Bildungsplan für das berufliche Gymnasium der dreijährigen Aufbauform. Band 1 Allgemeine Fächer. Aufgabenfeld III Heft 2 Mathematik (TG)

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1 Amtsblatt des Ministeriums für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg Ausgabe C LEHRPLANHEFTE REIHE I Nr. 25 Bildungsplan für das berufliche Gymnasium der dreijährigen Aufbauform Band 1 Allgemeine Fächer Aufgabenfeld III Heft 2 Mathematik (TG) Eingangsklasse Jahrgangsstufen 1 und August 2003 Lehrplanheft 1/2003 NECKAR-VERLAG

2 Inhaltsverzeichnis 1 Inkraftsetzung 2 Vorbemerkungen 7 Lehrplanübersicht Auf den Inhalt des Hefts Allgemeine Aussagen zum Bildungsplan wird besonders hingewiesen: Vorwort Hinweise für die Benutzung Der Erziehungs- und Bildungsauftrag der beruflichen Schulen Der besondere Erziehungs- und Bildungsauftrag für das berufliche Gymnasium Verzeichnis der Lehrplanhefte für das berufliche Gymnasium Band 1 Allgemeine Fächer Verzeichnis der Lehrplanhefte für das berufliche Gymnasium Band 2 Berufsbezogene Fächer Impressum Kultus und Unterricht Ausgabe C Herausgeber Lehrplanerstellung Verlag und Vertrieb Bezugsbedingungen Amtsblatt des Ministeriums für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg Lehrplanhefte Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg; Postfach , Stuttgart Landesinstitut für Erziehung und Unterricht Stuttgart, Abt. III Berufliche Schulen, Rotebühlstraße 131, Stuttgart, Fernruf (07 11) Neckar-Verlag GmbH, Klosterring 1, Villingen-Schwenningen Die fotomechanische oder anderweitig technisch mögliche Reproduktion des Satzes bzw. der Satzanordnung für kommerzielle Zwecke nur mit Genehmigung des Verlages. Die Lieferung der unregelmäßig erscheinenden Lehrplanhefte erfolgt automatisch nach einem festgelegten Schlüssel. Der Bezug der Ausgabe C des Amtsblattes ist verpflichtend, wenn die betreffende Schule im Verteiler vorgesehen ist (Verwaltungs- vorher beim Neckar- vorschrift vom 8. Dezember 1993, K.u.U S. 12). Die Lehrplanhefte werden gesondert in Rechnung gestellt. Die einzelnen Reihen können zusätzlich abonniert werden. Abbestellungen nur halbjährlich zum 30. Juni und 31. Dezember eines jeden Jahres schriftlich acht Wochen Verlag, Postfach 1820, Villingen-Schwenningen. Das vorliegende LPH 1/2003 erscheint in der Reihe I Nr. 25 und kann beim Neckar- Verlag bezogen werden.

3 Mathematik (TG) 1 Amtsblatt des Ministeriums für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg Stuttgart, 26. August 2003 Lehrplanheft 1/2003 Bildungsplan für das berufliche Gymnasium; hier: Berufliches Gymnasium der dreijährigen Aufbauform Vom 26. August /92 I. II. Für das berufliche Gymnasium gilt der als Anlage beigefügte Lehrplan. Der Lehrplan tritt für die Eingangsklasse und die Jahrgangsstufe 1 mit Wirkung vom 1. August 2003, für die Jahrgangsstufe 2 am 1. August 2004 in Kraft. Im Zeitpunkt des jeweiligen Inkrafttretens tritt der im Lehrplanheft 5/1999 veröffentlichte Lehrplan in diesem Fach vom 27. August 1999 (Az. V/ /69) außer Kraft.

