3 Zusammenhangsmaße Zusammenhangshypothesen

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1 3 Zusammenhangsmaße Zusammenhangshypothesen Zusammenhänge (zwischen 2 Variablen) misst man mittels Korrelationen. Die Wahl der Korrelation hängt ab von: a) Skalenniveau der beiden Variablen: 1) intervallskaliert (Größe, Gewicht, Längen, Rohscore, Temperatur...) 2) rang- oder ordinalskaliert (Noten, Rangreihen, Dienstgrade, Beliebtheit von Personen...) 3) nominalskaliert (Geschlecht, Bildungsgrad, Haarfarbe, Beruf...) b) Art der Variable 1) Quantitativ I) stetig wenn sie (theoretisch) unendlich viele Ausprägungen/Intervalle annehmen kann (wie Größe, Gewicht, Längen,...) II) diskret, wenn sie nur eine bestimmte, endliche Anzahl aufweist (z.b: Anzahl der Personen in einem Raum, Testscore,...). 2) Qualitativ wenn sie nur beschränkte Ausprägungen oder in Klassen zusammengefasst ist. I) Dichotom: 2 Ausprägungen (z.b: Geschlecht, Versuchs- Kontrollgruppe, Psychologie vs. Nicht-PsychologiestudentInnen II) Polytom: mehr als 2 Ausprägungen (z.b: Bildung, Haarfarbe, Beruf...) Intervallskala Rangskala Nominalskala Quantitativ stetig, diskret Qualitativ dichotom, polytom 3.1 Arten von Korrelationen Definitionen: Produktmomentkorrelation (Pearson) r xy : geht von 1 bis +1; Verwendung grundsätzlich bei intervallskalierten, quantitativen Variablen Rangkorrelation (Spearman) r`: geht von 1 bis +1; Verwendung grundsätzlich bei rangskalierten Variablen Kendall-Tau-Korrelation: ist der Spearmankorrelation sehr ähnlich, nützt aber die Ranginformation besser aus. (ebenfalls für rangskalierte Daten) Vierfelderkorrelation (phi): geht von 1 bis +1; Verwendung bei 2 nominalskalierten dichotomen (qualitativen) Variablen (z.b.: Geschlecht und Raucher/Nichtraucher) Partielle Korrelation: geht von 1 bis +1; Um den Einfluss einer möglichen dritten Variable (intervenierenden oder Störvariable) auszuschließen und die reine Korrelation zwischen den 2 gewünschten Variablen anzuzeigen. (Voraussetzung wie Pearson Korrelation) Kontingenzkoeffizient (CC): geht von bis 1; Verwendung bei 2 qualitativen Variablen, wobei mindestens eine polytom (mehrkategoriell) ist. Cramer V: geht von bis 1; ist dem CC sehr ähnlich und wird ebenfalls bei 2 qualitativen, dichotomen/polytomen Variablen verwendet. 16

2 3.2 Beispiele Beispiel 1: Pearson Korrelation zwischen Körpergröße (cm) und Gewicht (kg) Ein klassisches Beispiel: beide Variablen sind einerseits intervallskaliert (oder sogar verhältnisskaliert) und andererseits quantitativ (es gibt theoretisch unendlich viele Ausprägungen). Logischer Weise (wie aus der Praxis bekannt) sollten die beiden Variablen korrelieren. (Jemand der größer ist, ist in der Regel auch schwerer.) Analysieren Korrelation Bivariat... gewünschten 2 Variablen (hier Größe und Gewicht) hinzufügen Pearson wählen (=Produkt-Moment-Korrelation) signifikante Korrelationen markieren anklicken zweiseitig ok Die Korrelation ergibt,635, das Bestimmtheitsmaß (Korrelation zum Quadrat; selbsterrechnet) beträgt r 2 = 4%. Die zweiseitige Signifikanzprüfung ergibt eine Signifikanz von, bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von,1. Es besteht demnach ein mittelmäßiger signifikant positiver Zusammenhang zwischen Gewicht und Größe. Korrelationen CM KG CM Korrelation nach Pearson 1,,635 Signifikanz (2-seitig),, N KG Korrelation nach Pearson,635 1, Signifikanz (2-seitig),, N ** Die Korrelation ist auf dem Niveau von,1 (2-seitig) signifikant. Beispiel 2: Spearman Korrelation und Kendall-Tau zwischen Deutsch und Englischnote. Deutsch und Englischnote sind beide rangskaliert, daher Spearman bzw. Kendall-Tau Analysieren Korrelation Bivariat... die 2 gewünschten Variablen eingeben Spearman und Kendall-Tau wählen signifikante Korrelationen markieren anklicken zweiseitig ok Die Korrelation r`=,436 (Spearman) sowie Kendall-Tau mit τ =,373 ist mit einem p-wert von, signifikant bei α =,1. Es besteht also ein signifikanter positiver Zusammenhang zwischen Deutsch und Englischnote in beiden Korrelationen. Korrelationen DEUTSCH ENGLISCH Kendall-Tau-b DEUTSCH Korrelationskoeffizient 1,,373 Sig. (2-seitig),, N ENGLISCH Korrelationskoeffizient,373 1, Sig. (2-seitig),, N

