ALGEBRA Quadratische Gleichungen

Transkript

1 ALGEBRA Quadratische Gleichungen Übungsprogramm Teil 1 Ein Frage-Antwort-Spiel zum intensiven Wiederholen. Zu jeder Aufgabe sofort die Erklärung und die Lösung. Datei Nr. 1 Friedrich W. Buckel Stand: 1. Mai 010 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 135 Quadratische Gleichungen Trainingsprogramm 1 A Dringendes Vorwort Dieses programmierte Manuskript erklärt an Beispielen das Vorgehen zur Lösung von quadratischen Gleichungen und berücksichtigt dabei viele Spezialfälle. Anleitung zum Arbeiten mit dem Tet: Der Tet ist in 56 nummerierte Abschnitte gegliedert, die der Reihenfolge nach zu bearbeiten sind. Also wird nach dem Abschnitt 1 umgeblättert zu Abschnitt, dann zu Abschnitt 3 usw. Das Ganze hat seinen pädagogischen Sinn darin, dass etwas erklärt wird, und dass dann selbständig eine ähnliche Übung durchgeführt wird, deren Lösung im nächsten Abschnitt erklärt wird. Damit man die Lösung nicht gleich vor Augen hat, steht der Folgeabschnitt immer auf der nächsten Seite. Zur Lösung quadratischer Gleichungen gibt es eigentlich drei Methoden: (1) die quadratische Ergänzung, () die p-q-formel. (3) die a-b-c-formel ( Mitternachtsformel). Ich lege immer größten Wert auf die Verwendung der Formel b± b 4ac 1, a zur Lösung der Gleichungsform a + b + c 0. Diese Lösungsformel nennt man die abc-formel oder auch die Mitternachtsformel (denn man sollte sie um Mitternacht noch wissen!). An einigen Beispielen zeige ich, wie man die p-q-formel verwendet. Da ich diese jedoch vor allem in der Oberstufe als deutlich ungünstiger ansehe, verzichte ich selbst im Unterricht völlig auf ihren Einsatz und beschränke mich nur hier auf wenige Beispiele, weil ich weiß, dass es leider Lehrer gibt, die unbeirrt an der p-q-formel festhalten. Der Oberstufenschüler muss später umlernen oder mit erhöhten Schwierigkeiten kämpfen. Die Methode der quadratischen Ergänzung hat hier keinen Platz gefunden. Für sie wird es ein eigenes Lernprogramm geben. Für eine Reihe von Spezialfällen, in denen der geübte Rechner geschickt vorgehen kann, gibt es kleine Tricks, die das Rechnen erleichtern, darauf weise ich hin, denn sie helfen weiter. Im Zeitalter der modernen Taschenrechner oder gar CAS-Rechner können Schüler quadratische Gleichungen auch damit lösen und müssen praktisch nur die Koeffizienten eingeben. Dennoch muss ein Schüler in der Lage sein (und in Pflichtteilaufgaben wird dies ohne Hilfsmittel erwartet), eine quadratische Gleichung auch dann lösen zu können, wenn in der Lösung die Quadratwurzel nicht gezogen werden kann. Also sollte man auch vor der Behandlung der quadratischen Gleichungen das partielle Ziehen von Quadratwurzeln besprochen haben. Denn eine Lösung wie 1, 4± 7 sollte man nicht stehen lassen oder gar nur als dezimale Näherungslösung ausgeben, 4± 7 4± 36 4±6 sondern der Schüler sollte daraus 1, ± 3 machen können. Partielles Wurzelziehen wird für dieses Programm vorausgesetzt!

3 135 Quadratische Gleichungen Trainingsprogramm 1 B Auf noch etwas sei dringend hingewiesen: Beim Lösen reinquadratischer Gleichungen passiert sehr viel Unsinn, der sich dann in Schülerköpfen festsetzt. Beispiel: Die Gleichung 9 hat bekanntlich die Lösungen 1, ± 3. Der Unfug besteht darin, dass man leider fast überall hört: Man zieht aus 9 die Wurzel und erhält dann 1, ± 3. Dies ist völliger Unsinn, denn die Wurzel aus 9 ist per Definition nicht ± 3 sondern 3. Und die Wurzel aus ist, denn per Definition wurde die Wurzel immer als die positive Zahl festgelegt, deren Quadrat den Radikanden ergibt. Es gilt also. Nur dann, wenn man weiß, dass 0 ist, darf man so rechnen:! Dies wird im Abschritt ausführlich dargelegt. Leider scheinen auch viele Lehrer hier nicht gründlich genug vorzugehen, so dass Schüler leider später solchen Unsinn wie 9 ± 3 behaupten. Das Übungsprogramm ist in 4 Teile aufgegliedert: Im 1. Teil (Abschnitt 1 bis 0) werden Sonderformen quadratischer Gleichungen eingeübt, also reinquadratische Gleichungen, Gleichungen ohne Absolutglied und erweiterte reinquadratische Gleichungen. Im. Teil (Abschnitt 1 bis 37) wird der Umgang mit den Lösungsformeln trainiert. Im 3. Teil (Abschnitt 38 bis 48) werden Gleichungen besprochen, die man mit einem Trick günstig lösen kann. Mehr sei nicht verraten. Im 4. Teil eine kleine Anwendung: Das Faktorisieren quadratischer Terme (das Aufspalten in ein Produkt) geschieht meist über das Lösen quadratischer Gleichungen um die Faktoren zu finden. Abschließend folgt in den Abschnitten 57 bis 60 ein großer 4-teiliger Test über den besprochenen Stoff. Hier kann man seinen Lernerfolg überprüfen. Die ausführlichen Lösungen stehen am Ende dieses Tetes. Am Ende des Tetes findet man eine Übersicht über die durchgenommenen 77 quadratischen Gleichungen zusammen mit den Abschnittsnummern. Und nun viel Erfolg! Nun beginnt das Programm!