4 2 Mathematik (TG) Vorbemerkungen Eingangsklasse Schülerinnen und Schüler, die aus unterschiedlichen Schularten kommen, werden in der Eingangsklasse der beruflichen Gymnasien zusammengeführt. Hier soll eine Angleichung der Kenntnisse und Arbeitsweisen erfolgen, wobei die Arbeit im Team die Regel statt die Ausnahme sein soll. Im Laufe des Schuljahres sollen mathematische Arbeitstechniken erarbeitet und gefestigt werden, die für oberstufenspezifische Fragestellungen und damit für das Verständnis der in den Jahrgangsstufen 1 und 2 zu behandelnden Themen grundlegend und unverzichtbar sind. Abstraktion und Beweistechniken spielen in der Eingangsklasse eine eher untergeordnete Rolle; sie treten in den Jahrgangsstufen 1 und 2 stärker in den Vordergrund. Zu den genannten Arbeitstechniken gehören die Verwendung von Formeln, Tabellen, Schaubildern, Koordinatensystemen der Umgang mit dem Grafikrechner (GTR) und soweit das möglich ist einem Computeralgebrasystem (CAS) die sachgerechte Verwendung der mathematischen Fachsprache und Symbolik, soweit sie erforderlich sind das Erkennen von mathematischen Mustern und die Benutzung von Werkzeugen zur Strukturierung wie Fallunterscheidung, Wiederholung, Modularisierung, d. h. von Grundlagen des algorithmischen Denkens. Symbolik und Regeln von Mengenlehre und Aussagenlogik werden so weit eingeführt und verwendet, wie dadurch mathematische Sachverhalte knapp und präzise dargestellt werden können. Das kurzfristige, einseitige Lernen soll vollständig zurücktreten zugunsten von inhaltlichem Eingehen auf gegebene Problemsituationen und einem selbstständigen Anwenden von mathematischen Verfahren. Dazu sollen einzelne Fragestellungen und Arbeitstechniken an verschiedenen Beispielen immer wieder eingeübt und vertieft werden. Durch diesen Lehrplan sollen folgende Ziele größere Bedeutung erlangen: Lernen durch Visualisierung experimentelles, entdeckendes, explorierendes Lernen, offene Konzepte handelndes, ergebnisorientiertes Lernen Herausstellen und Nutzen von Querverbindungen, gebiets- und Fächer übergreifenden Aspekten (vernetzendes Lernen, modularer Aufbau) aktives Modellieren als Prozess ästhetisches Erleben (emotionale Komponente) Orientieren an Leitbegriffen, fundamentalen Ideen wie z. B. Funktion, Iteration, Linearität, Approximation, Änderung Weil es zunehmend weniger auf das reine Rechnen als auf die Anwendung geeigneter Werkzeuge zum Problemlösen, das Denken in Zusammenhängen, die Modellierung realer Vorgänge und die Interpretation der erhaltenen Ergebnisse ankommt, ist es hilfreich, neben dem Grafikrechner auch ein Computeralgebrasystem einzusetzen.

5 Mathematik (TG) 3 Schülerinnen und Schüler sollen im Unterricht nicht nur fachliche Kompetenzen erwerben, sondern darüber hinaus auch methodische Fertigkeiten wie Modellieren, Argumentieren, Dokumentieren und Präsentieren erlangen. Die individuelle Gestaltung des Unterrichts soll sich an den vorgestellten Leitideen wie z. B. Fallunterscheidung, Symmetrie, Umkehrung ausrichten. Diese Leitideen sollen an mindestens einem Beispiel einer Funktionsklasse so behandelt werden, dass sie auf die übrigen Funktionsklassen übertragen werden können, d. h. dass mindestens ein Kreuz in jeder Zeile und in jeder Spalte steht: Potenzfunktionen Polynomfunktionen Exponentialfunktionen Trigonom. Funktionen Abschnittw. defin. Fkt. usw. Funktionale Zusammenhänge Symmetrie Verschiebung und Streckung Periodizität Asymptotisches Verhalten Fallunterscheidung Umkehrung Änderungsraten Lösungsverfahren für Gleichungen usw. Am Ende der Eingangsklasse sollen die Schülerinnen und Schüler sachgerecht mit Funktionen umgehen können. Jahrgangsstufen 1 und 2 Auch in den Jahrgangsstufen 1 und 2 kann man die zu erreichenden Ziele gut durch eine Matrix veranschaulichen. Jede Zeile und jede Spalte dieser Matrix soll im Verlauf der beiden Jahre möglichst mehrfach besetzt werden:

