Lösung: Wir beschreiben den Kreis vektoriell und führen in Anlehnung zu der obigen Abbildung folgende Vektoren ein. Norm von q : q = r (**) HOME/

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1 Voyage TM 00/ TI-89 Titaniu Analytische Geoetrie Kegelschnitte Nae des KB: Autor: Frank Schuann Sekundarstufe II Kreis XXX Der Kreis und seine Gleichungen. Aufgabe 1 Mittels eines Geoetrieprogras wurde innerhalb eines kartesischen Koordinatensystes ein Kreis kr( M, r ) dargestellt. Zu der coputerunterstützten Zeichnung liefert das Progra auch die zugehörige Kreisgleichung ( x 7) + ( y 4) = 3 (*) (siehe Abbildung [Abb. 1]). Bestien Sie aus der Gleichung die Koordinaten des Mittelpunktes M und die Länge des Radius r. [Abb. 1] Definition Kreis in einer Ebene Gegeben ist eine Ebene ε it de Punkt M und einer Strecke AB it der Länge AB = r. Als Kreis k u M it de Radius r bezeichnet an die Menge aller Punkte der Ebene ε, die von M den Abstand r haben. Kurz: kmr (, ) ε. Lösung: Wir beschreiben den Kreis vektoriell und führen in Anlehnung zu der obigen Abbildung folgende Vektoren ein. x x : = OM = ; p: = OP= y y [Abb. ] / Lernauftrag a) Koentieren Sie jede Eingabe. b) Interpretieren Sie die Ausgaben. c) Welcher Zusaenhang besteht zwischen den Gleichungen (*) und (**)? Es gilt in [Abb. ]: + q= p q= p x x = y y x x = y y Nor von q : q = r (**) Literaturverweis: Das Einaleins des Voyage TM 00 und Das Einaleins des TI-89 und des TI-89 Titaniu Schuann`s Verlagshaus Seite 1 von 9

2 Voyage TM 00/ TI-89 Titaniu Analytische Geoetrie Kegelschnitte Nae des KB: Autor: Frank Schuann Sekundarstufe II Kreis XXX Aus der Gleichung (**) folgt unittelbar: [Abb. 3] Satz 1 (Vektorgleichung eines Kreises in einer Ebene), k M r, wenn die Vektorgleichung Der Punkt P( x y ) liegt genau dann auf de Kreis (, ) x x erfüllt ist: = r y y. x Dabei gilt für den Ortsvektor zu Mittelpunkt M : OM =. y Beerkungen Das Quadrat auf beiden Seiten der Vektorgleichung ugeht die Operation des Quadratwurzelziehens. Die Koordinatengleichung ergibt sich aus de sybolischen Auswerten der vektoriellen Gleichung. Koordinatengleichungen für den Kreis: x x x+ y y y+ x + y = r äquivalent it ( ) ( ) x x + y y = r Vektorielle Kreisgleichung in Spaltenfor: x x Nor y y = r [Abb. 4] Frage: Wie bestit an aus der vektoriellen Kreisgleichung (**) ohne Rechner die Koordinatengleichung (*)? Wir arbeiten ohne Rechner. Die Gleichung (**) aus de Rechnerprotokoll (siehe [Abb. 3]) it Radius r = 3. ( ( )) Nor q = r r = 3 (**) x 14 x+ y 8 y+ 65 = 3 Wir kontrollieren it de Rechner. Wir zerlegen das Absolutglied 65, in eine Sue aus zwei Quadratzahlen und erkennen zwei vollständige quadratische Tere. x x y y ( ) ( x x ) ( y y ) = = 3 ( x ) ( y ) = 3 (*) ist äquivalent it der Gleichung (*). [Abb. 5] Interpretation: Die sybolische Äquivalenz bestätigt sich. Literaturverweis: Das Einaleins des Voyage TM 00 und Das Einaleins des TI-89 und des TI-89 Titaniu Schuann`s Verlagshaus Seite von 9

