1 Curriculare Grundlagen und Kompetenzentwicklung

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1 Curriculare Grundlagen und Kompetenzentwicklung Petra Behling/Manfred Pruzina Der Mathematikunterricht an der Gemeinschaftsschule ist auf der Grundlage des Fachlehrplans Mathematik der Sekundarschule zu gestalten. Dabei sind auch der Fachlehrplan Mathematik der Grundschule 2 sowie die curricularen Grundlagen des Gymnasiums (Rahmenrichtlinien Mathematik für das Gymnasium) 3 zu berücksichtigen. Eine Analyse der fachlichen Forderungen im Mathematiklehrplan der Sekundarschule und in den Rahmenrichtlinien Mathematik für das Gymnasium zeigt, dass es große Überschneidungen sowohl bei den zu entwickelnden inhaltsbezogenen mathematischen als auch bei den allgemeinen mathematischen Kompetenzen gibt (auch wenn diese in den beiden Dokumenten mit unterschiedlicher Terminologie und nach verschiedenen Ordnungsprinzipien dargestellt sind). Mit Blick auf die Lernvoraussetzungen der Schülerinnen und Schüler der beiden Schulformen gibt es natürlich unterschiedliche Erwartungen an die Ausprägung der Kompetenzen. Auf einen darauf zielenden Differenzierungsansatz wird im Abschnitt 2 eingegangen. Fachlehrplan Sekundarschule In den folgenden Tabellen wird genauer dargestellt, welche Ausdifferenzierungen und Besonderheiten aus den Rahmenrichtlinien Mathematik des Gymnasiums im Vergleich zum Fachlehrplan Mathematik der Sekundarschule resultieren. Es ist zu beachten, dass inhaltliche Forderungen in den Kompetenzschwerpunkten des Fachlehrplans Mathematik der Sekundarschule und in den Themen der Rahmenrichtlinien Mathematik für das Gymnasium teilweise verschieden geordnet sind. Z. B. ist das Berechnen von Umfängen, Flächeninhalten und Volumina in der Sekundarschule ein eigener Kompetenzschwerpunkt im Inhaltsbereich Raum und Form, während diese Inhalte in den Rahmenrichtlinien Mathematik für das Gymnasium im Thema 3 (Größen im Alltag) auftreten. Um diese Verortungen leichter nachzuvollziehen, wird in der rechten RRL Gymnasium beachten Zurzeit hat die Entwicklung neuer Lehrpläne für das Gymnasium begonnen. Diese Ausarbeitung stützt sich auf die noch geltenden RRL.

2 Spalte jeweils auf das Thema in den Rahmenrichtlinien Mathematik für das Gymnasium hingewiesen. Beispiel: Inhalte sind im Thema 3 zu finden kurz: T3. Inhaltsbereich Zahlen und Größen FLP Sekundarschule/ Kompetenzschwerpunkt Natürliche Zahlen Gleichungen Brüche und Dezimalbrüche Größen Gebrochene Zahlen Rahmenrichtlinien Gymnasium Querverweise, Hinweis auf Ergänzungen - Teilbarkeitsregeln auch für 4,, 8, 9 und 2 - Mengenschreibweise - Bekanntmachen mit ganzen Zahlen (T) - inhaltliches Lösen auch auf Ungleichungen beziehen (T) T2 T3 - Begriffe: Menge, Element, Teilmenge, leere Menge einschließlich der Symbole, N, Q + (T) Inhaltsbereich Raum und Form FLP Sekundarschule/ Kompetenzschwerpunkt Geometrische Grundbegriffe und Symmetrie Umfang, Flächeninhalt und Volumen Winkelbeziehungen Dreiecke Rahmenrichtlinien Gymnasium Querverweise, Hinweis auf Ergänzungen - Nullwinkel (T4) - Verschiebung und Drehung (T4) T3 T4 - Außenwinkelsatz und Basiswinkelsatz (T8) - Seitenhalbierende (T8) - Grundkonstruktionen (T8) - Vierecksarten, Satz über Innenwinkelsumme (T8) - Definition, Satz, Umkehrung von Sätzen (T8) - Flächeninhalt von Trapezen (T8) - Volumen und Oberflächeninhalt von aus Quadern zusammengesetzten Körpern (T8) Inhaltsbereich Zuordnungen und Funktionen FLP Sekundarschule/ Rahmenrichtlinien Gymnasium Kompetenzschwerpunkt Querverweise, Hinweis auf Ergänzungen Direkte und indirekte Proportionalität - Verhältnisgleichungen (T7) Inhaltsbereich Daten und Zufall FLP Sekundarschule/ Rahmenrichtlinien Gymnasium Kompetenzschwerpunkt Querverweise, Hinweis auf Ergänzungen Erfassen, Darstellen und Auswerten T9 von Daten Arithmetisches Mittel T9 2

