Lambacher Schweizer. Teildruck. Lösungen. Mathematik für Gymnasien. Bundesland. Nordrhein-Westfalen

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1 Teildruck Die Verkaufsauflage erscheint unter der ISBN Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien Lösungen Bundesland Nordrhein-Westfalen

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3 Schülerbuchseiten 0 IV Flächen Lösungshinweise zu den Erkundungen Seite 0 Flächeninhalte schätzen und messen Forschungsauftrag Individuelle Lösungen Beim Vergleich der Messgeräte können folgende Aspekte berücksichtigt werden: Welche Form haben die Messgeräte? (rechteckige Messgeräte sind in der Regel besser geeignet als runde Messgeräte) Sind die Messgeräte genormt? (Euromünzen sind stets gleich groß, Etuis und Handflächen nicht) Wie groß sind die Messgeräte? (Eine sehr große Fläche lässt sich mit Euromünzen zum Beispiel nicht gut auslegen, da sollte man größere Messgeräte verwenden) Hat man das Messgerät zur Verfügung? (Handflächen stehen immer zur Verfügung, ein Geodreieck hat man hingegen nicht immer dabei) Forschungsauftrag Individuelle Lösung Vorteile: Man kann Quadrate gut aneinanderlegen, alle messen mit gleich großen Quadraten, Ergebnisse werden dadurch vergleichbar. Mögliche Nachteile: Quadratdezimeter ist möglicherweise recht klein, um die Tischfläche auszulegen. Man braucht daher recht viele solcher Quadrate. Man benötigt ein Lineal, um ein solches Quadrat zu erstellen und hat es nicht immer dabei. Man könnte mit Quadraten der Seitenlänge m den Klassenraum ausmessen. Forschungsauftrag Man benötigt 00 Quadrate der Seitenlänge dm, um ein Quadrat der Seitenlänge m auszulegen. Dies liegt daran, dass für die Länge und die Breite des großen Quadrats jeweils 0 kleine Quadrate benötigt werden. Da 0 0 = 00 ist, benötigt man insgesamt 00 Quadrate. Die Schüler haben 00 Quadrate der Seitenlänge m auf dem Schulhof eingezeichnet. Es entsteht ein Quadrat mit der Seitenlänge 0 m. Dieses hat den Flächeninhalt 00 Quadratmeter bzw. Ar. Forschungsauftrag Die zwei Dreiecke sind genauso groß wie das abgebildete Parallelogramm Begründung: Man kann zwei Dreiecke so zusammenlegen, dass das Parallelogramm entsteht. Die zwei ausgeschnittenen Trapeze lassen sich zu einem Parallelogramm zusammenlegen, das doppelt so groß ist wie das abgebildete Parallelogramm Der Flächeninhalt des abgebildeten Parallelogramms ist genauso groß wie der des abgebildeten Trapezes Man kann von dem Parallelogramm ein Dreieck abschneiden und so wieder anlegen, dass das Trapez entsteht. Man kann auch die vorherige Aussage verwenden. Wenn zwei Trapeze so groß sind wie zwei Parallelogramme, dann ist ein Trapez so groß wie ein Parallelogramm. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist halb so groß wie der des Parallelogramms. Man kann zwei Dreiecke so zusammenlegen, dass das Parallelogramm entsteht (s. o), also ist der Flächeninhalt des Dreiecks halb so groß wie der des Parallelogramms. Wenn man das Trapez geeignet zerschneidet, dann kann man die Teile zu einem Reckteck zusammenlegen. Seite Zusammenhänge zwischen Flächeninhalten untersuchen Forschungsauftrag Individuelle Lösung IV Flächen L

4 Schülerbuchseiten Aus den zwei Dreiecken kann man ein Rechteck erstellen, wenn man eines der Dreiecke nochmals zerschneidet. Wenn man ein Parallelogramm geeignet zerschneidet, dann kann man die Teile zu einem Rechteck zusammenlegen. a) Das rechte Zimmer ist größer. Es besteht aus 0 Kästchen, das linke Zimmer nur aus 8 Kästchen. b) Individuelle Lösung A: Kästchen B: 7 Kästchen C: Kästchen D: Kästchen E: Käschten A: Kästchen B: Kästchen C: Kästchen D: 0 Kästchen E: Kästchen Somit gilt: A < E < B = C < D Individuelle Lösung Forschungsauftag : Individuelle Lösung Flächeninhalte vergleichen Seite Einstiegsaufgabe Von links nach rechts: Für die erste Katze braucht man kleine Dreiecke, für die zweite Katze kleine Dreiecke und für die dritte Katze kleine Dreiecke. Bei der vierten Katze (s. u.) ist eine genaue Angabe schwierig, die Vergleichsgröße fehlt. Sie besteht aus Dreiecken. Somit sind die erste und die letzte Katzenfigur kleiner als die beiden anderen. Seite 7 Die Flächen sind alle gleich groß. Man kann alle Figuren zu einem Quadrat mit Kästchen ergänzen, das doppelt so groß ist wie das ursprüngliche Dreieck. Beispiel: B 8 a) Individuelle Lösung Die Anzahl der Lösungen hängt von der Anzahl der Teiler der Zahl ab, wenn man rechteckige Figuren betrachtet, die nur aus ganzen Kästchen besteht. b) Mögliche Lösung Seite dunkelgelbe Zellen hellgelbe Zellen 9 a) Falsch Gegenbeispiel: L IV Flächen

