1. Übungsaufgabe zu Exponentialfunktionen

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1 1. Übungsaufgabe zu Exponentialfunktionen Die folgende Funktion y = f(t) = 8 t e stellt die Konzentration eines Stoffes in einer Flüssigkeit dar. y ist die Konzentration des Stoffes in mg / Liter. t ist die Zeit in h. Sobald der Stoff in die Flüssigkeit gelangt, löst er sich auf und die Konzentration steigt stark an. Dann wird der Stoff langsam wieder abgebaut und sein Konzentration sinkt wieder. a.)_erstellen Sie eine Wertetabelle für die folgenden Zeitpunkte (in h): ;,2 ;,4 ;,6 ;,8 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 4 ; 5 b.) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen von t = bis t = 5 und von y = bis y = 1 c.) Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration des Stoffes am größten ist und bestimmen Sie diese maximale Konzentration. d.) Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration des Stoffes am stärksten abnimmt. Wie stark nimmt die Konzentration dann ab? e.) Der zeitliche Verlauf der Wirkstoffkonzentration soll ab dem Zeitpunkt t = 3,5 durch eine lineare Funktion g beschrieben werden, die Graphen der Funktion f ohne Knick fortführt. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Funktion g und den Zeitpunkt, ab dem der Stoff in der Flüssigkeit vollständig abgebaut ist. f.) Bestimmen Sie die mittlere Konzentration des Stoffes in der vierten halben Stunde.

2 Seite 1 von 6 a.) Erstellen Sie eine Wertetabelle für die folgenden t-werte: ;,2;,4;,6;,8; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5 t,,2,4,6,8 1, f(t), 5,14 8,3 9,475 9,937 9,771 t 1,5 2, 2,5 3, 4, 5, f(t) 8,44 5,886 4,38 2,659 1,68,42 b.) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen von t = bis t = 5 und von y = bis y = 1 1 y y = f(t) = 8 t e -1,2t ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 c.) Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration des Stoffes am größten ist und bestimmen Sie diese maximale Konzentration. y = f(t) = 8 t e t Wir müssen die erste und die zweite Ableitungsfunktion ermitteln. Extrema finden Sie, indem Sie die erste Ableitung null setzen und nach t auflösen. Die erste Ableitung gibt und die Steigung des Funktionsgraphen an und in einem Maximum bzw. Minimum ist die Steigung null. Dann setzen wir den Wert, den wir für t erhalten haben, in die zweite Ableitungsfunktion ein. Die zweite Ableitungsfunktion gibt uns das Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen an. Wenn die zweite Ableitungsfunktion negativ ist, nimmt die Steigung ab (Rechtskurve). Ein Maximum liegt immer in einer Rechtskurve. Zum Ableiten müssen wir die Produktregel anwenden. Der eine Faktor ist 8 t und der andere Faktor ist e 1,2t +. Zum Ableiten des zweiten Faktors e 1,2t + müssen wir die Kettenregel anwenden. Der Exponent 1,2t + stellt die innere Funktion h(x) dar. Die innere Ableitung h '(x) = 1,2 kommt als Faktor nach vorne, der Rest bleibt. Es ist also v(t) = e 1,2t + und v '(t) = 1,2 e 1,2t +.

3 Seite 2 von 6 f '(t) = 8 e + 8 t ( 1,2) e = 8 e 9,6 t e = (8 9,6 t) e f ''(t) = 9,6 e + (8 9,6 t) ( 1,2) e = 9,6 e + ( 9,6 + 11,52 t) e = ( 19,2 + 11,52 t) e f '(t) = (8 9,6 t) e = Ein Produkt ist dann null, wenn mindestens einer der beiden Faktoren null ist. Wir untersuchen also beiden Faktoren. Es gilt: e t für alle t IR (Unabhängig von Exponenten kann e t nie null ergeben. Diesen Faktor werden wir also nicht weiter untersuchen) 8 9,6 t= + 9,6 t : 9,6 t =,83 Dieses Ergebnis setzen wir in die zweite Ableitungsfunktion ein, um zu überprüfen, ob an dieser Stelle tatsächlich ein Maximum vorliegt. f ''(,83) = ( 19,2+ 11,52,83) e 1,2,83+ 14,322 < Die hinreichende Bedingung für ein Maximum ist erfüllt. Um die y-koordinate des Maximums zu bestimmen, müssen wir noch den Wert, den wir für t erhalten haben in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen. 1,2,83+ f (,83) = 8,83 e 9,945 H (,83 9,945) Die maximale Konzentration wird nach 5 Minuten erreicht und beträgt ca. 9,945 mg/liter. 5,83 6 = Das Ergebnis für t hat die Einheit h (Stunden). Wenn wir 5/6 Stunden in Minuten umrechnen, müssen wir mit 6 multiplzieren. 5/6 Stunden sind entsprechen also 5 Minuten. 1/6 Stunde entspricht 1 Minuten, das Fünffache davon sind 5 Min.