6 4 Mathematik (TG) Analysis Stochastik Lineare Algebra Steigung, Tangente, Änderungsrate, Flächenzuwachs Ableitungsfunktion, Stammfunktion Schaubilder von Funktionen und Funktionsscharen Optimierungsprobleme Integral und Flächeninhalt usw. Zufallsexperimente, Ereignisse Wahrscheinlichkeit Baumdiagramme bedingte Wahrscheinlichkeit Modellierung von Stichproben Zufallsvariable, Kenngrößen usw. Lineare Gleichungssysteme Geometrie im affinen Raum Längen und Winkel usw. Berechnen Verfahren kennen von Hand rechnen mit Tabellen arbeiten mit GTR mit iterativen bzw. rekursiven Algorithmen... Approximieren infinitesimal numerisch rekursiv... Interpretieren von Ergebnissen von Schaubildern von Fällen... Argumentieren darstellen begründen kleine Beweise vom Beispiel zum formalen Ausdruck... Modellieren deterministisch nicht deterministisch rekursiv... Mathematik anwenden Visualisieren und Präsentieren usw.

7 Mathematik (TG) 5 Im Gegensatz zu Wahlmöglichkeiten, die in den vorhergehenden Lehrplänen vorhanden waren, wurde jetzt Stochastik verpflichtend in den Lehrplan aufgenommen: 1. Grundlagen der Statistik und der Stochastik werden in sehr vielen Studiengängen benötigt. Schülerinnen und Schüler, die in die Eingangsklasse eines beruflichen Gymnasiums kommen, bringen diese Grundlagen häufig nicht mit. 2. Die Stochastik erfüllt viele zentrale Forderungen der Lehrerfortbildung zur Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts wie z. B. Verbalisieren, Modellieren, Strukturieren, Präsentieren, Argumentieren und Anwenden. 3. Baumstrukturen sind ein allgemeines Prinzip der Informatik. 4. Aufgaben aus der Stochastik sind meist wenig rechenintensiv. Was aus der beschreibenden Statistik oder aus der Kombinatorik gebraucht wird, ist mittlerweile auf jedem gängigen Grafikrechner verfügbar speziell der Umgang mit aufwändigen Tabellen sowie das langwierige Erstellen von Diagrammen entfallen weitgehend. 5. Auch die einheitlichen Prüfungsanforderungen für die Abiturprüfung empfehlen eine Ausweitung dieses Bereiches. In allen Jahrgangsstufen ist Zeit für handlungsorientiertes Erarbeiten von Themen ausgewiesen. Dies schafft zusätzlichen Freiraum für kleine Projekte, für Fächer übergreifende Ansätze und auch für die handlungsorientierte Bearbeitung von Gebieten, die über den verbindlichen Teil des Lehrplans hinaus gehen. Hier soll ebenfalls Zeit sein für eigenverantwortliches Arbeiten, für Gruppenprozesse und andere Lernformen, die methodische und sozial-kommunikative Kompetenzen fördern.

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9 Mathematik (TG) 7 Lehrplanübersicht Schuljahr Lehrplaneinheiten Zeitrichtwert Gesamtstunden Seite Eingangs- Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) 20 9 klasse 1 Daten und ihre Aufbereitung Funktionen in Anwendungen und ihre Schaubilder, zugehörige Gleichungen Zeit für Leistungsfeststellung und zur möglichen Vertiefung 40 Jahrgangs- Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) stufen 3 Lineare Algebra und Vektorgeometrie und 2 4 Analysis Stochastik Wahlgebiete (Projekte aus verschiedenen Bereichen) Zeit für Leistungsfeststellung und zur möglichen Vertiefung