5 Schülerbuchseiten 7 b) Richtig Man kann jedes Rechteck in zwei Dreiecke zerschneiden und diese zu einem größeren Dreieck zusammenlegen. Dieses Dreieck hat dann den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck. c) Richtig Es entsteht dann ein neues Rechteck, das man so teilen kann, dass es genau zweimal aus dem ursprünglichen Rechteck besteht. Flächeneinheiten Seite Einstiegsaufgabe Die Farbe reicht vermutlich nicht für die Decke des Klassenraums. Die Gesamtoberfläche aller Decken der Schule muss abgeschätzt werden (in m ) und dann durch 0 geteilt werden, um die Anzahl der benötigten Farbtöpfe zu erhalten. Seite Mögliche Lösungen: a) m b) a c) dm d) a e) cm f) dm g) km h) mm Seite 7 Es gibt 7 Möglichkeiten. Mögliche Lösungen: m : Esstisch, großes Fenster cm : Knopf, SIM-Karte ha: großer Schulhof, Löwengehege im Wuppertaler Zoo a: großer Vorgarten, Wohnung km : Olympiapark München, Fühlinger See Briefmarke cm Bodensee 9 km Buch dm Tür m Sportplatz a Golfplatz ha a) / b) a) cm b) Mögliche Lösung: dm c) Mögliche Lösung: Es passen 00 cm in einen Quadratdezimeter ( dm = 00 cm ). c) () dm = 00 cm () dm = 00 cm () 00 dm = 0000 cm () 7000 dm = cm IV Flächen L

6 Schülerbuchseiten 7 8 d) () 00 dm = m () cm = m () mm = m a) m = 00 dm b) ha = 00 a c) 8 a = 800 m d) cm = 00 mm e) cm = 00 mm f) 0 m = 000 dm g) km = 00 ha h) dm = 00 cm i) 0 cm = 000 mm j) 00 dm = cm k) 000 km = ha l) 00 ha = a a) 00 cm = dm b) 00 m = a c) 00 ha = km d) 00 dm = m e) 000 mm = 0 cm f) 00 m = a g) 7000 a = 70 ha h) 00 m = a i) 0 00 mm = 0 cm j) 700 dm = 7 m k) 000 ha = 0 km l) a = 00 ha 7 a) dm = 00 cm b) 9 m = 900 dm c) 00 a = ha d) 70 ha = 7000 a e) 700 dm = 7 m f) 0000 ha = 00 km 8 a) dm = 00 cm = mm b) ha = 00 a = m c) 8 m = 800 dm = cm d) 7 km = 700 ha = a e) a = 800 ha = 8 km f) cm = 00 dm = m 9 Es gilt: 0 ha = 000 a (IV = II) m = 00 dm (I = VI) dm = mm (V = III) Seite 8 a) Quadratfuß 0 cm 0 cm = 900 cm b) Individuelle Lösung a) 8 ha = m b) 7 m = cm c) 0 km = a d) 0000 a = km e) 0000 cm = m f) dm = ha a) Richtige Lösung: m = cm b) Richtige Lösung: ha = 00 a c) Richtige Lösung: km = m d) Richtige Lösung: 00 mm = cm e) Richtige Lösung: 0 dm = 0 00 cm f) Richtige Lösung: a = cm Es wurde jeweils vergessen mit der Umrechnungszahl 00 zu rechnen. Stattdessen wurde die Maßzahl fälschlicherweise so geändert wie bei den zugehörigen Längenangaben. a) 8 dm = 800 cm = mm b) 8 ha = 800 a = m c) m = 800 a = 8 ha d) mm = 7000 cm = 70 dm e) 8 m = 800 dm = cm = mm f) m = a = 00 ha = km a) m dm = 00 dm + dm = dm b) km ha = 00 ha + ha = ha c) ha a = 00 a + a = a d) km ha = 00 ha + ha = 0 ha e) a 0 m = 00 m + 0 m = 0 m f) 8 m 0 cm = cm + 0 cm = cm 7 a) m = a m b) ha = km ha c) 79 dm = 7 m 9 dm d) 90 cm = 9 dm 0 cm e) 00 mm = 0 cm 0 mm f) a = ha a 8 a) Die Aussage ist falsch. Wenn man zum Beispiel die Seitenlänge eines Quadrats mit dem Flächeninhalt cm verzehnfacht, erhält man ein Quadrat, das 0 cm breit und 0 cm lang bzw. dm breit und dm lang ist. Der Flächeninhalt beträgt dann dm = 00 cm und ist 00-mal so groß wie zuvor. b) Ein Mathebuch hat ungefähr einen Flächeninhalt von dm (vgl. Aufgabe ), Mathebücher entsprechend dm = dm = m = 00 a = ha Die Aussage ist also richtig. 9 a) ha = 00 a 00 a : 0 = a Ein Grundstück ist a bzw. 00 m groß. b) ha = 00 a = m m 0 _ m = ³ Die Stadt nimmt etwa, Millionen Euro ein. 0 (I) 00 m dm = 0 0 dm (II) a m = 00 dm (III) 999 dm cm (IV) 0 00 m = dm (V) 00 a 70 m = dm (VI) ha a = 0 a = dm 999 dm cm < 00 m dm < a m < 0 00 m < 00 a 70 m < ha a a) m + dm = 00 dm + dm = dm b) dm cm = 00 cm cm = 9 cm L IV Flächen