4 Seite 3 von 6 d.) Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration des Stoffes am stärksten abnimmt. Wie stark nimmt die Konzentration dann ab? Wir suchen den Punkt, in dem der Funktionsgraph die geringste Steigung hat. An dieser Stelle nehmen die Funktionswerte am stärksten ab. Dieser Punkt ist der Wendepunkt. Bis zum Wendepunkt nimmt die Steigung immer mehr ab (Rechtskurve), im Wendepunkt selbst nimmt die Steigung weder zu noch ab, ab dem Wendepunkt nimmt die Steigung wieder zu (Linkskurve). Die zweite Ableitungsfunktion gibt uns das Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen an. Wenn die zweite Ableitungsfunktion null ist, nimmt die Steigung weder zu noch ab. Wenn zusätzlich an dieser Stelle die dritte Ableitungsfunktion ungleich null ist, dann liegt der Punkt genau am Übergang von einer Rechts- in eine Linkskurve (oder umgekehrt). f '''(t) > bedeutet: Übergang von Rechts- in Linkskurve (Wendepunkt mit minimaler Steigung) f '''(t) < bedeutet: Übergang von Links- in Rechtskurve (Wendepunkt mit maximaler Steigung) f ''(t) = ( 19,2 + 11,52 t) e (siehe Aufgabe c) f ''(t) = ( 19,2 + 11,52 t) e = Es gilt: e t für alle t IR (Unabhängig von Exponenten kann e t nie null ergeben. Diesen Faktor werden wir also nicht weiter untersuchen) 19,2 + 11,52 t = + 19,2 t : 11,52 t = 1, 6 Dieses Ergebnis setzen wir in die dritte Ableitungsfunktion ein, um zu überprüfen, ob an dieser Stelle tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt. f '''(t) = 11,52 e + ( 19,2 + 11,52 t) (-1,2) e = 11,52 e + (23,4 13,824 t) e f '''(1,6) = = (34,56 13,824 t) e 1,2 1,6+ (34,56 13,824 1,6) e 6,322 > Die hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist erfüllt. Es handelt sich um einen Wendepunkt mit minimaler Steigung (Übergang von Rechts- in Linkskurve).

5 Seite 4 von 6 5 1,6= Das Ergebnis für t hat die Einheit h (Stunden). 3 Wenn wir 5/3 Stunden in Minuten umrechnen, müssen wir mit 6 multiplzieren. 5/3 Stunden sind entsprechen also 1 h und 4 Minuten. Nach 1 Minuten, also nach einer Stunde und 4 Minuten nimmt die Konzentration des Stoffes in der Flüssigkeit am stärksten ab. Um festzustellen, wie stark die Konzentration des Stoffes in der Flüssigkeit abnimmt, müssen wir den Wert, den wir für t erhalten haben, in die erste Ableitungsfunktion f '(t) einsetzen. f '(t) gibt uns die Steigung des Funktionsgraphen an, also wie stark die Konzentration des Stoffes ansteigt bzw. abnimmt. f '(t) = (8 9,6 t) e (siehe Aufgabe c) f '(1,6) = (8 9,6 1,6) e 1,2 1,6+ 4,395 Die stärkste Abnahme der Konzentration des Stoffes tritt nach 1 h und 4 Minuten auf und beträgt ca. 4,395 mg Liter h Die Einheit der Konzentration des Stoffes beträgt mg / Liter (Milligramm pro Liter). Die Einheit für die Änderung der Konzentration enthält auch die Zeiteinheit. Diese Änderung wird angegeben in Milligramm pro Liter pro Stunde. Die Einheit ist somit mg / (Liter h)

