Albert Einstein. Physiker,

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1 8 Gleichungssysteme Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit. Mathematische Theorien über die Wirklichkeit sind immer ungesichert - wenn sie gesichert sind, handelt es sich nicht um die Wirklichkeit. Albert Einstein Physiker, Ziele Du kannst Gleichungssysteme mit verschiedenen Methoden lösen. Gleichungssysteme können in Textaufgaben angewendet werden. Gleichungssysteme können mit dem Notebook oder Taschenrechner gelöst werden. 8.2 Wieso muss ich Gleichungssysteme lösen können? Gleichungen beschreiben Zusammenhänge von verschiedenen Grössen in Naturwissenschaft und Technik. In realen Problemen sind häufig mehrere Zusammenhänge gleichzeitig zu berücksichtigen. Um solche Probleme lösen zu können, muss man wissen, wie man mehrere Gleichungen (welche die Zusammenhänge beschreiben) korrekt kombinieren muss um die Lösung(en) zu finden. 45

2 8.3 Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Einführung Wir betrachten die Gleichung 2x+ y = und suchen alle Zahlenpaare ( x y ), welche die gegebene Gleichung erfüllen. Es ist recht schnell klar, dass es unendlich viele Paare ( x y ) gibt, welche die gegebene Gleichung erfüllen, z.b. ( x y ) = ( 1 4) denn = ( x y ) = ( 2 2) denn = ( x y ) = ( 0 ) denn 2 0+ = ( x y ) = (- 1 8) denn ( ) usw = Sobald gleichzeitig noch eine zweite Gleichung erfüllt sein soll, spricht man von einem Gleichungssystem. Eine Lösung des Gleichungssystems löst beide Gleichungen. Nehmen wir an, die zweite Gleichung lautet x- 2.5y = 12. Wir erhalten dann folgendes Gleichungssystem: 2x+ y = x- 2.5y = 12 Mögliche Lösungen der ersten Gleichung: x y Mögliche Lösungen der zweiten Gleichung: x y Durch Probieren und Suchen finden wir also ein Zahlenpaar, welches beide Gleichungen löst. Die Lösung (= Lösungspaar) des obigen Gleichungssystems lautet daher: ( x y ) = ( 4.5-3) Die Lösung besteht aus so vielen Unbekannten, wie im Gleichungssystem vorkommen (im Beispiel ist die Lösung ein Zahlenpaar). Gleichungssysteme haben im Normalfall eine Lösung. Es gibt jedoch auch Systeme, welche gar keine Lösungen haben oder unendlich viele. 4

3 8.4 Lösungsverfahren Auf den folgenden Seiten werden verschiedene Lösungsverfahren diskutiert. Bei allen Verfahren liegt immer das gleiche Prinzip zu Grunde: Schrittweise wird durch unterschiedliche Kombinationen aller Gleichungen die Anzahl der Gleichungen um eins (1) reduziert. Die Kombinationen müssen so erfolgen, dass auch gleichzeitig jeweils eine Variable wegfällt Einsetzungsmethode Bsp. å: 15x+ 2y = 12 (I) 3x- 4y = 12 (II) 1. Schritt Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Unbekannten auf. Im Beispiel lösen wir Gleichung (II) nach x: 12+ 4y 3x- 4y= 12 Æ 3x = y Æ x = (III) 3 2. Schritt Setze den so gefundenen Ausdruck in der anderen Gleichung ein. Im Beispiel setzten wir Gleichung (III) in Gleichung (I) ein: Ê + y Á ˆ+ 2y = 12 (IV) Ë 3 3. Schritt Die erhaltene Gleichung hat nur noch eine Unbekannte. Wir haben eine Unbekannte eliminiert. Löse die Gleichung (IV) nach der verbleibenden Unbekannten auf. Ê12+ 4y 15Á ˆ+ 2y = 12 Ë 3 (IV) 0+ 20y+ 2y = y = :22 y = 3 4. Schritt Setze den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Es spielt keine Rolle, welche Gleichung man wählt. Im Beispiel setzen wir y = 3 in Gleichung (I) ein: 15x+ 23 = 12 Æ 15x= 120 Æ x= 8 Gleichung (II) führt zum selben Resultat: 3x-43 = 12 Æ 3x= 24 Æ x= 8 Somit lautet die Lösung: ( x y ) = ( 8 3) 47

4 Bsp. ç: 2x+ 3y = 4 3x+ 5y = 1 ( I) ( II) () x= - y ( ) aus I : * ( ) ( ) ( y) * einsetzen in II : y = 1-4.5y+ 5y = 1 0.5y =-5 y =-10 ( ) x= - (- ) = fi ( x y) = ( - ) aus *: Bsp. é: 3a+ ab- 2b= 3 2a+ b= 2 ( I) ( II) ( ) b= - a ( ) aus II : 2 2 * () a a( a) ( a) einsetzen in I : = 3 - a + a- = = a - a faktorisieren ( a )( a ) 0= fi a = 3.5; a = zu jedem Lösungswert für aexistiert der passende Wert für b, berechenbar mit der Formel (*): fi b = =- 5 b = 2-21 = ( - ) ( ) Das Gleichungssystem hat die beiden Lösungpaare: und 1 0 Aufgabe Löse: 4x+ 9y = 2 (I) 3x- 7y= 29 (II) 48