7 Schülerbuchseiten 8 c) 0 m dm = 000 dm dm = 900 dm d) 98 cm + 00 mm = 98 cm + cm = 0 cm e) cm 8 = 00 cm = dm f) dm : 80 = 00 cm : 80 = cm g) 78 dm + 00 cm = 78 dm + dm = 00 dm = m h) ha + 00 a = ha + ha = ha i) ha + 0 a = 00 a + 0 a = 0 a Seite 9 a) mm = 000 cm = 0 dm Division der Division der Maßzahl : 00 Maßzahl : 00 km = 00 ha = a Multiplikation Multiplikation der Maßzahl der Maßzahl mit 00 mit 00 b) Man darf keine Einheit vergessen, weil sonst nicht mit der Umrechungzahl 00 gerechnet werden darf. Wenn man zum Beispie die Maßeinheit Ar in der Reihe weglässt, muss man von m in ha mit der Umrechnungszahl 0000 rechnen: ha = 0000 m ha = a = m 8 Millionen Menschen bräuchten 9 Millionen Quadratmeter Der Platz würde also nicht ganz ausreichen. a) m = 00 dm = cm = Auf der Hautoberfläche gibt es demnach etwa 0 Millionen Nervenzellen. b) mm = cm = dm = 00 m Die Oberfläche der Lunge ist etwa 00 m groß. 7 a) pro Jahr: ha pro Tag: ha : 79 ha pro Stunde: 79 ha : 8 ha pro Minute: 8 ha : 0 =,8 ha Pro Minute wurden also ca. 7 Fußallfelder Regenwald vernichtet, wenn man davon ausgeht, dass ein Fußballplatz ca. 0, ha groß ist. Hinweis: Die Maße eines Fußballfeldes sind nicht normiert, daher können auch andere Schlussfolgerungen (zum Beispiel bzw. Fußballfelder pro Minute) richtig sein. b) Pro Sekunde:,8 ha : 0 = 0 a : 0, a, a = 0 m = 000 dm Flächeninhalt des Schulbuchs: ca. dm 000 dm : dm = 00 Pro Sekunde wird eine Fläche zerstört, die ungefähr so groß ist wie 00 Schulbücher. Flächeninhalt eines Rechtecks Seite 0 Einstiegsaufgabe Man benötigt = 0 Platten. 0 Platten wurden schon verlegt, Platten liegen noch bereit, der Vorrat reicht also nicht aus. Seite A: cm cm = 0 cm B: cm cm = cm C: mm 0 mm = 0 mm a) A = cm 8 cm = cm b) A = mm mm = mm c) A = 0 km 0 km = 00 km d) A = 9 dm dm = 99 dm e) A = m 8 m = 9 m f) A = cm cm = 9 cm g) A = dm dm = 8 dm h) A = m m = 0 m a) A = cm mm = 0 mm mm = 00 mm b) A = m dm = 0 dm dm = 0 dm c) A = 7 dm cm = 70 cm cm = 0 cm d) A = mm 7 cm = mm 70 mm = 80 mm e) A = 9 cm dm = 9 cm 0 cm = 0 cm f) A = dm m = dm 0 dm = 0 dm g) A = km 0 m = 000 m 0 m = m = 7 ha h) A = mm dm = mm 00 mm = 00 mm = cm A = 8 cm 8 cm = cm Seite Die Seitenlängen müssen so gewählt werden, dass das Produkt cm ergibt, zum Beispiel a = cm b b = cm a = cm b = cm a a b cm cm IV Flächen L

8 Schülerbuchseiten a = cm b = cm a a) A cm cm = cm b) A cm cm = cm c) A cm cm = cm b cm 7 a) A = m m = 0 m Der Flächeninhalt des Zimmers betägt 0 m. Das noch vorhandene Parkett reicht hierfür aus. b) 0 9 = 80 Das Parket für 0 m kostet A = m m = m = 8 Das Glas kostet 8. a) Für ein DIN A--Heft gilt: A 0 cm 0 cm = 00 cm b) Für einen Schülerausweis mit den Maßen 8 cm cm gilt: A = 8 cm cm = 0 cm c) Für einen Tisch mit den Maßen 80 cm 0 cm gilt: A = 80 cm 0 cm = 800 cm d) Für ein Pult mit den Maßen,0 m 0,80 m gilt: A = 0 cm 80 cm = 900 cm e) A m (Tafel mit Seitenflügeln) f) Für einen Klassenraum mit den Maßen 7 m 9 m gilt: A = 7 m 9 m = m g) Für ein Fenster mit den Maßen m m gilt: A = m m = m h) Für eine m breite und m große Tür gilt: A = m m = m a) Flächeninhalt einer Buchseite: ca. dm b) Ein 7 m breiter, 9 m langer und m hocher Klassenraum hat Seitenflächen von 7 m m + 9 m m = m + m = 9 m Wenn man für die Fensterflächen, die Tür und die Tafel 0 m abzieht, bleiben 7 m zu tapezieren. Ein Buch mit 0 Seiten hätte 0 dm = 0 dm =, m Es reicht nicht, um den Klassenraum zu tapezieren. Aufgabenteil a) b) c) d) e) Länge cm cm m 00 m 000 m Breite dm cm 0 m 00 m km Flächeninhalt 000 cm = 0 dm 7 cm 0 a ha 0 km a) b = 80 cm : 8 cm = 0 cm b) b = 0 cm : 8 cm = 0 cm c) 80 mm : 8 cm = 80 mm : 80 mm = mm d) dm : 8 cm = 00 cm : 8 cm = 00 cm = m Weitere Beispiele: cm = cm cm = 0 mm 0 mm = 00 mm km = 000 m 000 m = m ha = 00 m 00 m = m A = m m 80 cm, m = m 8 dm dm = m 00 dm = m m = 0 m Er benötigt Farbe für 0 m. Seite 7 a) A = km m = 000 m m = m = 9000 a = 90 ha b) m : 00 m = 800 Die Fläche ist genauso groß wie 800 Baugrundstücke mit je 00 m. 8 a) A = cm cm + cm cm = 8 cm + cm = 9 cm b) A = cm cm cm cm = 9 cm cm = 7 cm c) A = cm cm cm cm cm cm = cm cm cm = cm 9 a) A = cm dm = cm 0 cm = 0 cm Man muss die Streckenlänge zunächst in der gleichen Einheit angeben und kann dann erst rechnen. b) A = 7 cm 0 cm = 70 cm = 0,7 dm Man muss die Maßzahl durch 00 teilen, wenn man von cm in dm umrechnet. c) A = m = m Wenn man eine Streckenlänge mit multipliziert dann ist das Ergebnis wieder eine Streckenlänge und kein Flächeninhalt. d) A = = oder A = dm dm = dm Die Einheiten werden in der Rechnung erst weggelassen und dann angegeben. Man muss sie aber konsequent in der ganzen Rechnung verwenden (oder in der ganzen Rechnung weglassen. Dann muss man aber darauf achten, dass man die Einheiten vorher anpasst und in einem Antwortsatz die Einheit des Ergebnisses angeben.) L IV Flächen