3 Spearman-Rho DEUTSCH Korrelationskoeffizient 1,,436 Sig. (2-seitig),, N ENGLISCH Korrelationskoeffizient,436 1, Sig. (2-seitig),, N ** Korrelation ist auf dem Niveau von,1 signifikant (2-seitig). Beispiel 3: Phi (Vierfelder)korrelation Frage: Besteht ein Zusammenhang zwischen Geschlecht und der besuchten Schulform (AHS und HTL) der Versuchspersonen Lösung: 2 dichotome Variablen und nominalskaliert, Frage nach Zusammenhang Vierfelderkorrelation für unabhängige Daten. Analysieren deskriptive Statistiken Kreuztabellen eine dichotome Variable in die Zeile und eine dichotome in die Spalte Statistik Phi und Cramer-V wählen (ev. auch Korrelationen ) weiter ev. Gruppierte Balkendiagramme anzeigen ok Geschlecht * besuchte Schulform2 Kreuztabelle Anzahl besuchte Schulform Gesamt Ahs HTL Geschlecht männlich weiblich Gesamt Symmetrische Maße Nominal- bzgl. Nominalmaß Wert Asymptotischer Näherungsweises Näherungsweise Standardfehler T Signifikanz Phi -,72,136 Cramer-V,72,136 Der p-wert der Phi-Korrelation beträgt,136 (nicht signifikant); es bestehen daher keine signifikanten Zusammenhänge zwischen Geschlecht und Schulform. Beispiel 4: Kontingenzkoeffizient CC bzw. Cramer V Frage: besteht ein Zusammenhang zwischen der besuchten Schulform (Ahs, Htl, Hbla, Andere) und dem aktuellen Studiensemester (1-9) der Personen? Lösung: 2 qualitative, polytome Variablen CC bzw. Cramer V. Analysieren deskriptive Statistiken Kreuztabellen eine polytome Variable in die Zeile und eine polytome in die Spalte Statistik Kontingenzkoeffiezient und Cramer-V wählen weiter ev. Gruppierte Balkendiagramme anzeigen ok 18

4 Symmetrische Maße Wert Näherungsweise Signifikanz Nominal- bzgl. Nominalmaß Phi,179,962 Cramer-V,14,962 Kontingenzkoeffizient,176,962 Anzahl der gültigen Fälle 412 a Die Null-Hyphothese wird nicht angenommen. b Unter Annahme der Null-Hyphothese wird der asymptotische Standardfehler verwendet. Interpretation: 1) CC: Der Kontingenzkoeffiezient wird nur unkorrigiert ausgegeben! Man muss daher händisch folgende Berechnung (Korrektur) durchführen (da CC von der Größe der Tabelle abhängig ist). Nach der Korrektur geht CC von bis 1 und ist leichter interpretierbar: min( r, s) 1 1) Berechnung von C max : Cmax = wobei r die Reihen und s die Spalten der min( r, s) Tabelle sind. In unserem Beispiel gibt es 9 Zeilen und 4 Spalten. Min(r,s) ist also 4. 3 C max = =,86 4 C,176 2) Berechnung des korrigierten CC: C korr = = =, 24 C,86 Der korrigierte CC beträgt,24, bei einem p-wert von,962 (siehe Tabelle). Es besteht daher kein signifikanter Zusammenhang zwischen besuchter Schulform und Anzahl der Semester. max 2) Cramer-V: Auch der Cramer-V Wert ist mit,14 und einem p-wert von,962 nicht signifikant. Beispiel 5: Partielle Korrelation r xy.z Frage: Spielt das Alter eine Rolle in Bezug auf den Zusammenhang von Mathe- und Allgemeinwissen? Lösung: partielle Korrelation mit Alter als eventuelle Störvariable, welche eine Scheinkorrelation zwischen den beiden Variablen Mathe und Allgemeinwissen verursachen könnte. Falls das Alter keinen Einfluss auf die beiden Variablen ausübt, entspricht die partielle Korrelation ungefähr der Produktmomentkorrelation! Analysieren Korrelation Partiell die zwei gewünschten Variablen in Variablen einfügen (hier: Mathe und Allgemeinwissen) Störvariable in Kontrollvariable eingeben (hier: Alter) zweiseitig ok 19