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11 Mathematik (TG) 9 Eingangsklasse Zeitrichtwert Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) 20 Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten Themen handlungsorientiert. Z. B. Projekte, Eigenverantwortliches Arbeiten, Aktives Modellieren Die Themenauswahl hat aus den nachfolgenden Lehrplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen. 1 Daten und ihre Aufbereitung 24 Im Qualitätsmanagement sowie in vielen anderen Anwendungsbereichen sind Kenntnisse der beschreibenden Statistik unerlässlich. Die Schülerinnen und Schüler lernen in dieser Einheit statistische Merkmale, ihre Verteilungen und deren Schaubilder und Maßzahlen an geeigneten Anwendungsbeispielen kennen. Sie erfahren unterschiedliche Möglichkeiten der Darstellung und Aufbereitung von Daten; dadurch können sie ihre Kritikfähigkeit gegenüber Statistiken schulen und Präsentationen einüben. Diese Lehrplaneinheit sollte mit einer korrespondierenden Einheit in den Fächern Datenverarbeitung, Technik, Physik oder einem anderen Fach zu einem Fächer übergreifenden Projekt gekoppelt werden; sie bietet auch die Möglichkeit, den Umgang mit Rechnern zu trainieren. Darstellung von Datenreihen durch geeignete Diagramme Merkmale und ihre Verteilungen Merkmalsarten und Merkmalsskalen Schaubilder von Merkmalsverteilungen Lage- und Streuungsmaße Regression und Korrelation Lineare und nicht lineare Regression

12 10 Mathematik (TG) 2 Funktionen in Anwendungen und ihre Schaubilder, zugehörige Gleichungen 76 Funktionen, ihre Schaubilder und die zugehörigen Gleichungen stehen im Mittelpunkt dieser Lehrplaneinheit. Die Schülerinnen und Schüler frischen Vorkenntnisse aus der Mittelstufe auf, werden darüber hinaus aber auch mit abstraktem Vorgehen vertraut gemacht. Die mathematischen Funktionen gründen sich zum großen Teil auf Anwendungsbezüge, z. B. aus Wirtschaft und Technik sowie aus Physik, Chemie und Biologie. In sinnvoller Weise werden bei der Lösung von Gleichungen an geeigneten Stellen klassische und rechnerunterstützte Lösungsmethoden im Wechselspiel eingesetzt. Am Ende des Schuljahres können die Schülerinnen und Schüler lineare Gleichungen sowie quadratische Gleichungen auch von Hand lösen. Sie beherrschen einfache Lösungsstrategien wie Faktorisierung, Substitution und Iteration und wenden grafische Methoden unter Einsatz des Grafikrechners an. Vor allem dort, wo es auf die Durchführung einer Rechnung von Hand nicht ankommt, kann auch ein Computeralgebrasystem eingesetzt werden. Am Ende der Eingangsklasse soll mindestens ein Iterationsverfahren behandelt worden sein. Funktionen Begriffsbildung und Beschreibung das Schaubild der Funktion globales und asymptotisches Verhalten Achsenschnittpunkte (Lage, Anzahl) Symmetrie zum Ursprung, zur y-achse Verschiebung und Streckung in x- und y-richtung Periodizität die Umkehrfunktion das Änderungsverhalten durchschnittliche und momentane Änderungsrate, Differenzen- und Differentialquotient grafisches Differenzieren die Ableitungsfunktion und ihr Schaubild lineare Approximation Propädeutik des Grenzwertbegriffs Verbal, durch Schaubild, durch Tabelle, algebraisch; mit GTR oder mit CAS sind auch rekursive Beschreibungen möglich. 1 * * f : xa, x IR oder f mit f( x) = 1, x IR x x K : y = sin x; x 0;3π f ( x) = a sin[ b( x + c)] + d Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden (z. B. Wurzelfunktion, Logarithmusfunktion) Sekanten- und Tangentensteigung, f ( x+δx) f( x) dy und, s & Δx dx auch Verbalisierung von Kurvenverläufen Tangentengleichung Schreibweise z. B. g = lim f( x) oder x f( x) g für x Beispiele aus: Technik (Ströme) Physik (Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit) Betriebswirtschaftslehre (Grenz- und Differentialkosten) Demographie (Bevölkerungsentwicklung)