9 Schülerbuchseiten a) 0 m 0 m Seite a) A = 8 cm cm = 0 cm b) A = cm, cm = cm c) A = 7 m m = 9 m b) A = 0 m, m + 0 m, m + (, m) = 0 m + 0 m + 9 m = 9 m c) 9 m : (0 cm 0 cm) = 9 m : 00 cm = 900 dm : dm = 0 90 Man braucht fast 000 Pflastersteine. a) Wenn man eine Seitenlänge eines Rechtecks verdoppelt, dann verdoppelt sich auch der Flächeninhalt. b) Wenn man eine Seitenlänge eines Rechtecks halbiert, dann halbiert sich auch der Flächeninhalt. c) Wenn man die Länge und die Breite eines Rechtecks verdoppelt, dann vervierfacht sich der Flächeninhalt. d) Wenn man die Länge eines Rechtecks vervierfacht und die Breite halbiert, dann verdoppelt sich der Flächeninhalt. a) Die Aussage ist falsch. Wenn man alle Seitenlänge eines Quadrats verdoppelt, dann vervierfacht sich der Flächeninhalt. b) Die Aussage ist nur richtig, wenn die Seitenlänge, die verlängert wird, vorher cm lang ist, denn dann wird sie verdoppelt und der Flächeninhalt ebenfalls (sofern die andere Seitenlänge nicht verändert wird). c) Die Aussage ist falsch. Der Flächeninhalt verkleinert sich dann um cm. ( cm + cm) ( cm cm) = cm cm = cm = cm cm Ein allgemeiner Nachweis in der Form (a + ) (a ) = a kann in Klasse nicht erbracht werden, daher reicht hier die Argumentation mit Beispielen um die Aussage zu widerlegen. Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken Seite, m Einstiegsaufgabe Die Flächeninhalte sind gleich groß. Man kann jeweis die Flächen B, C und D so zerlegen und wieder zusammenlegen, dass das Rechteck A entsteht. a) A = cm cm = 8 cm b) A = cm cm = cm c) A = cm cm = 8 cm a) A = 0 mm mm = 0 mm b) A = 0 mm mm = 00 mm = cm c) A = mm mm = mm d) A = 0 mm mm = 00 mm = cm a) A = ( cm cm) : = 8 cm : = cm b) A = ( cm cm) : = 8 cm : = cm c) A = ( mm 0 mm) : = 700 mm : = 0 mm =, cm a) A = ( mm 0 mm) : = 00 mm : = 0 mm =, cm b) A = ( mm mm) : = mm : = mm c) A = (0 mm 7 mm) : = 0 mm : = 7 mm d) A = ( mm 8 mm) : = 0 mm : = mm a) A = mm mm = 8 mm b) A = mm 0 mm = 0 mm c) A = (0 mm mm) : = 000 mm : = 00 mm = cm d) A = ( mm mm) : = 8 mm : = 9 mm IV Flächen L 7

10 Schülerbuchseiten 7 7 a) A = ( cm cm) : = 0 cm : = 0 cm y A B b) y D C O b) A = ( cm cm) : = 9 cm : = 900 mm : = 0 mm =, cm O y Seite 7 A D C B C x x O A 7. Möglichkeit: A = mm mm = 80 mm. Möglichkeit: A = cm cm = 8 cm = 800 mm Die Ergebnisse der. und. Möglichkeit stimmen in a) und b) jeweils fast überein. Aufgrund von Messungenauigkeiten gibt es aber kleine Unterschiede. Individuelle Lösungen, z. B. a) cm cm cm cm cm B x 0 a) b) y cm C cm cm cm cm A B c) cm O 7 x cm. Möglichkeit: A = ( cm cm) : = 8 cm : = 9 cm = 900 mm. Möglichkeit: A = (8 mm mm) : = 798 mm = 899 mm cm, cm 8 cm L 8 IV Flächen