5 - - - P A R T I A L C O R R E L A T I O N C O E F F I C I E N T S Controlling for.. ALLGW AGE (=Alter) MATHE ALLGW 1,,3613 ( ) ( 97) P=, P=, MATHE,3613 1, ( 97) ( ) P=, P=, Die partielle Korrelation ergibt eine Korrelation von r xy.z,3613 (B = 13%). Im Vergleich dazu ergibt die Produktmomentkorrelation r xy =336 (B = 11%) (Muss noch separat errechnet werden; siehe Beispiel 1!) Die beiden Korrelationen sind also numerisch fast gleich. Das Alter übt demnach keinen relevanten Einfluss auf den Zusammenhang der beiden Variablen mathematisches und allgemeines Wissen aus. Anmerkung: Würde beispielsweise nur das Alter verantwortlich für die Korrelation sein, müsste beim Konstanthalten der Variable Alter (also bei der partiellen Korrelation) der Zusammenhang verschwinden, also r xy.z gegen gehen, während bei der Produktmomentkorrelation der Scheinzusammenhang bestehen würde, da das Alter nicht berücksichtigt wird. 2

6 4 Die einfache/multiple lineare Regression (vgl. Bortz S.174, Statistik for you S. 16) 4.1 Zweck der Regression: 1. Funktionalen Zusammenhang zwischen einer oder mehreren unabhängigen Variablen (UV) oder X und der abhängigen (AV) bzw. Y Variablen untersuchen. (vgl. Korrelation) 2. Untersuchung, ob von bestimmten Prädiktoren (X) auf die Variable Y geschlossen werden kann. (Werte prognostizieren bzw. vorhersagen) z.b.: Prädiktoren X: Geschlecht, Gewicht, Ausdauer, Alter Frage: Kann aufgrund dieser Prädiktoren die AV Sauerstoffverbrauch gut geschätzt bzw. vorausgesagt werden? 4.2 Stichworte: 1. Residuen: sind die Schätzfehler. Also die Differenz der geschätzten AV ( ŷ ) und der wahren AV (y): y ˆ i yi = ei = Re siduum wenn alle y ˆ i yi = ei dann ist die Regression sehr gut ausgefallen und der Zusammenhang der Prädiktoren und der AV ist hoch. 2. Regressionsgleichung y = x + x + x k k vgl. y = kx+d (lineare Funktion) wobei...konstante (der Abstand vom Ursprung zur Regressionsgeraden auf der y-achse; die Höhenlage der Regressionsgeraden (alternativ: d oder a yx )) (unbekannt!) 1, 2,... k...die Regressionskoeffizienten (alternativ: k oder b yx ) der Prädiktoren X (unbekannt!) x 1, x2,..., xk...die Unabhängigen Variablen, Prädiktorvariablen oder UV y...kriteriumsvariable oder AV Merke: verschiedene Bezeichnungen für : Statistik 1 SPSS Lineare Funktion Regressionskoeffizienten der b yx,,... k k (Steigung) 1 2 k Prädiktoren b = 1...k Konstante (Höhenlage der a yx, Intercept oder d (Konstante) Regressionsgeraden) Konstante Prädiktoren X Unabhängige bzw. X X= 1...n Einflussvariablen Kriterium Y Abhängige Variable Y = f(x) 21

