Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme. Lineare Algebra 5. Ein Trainingsheft für Schüler

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1 Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme Lineare Algebra Ein Trainingsheft für Schüler Manuelle Lösungen ohne Rechnerhilfen und (hier) ohne Determinanten Datei Nr. 600 Stand 8. September 04 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK DEMO für

2 600 Training: Gleichungssysteme lösen Vorwort Meine Materialien zum Thema Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme umfassen für die Oberstufe mehrere Texte. Um zu wissen, welchen man verwenden möchte, sollte man diese Hinweise beachten: () Behandlung dieser Themen in vier ausführlichen Texten (mit vielen Trainingsaufgaben): 60 Lineare Algebra Teil Gleichung mit oder Unbekannten, Gleichungen mit Unbekannten. Zuerst wird hier das Rechnen mit Paaren und Tripeln behandelt, ferner Linearkombinationen von Zeilen- oder Spaltenvektoren. Außerdem wird gezeigt, wie man die hier besprochenen Gleichungen mit den CAS-Rechnern CASIO ClassPad und TI Nspire lösen lässt (ab Seite 9). 60 Lineare Algebra Teil oder Gleichungen mit Unbekannten. Als Lösungsverfahren wird die Additionsmethode verwendet, aber auch zweireihige Determinanten und die Cramersche Regel. 60 Lineare Algebra Teil Gleichungen mit Unbekannten. Als Lösungsverfahren die Determinantenmethode und die Cramersche Regel verwendet. Es wird auch gezeigt, wie man CAS-Rechner einsetzen kann. Außerdem: Gleichungssysteme mit Parametern sowie den Sonderfall 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. 604 Lineare Algebra Teil 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten (mit vierreihigen Determinanten). () Der neue Text 600 verzichtet ganz auf Determinanten und CAS-Rechner. Dort werden Gleichungssysteme durch Eliminationsverfahren gelöst. 600 Lineare Algebra Teil (Dieser Text) () Aufgabensammlungen Trainingsheft für Schüler. Kompakt und doch sehr ausführlich. Die wichtigsten Arten von Gleichungssystemen werden nur mit Elimination gelöst. Wer zwischendurch andere Verfahren sehen will, kann auf die oben genannten Texte zugreifen. 604 Textaufgaben (meist Mischungsaufgaben), die auf lineare Gleichungssysteme führen. 60 Aufgabensammlung Weitere Aufgaben mit ausführlichen Lösungen (4) Die Lösung von Gleichungssystemen mit dem Gauß-Algorithmus (also mit Matrizen) wird in diesen Texten besprochen: 60 oder 4 Gleichungen mit oder 4 Unbekannten 60 Gleichungssysteme mit Parametern 604 Aufgabensammlung zum Gauß-Verfahren. 6 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme DEMO für

3 600 Training: Gleichungssysteme lösen Inhalt Gleichung mit Unbekannten 4 Gleichung mit Unbekannten Gleichung mit Unbekannten 8 4 Gleichungen mit Unbekannten Gleichungen mit Unbekannten 6 6 Gleichungen mit Unbekannten 0 7 Gleichungen mit 4 Unbekannten 8 Gleichungen mit Unbekannten 9 Gleichungssysteme mit Parametern 6 Übungsblatt 9 Lösungen dazu 0 Übersicht zum Text Es gehört zum Grundwissen der Mathematik, dass man Gleichungssysteme durch Elimination lösen kann. Dieser Text bietet dazu die Gelegenheit, dies zu trainieren. Es werden auch Sonderfälle besprochen, denn auch diese muss man erkennen und lösen. In den Fällen Gleichungen mit Unbekannten, Gleichungen mit Unbekannten und 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, gibt es bekanntlich das Hilfsmittel der Determinanten. Darauf gehe ich hier bewusst nicht ein. Wer dies benötigt und üben möchte, kann in den anderen Texten nachlesen, auf die zuvor hinwiesen worden ist, ebenso wenn man den Gauß-Algorithmus üben will. Dasselbe gilt für den Einsatz von CAS-Rechnern. Auch wer diese verwenden darf, muss das Eliminationsverfahren beherrschen. Der Text enthält 4 ausführlich gelöste Musterbeispiele und am Ende ein Übungsblatt zum Testen des Gelernten. Und nun viel Erfolg. Achte darauf: Nur durchlesen bringt wenig Erfolg. Verstanden haben reicht nicht, man muss es auch selbst rechnen können, und das schafft man nur mit Routine, die man beim schriftlichen Üben bekommt. DEMO für

