und v nicht kollineare Vektoren in der Ebene, so gibt es für jeden Vektor w der Ebene: w = u 2 v,, 2 R Eine solche Darstellung wird als Linearkombination bezeichnet. Die Menge { u, v} heißt eine Basis der Vektoren der Ebene. In der Darstellung w = λ u + λ 2 v bezeichnet man die reellen Zahlen und 2 als die Koordinaten des Vektors bezüglich (u, v die Vektoren λ u, λ 2 v bezüglich (u, v als die Komponenten des Vektors 2-4 Ma Lubov Vassilevskaya

8 Zweidimensionaler Raum Abb. 2-4: Drei linear abhängige Vektoren der Ebene In der Ebene kann man mit den Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen jeden beliebigen Vektor konstruieren : 3 2 = 3 2, = 2-5 Ma Lubov Vassilevskaya

9 Zweidimensionaler Raum Abb. 2-5: Drei linear abhängige Vektoren der Ebene u = 3,, v =, 2, w = 5, 4 Im Folgenden werden wir die Zerlegung des Vektors w durch die Vektoren u und v darstellen. 2-6a Ma Lubov Vassilevskaya

10 Zweidimensionaler Raum 3 2 = 5 4 Diese Gleichung soll für die beiden Koordinaten erfüllt werden. 3 = 5, 2 = 4 = 2, = 5 4 = b Ma Lubov Vassilevskaya

11 Zweidimensionaler Raum: Beispiel In den folgenden Abbildungen 2-7a bis 2-7d zeigen wir die Darstellung von Vektoren v mit verschiedenen Basen: Abb. 2-7a: Abb. 2-7b: Abb. 2-7c: Abb. 2-7d: v = 2.83 b b 2 v = 3.8 b b 2 v = 2.5 b b 2 v = 3.6 b b 2 = 5 e x + e y 2-7E Ma Lubov Vassilevskaya

12 Zweidimensionaler Raum 2-7a Abb. B-a: Darstellung eines Vektors v durch zwei Basisvektoren Ma Lubov Vassilevskaya

13 Zweidimensionaler Raum Abb. B-b: Darstellung eines Vektors v durch zwei Basisvektoren 2-7b Ma Lubov Vassilevskaya

14 Zweidimensionaler Raum Abb. B-c: Darstellung eines Vektors v durch zwei Basisvektoren 2-7c Ma Lubov Vassilevskaya

15 Zweidimensionaler Raum Abb. B-d: Darstellung eines Vektors v durch zwei verschiedene Basen 2-7d Ma Lubov Vassilevskaya

16 Dreidimensionaler Raum Linear abhängige Vektoren im 3D-Raum sind: Drei Vektoren, die in einer Ebene liegen (komplanare Vektoren Vier oder mehr Vektoren v 3 = λ v + λ 2 v 2 v 4 = λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 Linear unabhängige Vektoren im 3D-Raum: Drei nicht komplanare Vektoren v, v 2, v 3 v 3 λ v + λ 2 v 2 Jeder Vektor des 3D-Raumes kann als Linearkombination von drei linear unabhängigen Vektoren dargestellt werden. Die Menge { v, v 2, v 3 } heißt eine Basis des 3D-Raumes. 3- Ma Lubov Vassilevskaya

17 Lineare Abhängigkeit: Beispiel 2a Abb. B-2a: Drei komplanare Vektoren u, v und w sind linear abhängig 3-2 Ma Lubov Vassilevskaya

18 Lineare Abhängigkeit: Beispiel 2b Abb. B-2b: Drei nicht komplanare Vektoren u, v und w sind linear unabhängig 3-3 Ma Lubov Vassilevskaya

19 Lineare Abhängigkeit: Beispiel 2c Abb. B-2c: Vier nicht komplanare Vektoren u, v, w und z sind linear abhängig 3-4 Ma Lubov Vassilevskaya

