Abbildungseigenschaften

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1 Abbildungseigenschaften.5. Injektivität Injektivität (injektiv, linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Es werden also keine zwei verschiedenen Elemente der efinitionsmenge auf ein und dasselbe Element der Zielmenge abgebildet. Eine injektive Funktion ist daher (als Relation gesehen) linkseindeutig. Im Unterschied zu einer bijektiven Abbildung entspricht dabei nicht unbedingt jedem Element der Zielmenge ein Element der efinitionsmenge. ie ildmenge kann also kleiner als die Zielmenge sein. Eine injektive Funktion wird auch als Injektion bezeichnet. Eine injektive Funktion; A.5.. efinitionen Seien und Mengen, sowie f: eine Abbildung von nach. ie folgenden efinitionen für Injektivität sind äquivalent: f heißt injektiv, wenn zu jedem y aus höchstens ein x aus existiert mit f(x) = y. ( Höchstens eines bedeutet dabei: Gar keines oder genau eines, aber nicht mehrere.) Formal: y : (!x : f(x) = y ( x : f(x) = y)) f heißt injektiv, wenn aus der Gleichheit von Funktionswerten (y Werten) die Gleichheit der in die Funktion eingesetzten x Werte folgt. Formal: x,x : (f(x ) = f(x ) x = x ) f heißt injektiv, wenn ungleiche x Werte stets auf ungleiche y Werte abgebildet werden. Formal: x,x : (x x f(x ) f(x )) Verwendet man diese efinition zum Nachweis der Injektivität, führt dies oft zu einem Widerspruchsbeweis. er direkte eweis mit der vorigen efinition kann eleganter und kürzer sein..5.. Grafische Veranschaulichungen as Prinzip der Injektivität: Jeder Punkt in der Zielmenge () wird höchstens einmal getroffen. rei injektive streng monoton steigende rei injektive streng monoton fallende eispiele und Gegenbeispiele Unmathematisches eispiel: ie Funktion, die jedem ürger der undesrepublik eutschland mit Personalausweis die Nummer seines aktuellen Personalausweises zuordnet, ist injektiv, wobei als Zielmenge die Menge aller möglichen Personalausweisnummern angenommen wird. bezeichne die Menge der natürlichen und die Menge der ganzen Zahlen. f :, x x ist injektiv. f :, x x ist injektiv. f :, x x ist injektiv.

2 f :, x x ist nicht injektiv..5.. Eigenschaften Eine stetige reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall ist genau dann injektiv, wenn sie in ihrem gesamten efinitionsbereich streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist, d.h. für zwei beliebige Zahlen a und b aus dem efinitionsbereich gilt: Aus a < b folgt f(a) < f(b) (steigend), bzw. aus a < b folgt f(a) > f(b) (fallend). Man beachte, dass die Injektivität einer Funktion f: A nur vom Funktionsgraphen {(x,f(x)) x A} abhängt (im Gegensatz zur Surjektivität, die auch von der Zielmenge abhängt, welche man am Funktionsgraphen nicht ablesen kann). Sind die Funktionen f: A und g: injektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung) g f : A. Aus der Injektivität von g f folgt, dass f injektiv ist. Eine Funktion f: A mit nichtleerer efinitionsmenge A ist genau dann injektiv, wenn f eine linke Inverse hat, also eine Funktion g: A mit g f = id A (wobei id A die identische Abbildung auf A bezeichnet). Eine Funktion f: A ist genau dann injektiv, wenn f links kürzbar ist, also für beliebige Funktionen g, h: A mit f g = f h schon g = h folgt. Eine Funktion f: A ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen, A gilt: f( )= f() f(). Jede beliebige Funktion f: A ist darstellbar als Verkettung f = h g, wobei g surjektiv und h injektiv (nämlich eine Inklusionsabbildung) ist..5. Surjektivität Surjektivität (surjektiv) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat. In der Sprache der Relationen ist der entsprechende egriff rechtstotal. Eine surjektive Funktion wird auch als Surjektion bezeichnet..5.. efinition Es seien und Mengen, sowie f: eine Abbildung. f heißt surjektiv, wenn für alle y aus mindestens ein x aus mit f(x) = y existiert. Formal: y x : f(x) = y.5.. Grafische Veranschaulichungen Eine surjektive Funktion; as Prinzip der Surjektivität: Jeder Punkt in der Zielmenge () wird mindestens einmal getroffen. rei surjektive Funktionen zwischen reellen Intervallen. Ein Sonderfall der Surjektivität: ie Zielmenge () besteht nur aus einem Element.

