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1 (1) Rechnen mit Paaren und Tripeln () Eine Gleichung mit oder 3 Unbekannten (3) Zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten Datei Nr Stand 19. Oktober 010 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK LINEARE ALGEBRA Teil 1

2 61011 Lineare Algebra 1 Gleichungen mit Unbekannten / Lösungen Vorwort Dieser sehr wichtige Text beschäftigt sich damit, wie man Gleichungen löst, die keine eindeutigen Lösungen besitzen. Hier geht es um drei Typen: Eine Gleichung mit zwei Unbekannten Eine Gleichung mit drei Unbekannten Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten Zu Beginn wird daher als Grundlage das Rechnen mit Vektoren behandelt. Darunter verstehen wir Zahlenpaare oder Zahlentripel. Dann kommt der für die Gleichungslehre und für die spätere Vektorgeometrie wichtige Begriff der Linearkombination. Dazu auch die Methode, wie man Lösungsvektoren in Linearkombinationen zerlegt. Dann wird auf einer Wiederholungsseite ( ) noch einmal aufgezeigt, was es heißt, eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten zu lösen, und was Lösung überhaupt bedeutet. Dann folgen die Methoden zum Berechnen der Lösungsvektoren der oben genannten Gleichungen. Weil viele Schulen inzwischen mit CAS-Rechnern arbeiten, gibt es im 6 eine Einführung darüber, wie man solche Gleichungen mit CASIO ClassPad bzw. mit TI Nspire löst. Ein ganz wesentlicher Paragraph ist 7 mit 9 Textaufgaben, die zeigen, wie man solche Gleichungssysteme in Anwendungen einsetzt. Die Lösungen sind sehr, sehr ausführlich dargelegt. In den nächsten Texten folgen die weiteren Gleichungsarten: Zwei Gleichung mit zwei Unbekannten Text 6101 Drei Gleichungen mit zwei Unbekannten Text 6101 Drei Gleichung mit drei Unbekannten Text Eine bis vier Gleichungen mit vier Unbekannten Text Das Gaußsche Verfahren (Matrizenrechnung) wird hier nicht verwendet. Dieses findet man im Ordner Matrizen im Text Eine ausführliche Übersicht zu den Fundstellen der linearen Algebra steht in der Datei Verwenden Sie auch das Menüsystem oder den Dynamischen CD-Index zum Suchen und Finden.

3 61011 Lineare Algebra 1 Gleichungen mit Unbekannten / Lösungen 3 Inhalt 1 Rechnen mit Paaren und Tripeln 4 Linearkombinationen 5 Aufgabe 1 8 Gleichungen mit 1 Unbekannten Gleichung mit Unbekannten 10 Aufgabe Gleichung mit 3 Unbekannten 17 Aufgabe 3 5 Gleichungen mit 3 Unbekannten 3 Aufgabe Lösung der Gleichungen mit CAS-Rechner CASIO ClassPad 8 6. Texas Instruments TI Nspire 31 7 Textaufgaben (Anwendungsaufgaben) 33 Lösungen der Aufgaben 37 Lösungen der Textaufgaben 48-63

4 61011 Lineare Algebra 1 Gleichungen mit Unbekannten / Lösungen 4 1 Rechnen mit Paaren und Tripeln Die Algebra ist die Lehre vom Rechnen, von den Rechengesetzen, vom Lösen von Gleichungen usw. Wir wollen jetzt lernen, dass man nicht nur mit Zahlen rechnen kann, sondern auch mit Zahlenpaaren, Zahlentripeln usw. Dann lernen wir, wie man damit Gleichungen mit zwei oder mehr Unbekannten lösen kann. Die Grundlage des neuen Rechnens sind Zahlenpaare wie ( 5 ); ( 3) usw. Die Menge aller Zahlenpaare bezeichnet man mit R R oder schreibt dafür auch R. Das heißt einfach: Beide Zahlen eines Paares sind reelle Zahlen. Zahlentripel wie ( 0 4) Vorsicht: gehören zur Menge R R R = R 3 : usw. Man verwendet solche Paare und Tripel auch zur Beschreibung der Lage von Punkten in der Ebene bzw. im Raum. Das ist hier nicht gemeint, denn Punkte kann man ja nicht addieren. Für uns sind Paare und Tripel jetzt nur algebraische Elemente, mit denen wir rechnen werden. Es folgen die wichtigsten Definitionen zu den vorgesehenen Rechenarten: (1) Addition von Paaren / Tripeln Man definiert: ( a a ) + ( b b ):=( a +b a +b ) bzw. ( a a a ) + ( b b b ):=( a +b a +b a +b ) Das Zeichen := liest man sei. Es drückt aus, dass es sich um eine Definition handelt, die man also auch nicht beweisen kann. Beispiele: ( 5 ) + ( 1 7) = ( 6 9) ( 9 1) + ( 3 5) = ( 6 6) ( 4) + ( 0 0) = ( 4) bzw. ( 5 7 ) ( 0 7 9) ( ) + = usw. Dies darf man auf mehrere Summanden ausdehnen: ( 3 1) + ( 4 ) + ( 5) = ( 5 6) () Vielfachenbildung (auch S-Multiplikation genannt) Man definiert: r ( a a ):=( ra ra ) 1 1 bzw. r ( a a a ):= ( ra ra ra ) Beispiele: 4 ( 1 3) = ( 4 1) 1 ( 3 5) = ( 3 5) 1 0 = = = usw.

