CAS-Einheit: Formen der Funktionsgleichung bei rationalen Funktionen

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1 CAS-Einheit: Formen der Funktionsgleichung bei rationalen Funktionen Die folgende Bildfolg zeigt, wie man Funktionsgraphen mit dem CAS-Rechner zeichnen kann: Aufgaben Lasse mit Hilfe des CAS-Rechners die folgenden Graphen zeichnen. Zeichne dann in den Graphen die waagrechte und senkrechte Asmptote im Rechner ein. Skizziere in den entsprechenden Feldern auf dem Arbeitsblatt die vom CAS-gezeichneten Graphen sorgfältig. Bestimme mit Hilfe der waagrechten und senkrechten Asmptote eine Funktionsgleichung in der Form: f() = c a + b Bestimme mit Hilfe eines passenden Funktionswerts den Wert der Variablen c. f() = f() = f() = + + f() =

2 Aufgaben zu rationalen Funktionen. Das folgende Schaubild zeigt die Graphen einer rationalen Funktion: Zeichne die Asmptoten des Graphen in das Koordinatensstem ein. Erstelle einen Steckbrief des Graphen und gib die Funktionsgleichung des Graphens an. Wandle die Funktionsgleichung in die Form f() = a + b um und berechne c + d die Nullstelle des Graphen. d) Berechne, für welchen -Wert gilt: f() =. In dem folgenden Koordinatensstem ist der Graph eine rationalen Funktion gegeben: 5 4 Zeichne in das angelegte Koordinatensstem die Asmptoten des Funktionsgraphen ein und gib die Gleichungen der Asmptoten an. Bestimme mit Hilfe eines geeigneten Funktionswertes den Streckungsfaktor des Funktionsgraphens. Erstelle einen Steckbrief des Graphens und ermittle mit dessen Hilfe die Funktionsgleichung des Graphen.

3 d) Wandle die Funktionsgleichung in die Form f() = a + b um und berechne c + d dann die Nullstelle des Funktionsgraphen. e) Bestimme durch Rechnung, für welchen -Wert gilt: f() =,5. Eine rationale Funktion ist durch die folgende Zuordnungsvorschrift gegeben. f : f() = Bestimme mit Hilfe des Funktionsterms die Gleichungen der Asmptoten des Funktionsgraphen. Erstelle einen Steckbrief für den Funktionsgraphen mit Hilfe des Funktionsterms. Zeichne ohne eplizit eine Wertetabelle anzulegen den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatenstem ein. d) Berechne die Nullstelle der vorgegebenen Funktion. 4. Gegeben ist eine rationale Funktion durch die Zuordnungsvorschrift f : f() = Stelle die Funktion mit der Funktionsgleichung f() = c a + b dar Ermittle die Gleichungen der Asmptoten des Funktionsgraphen und gegebenenfalls den Streckfaktor a. Zeichne aufgrund der bisher erhaltenen Ergebnisse den Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensstem ein. d) Berechne die Nullstelle des Funktionsgraphen. 5. Gesucht wird jeweils eine Funktion, welche die nachstehenden Eigenschaften besitzt: D = R \ {} und = ist die Nullstelle der Funktion. D = R \ {} und W =] ; + [ D = R \ und W =] ; [ Gib für alle Fälle jeweils eine passende Funktionsgleichung an und begründe deine Entscheidung.

4 Aufgaben zu rationalen Funktionen und Bruchtermen. Berechne die Summe der folgenden Bruchterme. Stelle dazu erst durch geschicktes Ausklammern einen Hauptnenner her: d) e) f) g) h) Gegeben ist eine rationale Funktion durch die Summe der folgenden Bruchterme: f : f() = Stelle die Funktionsgleichung in der Form f() = a + b her und berechne c + d die Schnittpunktskoordinaten des Funktionsgraphen dieser Funktion mit den Koordinatenachsen. Zeige, dass = eine senkrechte Asmptote des Funktionsgraphen darstellt und ermittle durch ein geeignetes Verfahren die Asmptotengleichung des waagrechten Asmptote. Zeichne den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensstem ein.. Faktorisiere Zähler und Nenner der folgenden Bruchterme. Fasse die gekürzten Bruchterme als Funktionsterme auf und zeichne der Graphen jeweils nach Ermittlung der Asmptotengleichungen ihre Graphen in ein geeignetes Koordinatensstem ein: 4 8 ( 4) 4 d) e) f)

5 Wiederholungsaufgaben zur Vertiefung. Löse die folgenden Bruchgleichungen mit einem algebraischen Lösungsverfahren. Ermittle zu dem die Definitions- und die Lösungsmenge: d) + = = = = 6 Die Bruchgleichungen kannst du durch das Computeralgebrasstem des CAS- Rechners kontrollieren: Wähle main Wähle Interaktiv -> Gleichung -> solve Gib die Gleichung in das Dialogfenster ein. In einem Koordinatensstem ist der Graph einer rationalen Funktion gegeben: 5 4 5

6 Ermittle mit Hilfe eines geeigneten Steckbriefs des Graphens, der Verschibungen und Stauchungen des Graphens gegenüber g() = Funktionsgleichung. enthält, die Zeichne in das angelegte Koordinatensstem den Graphen der Funktion ein. h() = Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes beider Funktionsgraphen. 6

7 Übungsplan zum Wiederholen und Vertiefen. In einem Koordinatensstem ist der Graph einer rationalen Funktion gegeben: 5 4 Ermittle mit Hilfe eines geeigneten Steckbriefs des Graphens, der Verschibungen und Stauchungen des Graphens gegenüber g() = Funktionsgleichung. enthält, die Zeichne in das angelegte Koordinatensstem den Graphen der Funktion ein. h() = + Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes beider Funktionsgraphen und überprüfe das Ergebnis graphisch.. Berechne die Summe der folgenden Bruchterme: Löse die folgenden Bruchgleichungen mit einem algebraischen Verfahren und bestimme jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: = = 7