11 Schülerbuchseiten 7 8 d) a) b) cm cm cm 8 cm cm cm cm cm cm cm Wenn man das Dreieck auf der linken Seite des P arallelogramms abschneidet und rechts wieder anlegt, entsteht das zuvor gezeichnete Rechteck. c) Es wurde vergessen durch zu teilen. Außerdem ist das Umwandeln von mm in cm im Ergebnis falsch. Hier muss mit der Umrechnungzahl 00 gerechnet werden. Richtige Lösung: A = ( mm 0 mm) : = 00 mm : = 0 mm =, cm d) Die Höhe muss senkrecht zur Grundseite sein. Außerdem muss durch geteilt werden um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu bestimmen. a) A = 0 m 0 m + (8 m 0 m) : = 00 m + 80 m = 80 m Das Grundstück ist 80 m groß. b) A = 0 m 8 m 80 m = 90 m 80 m = 80 m Man muss mindestens 80 m dazukaufen. 0 cm = 000 mm 000 mm : mm = 80 mm = 8 cm Die Grundseite ist 8 cm lang. cm cm, cm cm 8 cm cm Man kann das Quadrat in rechtwinklige Dreiecke zerlegen. In dem obigen Beispiel sind diese alle gleich groß. Zwei der rechtwinkligen Dreiecke bilden das eingezeichnete große Dreieck. Daher hat das große Dreieck einen Flächeninhalt von 8 cm (die Hälfte von cm ). a) Man muss zunächst die Höhe bestimmen und darf bei dem Parallelogramm nicht die Seitenlängen multiplizieren, um den Flächeninhalt zu bestimmen. Richtige Lösung: A = cm, cm = 0 mm mm = 0 mm =, cm cm, cm Seite 8 Man kann zuerst den Flächeninhalt des großen Rechtecks bestimmen und hiervon den Flächeninhalt der drei rechtwinkligen Dreiecke abziehen. A gelb = cm 7 cm ( cm cm) : ( cm cm) : ( cm cm) : ( cm cm) : = cm cm cm cm cm = cm 8 cm = 7 cm 7 a) Wenn man die Höhe verdoppelt, dann verdoppet sich auch der Flächeninhalt. b) Die Höhe wurde halbiert. cm cm cm b) Man muss bei der Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken Höhe Grundseite : rechnen. Hier wurde nicht durch geteilt. Richtigunge Rechnung: A = (7 cm cm) : = cm : = 00 mm : = 70 mm = 7, cm cm cm Die Länge der Grundseite wurde halbiert. cm IV Flächen L 9

12 Schülerbuchseiten 8 0 cm cm cm Die Höhe und die Grundlänge wurden so verändert, dass deren Produkt die Hälfte von cm cm ist. Es gilt dann A = ( cm cm) : = cm : = cm 8 a) Die Aussage ist falsch. Dann verdoppelt sich auch die Höhe und der Flächeninhalt vervierfacht sich. b) Die Aussage ist richtig. Man multipliziert dann die Grundseite mit einer Zahl, die halb so groß ist. Dadurch ist auch das Endergebnis der Flächenberechnung halb so groß. a) A = ( cm cm) : + ( cm cm) : + ( cm cm) : + ( cm cm) : = cm + cm + cm + cm = 0 cm b) Man kann den Drachen so zu einem Rechteck ergänzen, dass das Rechteck den doppelten Flächeninhalt hat wie der Drachen. Die Diagonalen des Drachens sind dann so lang wie die Seiten eines solchen Rechtecks. c) cm Man kann ein Rechteck zeichnen, dessen Seitenlängen der Länge der Mittellinie und der Höhe entsprechen. Ein solches Rechteck hat den gleichen Flächeninhalt wie das Trapez, da die rechtwinkligen Dreiecke auf der linken bzw. rechten Seite jeweis flächengleich sind. 0 Umfang von Figuren Seite 9 Einstiegsaufgabe Wenn es im Alltag um die Größe eines Sees oder einer anderen Fläche geht, ist meistens der Flächeninhalt gemeint. In diesem Fall ist der Wildsee um km kleiner, hat also einen um km kleineren Flächeninhalt als der Stille See. Wenn man allerdings am Ufer entlang um einen See wandert, ist nicht der Flächeninhalt, sondern die Uferlänge von Bedeutung. Mithilfe der Längenangabe am unteren Teil der Karte kann man die jeweiligen Uferlängen schätzen. Uferlänge vom Stillen See: ca. 9, km Uferlänge vom Wildsee: ca. km Tanja hat somit recht. Wenn die Klasse eine kürzere Strecke laufen will, dann sollte sie um den Stillen See wandern. Seite 0 a) U = ( cm + cm) = cm = cm b) U = ( dm + dm) = dm = dm c) U = ( mm + mm) = 8 mm = mm d) U = ( km + 9 km) = km = km a) U = (8 mm + 0 mm) = 8 mm = 9 mm A = 8 mm 0 mm = 0 mm b) U = (0 cm + 9 cm) = 9 cm = 8 cm A = 0 cm 9 cm = 80 cm c) U = (0 dm + 7 dm) = 7 dm = dm A = 0 dm 7 dm = 80 dm d) U = (000 m + 0 m) = 0 m = 900 m A = 000 m 0 m = m = ha a) U = ( mm + mm) = 0 mm = 0 mm = cm A = mm mm = mm b) U = ( cm + cm) = 7 cm = cm A = cm cm = cm c) U = ( cm + mm) = (0 mm + mm) = mm = 90 mm = 9 cm A = cm mm = 0 mm mm = 0 mm a) U = ( cm + cm) = cm = 0 cm b) U = cm + cm + cm + cm + cm + cm = 0 cm c) U = cm + cm + cm + cm + cm + cm + cm + cm = 0 cm Der Umfang ist jeweils gleich. m L 0 IV Flächen