5 61011 Lineare Algebra 1 Gleichungen mit Unbekannten / Lösungen 5 c) Will man Vielfache addieren, bildet man sogenannte Linearkombinationen: Unter einer Linearkombination versteht man eine Summe von Vielfachen. Beispiele 5 ( 6 5 ) + 3 ( 8 ) = ( 30 5) + ( 6 4 ) = ( 4 49) ( ) = = 40 6 Zur Abkürzung bezeichnet man Paare und Tripel mit Buchstaben und einem Pfeil, und nennt sie Vektoren. Vektor soll nur bedeuten, dass das Rechnen mit ihnen gewissen festgelegten Regeln folgt. Man nennt das, was wir jetzt tun Vektorrechnung a = 1 und b = 4 5 sind also zwei Vektoren aus der Menge R. Aus ihnen bilde ich jetzt einige Linearkombinationen: a+ b = = 6 ( ) 3a + 7b = = = 38 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1a + b = = = 16 ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) 5a + b = = = 6 10 ( ) + ( ) ( ) ( ) 3 x= 6 5 und y= 8 5 sind zwei Vektoren aus der Menge R. Aus ihnen bilde ich jetzt diese Linearkombinationen: 5x + 3y = 5 ( 6 5 ) + 3 ( 8 5) = ( ) + ( ) = ( ) x+ 3 y= = = ( ) d) Es gibt auch negative Vektoren. Darunter versteht man einfach das (-1)-fache eines Vektors: a = 1 a = a a in R Man definiert: 1 bzw. a = ( 1 ) a = ( a a ) 1 a 3 Beispiele: a = ( 3) a = ( 3) in R b = 1 5 b = Mit diesen negativen Vektoren führt man jetzt die Subtraktion ein: 3

6 61011 Lineare Algebra 1 Gleichungen mit Unbekannten / Lösungen 6 e) Definition der Subtraktion von Vektoren: Jetzt sollte man sich daran erinnern, dass 4 ( ) + dasselbe ist wie 4. Mit anderen Worten: Die Subtraktion ist die Addition einer negativen Zahl. Daher führt man die Subtraktion zweier Vektoren als Summe mit dem negativen Vektor ein: Definition: a b: = a+ b Beispiele: ( 8 3) ( 5) = ( 8 3) + ( 5) = ( 8 3 5) = ( 6 ) Wie man sieht, läuft dies auf die koordinatenweise Subtraktion hinaus. Man subtrahiert die erste Koordinaten, dann die zweiten. Merke: Addition und Subtraktion von Vektoren werden koordinatenweise durchgeführt. Dabei habe ich jetzt einfach die einzelnen Zahlen eines Vektors seine Koordinaten genannt, wie man das ja auch bei Punktepaaren oder Punktetripeln macht. Beispiele: Subtraktion von Zahlenpaaren: Subtraktion von Tripel: ( ) = = 1 7 ( 6) ( 1 7) = ( ) = ( 1 1) ( 3 10) ( 7 11) = ( ) = ( 10 1) ( 0 4) ( 5) = ( ) = ( 1) ( 10 0 ) ( 5 3) = ( ) = ( 8 5 5) ( 4 3 ) ( 5 5 ) = ( 9 8 4) ( 1 3 6) ( 4 3 3) = ( 3 0 9) Man kann natürlich auch Linearkombinationen mit der Subtraktion bilden: a = 4 und b = 3 4 Gegeben sind: Dann rechnen wir: a 3b = = = 14 1 ( ) 3a b = 3 = = 6 ( 4 ) ( 3 4) ( ) Hier wurde der Faktor - mit b multipliziert, sodass am Ende addiert werden musste. 6a 5b = = = 39 8 ( ) Hier wurde anders gerechnet: Es wurde zuerst 5b berechnet und dann subtrahiert.