3 .5.. eispiele und Gegenbeispiele ie Funktion f: mit f(x) = x + ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl y gibt es ein Urbild. Aus der Gleichung y = x + erhält man nämlich durch Äquivalenzumformung die Gleichung x = ½(y ), womit sich für jedes y ein Urbild x berechnen lässt. ie Sinus Funktion sin : [,] ist surjektiv. Jede horizontale Gerade y = c mit c hat unendlich viele Schnittpunkte mit dem Graphen der Funktion. ie Sinus Funktion sin : ist jedoch nicht surjektiv, da z.. die Gerade y = keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat, der Wert also nicht als Funktionswert angenommen wird. bezeichne die Menge der komplexen Zahlen. f :, x x ist nicht surjektiv. f :, x x ist surjektiv..5.. Eigenschaften Man beachte, dass die Surjektivität einer Funktion f: A nicht nur vom Funktionsgraphen {(x,f(x)) x A}, sondern auch von der Zielmenge abhängt (im Gegensatz zur Injektivität, welche man am Funktionsgraphen ablesen kann). Sind die Funktionen f: A und g: surjektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung) g f : A. Aus der Surjektivität von g f folgt, dass g surjektiv ist. Eine Funktion f: A ist genau dann surjektiv, wenn f eine rechte Inverse hat, also eine Funktion g: A mit f g = id (wobei id die identische Abbildung auf bezeichnet). iese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre. Eine Funktion f: A ist genau dann surjektiv, wenn f rechts kürzbar ist, also für beliebige Funktionen g, h: mit g f = h f schon g = h folgt. Jede beliebige Funktion f: A ist darstellbar als Verkettung f = h g, wobei g surjektiv und h injektiv ist. g: A im f hat dabei die ildmenge von f als Zielmenge und stimmt ansonsten mit f überein (hat denselben Funktionsgraphen)..5. ijektivität ijektivität (bijektiv oder umkehrbar eindeutig auf oder eineindeutig auf) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie verschiedene Elemente ihres efinitionsbereichs auf verschiedene Elemente der Zielmenge abbildet (sie also injektiv ist), und wenn zusätzlich jedes Element der Zielmenge als Funktionswert auftritt (sie also surjektiv ist). Eine bijektive Funktion hat daher immer eine Umkehrfunktion, ist also invertierbar. Eine bijektive Funktion nennt man auch eine ijektion. Eine ijektion einer endlichen Menge auf sich selbst heißt auch Permutation. Für endliche Mengen haben die efinitionsmenge, die ildmenge und die Zielmenge einer ijektion dieselbe Anzahl von Elementen. Umgekehrt ist eine Funktion zwischen endlichen Mengen bijektiv, wenn diese drei Zahlen übereinstimmen. Für unendliche Mengen definiert man die Mächtigkeit als Verallgemeinerung der Elementanzahl mit Hilfe des egriffes der ijektion..5.. efinition Sei f eine Funktion, die von nach abbildet, also f:. f ist bijektiv, wenn für alle y genau ein x mit f(x) = y existiert. Mit anderen Worten kann man dies so ausdrücken: f ist bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. A Eine bijektive Funktion;

4 .5.. Grafische Veranschaulichungen as Prinzip der ijektivität: Jeder Punkt in der Zielmenge () wird genau einmal getroffen. Vier bijektive streng monoton steigende Vier bijektive streng monoton fallende.5.. eispiele und Gegenbeispiele ie Menge der reellen Zahlen wird hier mit bezeichnet, die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen mit + 0. ie Funktion f:, x x + a ist bijektiv mit der Umkehrfunktion f :, x x a. Ebenso ist für a 0 die Funktion g:, x ax bijektiv mit der Umkehrfunktion g :, x a x. Unmathematisches eispiel: Ordnet man jedem (monogam) verheirateten Menschen seinen Ehepartner bzw. seine Ehepartnerin zu, ist dies eine ijektion der Menge aller verheirateten Menschen auf sich selbst. ies ist sogar ein eispiel für eine selbstinverse Abbildung. ie folgenden vier Quadratfunktionen unterscheiden sich nur in ihren efinitions bzw. Wertemengen: f :, x x f : + 0, x x f : + 0, x x f : , x x Mit diesen efinitionen ist f nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv f injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv f nicht injektiv, surjektiv, nicht bijektiv f injektiv, surjektiv, bijektiv.5.. Eigenschaften Sind A und endliche Mengen mit gleich vielen Elementen und ist f: A eine Funktion, dann gilt: Ist f injektiv, dann ist f bereits bijektiv. Ist f surjektiv, dann ist f bereits bijektiv. Insbesondere gilt also für Funktionen f: A von einer endlichen Menge A in sich selbst: f ist injektiv f ist surjektiv f ist bijektiv. Für unendliche Mengen ist das im Allgemeinen falsch. iese können injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden, ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge auf sich selbst, die keine ijektionen sind. Solche Überraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben, siehe dazu auch edekind Unendlichkeit. Sind die Funktionen f: A und g: bijektiv, dann gilt dies auch für die Verkettung g f : A. ie Umkehrfunktion von g f ist dann f g. Ist g f bijektiv, dann ist f injektiv und g surjektiv.

5 Ist f : A eine Funktion und gibt es eine Funktion g: A, die die beiden Gleichungen g f = id A (id A = Identität auf der Menge A) f g = id (id = Identität auf der Menge ) erfüllt, dann ist f bijektiv, und g ist die Umkehrfunktion von f, also g = f. ie ijektionen einer Menge A in sich selbst bilden, zusammen mit der Verkettung als Verknüpfung, eine Gruppe, die, falls A endlich ist, symmetrische Gruppe heißt. 5

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