4 600 Training: Gleichungssysteme lösen 4 Gleichung mit Unbekannten Grundwissen: Zu einer Gleichung mit einer Unbekannten wie x soll man eine Lösung bestimmen. Damit meint man eine Zahl, die - wenn man sie für die Variable (hier x) einsetzt - zu einer wahren Aussage führt. Dazu gibt es Lösungsverfahren, die darin bestehen, dass man durch bestimmte Umformungen aus der gegebenen Gleichung schrittweise einfachere Gleichungen erzeugt, die alle dieselbe Lösung besitzen. Dies macht man so lange, bis man eine Endgleichung erhält, der man die Lösung direkt ansieht. Und diese Lösung gilt dann auch für die Anfangsgleichung, wenn man erlaubte Umformungen durchgeführt hat. (Es gibt auch verbotene oder kritische Umformungen, die dann zu einer Endgleichung führen, deren Lösung nicht mehr für die Anfangsgleichung zu gebrauchen ist.) Beispiel : x + = - Auf beiden Seiten wird subtrahiert: x Das führt zu x 6 : Auf beiden Seiten wird durch geteilt: x Diese Gleichung hat die Lösung, denn wenn man für x die Zahl einsetzt, entsteht die wahre Aussage =. ist aber auch die Lösung für die Anfangsgleichung, was man durch eine Probe nachprüfen kann: ist eine wahre Aussage. Es ist üblich die gefundenen Lösungszahlen (hier gibt es nur eine) in die Lösungsmenge zu schreiben: Lösungsmenge: L Beispiel : x - = 6 + Auf beiden Seiten wird addiert: x : Auf beiden Seiten wird durch geteilt: Lösungsmenge: Information x L Bei Gleichungen mit einer Unbekannten gibt es entweder eine eindeutige Lösung oder keine Lösung, oder jede Zahl ist Lösung. Beispiel : x x hat keine Lösung: Subtrahiert man beidseitig x, folgt, also eine falsche Aussage: L. Die Lösungsmenge ist jetzt die leere Menge. Beispiel 4: x 6x hat jede Zahl als Lösung: Durch Multiplizieren entsteht: 6x 6x Diese Gleichung wird für jede Zahl zu einer wahren Aussage: L R DEMO für Die Lösungsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen.

5 600 Training: Gleichungssysteme lösen Gleichung mit Unbekannten Beispiel x + y = 6, die Grundmenge sei WISSEN: G. Die Lösung dieser Gleichung besteht aus zwei Zahlen, eine wird für x eingesetzt, die andere für y. Jede Lösung ist also ein Zahlenpaar. Lösungsprinzip: Bestimmung einzelner Lösungspaare: WISSEN: Wählt man für x eine beliebige Zahl und setzt sie ein, dann kann man die zugehörige Zahl finden, die man für y einsetzen muss. Dazu stellt man die Gleichung nach y um: y 6 x: Wähle x = 0 ergibt y L Damit wissen wir, dass das Zahlenpaar 0 6 zur Lösungsmenge gehört. So kann man beliebige weitere Lösungspaare bestimmen: Wähle x = ergibt y 6 4 Wähle x = ergibt y 6 4 Wähle x = ergibt y L,,, Man kann natürlich auch Bruchzahlen verwenden, etwa so: Wähle x = L 0 L 6 8 ergibt y 6 9, Die Lösungsmenge einer Gleichung mit Variablen kann man geometrisch als Gerade darstellen. Jedes Lösungspaar deutet man dann als die Koordinaten eines Punktes dieser Geraden. Das heißt: Die zugehörige Gerade stellt die Lösungsmenge geometrisch dar. Ich habe oben fünf Lösungspaare berechnet. Diese habe ich hier als Punkte eingetragen und die rote Gerade, welche die Lösungsmenge darstellt. Ihre Gleichung ist y x 6. Sie hat die Steigung - und den y-achsenabschnitt 6. Doch diese geometrische Darstellung ist nicht der eigentliche Inhalt dieses Abschnittes, sondern die Berechnung von Lösungspaaren. Die Aufgabe ist noch nicht gelöst. Wir benötigen jetzt ein Verfahren, dass die Lösungsmenge als ganzes bestimmt, nicht nur Paare. DEMO für 9 L