7 61011 Lineare Algebra 1 Gleichungen mit Unbekannten / Lösungen 7 f) Zerlegung eines Vektors in eine Linearkombination Zuerst bilden wir eine Linearkombination: r s 3 = 3r r + s 3s = 3r + s r + 3s ( ) Und jetzt machen wir diese Rechnung wieder rückgängig: ( 3r + s r + 3s) = ( 3r r) + ( s 3s ) = r ( 3 1) + s ( 3) Wir haben jetzt einen Vektor in eine Linearkombination zerlegt! Zuerst wurde ein Paar aus den r-anteilen gebildet, dann einer aus den s-anteilen. Dies ist eine ganz wichtige Rechenmethode, die wir üben müssen: ( 3r+ s 5r + 3s+ ) = ( 3rr ) + ( s3s ) + ( 5 ) = r( 3 ) + s( 3 ) + ( 5 ) ( a + b 3c 4a + 5b + c) = ( a 4a ) + ( b 5b) + ( 3c c) = a( 4 ) + b( 1 5 ) + c ( 3 ) Oder mit Tripeln: ( + r 4 r 1+ 3r) = ( 4 1) + ( r r 3r) = ( 4 1) + r ( 1 3) Dieses Tripel entsteht also aus dem festen Tripel ( 4 1) plus dem r-fachen von ( 1 3) ( 3r + 5s 4r s r) = ( 3r 4r r) + ( 5s s 0s) = r( 3 4 1) + s( 5 0) Dieses Tripel ist also eine als Linearkombination aus den Basistripeln ( 34 1) ( 5 0) erzeugt worden. Die 0 darf man nicht vergessen! g) Rechnen mit Spaltenvektoren und Wir haben Paare und Tripel bisher stets als Zeilen (Zeilenvektoren) geschrieben. Für bestimmte Anwendungen schreibt man sie jedoch als Spalten (Spaltenvektoren). Das sieht dann anders aus, man rechnet jedoch ganz analog wie mit Zeilenvektoren. Zeilenvektoren: a= ( 3 5 );b= ( 4 ) a 3b= ( 3 5) 3 ( 4 ) = ( 6 16) Spaltenvektoren: a = ( ) ; b = () a 3b = ( ) 3 () = ( ) Zeilenvektoren: Spaltenvektoren: Auch die Zerlegungen gehen analog dazu:. ( 4 + 3r s r + s 3r + s) = ( 4 0 ) + ( 3r r 3r) + ( s s s) = ( 4 0 ) + r ( ) + s( 1 1) x= ;y= 0 3 5x y= = ( ) x = 5 ; y = 5x y = 5 5 = s 4 3s s = 1+ s = 1+ s 1 5s 0 5s 0 5 4r s 4r s 4 7r = 7r + 0s = r 7+ s0 r + s r s 1

8 61011 Lineare Algebra 1 Gleichungen mit Unbekannten / Lösungen 8 a) Berechne: ( 3 ) + ( 5) ( 3 4) Aufgabe 1 ( 8) ( 4 3) ( 1 5) ( 4 4) ( 3 6 5) ( 8 6) + ( 3 11) ( 5 1) + ( 4 8 3) b) Zerlege die folgenden Tripel in Linearkombinationen: (1) ( + 3r 5r 1 r + 4) () ( 3r + s r s 5r) (3) ( 7 4r + s 5s r) (4) r + 4s r s 8s (5) 4+ s 5 3r r + 7s (6) r + 5s + 6r 4+ r 5s (7) + 5r s 4+ 4r + s 5r s (8) 4 r 3s