20 Lineare Abhängigkeit: Beispiel 3 Wir prüfen, ob die Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind v = (, v 2 = (, v 3 = ( 2 Die Vektorgleichung v 2 v 2 3 v 3 = = führt zu folgendem Gleichungssystem: 2 = 2 3 = 2 = Dieses Gleichungssystem hat nur die triviale Lösung: = 2 = 3 = Die Vektoren sind lienar unabhängig 3-5 Ma Lubov Vassilevskaya

21 Basis Definition: Basis im 3D-Raum Wenn es für jeden Vektor des Raumes eindeutig bestimmte reelle Zahlen x, y und z gibt mit u = x v y v 2 z v 3, dann bilden die nicht komplanaren Vektoren v, v 2, v 3 eine Basis Definition: Basis im n-dimensionalen Raum Jedes System von n linear unabhängigen Vektoren in einem Vektorraum der Dimension n heißt Basis des Vektorraums. Die Vektoren der Basis heißen Basisvektoren. Jeder Vektor des Vektorraums hat eine eindeutige Darstellung als Linearkombination der Basisvektoren: n u = x i v i i= x i R heißen Koordinaten von u bezüglich der Basis { v, v 2,..., v n } 4- Ma Lubov Vassilevskaya

22 Vektorraum Ein Vektorraum (V ist eine algebraische Struktur. Die Elemente eines Vektorraums sind Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren (Zahlen multipliziert werden. Das Ergebnis Addition von Vektoren oder Multiplikation mit einem Skalar ist ein Vektor des gleichen Vektorraums. u, v V, u + v V, λ v V, λ u V u, v, w V,, R. ( u + v + w = u + ( v + w Assoziativgesetz der Addition 2. + u = u, V Nullelement bezüglich Addition 3. u + ( u = Inverses Element bezüglich Addition 4. u + v = v + u Kommutativgesetz der Addition 5. α(β u = (α β u, Assoziativgesetz, Multiplikation mit Skalaren 6. (α + β u = α u + β u Distributivgesetz, Addition von Skalaren 7. α( u + v = α v + α u Distributivgesetz, Addition von Vektoren 4-2 Ma Lubov Vassilevskaya

23 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Die Vektoren eines Vektorraumes V, v, v 2,..., v n V, heißen linear unabhängig, wenn aus a v + a 2 v a n v n =, notwendig a = a 2 =...= a n = linear abhängig. a i R, i =, 2,..., n folgt. Andernfalls heißen sie 4-3 Ma Lubov Vassilevskaya

24 ( Eine Basis im 3D-Raum Die Vektoren e x = (, e y = (, e z = ( bilden eine Basis im dreidimensionalen Kartesischen Raum. Sie sind linear unabhängig. Jeder dreidimensionale Vektor v kann als Linearkombination der drei Basisvektoren dargestellt werden v = v x v y v z = v x ( + v y ( + v z ( = v x e x + v y e y + v z e z 4-4 Ma Lubov Vassilevskaya

25 Lineare Abhängigkeit: Aufgaben -4 Aufgabe : Prüfen Sie, ob die Vektoren a und b kollinear sind: a = ( 2 4, b = ( 2, 2 a = (, b = ( Aufgabe 2: Prüfen Sie, ob die Vektoren a und b eine Basis bilden a = ( 3 7, b = ( 6 4 Aufgabe 3: Prüfen Sie, ob diese Vektoren linear unabhängig sind: u = ( 2, u 2 = ( 3, u 3 = ( 3 Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass folgende Vektoren eine Basis im vierdimensionalen Raum bilden: ( u =, ( u 2 =, ( u 3 = 5-A Ma Lubov Vassilevskaya, 3 ( u 4 =

26 Lineare Abhängigkeit: Lösung a = ( 2 4, b = ( 2, a = λ b, ( 2 4 = λ ( a = 2 b a = λ b Die Vektoren a und b sind kollinear. 2, 2 = λ, 4 = 2 λ Man hätte gleich erkennen können, dass Vektor a ein Vielfaches von Vektor b ist: a = ( 4 2 = ( 2 ( 2 2 = ( ( 2 ( 2 ( 2 = 2 ( 2 2 a = (, b = ( Die Vektoren a und b sind nicht kollinear, da keiner ein Vielfaches des anderen ist. 5- Ma Lubov Vassilevskaya