7 3. Regressionsgerade Mit der Regressionsgeraden wird der Trend festgelegt, der die Punkte am besten beschreibt. Sie wird durch den Punkteschwarm so gelegt, dass die Abweichungen (Residuen) der einzelnen XY-Punkte zur Regressionsgerade ein Minimum werden. Da die Summe der positiven und negativen Residuen sich aber aufheben können, könnte es auch mehrere Regressionsgeraden geben (nicht eindeutig!). Daher soll die Summe der quadrierten Abweichungen (Residuen) ein Minimum ergeben. Schätzmethode: Ordinary least squares (Kleinste Quadrate Schätzung) Beispiel: 27 Personen, X-Achse: Gewicht (kg), Y-Achse: Körpergröße (cm) a yx : 124,563 b yx :,723 Eine Person die 6 Kilo wiegt ist laut dieser Regressionsgleichung wie groß?...wir setzten ein Y = kx + d y = 124,563 +,723 6 y = 167,943 Die Person ist dem Regressionsmodell zufolge ca. 168 cm groß. Eine positive Steigung bedeutet, dass die y-werte bei steigenden x-werten ebenfalls größer werden. (bei negativer Steigung umgekehrt) 22

8 4.3 Theoretisches Beispiel Frage: Kann aufgrund Geschlecht, Gewicht, Alter, Ausdauer auf den Sauerstoffverbrauch einer Person geschlossen werden? AV: Sauerstoffverbrauch UV: Geschlecht, Alter, Gewicht, Ausdauer Regressionsgleichung: Sauerstoffverbr. y= + 1 Geschlecht + 2 Alter + 3 Gewicht + 4 Ausdauer Die Regressionskoeffizienten ˆ (=Schätzer) werden geschätzt und es wird überprüft, welche ˆ optimal sind d.h. welche ˆ signifikante Einflüsse auf AV haben. Durch Einsetzen der Schätzer in das Regressionsmodell erhält man schließlich die geschätzte AV: Yˆ (geschätzter Sauerstoffverbrauch) 4.4 Praktisches Beispiel Frage: Kann aufgrund der Variablen Körpergröße der Mutter bzw. Körpergröße des Vaters auf die Körpergröße der Kinder geschlossen werden? AV: Körpergröße (des Kindes) UV: Körpergröße Mutter, Körpergröße Vater Regressionsgleichung: Körpergröße (y) = + 1iGröße _ Mutter + 2i Größe _ Vater Analysieren Regression Linear... in abhängige Variable die gewünschten AV einfügen (hier: Körpergröße des Kindes) in unabhängige Variable(n) die gewünschte(n) UV einfügen (hier: Körpergröße Mutter bzw. Vater) bei Methode schrittweise wählen Statistiken... Schätzer und Anpassungsgüte des Modells anklicken ok Tabelle 1: Modellzusammenfassung Modell R R-Quadrat Korrigiertes R-Quadrat Standardfehler des Schätzers 1,534,285,284 8,53 2,66,367,364 8,4 a Einflußvariablen : (Konstante), CM_M b Einflußvariablen : (Konstante), CM_M, CM_V Tabelle 2: ANOVA Modell Quadratsumme df Mittel der Quadrate F Signifikanz 1 Regression 11914, ,14 163,647, Residuen 29849, ,84 Gesamt 41763, Regression 15341, , ,742, Residuen 26421, ,61 Gesamt 41763, a Einflußvariablen : (Konstante), CM_M b Einflußvariablen : (Konstante), CM_M, CM_V c Abhängige Variable: CM 23