13 Mathematik (TG) 11 Gleichungen Näherungsverfahren grafisch experimentell iterativ mit Rechnern exakte Verfahren Äquivalenzumformungen mit Hilfe der Umkehrung von Rechenoperationen Problemreduktion durch Faktorisierung Substitution Symmetriebetrachtungen Lösungsverfahren für Ungleichungen Die Inhalte dieser Lehrplaneinheit sollen an Hand folgender Funktionstypen behandelt werden: Potenzfunktionen (auch mit negativen und gebrochenen Exponenten) Polynomfunktionen Exponentialfunktionen trigonometrische Funktionen abschnittweise definierte Funktionen Erraten mit Probe, Intervallteilung Intervallhalbierung Bei der Behandlung eines Iterationsverfahrens kann der Grenzwert anschaulich eingeführt und präzisiert werden. GTR, CAS auch mit einer Lösungsformel Satz vom Nullprodukt Begründung mit Hilfe der Eigenschaften von Schaubildern und Funktionstermen, GTR, CAS Gravitationsgesetz Auch affine und quadratische Funktionen, Approximation von Funktionen Wachstums- und Zerfallsprozesse Beschreibung von Schwingungen Prinzip der Fallunterscheidung, z. B. bei der Betragsfunktion

14 12 Mathematik (TG)

15 Mathematik (TG) 13 Jahrgangsstufen 1 und 2 Zeitrichtwert Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) 36 Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten Themen handlungsorientiert. Z. B. Projekte, Eigenverantwortliches Arbeiten, Aktives Modellieren Die Themenauswahl hat aus den nachfolgenden Lehrplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen. 3 Lineare Algebra und Vektorgeometrie 40 Grundkenntnisse der linearen Algebra, besonders die Kenntnis der Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme (LGS) sind in Naturwissenschaft und Technik unentbehrlich. Die Schreibweise von LGS in verschiedenen Formen, vor allem durch Matrizen und Tabellen, ermöglicht eine übersichtliche Darstellung der Lösungsverfahren, der Lösbarkeitskriterien und der Lösungen selbst. Vektoren sind auch ein geeignetes Hilfsmittel zur Behandlung der Geometrie im Anschauungsraum hier kann eine Brücke zwischen den Lösungen von LGS und den entsprechenden geometrischen Sachverhalten geschlagen werden. Die Einführung des Skalarprodukts ermöglicht die Bestimmung von Abständen und Winkeln sowie die Herstellung von Querverbindungen zur Physik. Lineare Gleichungssysteme der Gauß-Algorithmus Lösungsvielfalt von linearen Gleichungssystemen Vektorschreibweise der Lösungsmenge Anwendungen 3 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum A Geraden und Ebenen in Parameterdarstellung Veranschaulichung im Koordinatensystem Spurpunkte und Spurgeraden Lagebeziehungen Schnittprobleme In einfachen Fällen auch mit Parameter Prinzip der Fallunterscheidung Widerstandsnetze, Mischungs- und Transportprobleme Auch Punkte-, Geraden- und Ebenenscharen Das Skalarprodukt Länge (Betrag) eines Vektors Winkel zwischen Vektoren, Orthogonalität Abstände von Punkten Winkel zwischen Geraden Orthogonalität von Geraden und Ebenen Mögliche Vertiefung: Abstands- und Winkelprobleme bei Geraden und Ebenen (Schülerreferate, Gruppenpuzzle usw.)