3 Der Mathematikunterricht im. und. Schuljahrgang hat im Rahmen des gesamten Mathematiklehrgangs der Sekundarstufe folgende spezifische Aufgaben: a) Systematische Erweiterung des Zahlverständnisses, von Größenvorstellungen und des Rechnenkönnens beim Übergang von den natürlichen zu den gebrochenen Zahlen b) Übergang vom propädeutischen Geometrieunterricht der Grundschule zur mehr theoretisch-systematischen Durchdringung der Planimetrie c) Verstärkung der Anforderungen bei der systematischen Entwicklung von allgemeinen mathematischen Kompetenzen 4 Aus a) resultiert als ganz entscheidendes Ziel für den Mathematikunterricht im. und. Schuljahrgang: Entwicklung von sicheren, dauerhaften und anwendungsbereiten Kompetenzen im hilfsmittelfreien Rechnen mit beliebigen natürlichen und gebrochenen Zahlen, einschließlich eines flexiblen Wechsels zwischen den Darstellungsformen gemeine Brüche und Dezimalbrüche sowie des Rechnens mit und des Umrechnens von Größen Das Erreichen dieses Ziels bei allen Schülerinnen und Schülern ist eine notwendige und unverzichtbare Voraussetzung für das Lernen in fast allen anderen Kompetenzschwerpunkten sowohl im Mathematikunterricht des Doppeljahrgangs / als auch in den folgenden Schuljahrgängen. Unsicherheiten im Rechnen mit gebrochenen Zahlen erschweren oder verhindern sogar erfolgreiches Weiterlernen bei Themen wie: Rechnen mit rationalen Zahlen, Prozentrechnung, Lösen von Gleichungen, Arbeiten mit Variablen, Funktionen, Körperberechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. Die damit verbundenen Kompetenzen können ohne sicheres Rechnen mit natürlichen und gebrochenen Zahlen (ohne Taschenrechner!) nicht angeeignet werden. Schwächen oder Versäumnisse in diesem Bereich sind später kaum zu kompensieren. Rechnen können 4 3

4 Aufgabe b) zielt auf ein bewusstes Exaktifizieren bei der Untersuchung geometrischer Objekte. Im Kern geht es darum, die Schülerinnen und Schüler schrittweise an begriffliche Strenge und die Problematik der Erkenntnisgewinnung und Erkenntnissicherung in der Mathematik (z. B. induktives Schließen, Einsicht in Beweisnotwendigkeit, Distanz zum vorschnellen Verallgemeinern, logisches und sachbezogenes Argumentieren) heranzuführen. Die Entwicklung allgemeiner mathematischer Kompetenzen (Aufgabe c) erfolgt im Mathematikunterricht eher implizit, gewissermaßen eingebettet in die Entwicklung inhaltsbezogener Kompetenzen. Gerade deswegen ist es von Bedeutung, diese Ziele ebenfalls bewusst und systematisch zu verfolgen. Im Abschnitt 2.3 des Fachlehrplans Mathematik der Sekundarschule sind Schwerpunkte einer solchen Systematik dargestellt. Exaktifizieren Allgemeine mathematische Kompetenzen 2 Anregungen zur Differenzierung Differenzierung des Unterrichts erfordert das Beachten sehr vielschichtiger Anforderungen. Im Folgenden werden drei Aspekte exemplarisch und unabhängig betrachtet. Die damit verbundenen Anregungen sollen Handlungsorientierungen geben. () Planung soll unterschiedliche Anspruchsebenen der Kompetenzentwicklung berücksichtigen Es ist unabdingbar, bereits in der Planung zu beachten, dass bei der Kompetenzentwicklung nicht alle Schülerinnen und Schüler das gleiche Ziel erreichen werden und auch objektiv nicht erreichen können. Es entlastet nicht nur Lehrkräfte sowie die Schülerinnen und Schüler, wenn realistische Ziele gestellt werden, sondern es ist auch eine pädagogische Notwendigkeit, sich auf unterschiedliche Lernvoraussetzungen einzustellen. Zugleich wird die Chance erhöht, solche Ziele zu erreichen, die in der Zone der nächsten Entwicklung (WYGOTSKI) liegen. Das gilt für alle Schulformen, ist aber gewiss in der Gemeinschaftsschule angesichts der zu erwartenden größeren Heterogenität der Schülerschaft von besonderer Relevanz. Es wird daher empfohlen, bei der Planung des Unterrichts diese Differenzierungsnotwendigkeiten zu beachten und verschiedene Anspruchsebenen auszuweisen. Dazu wird das folgende Modell verwendet: 4