5 8.4.2 Gleichsetzungsmethode Die Gleichsetzungsmethode ist eine Variation der Einsetzungsmethode: Es werden beide Gleichungen nach demselben Ausdruck aufgelöst und gleichgesetzt (gegenübergestellt). Man muss dabei nicht zwingend auf 1 x oder 1y auflösen. Im Beispiel unten hätten man auch beide Gleichungen auf 2y auflösen und einander gegenüber stellen können. Beispiel: Gegeben: 15x+ 2y = 12 (I) 3x- 4y = 12 (II) 1. Schritt Löse beide Gleichungen nach der gleichen Unbekannten auf. Im Beispiel lösen wir Gleichung (II) nach y: (I) Æ 15x+ 2y = 12 Æ 2y = x Æ 12-15x y = 2 (I') (II) Æ 3x- 4y = 12 Æ 4y = 3x-12 Æ 3x-12 y = 4 (II') 2. Schritt Setze die so gefundenen Ausdrücke einander gleich. Im Beispiel setzen wir Gleichung (I ) und (II ) gleich: 12-15x 3x-12 = 2 4 (IV) 3. Schritt Die so erhaltene Gleichung hat nur noch eine Unbekannte. Wir haben eine Unbekannte eliminiert. Löse die Gleichung (IV) nach der verbleibenden Unbekannten auf x 3x-12 = x= 3x x = 33 x :33 x= 8 4. Schritt Setze den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen. Dabei spielt es keine Rolle, welche Gleichung wir nehmen. Im Beispiel setzen wir x = 8 in Gleichung (I) ein: 15 { 8+ 2y= 12 Æ 2y = Æ y = 3 = 120 Gleichung (II) führt natürlich zum selben Resultat: 38 { - 4y = 12 Æ - 4y =-12 Æ y = 3 = 24 Somit lautet die Lösung: ( x y ) = ( 8 3) 49

6 8.4.3 Additionsmethode Beispiel: Gegeben: 15x+ 2y = 12 (I) 3x- 4y = 12 (II) 1. Schritt Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit geeigneten Zahlen so, dass beim anschliessenden Addieren der Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. Das heisst, wir machen aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, eine Gleichung mit einer Unbekannten. Wir eliminieren eine Unbekannte. Dabei spielt es keine Rolle, welche Unbekannte wir eliminieren. Im Beispiel multiplizieren wir Gleichung (I) mit dem Faktor 2. Somit folgt: 2(I) = (I') 30x+ 4y = 252 (II) 3x- 4y = 12 Bem: Es dürfen durchaus beiden Gleichungen, sogar mit unterschiedlichen Faktoren multipliziert werden. Die Veränderung der Gleichungen soll so erfolgen, dass im zweiten Schritt durch die Addition der beiden Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. 2. Schritt Addiere nun Gleichung (I) mit Gleichung (II), so fällt die unbekannte Variable y weg. Wir haben nun eine neue Gleichung (III) mit nur noch einer Unbekannten (x). 2(I) = (I') 30x+ 4y = (II) 3x- 4y = 12 (III) 33x+ 0y = Schritt Löse die Gleichung (III) nach x auf. 33x+ 0y = 24 :33 x= 8 4. Schritt Setze den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen. Dabei spielt es keine Rolle, welche Gleichung wir nehmen. Im Beispiel setzen wir x = 8 in Gleichung (I) ein: 15 { 8+ 2y= 12 Æ 2y = Æ y = 3 = 120 Gleichung (II) führt natürlich zum selben Resultat: 38 { - 4y = 12 Æ - 4y =-12 Æ y = 3 = 24 Somit lautet die Lösung: ( x y ) = ( 8 3) 50