27 Lineare Abhängigkeit: Lösung 2 a = 3 7, b = 6 4, a = b a = λ b, ( 3 7 = λ ( 6 4 = ( 6 λ λ, 3 = 6 λ, 7 = 4 λ 4 3 = 6 λ, λ = 2 7 = 4 λ, λ = 2 Das System hat keine Lösung. Die Vektoren a und b sind linear unabhängig und bilden eine Basis. 5-2 Ma Lubov Vassilevskaya

28 Lineare Abhängigkeit: Lösung 3 Drei Vektoren des dreidimensionalen Raumes sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen. Ist das der Fall, dann kann einer der Vektoren als eine lineare Kombination der anderen dargestellt werden: a u + a 2 u 2 = u 3 ( a + a ( 2 2 a + 3 a 2 = a a 2 = 3 2a + a 2 = 3 a = 2, 3 a 2 = = ( 3 3, 5-3 Ma Lubov Vassilevskaya a a 2 a ( + ( 3 a2 a 2 a 2 = ( a 2 + 3a 2 =, 4 a 2 = 4, a 2 = a = 3 + a 2, a = 3 = 2 2a + a 2 = 3 2 u u 2 = u 3, 2 ( 2 ( 3 Die drei Vektoren sind linear abhängig. = ( 3 3

29 ( ( ( ( ( ( ( Lineare Abhängigkeit: Lösung 4 u =, u 2 =, u 3 =, u 4 = λ u + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 + λ 4 u 4 = ( λ + λ 2 + λ = λ λ = λ 2 = λ 3 = λ 4 = 5-4 Ma Lubov Vassilevskaya

30 Lineare Abhängigkeit: Aufgaben 5, 6 Aufgabe 5: Geben Sie die Zerlegung des Vektors u durch die Basisvektoren a und b an. a u = (4, 5, a = (2,, b = (, 3 b u = (, 2, a = (, 4, b = (2, 5 Aufgabe 6: Für welche c sind die Vektoren u, v und w linear abhängig? u = (, v = (, w = ( c 6-A Ma Lubov Vassilevskaya

31 Lineare Abhängigkeit: Lösung 5 a u = (4, 5, a = (2,, b = (, 3 u = λ a + λ 2 b ( 4 5 = λ ( 2 + λ 2 ( 3 = ( 2 λ + ( 3 λ 2 = ( 2 λ 3 λ 2 4 = 2 λ, 5 = 3 λ 2, λ = 2, λ 2 = 5 u = 2 a 5 b b u = 3 a + 2 b 6- Ma Lubov Vassilevskaya

32 ( Lineare Abhängigkeit: Lösung 6 a u + a 2 v = w ( a + a ( 2 = ( c, ( a a + a 2 a 2 = ( c a + =, a + a 2 = c, + a 2 = a =, a 2 =, a + a 2 = c, c = 2 Die Vektoren u, v und w sind linear abhängig, wenn c = Ma Lubov Vassilevskaya

33 Lineare Abhängigkeit: Aufgaben 7, 8 Aufgabe 7: Zeigen Sie, dass Vektoren u, v und w linear unabhängig sind. Stellen Sie den Vektor a als lineare Kombination von u, v und w dar. u = (, v = (, w = ( a = ( 2 4 5, 2 a = ( 5 6, 3 3 a = ( 2 Aufgabe 8: Die Vektoren u, v und w sind linear unabhängig. Stellen Sie den Vektor a als lineare Kombination von u, v und w dar. u = (, v = ( a = ( 5 2, w = ( 2, 2 a = ( 5 3, 3 a = ( Ma Lubov Vassilevskaya

34 Lineare Abhängigkeit: Lösungen 7, 8 Lösung 7: a = 2 u v + 3 w 2 a = u + 4 v 2 w 3 a = 3 u + 5 v + 4 w Lösung 8: a = 2 u + 3 v 2 w 2 a = 4 u + 2 v w 3 a = 2 u v + 2 w 7-2 Ma Lubov Vassilevskaya

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