5 Anforderungen sind grundlegend mit Blick auf die unmittelbare Anwendbarkeit im Alltag oder ein notwendiges Ausgangsniveau für das erfolgreiche Weiterlernen Ausprägung der Kompetenzen bezogen auf relativ einfache Anforderungen, z. B. - wenigschrittige direkt umsetzbare Operationen mit einfachem Zahlenmaterial bzw. einfachen Größen durchführen - geübte geometrische Konstruktionen durchführen - Standardargumentationen wiedergeben - elementares begriffliches Wissen wiedergeben - zwischen verschiedenen bekannten Darstellungen übersetzen - aus kurzen mathematikhaltigen Texten Informationen entnehmen - direkt umsetzbare Modellierungen vornehmen und einfache Beziehungen zwischen Mathematik und Realität herstellen - inner- und außermathematische Anwendungsaufgaben mit bekannten Verfahren lösen Größere Breite der Wissensbestände und Kompetenzen, d. h. sie sind umfassender und differenzierter als die der grundlegenden Anforderungen Ausprägung der Kompetenzen mit einem Anspruch, der über die grundlegenden Anforderungen hinausgeht, z. B.: - wenigschrittige Operationen mit Zahlen bzw. Größen vorwärts und rückwärts durchführen - geometrische Konstruktionsaufgaben durch Anwendung oder Verknüpfung von Standardkonstruktionen lösen - selbstständig Argumentationen in überschaubarem mathematischen Kontext entwickeln und erläutern - grundlegende Begriffe und Sätze an Beispielen erklären - zwischen verschiedenen Darstellungen übersetzen sowie eigene Darstellungen erstellen - aus überschaubaren mathematikhaltigen Texten relevante Informationen entnehmen - wenigschrittige Modellierungen in vertrauten Kontexten vornehmen - inner- und außermathematische Anwendungsaufgaben durch naheliegende Strategien lösen Grundlegende Anforderungen Regelanforderungen

6 Kompetenzen und Wissensbestände haben zusätzlich einen höheren kognitiven Anspruch (höheren Komplexitäts- oder Allgemeinheitsgrad) als die Regelanforderungen Ausprägung der Kompetenzen mit einem Anspruch, der auch komplexe oder mehrschrittige Anforderungen beinhaltet, z. B.: - mehrschrittige Operationen mit Zahlen bzw. Größen vorwärts und rückwärts durchführen - problemhafte geometrische Konstruktionsaufgaben lösen - mehrschrittige Argumentationen entwickeln bzw. erläutern - Zusammenhänge zwischen Begriffen oder Sätzen erklären - Informationen auch aus nicht vertrauten Darstellungen entnehmen und eigene Darstellungen erstellen - aus komplexen mathematikhaltigen Texten Informationen entnehmen - mehrschrittige Modellierungen auch in wenig vertrauten Kontexten vornehmen - inner- und außermathematische Anwendungsaufgaben durch Auswahl und Anwendung geeigneter Problemlösestrategien lösen Erhöhte Anforderungen Dabei schließen die jeweils höheren Anforderungen die vorhergehenden ein. Ausgehend von grundlegenden Anforderungen sollen die Schülerinnen und Schüler im Rahmen ihrer Möglichkeiten zu höheren Anforderungen geführt werden. Das Beispiel (siehe Tabelle auf den folgenden beiden Seiten) verdeutlicht eine Möglichkeit für eine solche Anforderungsdifferenzierung bereits bei der Grobplanung des Unterrichts. Die Beschreibung der unterschiedlichen Ausprägung der Kompetenzentwicklung erfolgte unter Verwendung von Kompetenzstufenmodell zu den Bildungsstandards für den Hauptschulabschluss und den Mittleren Schulabschluss im Fach Mathematik (vgl. Dieses Vorgehen stimmt im Prinzip mit den Planungsbeispielen, die für die Implementation des Fachlehrplans Mathematik der Sekundarschule entwickelt worden sind (vgl. Bildungsserver Sachsen-Anhalt, Unterricht-Fächer-Mathematik-Sekundarschule-Materialien zum Lehrplan), überein.