6 Zusatzinformation zur Übungsaufgabe Exponentialfunktionen Außer dem Verlauf des Graphens von f(t) ist hier noch zusätzlich der Verlauf des Graphens der Ableitungsfuktion dargestellt. 12 y y = f(t) = 8 t e -1,2t+ y = f'(t) = (8-9,6t) e -1,2t t -6 An der Stelle, an der der Graph von f(t) sein Maximum hat (größte Konzentration des Stoffes) hat die Ableitungsfunktion eine Nullstelle. Im Maximum beträgt die Steigung null und die Ableitungsfunktion gibt uns die Steigung an. An der Stelle, an der der Graph von f(t) seinen Wendepunkt hat (größte Abnahme der Konzentration des Stoffes) hat der Graph der Ableitungsfunktion sein Minimum. Der Graph der Ableitungsfunktion gibt uns die Änderung der Konzentration des Stoffes an. Ist f '(t) >, dann nimmt die Konzentration des Stoffes zu, ist f '(t) <, nimmt sie ab. An der Stelle, an der f '(t) ein Minimum hat, nimmt die Konzentration des Stoffes am stärksten ab.

7 Seite 5 von 6 e.) Der zeitliche Verlauf der Wirkstoffkonzentration soll ab dem Zeitpunkt t = 3,5 durch eine lineare Funktion g beschrieben werden, die Graphen der Funktion f ohne Knick fortführt. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Funktion g und den Zeitpunkt, ab dem der Stoff in der Flüssigkeit vollständig abgebaut ist. Unsere Funktionsgleichung ist nur ein Modell, das die Wirklichkeit möglichst gut widerspiegeln soll. Tatsächlich ist es so, dass der Stoff ab einem bestimmten Zeitpunkt vollständig abgebaut ist. Unsere ursprüngliche Funktionsgleichung spiegelt dies nicht wider und daher ersetzen wir Sie ab einem bestimmten Zeitpunkt (hier ab t = 3,5) durch eine Geradengleichung (grün eingezeichnet). Bestimmung der Geradengleichung: (für t = 3,5 haben f(t) und g(t) sowohl den gleichen Funktionswert, also y-wert, als auch die gleiche Steigung) y = f(3,5) 1,7268 (die Konzentration des Stoffes nach 3,5h) m = f (3,5) 1,55674 (die Steigung des Graphens für t = 3,5) y = m t + b Wir setzen y = 1,7268 ; m = 1,55674 und t = 3,5 ein und lösen nach b auf. b = y m t = 1,7268 ( 1,55674) 3,5 7,15126 Die Geradengleichung: g(t) = 1,55674 t + 7,15126 Nun bestimmen wir die Nullstelle der Geraden: 1,55674 t + 7,15126 = t = 4,59375 Nach 4,59375 h (4h 35 Min. 37,5 Sek.) ist der Stoff in der Flüssigkeit vollständig abgebaut.

8 Seite 6 von 6 f.) Bestimmen Sie die mittlere Konzentration des Stoffes in der vierten halben Stunde. 2 1,5 8 t e 1,2 t+ dt= ( t ) e ( 2 ) ( 1, = - 6,9488 -(-1,4272) = 3,4784 1,2 t+ 1,2 2+ 1,21,5 + = e ) e Hinweis: Das Bestimmen der Stammfunktion übersteigt das, was in Mathematik bis zum Fachabitur verlangt wird ,5 Die Fläche, die im Intervall [1,5;2] vom Graphen der Funktion y = f(t) = 8 t e und der x-achse begrenzt wird, beträgt 3,4784 FE (Flächeneinheiten). Die Oberkante des roten Rechtecks stellt den Mittelwert im Intervall [1,5;2] dar. Also muss die Fläche dieses roten Rechtecks ebenfalls 3,4784 FE betragen. Die Breite dieses Rechtecks (die Intervallbreite) beträgt,5 LE. Die Höhe des Rechtecks berechnet sich aus Fläche / Breite. 3,4784 FE /,5 LE = 6,9568 LE. Die mittlere Konzentration des Stoffes in der Flüssigkeit beträgt somit in der vierten halben Stunde ca. 6,9568 mg / Liter. 1 y y = f(t) = 8 t e -1,2t+ 7,5 5 2,5 1 2 t