13 Schülerbuchseiten 0 a) U = cm + cm + cm + cm = 8 cm y 8 D C cm 0 cm O A B x cm b) U, cm +, cm +, cm +, cm =, cm y C 9 cm 8 7 D cm B 8 cm A O x Den größten Flächeninhalt hat das Qudrat mit der Seitenlänge cm U = cm = cm A = cm cm = cm Seite a) U = ( m + m) = 9 m = 8 m Da für die Stelle, an der die Tür ist, keine Fußleiste benötigt wird, braucht man 7 m Fußleisten. b) 7 m _ m = 0 Man muss 0 bezahlen. 7 a) A = 0 m 0 m = 900 m b) U = 0 m = 0 m Der Zaun wird 0 m lang. a) cm cm = cm U = ( cm + cm) = 0 cm b) dm dm = 0 dm U = ( dm + dm) = dm c) m 0 m = 00 m U = ( m + 0 m) = m d) 8 km km = 9 km U = (8 km + km) = 0 km e) Um die Maßzahl der fehlenden Seite zu bestimmen, dividiert man die Maßzahl der Flächeneinheit durch die Maßzahl der gegebenen Einheit. Da die Einheiten zueinander passen (cm und cm bzw. dm und dm, ), erhält man die fehlende Seitenlänge in der gleichen Einheit wie die gegebene Seitenlänge. Da man bei der Berechnung dividieren muss, um die fehlende Zahl in der Multiplikationsaufgabe zu erhalten, verwendet Hans den Ausdruck rückwärts rechnen, denn das Dividieren ist die Umkehrung der Multiplikation: = : =. a) A = cm mm = 0 mm mm = 0 mm U = (0 mm + mm) = 8 mm b) 80 cm = (0 cm + b) b = 0 cm A = 0 cm 0 cm = 00 cm c) A = 0 a = 000 m a m = 000 m a = 0 m U = ( m + 0 m) = 0 m IV Flächen L

14 Schülerbuchseiten d) A = mm 7 mm = 0 mm U = ( mm + 7 mm) = mm e) A = 7 km 7 km = 79 km U = (7 km + 7 km) = 8 km f) A = 00 m 00 m = m = ha U = (00 m + 00 m) = 00 m =, km a) A = cm 0 cm = 0 cm U = ( cm + 0 cm) = cm b) 0 : 0 = 8, also 0 cm 8 cm = 0 cm Es hätte also eine Breite von 8 cm. c) ( 0) : = cm, also ( cm + 0 cm) = cm Es hätte also eine Breite von cm. Aufgabenteil a) b) c) d) Länge cm dm 8 mm 00 m Breite cm dm mm 0 m Flächeninhalt 7 cm 7 dm 0 mm 0 a Umfang cm 7 dm mm 0 m. Zimmer: Decke: A = m m = 0 m Man benötigt Farbe für 0 m. Boden: A = m m = 0 m Man benötigt Teppich für 0 m. U = ( m + m) = 8 m Man benötigt Fußbodenleisten für 7 m, da an der Tür ( m breit) keine Fußbodenleiste angebracht wird. Wände: A = m, m + m, m = m + 0 m = m Man benötigt Tapete für m (da man für die Tür und das Fenster keine Tapete braucht).. Zimmer: Decke: A = m m = 8 m Man benötigt Deckenfarbe für 8 m. Boden: A = m m = 8 m Man benötigt Teppichboden für 8 m. U = ( m + m) = 8 m Man benötigt Fußbodenleisten für 7 m, da man an der Tür ( m breit) keine braucht. Wände: A = m, m + m, m = 0 m + m = m Man benötigt Tapete für m, da man für die Tür ( m ) und das Fenster ( m ) keine Tapete braucht. a) 7 : = Das Grundstück ist m breit und m lang. b) U = ( m + m) = 0 m = 80 m 7 a) Abzusperrende Fläche: 00 m Länge, 0 m Breite U = (00 m + 0 m) = 0 m = 0 m Man benötigt mindestens 0 m Absperrband. b) 0 : = Man benötigt Pfosten. Seite 8 a) Es wurde nur der halbe Umfang berechnet. Richtige Rechnung: U = ( cm + cm) = 8 cm b) Es wurde der Flächeninhalt und nicht der Umfang berechnet. Deshalb sollte man notieren: A = ( cm cm) : = 0 cm c) Es wurde falsch in mm umgerechnet. Richtige Rechnung: U = ( cm +, cm) = (0 mm + mm) = 0 mm = 08 mm 9 a) Die Aussage ist falsch. Beispiel: a = 0 m b = m U = m a = 0 m b = m U = 8 m Man müsste beide Seitenlängen verdoppeln, damit sich der Umfang verdoppelt. b) Die Aussage ist falsch. Beispiel: U = 0 m a = m A = m U = 0 m a = 0 m A = 00 m Der Flächeninhalt vervierfacht sich dann. c) Die Aussage ist falsch. Beispiel: A = 00 m a = 0 m U = 0 m A = 0 m a 7, m U 8, m Man müsste den Flächeninhalt durch teilen, damit sich der Umfang halbiert (vgl. Beispiel in b)). a) Beispiel: a = m, b = m A = m U = 0 m a = m, b = 9 m A = m U = 0 m Der Umfang verdreifacht sich dann ebenfalls. Der Flächeninhalt verneunfacht sich, denn die verdreifachten Längen werden quadriert und = 9. b) A = cm U = cm A = cm U = 8 cm Alle Seitenlängen werden verdoppelt, wenn sich der Flächeninhalt vervierfacht. Also verdoppelt sich dann der Umfang. Er hat nicht Recht. Der Flächeninhalt des roten Dreiecks ist größer. Der Umfang des roten Dreiecks ist allerdings kleiner als der Umfang der Treppenfigur. L IV Flächen