7 Planungsbeispiel: Kompetenzschwerpunkt: Gleichungen (Teil im. Schuljahrgang) ZRW: ca. Std. (Inhaltsbereich Zahlen und Größen) Unt.- std. imk 7 / Wissensbestände amk Begriffe Variable, Gleichung, Ungleichung, Lösung an Beispielen erklären - wahre und falsche Aussagen D3: symbolsprachliche Darstellung verstehen Differenzierung bezüglich der Kompetenzentwicklung grundlegend: - Überprüfen, ob eine Zahl Lösung einer Gleichung ist Regel: - Begriffe an Beispielen erklären fächerübergreifende Kompetenzen und Bezüge Sprachkompetenz Medien sonstige Hinweise TÜ - siehe Extraplanung 4 - Lösen von Gleichungen durch inhaltliche Überlegungen, insbesondere Nutzen der Umkehroperationen - Lösen Gleichungen und Ungleichungen durch systematisches Probieren P4: Probe durchführen A4: mathematische Fachsprache verwenden grundlegend: - Gleichungen der Form ax=b und ax±b=c lösen (einfaches Zahlenmaterial) Regel: - Gleichungen der Form ax±b=c und a(x±b)=c lösen erhöht: - Gleichungen der Form ax±b=c und a(x±b)=c lösen (größere natürliche Zahlen, evtl. auch Dezimalzahlen) - Ungleichungen der Form ax<b, a±x<b, x±a<b lösen, dabei auch Lösungsmengen angeben 7 8 imk: inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen amk: allgemeine mathematische Kompetenzen 7

8 4 - inner- und außermathematische Sachverhalte mithilfe mathematischer Ausdrücke beschreiben, dabei auch sinntragende Variablenbezeichnungen wählen - Ergebnisse entsprechend einem Sachverhalt angeben P: Aufgabentexte mathematisieren P4: Lösungen am Sachverhalt prüfen M2: zu einem Text einen Term bzw. eine Gleichung aufstellen D3: Verwenden von Variablen grundlegend: - das Doppelte, Dreifache, die Hälfte,. sowie Vermehren um und Vermindern um als mathematischen Ausdruck schreiben bzw. solche verbalisieren - Begriffe Summe, Differenz, Produkt, Quotient anwenden Regel: - umgangssprachliche Wendungen wie um drei Jahre jünger, halb so lang mithilfe von Variablen schreiben und beim Lösen einfacher Anwendungsaufgaben verwenden - mathematische Ausdrücke verbalisieren Lesekompetenz an Sachaufgaben entwickeln Lernkontrolle erhöht - Sachverhalte mit mehreren Verknüpfungen mithilfe von Variablen beschreiben 8