6 600 Training: Gleichungssysteme lösen 6 Verfahren zur Berechnung der Lösungsmenge: x + y = 6 bzw. y 6 x Auf der vorigen Seite haben wir für x eine Zahl ausgewählt und dann durch Einsetzen das dazu passende y bestimmt. Dies machen wir jetzt auch so, nur dass wir eine beliebige aber unbekannte Zahl wählen. Da wir sie nicht kennen, nennen wir sie r. Das schreibt man so auf: Wähle x r, r. Dazu folgt: y 6 r Lösungspaar: r 6 r Lösungsmenge: L r 6r r In der Lösungsmenge steht das allgemeine Lösungspaar, dann folgt der so genannte Bedingungsstrich, und dahinter steht, dass r eine beliebige Zahl sein darf. Man liest das so: L ist die Menge aller Paare r 6 r mit r Element der reellen Zahlen. Dies ist nun keine aufzählende Mengenschreibweise wie L ;4;;8, sondern eine beschreibende Mengendarstellung. Beispiel 6 x y Diese Aufgabe ist für das Verständnis sehr wichtig, denn ich zeige zwei Lösungswege auf, einen günstigen und einen weniger günstigen.. Lösungsweg:. Lösungsweg: Wähle x = r, r Wähle y = r, r Umstellen nach y: y x Umstellen nach x: x y Einsetzen: y r Einsetzen: x r Lösungspaar: r r Lösungspaar: r r r r r r r r Lösungsmenge: Lösungsmenge: für Worin liegt der entscheidende Unterschied? Links wird für x eine Zahl gewählt. Dann muss man nach y umstellen, was wegen des Faktors vor dem y zum Bruch führt. Das allgemeine Lösungspaar enthält also einen Bruch. Rechts wird für y eine Zahl gewählt. Dann muss man nach x umstellen, was bruchfrei geht! Das allgemeine Lösungspaar enthält also keinen Bruch. Das ist günstiger. Dem Anfänger man es zunächst seltsam vorkommen, dass man zwei verschiedene Lösungsmengen für dieselbe Gleichung erhält. Das stimmt aber nicht. Die Lösungsmengen sind identisch bei beiden Lösungswegen, lediglich die Berechnung der Lösungspaare ist unterschiedlich. So erhält man für r = links das Lösungspaar 0. Um dieses Paar rechts zu bekommen, muss man für r die wählen.demo Zahl 0

7 600 Training: Gleichungssysteme lösen 7 Beispiel 7 x y 8 Überlegung vor der Lösungsberechnung: Wählt man für x eine beliebige Zahl r, muss man nach y umstellen, wobei man durch teilen 8 muss, was zu zwei Brüchen führt: y x. Wählt man für y eine beliebige Zahl r, muss man nach x umstellen, was nur zu einem Bruch führt: x 4 y. Dies ist günstiger. Man kann hier mit einem Trick sogar diesen Bruch noch vermeiden, indem man für y nicht r sondern r wählt. Das zeige ich in der Musterlösung: Musterlösung: Gegeben: x y 8 Umstellen nach x: x 4 y Wähle y r,r Dann folgt: x 4 r 4 r Lösungspaar: 4 r r Lösungsmenge: L Beispiel 8 x 8y Musterlösung: Umstellen nach x: x 8y 4r r r Wähle y r,r Dann folgt: x 8 r Lösungspaar: 8r r L 8r r r Lösungsmenge: Beispiel 9 x y 0 Musterlösung: Umstellen nach y: y x 4 Wähle x r, r Dann folgt: y r 4 r 4 r r 4 Lösungspaar: Lösungsmenge: L Beispiel 0 4x 7y r r4 r Musterlösung: Umstellen nach y: 4 y x 7 7 Wähle x 7r, r 4 Dann folgt: y 7r 4r r 7 Lösungspaar: 7r Lösungsmenge: L 7 7r 4r r In dieser Gleichung kommt man um Brüche nicht herum! DEMO für Prinzipiell hat man freie Hand, welche Variable man frei wählt. Ich wollte nur zeigen, dass man es in manchen Beispielen geschickt bzw. ungeschickt machen kann.

8 600 Training: Gleichungssysteme lösen 8 Gleichung mit Unbekannten Einführungsbeispiel x y z 8 mit der Grundmenge usw. G. DEMO für

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