16 14 Mathematik (TG) 4 Analysis 80 Viele reale Vorgänge aus Naturwissenschaften, Wirtschaft und Technik können erst durch eine Mathematisierung umfassend beschrieben werden, Funktionen sind dabei von zentraler Bedeutung. Mit Hilfe der Differential- und Integralrechnung gewinnen die Schülerinnen und Schüler vertiefte Kenntnisse über Funktionen und ihre Schaubilder. Das Konzept der Ableitung mit seiner Interpretation als Änderungsrate, als Tangentensteigung und als Mittel zur linearen Approximation von Funktionen wird jetzt an vielen Beispielen deutlich. Anwendungsprobleme, z. B. aus dem Bereich der Optimierung, können angemessen beschrieben und gelöst werden. Grafikrechner sind dabei ein wertvolles Hilfsmittel zur Veranschaulichung und zur Erleichterung numerischer Rechnungen. Neben der Begriffsbildung des bestimmten Integrals als unendliche Summe, als Änderungsrate mal Zeit und als Flächen- oder Rauminhalt wird den Schülerinnen und Schülern der Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral deutlich. Sie lernen auch nicht-geometrische Anwendungsbeispiele der Integralrechnung aus Naturwissenschaft und Technik kennen. Im Unterricht behandelt werden vorwiegend Polynomfunktionen, die Sinus- und die Kosinusfunktion, die natürliche Exponentialfunktion sowie deren Linearkombinationen, Produkte und Verkettungen. Beim Modellieren realer Vorgänge können darüber hinaus auch abschnittsweise definierte Funktionen und Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis auftreten. Ableitungs- und Stammfunktion Ableitung der Potenzfunktionen, e-funktion, Sinus- und Kosinusfunktion Ableitungsregeln Summen- und Faktorregel Produktregel Kettenregel Ermittlung von Stammfunktionen Linearkombination lineare Substitution Zusammenhang von f, f und f Kurven und Kurvenscharen Lokales und globales Verhalten Tangenten und Normalen Ortskurven besonderer Punkte gemeinsame Eigenschaften von Scharkurven Bestimmung von Funktionen aus vorgegebenen Eigenschaften Der in der Eingangsklasse eingeführte Grenzwertbegriff wird hier aufgenommen und vertieft. Auch Ableitung von einfachen Quotientenfunktionen mit Produkt- oder Quotientenregel Deutung an den Schaubildern, Interpretation für reale Vorgänge Durch den Einsatz des GTR ist keine geschlossene Kurvendiskussion mehr erforderlich; es werden die Eigenschaften je nach der Problemstellung untersucht. Z. B. Extrempunkte, Wendepunkte, Steigungs- und Krümmungsverhalten Einfluss des Scharparameters 3 Ansätze wie f ( x) = ax + bx, g( x) = ( ax+ b) e kx

17 Mathematik (TG) 15 Optimierungsprobleme Modellieren Wahl der Zielfunktion Definitionsbereich Einflussgrößen, Parameter Begründung des Modellansatzes Lösen Darstellung der Zielfunktion, Auswahl eines Lösungsverfahrens Bewerten der Lösung des Modells Das bestimmte Integral Deutung von bestimmten Integralen Numerische Flächenbestimmung Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Eigenschaften des bestimmten Integrals Berechnung von Flächeninhalten Anwendungen des bestimmten Integrals Mittelwert, Rotationsvolumen Z. B. Probleme aus der Statik, Materialverbrauch, Wegeprobleme, physikalische Größen, Umsatzentwicklung Unendliche Summe, Änderungsrate mal Zeit, Flächeninhalt Mit GTR, experimentell, numerisch Beweisidee mit Integralfunktion Auch mehrteilige Flächen, Flächen zwischen zwei Kurven Auch Arbeitsintegral, usw. 5 Stochastik 40 Die Schülerinnen und Schüler modellieren geeignete Erscheinungen des Alltagslebens als Zufallsexperimente. Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten wenden sie einfache Hilfsmittel aus der Mengenlehre und aus der Kombinatorik an. Sie erkennen die Möglichkeit, zufallsbedingte Erscheinungen mit Hilfe von Zufallsvariablen zu beschreiben. Sie lernen, deren Kenngrößen zu berechnen und die erhaltenen Ergebnisse zu interpretieren. Zufallsexperimente Darstellung durch Baumdiagramme Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Unabhängigkeit von Ereignissen Modellierung von Stichproben Z. B. Urnenmodelle, Ziehungsarten Kombinatorische Hilfsmittel nur insoweit, als sie für die Behandlung der wichtigen Modelle notwendig sind Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsfunktion Erwartungswert Standardabweichung

18 16 Mathematik (TG) 7 Wahlgebiete 20 In einem Projekt lernen die Schülerinnen und Schüler ein mathematisches Thema kennen und erweitern damit ihre Sichtweise über die verschiedenen Teilgebiete der reinen oder angewandten Mathematik. Auch geeignete andere Themen sind natürlich denkbar. Projekte aus verschiedenen Bereichen, z. B. Vektorräume Geschichte der Mathematik Modellierung Computeralgebrasysteme Differentialgleichungen Gebrochen-rationale Funktionen Logarithmusfunktionen Elemente der beurteilenden Statistik