15 Schülerbuchseiten A = (, cm cm) : =, cm = 0 mm U, cm +, cm +, cm = 7, cm Für die. Figur gilt: U = cm A =, cm = mm U =, cm + 0, cm = 8 cm Für die. Figur gilt: a). Figur U = cm. Figur U = cm. Figur U = 8 cm. Figur U = 8 cm. Figur U = 0 cm Die 0. Figur sieht wie folgt aus: U = cm U = cm Alle folgenden Figuren haben ebenfalls einen Umfang von mindestens cm. Es kommen also nur die 0.,. oder. Figur in Frage. Schätzen und Rechnen mit Maßstäben b) Für die 9. Figur gilt: U = cm < cm Seite Einstiegsaufgabe Auf dem Bild ist der Taj Mahal aus Kunststoff ca. mm hoch. Die Hand ist ca. mm lang. Die Hand könnte in Wirklichkeit ca. 8 cm lang sein. Also wäre der Taj Mahal aus Kunststoff in Wirklichkeit etwa 9 cm hoch (halb so hoch wie die Hand lang ist). Somit müsste der Taj Mahal dann in Wirklichkeit cm = 700 cm = 7 m hoch sein. Seite Für die 0. Figur gilt U = cm (siehe a)) Für die. Figur gilt: U = cm a) cm = cm = 00 m =, km b) cm = cm = 00 m c) cm = cm = 000 m = km d) cm = cm = 00 m =, km Länge auf der Karte cm 0 cm cm 0 cm 0 cm m Länge in Wirklichkeit 00 m km 00 m km km 0 km IV Flächen L

16 Schülerbuchseiten Seite a) 00 km = m m : = m Auf der Straßenkarte im Maßstab : wäre die Strecke m lang. b) m : = m Auf der Fahrradkarte im Maßstab : wäre die Strecke m lang. c) m : 000 = m Auf der Wanderkarte im Maßstab : 000 wäre die Strecke m lang. a) cm = 7 cm =,7 m cm = 7 cm =,7 m Das Auto ist in Wirklichkeit ca.,70 m lang und,70 cm breit. b),7 m : 0 = 7 cm : 0 = 7, cm = 7 mm,7 m : 0 = 7 cm : 0 = 7, cm = 7 mm Das Modell wäre dann ca. 7 cm lang und 7 cm breit. 7 a) Auf der Karte beträgt die Entfernung Luftlinie ca. 8 mm. 8 mm = mm = 900 m =,9 km Die Entfernung Luftlinie beträgt in Wirklichkeit ca. km. b) Auf der Karte ist die Strecke über die Straßen ca. 7, cm = 7 mm lang. 7 mm = mm = m = 9, km Die Entfernung über die Straßen beträgt ca. 0 km. 8 a) cm 000 = 000 cm = 0 m, cm 000 = mm 000 = mm = 80 m Der Sportplatz ist in der Wirklichkeit 0 m lang und 80 m breit. b) A = 80 m 0 m = 000 m = 0 a =, ha 9 a) Entfernung auf der Karte: ca.,8 cm = 8 mm Entfernung in Wirklichkeit (Luftlinie): 8 mm = mm = 90 km b) Länge auf der Karte: ca., cm = mm Länge in Wirklichkeit: mm = mm = 7 km c) Die Form der Insel ist näherungsweise ein Dreieck. Grundseite: ca., cm (auf der Karte) Höhe: ca., cm (auf der Karte) Die Grundseite und die Höhe in Wirklichkeit sind dann mal so lang. Grundseite: cm = 7 km Höhe: cm = 80 km Flächeninhalt: A = (7 km 80 km) : = 70 km Der Flächeninhalt beträgt ungefähr 000 km. Seite 0 a) Entfernung Wyk-Dunsum: cm auf der Karte 0 km in Wirklichkeit Entfernung Wittdünn-Norddorf: mm auf der Karte 7, km in Wirklichkeit b) Föhr: A 0 km 8 km = 80 km Amrum: A 8 km, km = 0 km c) Auf der Karte: U cm +, cm + cm +, cm = 7 cm In Wirklichkeit: U 7 km = km Man würde bei einer Geschwindigkeit von km/h ca. 7 Stunden brauchen. a) Der Äquator ist ca km lang. Damit er auf der Karte vollständig abgebildet wird, müsste die Karte 00 m lang sein, denn km : = m : = 00 m Die Karte würde nicht in den Klassenraum passen. b) Die Aussage ist falsch. Man braucht viermal soviel Papier. Beispiel: Eine Karte bildet eine Fläche von 0 km 0 km aus der Wirklichkeit ab. Im Maßstab : 000 wären dies 0 cm 0 cm, denn 0 km : 000 = cm : 000 = 0 cm Im Maßstab : wären es 0 cm 0 cm, denn 0 km : = cm : = 0 cm Für die Karte im Maßstab : 000 bräuchte man also 0 cm 0 cm = 00 cm Papier, für die Karte im Maßstab : bräuchte man 0 cm 0 cm = 00 cm. a) Auf der Karte beträgt der Abstand ca. cm. km = 000 m = cm Der Maßstab beträgt vermutlich : b) A 8 km 0 km = 80 km a) Individuelle Lösung b) Individuelle Lösung Clara hat die Längen zuerst in die Längen in der Wirklichkeit umgerechnet. Sie erhält: cm = cm = 00 m cm = cm = 00 m Der Flächeninhalt beträgt dann 00 m 00 m = m = ha. Wenn man wie Hannah erst den Flächeninhalt auf der Karte berechnet, müsste man das Ergebnis mit = multiplizieren, da beide Seitenlängen des Rechtecks in Wirklichkeit mal so lang sind wie auf der Karte. Da Hannah nur einmal mit multipliziert, ist ihr Ergebnis mal zu klein. Wenn man ihr Ergebnis also nochmal mit multipliziert, erhält man den richtigen Wert. m = m = 00 a = ha L IV Flächen