3 Voyage TM 00/ TI-89 Titaniu Analytische Geoetrie Kegelschnitte Nae des KB: Autor: Frank Schuann Sekundarstufe II Kreis XXX Wir verallgeeinern und forulieren: Satz Jeder Kreis in der Ebene lässt sich durch eine Gleichung der Gestalt x + y + A x+ B x+ C = 0 it ABC,, R beschreiben. Beweis: Jeder Kreis (, ) kr Mr als Punktenge in der Ebene erfüllt it P( x y) die Voraussetzung von Satz 1. Also gilt für jeden Punkt P( x, y ): x x y y, kr( M, = r. Die vektorielle Gleichung ist äquivalent it x + y x x y y+ x + y = r x + y x x y y+ x + y r = 0 Wir ersetzen durch A: = x ; B: = y ; C: = x + y r und erhalten: x + y + A x+ B x+ C = 0. was zu beweisen war Die Ukehrung zu Satz gilt nicht, denn beispielsweise ist die Gleichung x + y + 18x 16y+ 341 = 0 äquivalent it ( x ) ( y ) = 14. Es gibt aber keine reelle Zahl r für die gilt: r = 14. Wir schließen daraus: Es gibt it A: = 18; B: = 16; C = 341 eine Gleichung der Gestalt x + y + A x+ B x+ C = 0, die keinen Kreis beschreibt. was zu beweisen war. Aufgabe Gegeben sind drei Punkte A (, 4), B ( 1, 4), C ( 6, 8). a) Zeigen Sie, dass diese drei Punkte auf ein und derselben Kreislinie liegen. b) Veranschaulichen Sie diesen Kreis sowohl algebraisch als auch grafisch-nuerisch. c) Bestien Sie von diese Kreis Ufang und Flächeninhalt. d) Ist das Dreieck ABC rechtwinklig? Entscheiden und beweisen Sie eleentargeoetrisch ohne Rechnung und vektoriell it Rechnung. [Abb. 6] [Abb. 7] [Abb. 8] Literaturverweis: Das Einaleins des Voyage TM 00 und Das Einaleins des TI-89 und des TI-89 Titaniu Schuann`s Verlagshaus Seite 3 von 9

4 Voyage TM 00/ TI-89 Titaniu Analytische Geoetrie Kegelschnitte Nae des KB: Autor: Frank Schuann Sekundarstufe II Kreis XXX Zu a) Existenz und Eindeutigkeit des Kreises k( M, r ) Wir erinnern uns an den eleentargeoetrischen Satz: Satz: Jedes Dreieck besitzt genau einen Ukreis. Aus den Koordinaten der drei Punkte AB, und C erkennen wir sofort, dass es ein Dreieck ABC gibt. Das Dreieck ABC hat genau einen Ukreis. Die Punkte AB, und C liegen also auf ein und derselben Kreislinie. Zu b) Sybolische und grafisch-nuerische Veranschaulichung des Kreises k( M, r ) Wir wissen zwar nach a), dass es genau einen Kreis k( M, r ) it A k( M,, B k( M, und C k( M, gibt. Die Koordinaten von M und die nichtnegative reelle Zahl r sind uns dennoch unbekannt. Wir sollen den Kreis k( M, r ) sowohl algebraisch als grafisch-nuerisch veranschaulichen. Das bedeutet: Jede geforderte Darstellung für sich soll it ihren spezifischen sprachlichen Eigenheiten dazu beitragen, den eindeutig existierenden Kreis anders wahrzunehen als bisher. Unser Ziel bei der Veranschaulichung wird es sein, den Mittelpunkt M und den Radius r zahlenäßig zu bestien. Außerde wollen wir auch den rechnerischen Nachweis führen, dass die drei Punkte AB, und C Eleente von k( M, r ) sind. Wir küern uns zuerst u die algebraische Darstellung und führen die fünfstellige Aussagefor H ein. x x H( x, y, x, y, : Nor = r y y it xyx,,, y, r R r 0. A k( M, ; A (, 4) B k( M, ; B ( 1, 4) C k( M, ; C ( 6, 8) H(,4, x, y, r ) H( 1, 4, x, y, r ) H( 6,8, x, y, r ) Durch die Und-Verknüpfung entsteht eine Aussagefor in drei freien Variablen, die wir it syst bezeichnen. Wir legen eine entsprechende CASA an. NeuAufg x x Definier h( xyx,,, y, = Nor = r y y h,4, x, y, r and h 1, 4, x, y, r and h 6,8, x, y, r syst ( ) ( ) ( ) Wir suchen nach einer sybolischen Lösung für das nicht lineare Gleichungssyste syst. Lösungsvariablen sind: x, y, r R r 0. Wir erweitern die CASA u einen eingeschränkten Löse-Befehl. Literaturverweis: Das Einaleins des Voyage TM 00 und Das Einaleins des TI-89 und des TI-89 Titaniu Schuann`s Verlagshaus Seite 4 von 9