9 (2) Entwicklungsstand der Schülerinnen und Schüler Zu Beginn des. Schuljahrganges gilt es, die Schülerinnen und Schüler möglichst schnell in ihrer Individualität kennenzulernen. Das betrifft allgemeine Persönlichkeits- und Leistungseigenschaften (u. a. soziale Kompetenzen, Lernkompetenz, Sprachkompetenz) sowie speziell den Entwicklungsstand mathematischer Kompetenzen unter Berücksichtigung des Grundschullehrplans. Die typische Situation des Übergangs in eine weiterführende Schulform birgt Chancen und Gefahren in sich. Sowohl aus Schüler- als auch aus Lehrersicht besteht die Chance eines unbelasteten Neuanfangs. Diese Chance sollte gewahrt werden, indem zu Beginn des Schuljahres Tests zur Erfassung des Ausgangsniveaus sparsam und sehr behutsam genutzt werden sollten, denn die Gefahr ist groß, dass gleich zu Beginn Misserfolgserlebnisse den Neuanfang belasten. Auch lange Wiederholungsphasen zu Schuljahresbeginn sind unter Umständen schnell ermüdend (die Schüler, die es bereits können, langweilen sich; die es bislang nicht sicher können, werden vermutlich auch nicht allein durch diese Wiederholung die Lücken schließen). Eine vielfach bewährte Strategie ist es, wiederholende und diagnostizierende Absichten in die Behandlung neuer Inhalte einzubetten. Dazu eignen sich z. B. Kompetenzschwerpunkte wie Erfassen, Darstellen und Auswerten von Daten oder Geometrische Grundbegriffe und Symmetrie. Auch die Methode Tägliche Übungen kann eine Form sein, sowohl Basiskompetenzen zu festigen bzw. diesbezügliche Lernausgangslagen zu diagnostizieren und zugleich Lernsituationen für die Schüler zu individualisieren. Weitere Anregungen hinsichtlich der Gestaltung von Täglichen Übungen können einem im Modellversuch SINUS erprobten Handlungskonzept entnommen werden 9. Lernvoraussetzungen Tägliche Übungen 9 Tägliche Übungen im Mathematikunterricht - Unverzichtbare Methode zur Sicherung von Basiskompetenzen, erprobte Empfehlungen zur effektiven Gestaltung 9

10 (3) Durch Aufgabenvariationen differenzieren Differenzierung im Unterricht kann sich auf alle didaktischen Funktionen (von der Motivierung über die Erarbeitung bis hin zur Festigung) beziehen. Es gibt zahlreiche Formen der Differenzierung, die zum Teil auf ganz verschiedenen Ebenen liegen (z. B. Differenzierung der Lernziele, des Lerntempos, der Lerneinstiege, der methodischen Gestaltung, der Hilfestellungen). Egal, welche Formen genutzt werden, im Wesen geht es stets auch um eine inhaltliche Differenzierung, d. h. es kommt darauf an, mathematische Anforderungen zu differenzieren. Eine Möglichkeit dafür besteht im Variieren von Aufgaben. Aufgabenvariation in diesem Sinne kann wie folgt charakterisiert werden: Ausgangspunkt ist eine mathematische Schüleraufgabe, die geeignet ist, bestimmte allgemeine und inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen zu entwickeln oder zu überprüfen. Durch Veränderungen (Ergänzungen, Weglassen, Modifizierung) von gegebenen oder gesuchten Größen sowie der Repräsentationsform der Aufgabe wird eine Veränderung der zu entwickelnden oder zu überprüfenden mathematischen Kompetenzen oder der Anforderungsbereiche erreicht. Im Folgenden wird an zwei Beispielen aufgezeigt, wie Aufgabenvariationen aus jeweils einer Aufgabe entwickelt werden können. Mathematische Anforderungen differenzieren Beispiel : Rechnen mit gebrochenen Zahlen Ausgangsaufgabe Aufgabenvariation Aufgabenvariation 2 Berechne. 3 3 a) b) 0,2 c) : 0, d) 0, 3 2 e) 0,3 Berechne. 3 3 a) + 0, 2 4 b) 0, 2 c) : (0,2 ) 2 3 d) 2,7 4 e) 0,2 3 + Berechne. a) + 2, 0, b) 8 4 c) : 0, d) + 0, e) 0, ( )