17 Schülerbuchseiten 0 Exkursion: Sportplätze sind auch Flächen Seite 0 kleinstmögliches Fußballfeld: cm kleinstmöglich: 90 m = 00 m größtmöglich: 0 90 m = m Das größtmögliche Fußballfeld ist also etwa } -mal so groß wie das kleinstmögliche. beim kleinstmöglichen Feld: 00 m : 8 m beim größtmöglichen Feld: m : 9 m Im Torraum ist der Torwart besonders geschützt. Er darf dort nicht angerempelt werden. Begeht ein verteidigender Spieler im Strafraum ein Handspiel oder ein gröberes Foul, so erhält die angreifende Mannschaft einen Strafstoß ( Elfmeter ). Nur im Strafraum darf der Torwart den Ball mit der Hand spielen. Bei Straf- und Torraum handelt es sich um keinen Raum mit einem Volumen, sondern um eine Fläche. Die Fläche des Torraums beträgt (, m + 7, m +, m), m = 00,7 m. Die Fläche des Strafraums beträgt (, m + 7, m +, m), m =,8 m. haben von diesen jeweils einen Abstand von,7 m. Der gesamte Tennisplatz ist nach beiden Seiten um, m breiter und nach beiden Seiten um,0 m länger als das Spielfeld. 7 Maße in Yards umgerechnet:,77 m,00 y; 8, m 9,00 y; 0,97 m,00 y;,0 m 7,00 y;, m,00 y; 9, cm,00 y Das Doppelspielfeld ist also Yards lang und Yards breit, das Einzelspielfeld Yards lang und 9 Yards breit. 8 Flächeninhalt der Wiese: 80 0 m = 800 m Flächeninhalt des Doppelspielfeldes: ca. m Rein rechnerisch passen 800 : 8 Doppelspielfelder auf die Wiese. Da man noch Wege anlegen muss, passen weniger Spielfelder auf die Wiese. 9 a) gesamter Platz: Länge:,7 m; Breite: 8,9 m Umfang: 09,7 m Gesamtlänge aller Linien des Spielfeldes:,77 m + 8, m + 0,97 +,0 m = 7, m b) Flächeninhalt des Platzes: ca. 9 m Flächeninhalt des Einzelspielfeldes: ca. 9 m Flächeninhalt des Doppelspielfeldes: ca. m c) rechnerische Spielfläche pro Spieler: beim Einzel: ca. 98 m ; beim Doppel: ca. m d) Flächeninhalt des Netzes: (0,9 m + 0,97 m + 0,9 m),07 m =,9 8 m m Seite a) Bei einem Durchmesser von, cm passen 0 Bälle in der Breite und Bälle in der Länge auf das Spielfeld im Camp Nou. Insgesamt sind dies 0 7 Bälle. b) Bei einem durchschnittlichen Einzelgewicht von g wiegen alle Bälle zusammen etwa 9,8 t. c) Könnte man alle diese Bälle aufeinanderstapeln, erhielte man eine etwa, km hohe Säule. individuelle Lösung, zum Beispiel: Das Spielfeld für ein Doppel ist,77 m lang (Seitenlinien) und 0,97 m breit. Das Netz ist parallel zu den Grundlinien und halbiert das Spielfeld. Die Aufschlaglinien sind parallel zum Netz und von diesem jeweils,0 m entfernt. Die beiden Felder zwischen dem Netz und den Aufschlaglinien werden durch eine Linie parallel zu den Seitenlinien halbiert. Die Seitenlinien für ein Einzel sind zu den Seiten linien für das Doppel parallel und IV Flächen L

18 Lösungen Lambacher Schweizer Lambacher Schweizer Das Lösungsheft enthält die Lösungen zu allen Aufgaben, die nicht im Schülerbuch gelöst werden. Es unterstützt Sie im Unterricht und ermöglicht Ihren Schülerinnen und Schülern, sich zu Hause zu kontrollieren und ihr Wissen zu festigen.