5 Voyage TM 00/ TI-89 Titaniu Analytische Geoetrie Kegelschnitte Nae des KB: Autor: Frank Schuann Sekundarstufe II Kreis XXX NeuAufg x x Definier h( xyx,,, y, = Nor = r y y h,4, x, y, r and h 1, 4, x, y, r and h 6,8, x, y, r syst ( ) ( ) ( ) Löse syst, { x, y, r} r 0 ( ) Wir werten den Löse-Befehl sybolisch und approxiativ aus. [Abb. 9] Interpretation: Der Kreis k( M, r ) wird durch M ( 7,3) und r = festgelegt. Wir sind nun in der Lage, die gesuchte algebraische Darstellung in For einer Koordinatengleichung zu bestien. Die sybolische Auswertung von h( x, y,7,3, 6) liefert uns eine Kreisgleichung, die wir entsprechend der Gleichungsgestalt aus Satz noch ein wenig uforen. [Abb. 10] Interpretation: Für alle Peripheriepunkte des Kreises k( M, r ) gilt: x + y 14 x 6 y+ 3 = 0. Wir testen unsere Gleichung nach ihre sybolischen Wahrheitswert aus, inde wir überprüfen, ob tatsächlich die drei Punkte AB, und C Eleente von k( M, r ) sind oder nicht. In der Aussagefor h( xyx,,, y, r ) belegen wir die ersten beiden lokalen Variablen x und y entsprechend it den Koordinaten der Punkte AB, und C und werten dann die Aussagen sybolisch aus. [Abb. 11] Interpretation: Die Koordinaten der drei Punkte AB, und C erfüllen den Ausdruck h( xyx,,, y, r ) und soit zugleich auch die dahinter stehende Kreisgleichung x + y 14 x 6 y+ 58 = 6. Die drei Punkte liegen auf de Kreis k( M, r ) ( M ( 7,3) und r = ). Literaturverweis: Das Einaleins des Voyage TM 00 und Das Einaleins des TI-89 und des TI-89 Titaniu Schuann`s Verlagshaus Seite 5 von 9

6 Voyage TM 00/ TI-89 Titaniu Analytische Geoetrie Kegelschnitte Nae des KB: Autor: Frank Schuann Sekundarstufe II Kreis XXX x x + y y = r. Ihr Wir gestalten eine äquivalente Kreisgleichung in der Gestalt ( ) ( ) Vorteil zeigt sich in der leichten Interpretierbarkeit für die Auswertung der Mittelpunktkoordinaten und des Radius. [Abb. 1] Interpretation: Die drei Kreisgleichungen x + y 14 x 6 y+ 3 = 0, x y x y = 6 und ( x ) ( y ) = 6 sind äquivalent und gehen aus der Aussagefor hxy (,,7,3, 6) hervor. Sie beschreiben it M ( 7,3) und r = den Kreis k( M, r ). U den Kreis auch grafisch-nuerisch darstellen zu können, benötigen wir geeignete Funktionstere. Einen ganzen Kreis durch einen einzigen Funktionsgrafen zu präsentieren, ist aufgrund der nichteindeutigen Zuordnung unöglich. Deshalb teilen wir den Kreis in zwei geeignete Halbkreise auf, wobei jeder Halbkreis durch seinen eigenen Ter erzeugt wird. Die Teilung verläuft parallel zur x Achse. [Abb. 13] Keine Funktion [Abb. 14] Zwei Funktionen U zwei explizite Funktionsgleichungen zu erhalten, foren wir ittels Löse-Befehl die Aussagefor hxy (,,7,3, 6) - Kreisgleichung - sybolisch nach y u. [Abb. 15] Interpretation: Die beiden Funktionstere für die Halbkreise sind ( ( x ) ) 14 x 3 3 ( x + 14 x 3) und Wir legen i Hauptbildschir die Grafiktere fest. Y=Editor/ [Abb. 16] WINDOW/ [Abb. 17] GRAPH/ Literaturverweis: Das Einaleins des Voyage TM 00 und Das Einaleins des TI-89 und des TI-89 Titaniu Schuann`s Verlagshaus Seite 6 von 9