11 In diesem Beispiel erfolgen die Variationen durch Veränderungen hinsichtlich der Anzahl der auszuführenden Operationen mit Zahlen sowie teilweise durch das verwendete Zahlenmaterial. Die Anforderungen der Aufgabe werden dadurch erhöht. Aufgabenvielfalt Mathematische Schüleraufgaben sollten im Sinne einer guten Aufgabenkultur natürlich vielfältig sein. So sollten z. B. auch andere Aufgabentypen wie Beurteilungsaufgaben, Umkehraufgaben usw. vorkommen. Beispiel 2: Rechnen mit gebrochenen Zahlen Ausgangsaufgabe Jana sagt: Brüche werden addiert, indem man die Zähler und Nenner jeweils addiert, z. B.: = = 4 + a) Äußere dich zum Vorgehen von Jana. = 3 b) Gib eine richtige Rechenregel für das Addieren von Brüchen an und löse die Aufgabe. c) Vervollständige. Die Addition von ungleichnamigen Brüchen wird zurückgeführt auf.... Aufgabenvariation Jana sagt: Brüche werden addiert, indem man die Zähler und Nenner jeweils addiert, z. B.: = = 4 + = 3 a) Begründe, dass das Ergebnis im Beispiel falsch ist. b) Gunnar rechnet diese Aufgabe richtig vor (linke Spalte). 4 Schreibe in die rechte Spalte, was Gunnar jeweils gemacht hat. + = = = 3 2 c) Formuliere eine richtige Rechenregel für die Addition von ungleichnamigen Brüchen und löse folgende Aufgabe +. 3

12 Der Wechsel zu einer Beurteilungsaufgabe wie im Beispiel 2 betont in der Regel andere Aspekte der zu entwickelnden Kompetenzen. Hier steht nicht mehr das Abarbeiten eines Rechenverfahrens im Vordergrund, sondern das Reflektieren über ein Rechenverfahren. Durch die Vorgabe der Rechenschritte wird die Anforderung der ursprünglichen Aufgabe abgesenkt. Verstärkt werden dadurch allgemeine mathematische Kompetenzen angesprochen, wie z. B. Begründen, Lösungswege beschreiben. Derartige Aufgabenvariationen sollten auch ganz bewusst für das Entwickeln allgemeiner mathematischer Kompetenzen genutzt werden. Weitere Hinweise zur Aufgabenvariation sind im Abschnitt.2 Zur Analyse und Konstruktion von Aufgaben unter dem Aspekt der Kompetenzentwicklung sowie im Kapitel 2 der Niveaubestimmenden Aufgaben für die Sekundarschule zu finden. Solche Aufgabenvariationen können z. B. für verschieden leistungsstarke Schüler oder Schülergruppen genutzt werden. Sie können auch für das Zusammenstellen einer Aufgabenfolge mit langsam steigendem Schwierigkeitsgrad dienen. Diese Aufgabenfolge ist dann bei Bearbeitung durch alle Schülerinnen und Schüler gewissermaßen selbstdifferenzierend. 2

13 3 Hinweise und Materialien FLP_Ma_SKS NBA_Ma_SKS Fachlehrplan Sekundarschule, Mathematik. Kultusministerium des Landes Sachsen-Anhalt, 202 Niveaubestimmende Aufgaben für die Sekundarschule, Mathematik. Landesinstitut für Schulqualität und Lehrerbildung Sachsen-Anhalt, 202 RRL_Ma_Gym Rahmenrichtlinien Gymnasium, Mathematik, Schuljahrgänge -2 Kultusministerium des Landes Sachsen-Anhalt, 2003 PRUZINA Tägliche Übungen im Mathematikunterricht. Unverzichtbare Methode zur Sicherung von Basiswissen Erprobte Empfehlungen zur effektiven Gestaltung IFG Mathematik Vorschlag für Schuljahresplanung mit Zeitrichtwerten (Fachlehrplan Mathematik der Sekundarschule) IFG Mathematik Planungsbeispiele für ausgewählte Kompetenzschwerpunkte. / Erfassen und Auswerten von Daten / Arithmetisches Mittel / Gleichungen EID/PRUZINA Vom Begründen zum Beweisen. - Standpunkte und Linienführung im Lehrplan Mathematik - EID/PRUZINA Zeichnerisches Darstellen im Mathematikunterricht: Skizzieren Zeichnen Konstruieren. Signalworte für Arbeitsaufträge im Fach Mathematik Analysebericht 20 Analysebericht 2009 Unterrichtsanregungen zu ausgewählten mathematischen Kompetenzen auf der Basis zentraler Leistungserhebungen im Fach Mathematik Unterrichtsanregungen zu ausgewählten mathematischen Kompetenzen auf der Basis zentraler Leistungserhebungen im Fach Mathematik 3