9 61011 Lineare Algebra 1 Gleichungen mit Unbekannten / Lösungen 9 Gleichungen mit 1 Unbekannten Einführungsbeispiel: x + 5 = 11-5 Zuerst das übliche Lösungsverfahren: x = 11 5 Lösungsmenge: L = {} 3 x = 6 : x = 3 Diese Gleichung kann man als Aufgabe so formulieren: Welche Zahl muss man für x in den Term x+5 einsetzen, damit man den Wert 11 erhält? Abgesehen von Lösungsverfahren zur Berechnung der Lösungszahl, kann man auch durch Probieren versuchen herausfinden, ob eine Zahl die gesuchte Lösung ist. Dazu setzt man sie in die Gleichung ein und überprüft, ob dadurch eine wahre Aussage entsteht. Man nennt dies die Probe machen. Wenn ja, haben wir eine Lösungszahl verwendet. Entsteht eine falsche Aussage, dann eben nicht. Zu jeder Gleichung gehört eine Grundmenge, die angibt, welche Zahlen eingesetzt werden dürfen. In der Regel ist es (auf Oberstufenniveau) die Menge R der reellen Zahlen. Einige Einsetzungen seien gezeigt: x = 3 ergibt 3+ 5 = 11 also die wahre Aussage 11 = 11. x = 1 ergibt 1+ 5 = 11 also die falsche Aussage 7 = 11. Da 3 die einzige Lösungszahl dieser Gleichung ist schreibt sie in die Lösungsmenge: L= { 3 } Information Bei Gleichungen mit einer Unbekannten gibt es entweder eine eindeutige Lösung oder keine Lösung, oder jede Zahl ist Lösung. Beispiele dazu sind: a) x = hat eine eindeutige Lösung: L = { 3} b) x + 3 = x 3 hat keine Lösung: Subtrahiert man beidseitig x, folgt 3= 3, also eine falsche Aussage: L = {} 3x 1= 6x hat jede Zahl als Lösung: c) ( ) Merke: Durch Multiplizieren entsteht: 6x = 6x Diese Gleichung wird für jede Zahl zu einer wahren Aussage: L = R Eine Lösungszahl einer Gleichung erzeugt durch Einsetzen eine wahre Aussage.

10 61011 Lineare Algebra 1 Gleichungen mit Unbekannten / Lösungen Gleichung mit Unbekannten Einführungsbeispiel (1): 3x + y = 10 Diese Gleichung kann man als Aufgabe so formulieren: Für welche Zahlen ist die Summe aus dem Dreifachen der ersten und dem Zweifachen der zweiten Zahl genau 10? Es ist sofort klar, dass eine Lösung aus zwei Zahlen bestehen muss, eine für x und die andere für y. Diese Zahlen darf man auch nicht vertauschen. Diese beiden Zahlen bilden somit ein geordnetes Zahlenpaar. Wir setzen einige beliebige Zahlenpaare ein und wollen so herausfinden, ob sie zur Lösungsmenge gehören: ( ) ( ) ( ) ( 6 14) ergibt 6+ 4 = 10 wahre Aussage. 3 4 ergibt 9+ 8 = 17: falsche Aussage. 0 5 ergibt = 10 wahre Aussage. ergibt = 10 wahre Aussage. Man kann hier unendlich viele Lösungspaare finden. Sie alle gehören in die Lösungsmenge: L= {( );( 6 14 );( 0 5 ).;...} Zu jeder Gleichung gehört eine Grundmenge, die uns sagt, aus welcher Menge die einzusetzenden Zahlen genommen werden dürfen. Da wir hier zum Einsetzen Zahlenpaare benötigen, ist die Grundmenge ist die Menge aller reellen Zahlenpaare G= R. Dies wird in der Regel vorausgesetzt und daher nicht extra angegeben. Erinnerst du dich? Eine Lösungsmenge einer Gleichung mit zwei Unbekannten lässt sich geometrisch darstellen. Dazu löst man die Gleichung nach y auf: Diese Gleichung stellt eine Gerade dar. MERKE: 3 y = x+ 5. Alle Paare, deren zugehörige Punkte auf dieser Geraden liegen, bilden die Lösungsmenge. Die Gerade ist also die graphische Darstellung der Lösungsmenge. Zwei Lösungspaare davon haben wir oben ausgerechnet. Das dritte passt wegen seiner Koordinaten nicht mehr in das Schaubild. Das Paar ( ) 3 4 wird durch den Punkt B dargestellt. B liegt nicht auf der Geraden, das Zahlenpaar gehört nicht zur Lösungsmenge der Gleichung. B