7 Voyage TM 00/ TI-89 Titaniu Analytische Geoetrie Kegelschnitte Nae des KB: Autor: Frank Schuann Sekundarstufe II Kreis XXX [Abb. 18] [Abb. 19] Mit der GRAPH/Spur-Funktion scannen wir von beiden Grafen einige interessante Punkte. [Abb. 0] [Abb. 1] [Abb. ] [Abb. 3] [Abb. 4] [Abb. 5] Die Interpretationen der Abbildungen [Abb. 0] bis [Abb. 5] überlassen wir de aktiven Leser. Zu c) Berechnungen des Ufangs und Flächeninhalts von k( M, r ) Wir definieren entsprechende Größen in Abhängigkeit von r funktional und werten die belegten Tere sybolisch und approxiativ aus. Interpretation: Der Längenaßzahl für den Kreisufang beträgt exakt π 6. Literaturverweis: Das Einaleins des Voyage TM 00 und Das Einaleins des TI-89 und des TI-89 Titaniu Schuann`s Verlagshaus Seite 7 von 9

8 Voyage TM 00/ TI-89 Titaniu Analytische Geoetrie Kegelschnitte Nae des KB: Autor: Frank Schuann Sekundarstufe II Kreis XXX [Abb. 6] Zu d) Eine Behauptung zwei Beweise Wir behaupten: Das Dreieck ABC ist nicht rechtwinklig. Die exakte Flächenaßzahl beträgt 6 π. Gibt an für den Radius beispielsweise die Längeneinheit Zentieter vor, dann beträgt der Ufang 3 c und der Flächeninhalt 8 c. Eleentargeoetrischer Beweis ittels Satz von Thales und Ukehrung: Satz von Thales Wenn der Punkt C auf der Kreislinie (Peripherie) it AB als Durchesser liegt, dann ist der Winkel BCA ein rechter. Kurz: Jeder Peripheriewinkel über de Durchesser ist ein rechter. [Abb. 7] Satz Voraussetzung C liegt auf Peripherie it AB als Durchesser. Verneinte Behauptung Behauptung BCA = 90 Verneinte Voraussetzung Kontraposition BCA 90 C liegt auf Peripherie it AB nicht als Durchesser. Voraussetzung Behauptung Ukehrung BCA = 90 C liegt auf Peripherie it AB als Durchesser. Kontraposition Verneinte Behauptung C liegt auf Peripherie it AB nicht als Durchesser. Verneinte Voraussetzung BCA 90 Beweisittel: Kontraposition zur Ukehrung des Satzes von Thales. 6, 8 Beweisführung: Der Punkt C ( ) sei Peripheriepunkt. Die drei Punkte A (, 4), B ( 1, 4) und M ( 7,3) liegen nicht auf einer Geraden. Folglich kann die Strecke AB nicht der Durchesser sein. Nach der Kontraposition zur Ukehrung folgt schließlich: Der Winkel kein rechter. was zu beweisen war BCA ist Literaturverweis: Das Einaleins des Voyage TM 00 und Das Einaleins des TI-89 und des TI-89 Titaniu Schuann`s Verlagshaus Seite 8 von 9

9 Voyage TM 00/ TI-89 Titaniu Analytische Geoetrie Kegelschnitte Nae des KB: Autor: Frank Schuann Sekundarstufe II Kreis XXX Vektorieller Beweis ittels Orthogonalitätseigenschaft der skalaren Multiplikation in SkalarP AC, CB 0. Wir zeigen: ( ) R : Mit 6 4 AC = = und CB = = folgt 4 6 SkalarP ( AC, CB) = SkalarP, 4-4 = was zu beweisen war ( ) Literaturverweis: Das Einaleins des Voyage TM 00 und Das Einaleins des TI-89 und des TI-89 Titaniu Schuann`s Verlagshaus Seite 9 von 9