9 Tabelle 3: Koeffizienten Nicht standardisierte Standardisierte T Signifikanz Koeffizienten Koeffizienten Modell B Standardfehler Beta 1 (Konstante) 58,682 9,183 6,39, CM_M,78,55,534 12,792, 2 (Konstante) 21,889 1,17 2,185,29 CM_M,512,59,386 8,725, CM_V,393,54,322 7,284, a Abhängige Variable: CM Interpretation: Die Regression wurde schrittweise gewählt, d.h. die Prädiktoren werden der Reihe nach zur Gleichung hinzugefügt. Zuerst wird die Gleichung mit Prädiktor 1 (Modell 1 in den Tabellen) aufgestellt, im Modell 2 kommt der 2. Prädiktor in die Gleichung hinzu. 1) Tabelle 1: Modellprüfung! korrigiertes R-Quadrat (korrigiertes Bestimmtheitsmaß): Wird zur Modellprüfung herangezogen (also wie gut ist die Regression, wie gut ist der Zusammenhang zwischen UV und AV; wie sinnvoll ist es, die Regression anzuwenden) Zeigt den Anteil der erklärten Varianz von Y (hier: Größe) durch die Prädiktoren an (hier: Größe Vater bzw. Mutter). Modell 1 (also nur die Größe der Mutter) erklärt 28,5% der Varianz Modell 2: kommt die Größe des Vaters als Prädiktor noch dazu wird 36,7% der Varianz erklärt. 1-36,7% = 63,3% unerklärte Varianz (Schätzfehler) bleiben jedoch noch offen. Das Modell ist daher nicht sehr gut! Es fehlen also noch weitere wichtige/relevante Prädiktoren. 2) Tabelle 2: Modellprüfung! F-Wert: wird ebenfalls zur Modellprüfung herangezogen Die Hypothesen lauten: H : ˆ ˆ... ˆ = 1 = = k = (also alle Regressionskoeffizienten sind Null, sie sind also schlechte Prädiktoren bzw. Konstante) H : ˆ 1 j (also mindestens ein ist nicht ; min. ein Prädiktor beschreibt die AV gut) Die F-Werte sind in beiden Modellen signifikant mit den p-werten von,. Die Alternativhypothese wird angenommen. Das Modell ist daher sinnvoll, weil die Körpergröße von Vater und Mutter einen Einfluss auf AV (Größe Person) hat. 3) Tabelle 3: Regressionskoeffizienten! (b yx, a yx ) Folgende 2 Hypothesen für jeden einzelnen Koeffizienten 24 ˆ j :

10 H : ˆ j = (also der Regressionskoeffizient ist Null) H : ˆ 1 j (der Koeffizient ist ungleich Null) Wenn ˆ signifikant ungleich von ist dann ist der zugehörige Prädiktor X eine j gute/sinnvolle Vorhersage für Y. (Gemessen mit der Prüfgröße t = S tan dardfehler Folgende Koeffizienten sind aus der Tabelle ablesbar: Unter Konstante wird das a yx dargestellt (also die Höhenlage der Regressionsgeraden) Unter CM_M (Größe der Mutter) wird der Koeffizient b y1 des ersten Prädiktors abgebildet. Unter CM_V (Größe des Vaters) wird der Koeffizient b y2 des zweiten Prädiktors abgebildet. Aus Tabelle 3 kann man entnehmen dass alle Koeffizienten der Prädiktoren signifikante p- Werte aufweisen. (Konstante: p =,29; CM_M: p =,; CM_V: p =,) Die Prädiktoren Größe des Vaters bzw. der Mutter sind demnach sinnvolle Schätzer für die abhängige Variable Größe der Person. Händische Berechnung zur Veranschaulichung: Die Regressionsgleichung wird wie folgt aufgestellt: ) Körpergröße (y) = + 1Größe _ Mutter + 2Größe _ Vater oder (wie in Statistik 1) Körpergröße (y) = a yx + b Größe _ Mutter by2größe _ Vater y1 + Die Größe einer Person, dessen Mutter 162 cm und Vater 184 cm groß ist, kann aufgrund der Regressionsgleichung geschätzt werden. Eingesetzt werden folgende Werte aus Tabelle 3: = 21,889 (vgl. a yx ) 1=,512 (vgl. b y1 ) =,393 (vgl. b y2 ) 2 Körpergröße (y) = 21, *, *,393 Körpergröße = 177,145 Aufgrund der Regressionsgleichung ist die Person ca. 177 cm groß. Die wahre Größe dieser Person ist 178 (aus den Daten entnommen). Das Residuum ( wahrer Wert minus Schätzer) ist demnach ,145 =,855. (Die Regressionsgleichung ist umso besser, je kleiner die Residuen werden.) y yˆ 25

11 Variationen: Speichern der vorhergesagten Werte ( ŷ ): Speichern vorhergesagte Werte nicht standardisiert anklicken weiter Speichern der Residuen ( uˆ = y yˆ): Speichern Residuen nicht standardisiert anklicken weiter 26