11 61011 Lineare Algebra 1 Gleichungen mit Unbekannten / Lösungen 11 Beispiel x + y = 5 Zuerst wollen wir nochmals Lösungspaare durch Einsetzen erkennen: ( 5) 4+ 5 = 5 falsche Aussage. ( 3 1) 1 ( ) ( 1 7) 6 1= 5 wahre Aussage = 5 falsche Aussage. + 7 = 5 wahre Aussage. Die Paare ( 3 1) und ( 3 11) gehören offenbar zur Lösungsmenge, Dieses Probieren ist lästig. Um Lösungspaare zu finden geht man besser so vor: Methode zur Berechnung von einzelnen Lösungspaaren Gegeben ist die Gleichung: x + y = 5 Umstellen nach y: y = 5 x z. B.: Wähle x = 4: folgt y = = =, ( 4 3) Wähle x = 1: folgt y = 5 = 3, ( ) L 1 3 L Wähle x = -7 folgt y = = 19, ( 7 19) Bisher wissen wir also L = {( 4 3 );( 1 3 ) ;( 7 19 ) ;...} Methode zur mathematischen Erfassung der gesamten Lösungsmenge: Gegeben ist die Gleichung: x + y = 5 Umstellen nach y: y = 5 x Jetzt wählen wir nicht eine bestimmte, sondern eine beliebige Zahl und nennen sie r: Man nennt ( r 5 r) Wähle x = r : folgt y 5 r den allgemeinen Lösungsvektor. =, ( r 5 r) Denkt man sich für r alle reellen Zahlen verwendet, erhält man die komplette Lösungsmenge: L = {( r 5 r ) r R } Man liest dies: Mengen aller Zahlen Paare ( r 5 r) ACHTUNG: für beliebiges reelles r. Oben steht die aufzählende Form der Lösungsmenge. Es wurden aber nur drei von unendlich vielen Lösungspaaren aufgezählt. {( r 5 r ) r } L = R ist die beschreibende Form der Lösungsmenge. L Sie gibt keine Lösungspaare an sondern nur eine Methode, wie man sie berechnen kann. Nun muss man nur noch lernen, wie man das auf geeignete Weise ins Heft schreiben sollte. Ich schlage folgendes vor (und verwende dies in den weiteren Beispielen): L

12 61011 Lineare Algebra 1 Gleichungen mit Unbekannten / Lösungen 1 Wichtig: Empfohlene Darstellung der Lösung einer solchen Gleichung: Gegeben: x + y = 5 Umstellen nach y: y = 5 x Wähle x r, r R Dann folgt: y = 5 r Allgemeiner Lösungsvektor: ( r 5 r) Lösungsmenge: L = {( r 5 r ) r R } Den allgemeinen Lösungsvektor ( r 5 r) schreibt man oft so: x = ( r 5 r) Man kann ihn in eine Linearkombination zerlegen (wie in 1 gelernt): x = r 5 r = r 1 Die Lösungsmenge sieht dann so aus: ( ) {( 0 5) r( 1 ) r } L = + R Daraus erkennt der Fachmann die Struktur der Lösungsmenge. Sie besteht aus allen Paaren, die aus einem Fixvektor ( 0 5 ) plus einem beliebigen Vielfachen des Vektore ( 1 ) Für die Vektorgeometrie hat das eine enorme Bedeutung. Beispiel 3 x 5y = 5. entstehen. Hier ist es günstiger, die Gleichung nach x umzustellen um Brüche zu vermeiden: Umstellen nach x: x = 5+ 5y Wähle y = r, r R folgt: x = 5 + 5r Allgemeiner Lösungsvektor: ( 5+ 5r r) Lösungsmenge: L = {( 5+ 5r r ) r R } Oder zerlegt: L = {( 5 0) + r ( 5 1 ) r R } Um das Schaubild der Lösungsmenge zu zeichnen, muss man natürlich die Gleichung nach y umstellen: 5y = x 5 :5 y = x 5 1 Die Gerade hat die Steigung m = und den y-achsenabschnitt n =

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