4 1 Quadratische Gleichungen Trainingsprogramm 1 1 Beginn des Trainingsprogramms 1 Die einfachsten quadratischen Gleichungen haben die Form a. Beispiele: (a) 4 hat die Lösungen 1, ± (b) 36 hat die Lösungen 1, ± 6 (c) 13 hat die Lösungen 1, ± 13. Löse analog: (d) 196 (e) 98 (f) 48 Jetzt bitte umblättern zum Lernschritt 1 Jetzt wenden wir uns der allgemeinen quadratischen Gleichung zu. Bisher hatten wir nur Sonderfälle, die einfach zu lösen waren. Wir hatten die reinquadratische Gleichung, etwa 4 0 bzw. 4 und wir hatten quadratische Gleichungen ohne Absolutglied wie Nun folgen Gleichungen dieser Art: Sie enthalten nun 3 Summanden, also das Absolutglied 4, das lineare Glied 3 und das quadratische Glied. Gleichungen dieser Form kann man allgemein so schreiben: 1. Art: a + b + c 0. Art: + p+ q 0 In der abc-formel müssen wir erkennen, dass a 1, b 3 und c - 4 ist. In der p-q-form müssen wir erkennen, dass p 3 und q - 4 ist. Zu beiden Gleichungsformen gibt es Lösungsformeln, in die man einsetzt um die Lösungen zu bekommen: 1, ± a b b 4ac 1, p p ± 4q Setze nun für a, b und c bzw. für p und q die genannten Werte ein und berechne damit aus beiden Formeln die Lösungszahlen. Jetzt bitte umblättern zum Lernschritt Hier erkennt der erfahrene Spezialist für quadratische Gleichungen, dass eine Division durch 1 den Koeffizienten a erzeugt, wodurch die Lösung sehr viel einfacher wird: ,. 6 ± ± ± 4 10 Den geklammerten Ausdruck sollte man nicht mehr anschreiben müssen, denn kann man doch im Kopf rechnen! 1 Lösungsmenge: L { ; 10} Aufgabe: Nun löse Erst dann zum Lernschritt 4 gehen. 1 9

5 1 Quadratische Gleichungen Trainingsprogramm 1 (d) (e) (f) 196 hat die Lösungen 1, ± hat die Lösungen 1, ± 98 ± 49 ± 7 48 hat die Lösungen 1, ± 48 ± 16 3 ± 4 3 HINTERGRUNDWISSEN: Hier besteht die Gefahr eines Missverständnisses. Schüler sagen meistens, dass man in der Gleichung 196 die Wurzel zieht. Das ist dann falsch, wenn man meint, dass ist und 196 ± 14. Per Definition muss eine Wurzel eine positive Zahl sein. Aber kann doch auch negativ sein, und 196 ± 14 wäre nicht einmal ein eindeutiges Ergebnis! Die richtige Lösung für das Ziehen der Wurzel sieht so aus: und Die Lösung der Gleichung besteht somit in Wirklichkeit aus zwei Schritten: 1. Schritt: Aus 196 die Wurzel ziehen: Ergibt 14.. Schritt: Die Betragsgleichung lösen: 14 hat zwei Lösungszahlen: 1, ± 14. Die ausführliche Lösung sieht also so aus: Ein anderes Beispiel: , ± 14 1, ± 9 Aufgabe: Löse genauso ausführlich: a) 144 b) 5 c) 3. In der Gleichung In der Gleichung ist für die abc-formel a 1, b 3 und c -4 ist für die p-q-formel p 3 und q -4. Damit wird aus 1, b b 4ac ± a : Damit wird aus 1, p p ± q 1, ( ) 3± ± , ± ( 4) ± ± 5 3± ± ± ± Aufgabe: Führe beide Rechnungen noch einmal selbständig durch! Nichts verändern: , 5 ± ± ± 16 5 ± 4 1 Das interessante an dieser Aufgabe ist, dass im Term -4ac die Zahl vier gegen die beiden Nenner weggekürzt werden kann, sodass alles ganz glatt läuft! Aufgabe: Hast du dir die Methode gemerkt? 1 13

6 1 Quadratische Gleichungen Trainingsprogramm ± 1 1, 15 ± 15 1, ± 4 1, Die Gleichung hat keine Lösung, denn aus ihr folgt 5. Es gibt keine Zahl, deren Quadrat negativ ist. Der Versuch, daraus ± 5 zu folgern, schlägt also fehl!!! 1, AUFGABE: (a) Berechne die Lösungen zu (b) (c) Diese Rechnungen sind schwer und müssen geübt werden. Ich persönlich übe mit meinen Schülern NUR die abc-formel, die auch Mitternachtsformel heißt (weil man sie um Mitternacht noch wissen muss, wenn man geweckt wird ;-) Der Grund liegt daran, dass die p-q-formel nur bei einfachen Gleichungen schneller zu berechnen ist. Bei vielen Aufgaben, vor allem in der Oberstufe, wird sie zur Falle. Dort bewährt sich die Mitternachtsformel. Ich zeige noch 4 Lösungen mit beiden Formeln, verwende aber dann nur noch die Mitternachtsformel! (Wer im Unterricht die p-q-formel gelernt hat und ab jetzt die MF. anwendet, kann dafür nicht bestraft werden ;-) Aufgabe: Lösen wir sie zuerst mit der Mitternachtsformel. Schreibe die Werte von a, b und c auf. (Zur Erinnerung: in a + b + c 0!) Lerne die Mitternachtsformel auswendig, schreibe sie dann auf und setze ein. Wer unbedingt gleich die p-q-formel üben will, mache In Abschnitt 9 weiter! Usw.