7 Löse das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode. 2x- 4y= (I) 3x- 7y=-5 (II) 51

8 8.5 Textgleichungen Informationen aus Text in mathematische Gleichungen übersetzen Textaufgaben kommen in der Praxis sehr oft vor. Eine Textaufgabe ist ein Problem, welches in Wörter und Sätze formuliert ist. Um die Aufgabe zu lösen, muss man das Problem zunächst in die Sprache der Mathematik übersetzen. Es ist oft schwierig, die nötigen von den unnötigen Informationen zu trennen. Hat man die richtigen Informationen, kommt die Schwierigkeit dazu, diese Informationen zu abstrahieren und in Gleichungen wiederzugeben. Häufig kann es den Sätzen oder Teilsätzen jeweils eine Gleichung erstellt werden, welche den Zusammenhang widerspiegelt. In der Sprache der Mathematik reduziert sich eine Aufgabe auf eine oder mehrere Gleichungen. Diese zu lösen bereitet oft weniger Schwierigkeiten, als die Gleichungen aufzustellen. Aufgabe: Kurt und Jens besitzen einige Spielzeugautos. Wenn Kurt drei von seinen Autos Jens gäbe, so hätten beide gleich viele. Gäbe jedoch Jens 2 Spielzeugautos an Kurt ab, so hätte Kurt sechsmal so viele Autos wie Jens. Wie viele Autos haben die beiden jeweils? k := Anzahl Spielzeugautos von Kurt j := Anzahl Spielzeugautos von Jens Die drei Töchter des Mathematikers Fritz (Knobelaufgabe) Nach langer Zeit treffen sich die ehemaligen Studienkollegen Hans und Fritz beide Mathematiker zufällig auf der Strasse. Schon bald (wie könnte es auch anders sein) kommt das Gespräch auf das Thema Familie. Nachdem Fritz von Hans erfahren hat, wie viele Kinder dieser mittlerweile hat, und wie alt sie sind, möchte natürlich auch Hans das gleiche von Fritz wissen. Auf seine Frage antwortet ihm Fritz Folgendes: "Ich habe drei Töchter. Multiplizierst du das Alter der drei Mädchen miteinander, so erhältst du die Zahl 3, zählst du aber das Alter meiner drei Kinder zusammen, so bekommst du meine Hausnummer als Resultat." Wie es sich für einen Mathematiker gehört, fragt Hans nicht nach, sondern spart sich dieses Rätsel für einen ruhigen Moment auf. Schliesslich trennen sich die beiden nach einem längeren Gespräch. Auf dem Weg nach Hause denkt Hans über das Alter der drei Töchter seines Berufskollegen nach. Zuhause angekommen nimmt er das Telefonbuch zur Hand, schlägt die Telefonnummer von Fritz nach und ruft ihn an: "Ich kann das Alter deiner Töchter nicht bestimmen; ich muss noch mehr wissen." "Ja, das stimmt", räumt Fritz ein und fügt sogleich an: "Ich kann dir noch sagen, dass meine älteste Tochter gerne Erdbeertörtchen isst." Jetzt kennt Hans das Alter der drei Mädchen. Wie alt sind die drei Töchter von Fritz? 52

9 8. Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten sind prinzipiell gleich zu lösen wie Systeme mit zwei Unbekannten. Mittels Additions-, Einsetzungs- oder Gleichsetzungsmethode eliminiert man eine Unbekannte nach der anderen, bis eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig bleibt. Nach dem Lösen dieser letzten Gleichung ermittelt man die anderen Unbekannten durch Rückwärtseinsetzen. Damit man zur korrekten Lösung kommt, muss man sich grundsätzlich an folgendes Prinzip halten: Nach der Reduktion von 3 Gleichungen nach 2 Gleichungen muss in allen neuen Gleichungen jeweils die gleiche Variable verschwunden sein, so dass man nur noch zwei Variablen hat. Dies erreicht man, wenn man von den 3 Gleichungen I, II und III (siehe Bsp. unten), jeweils zwei kombiniert, und zwar so, dass die gleiche Variable (im Bsp. y) wegfällt. Wichtig hierbei ist, dass von den 3 möglichen Kombinationen I,II oder I,III oder II,III zwei ausgewählt werden. Wurde also bereits z.b. I und II miteinander kombiniert, so darf diese Kombination nicht nochmals verwendet werden, sondern es muss eine andere Kombination verwendet werden (I,III oder II,III). Bsp. å: 2x+ y - z = 4 (I) Ô 3x- 2y + z =-11.5 (II) y eliminieren - 8x+ 4y- 7z = 24 (III) Ô 2 (I) 4x+ 2y- 2z = 8 (I') 3x- 2y + z =-11.5 (II) -4 (I) -8x- 4y+ 4z =-1 (I'') - 8x+ 4y- 7z = 24 (III) 7x- z =-3.5 (IV) -1x- 3z = 8 (V) z eliminieren -3(IV) - 21x+ 3z = fi- 37x= 18.5 (V) -1x- 3z = 8 1 fi x=- 2 Ê 1ˆ aus( IV) z = 7x+ 3.5= 7 Á = 0 Ë 2 Ê 1ˆ aus( I) y = 4-2x+ z = 4-2 Á- + 0 = 5 fi ( ) Ë 2 53

10 Bsp. ç: 5x- 2y+ 3z = 10 () 1 5x- 2y+ 32 ( x+ 4y + 4) = 10 Z 2x+ 4y- z =-4 ( 2) fi z = 2x+ 4y + 4 (*) 2x+ 4y - z =-4 ] 3x+ 8y- 3z = 7 3 3x+ 8y- 32x+ 4y+ 4 = 7 ( ) ( ) x+ 10y =-2 fi y=- x- ** x- 4y = 19 ( 4) ( 5) ( ) ] 11x+ 10y =-2 Ê 11 1ˆ -3x-4Á- x- = 19 Ë x+ x+ = 19 fi x = fi x = 13 Rückwärtseinsetzen: 11 1 x= 13in (**) y =- 13- = x= 13und y =- 14.5in (*) z = =-28 ( - - ) Lösung: ( ) 54

11 8.7 Lösen von Gleichungssystemen mit dem Taschenrechner Wir möchten folgendes lineares Gleichungssystem mit dem TR lösen: 3x+ 5y+ 5= z 7y = 5x+ z+ x+ 3z = 10 Allgemeine (auch nicht-lineare) Gleichungssysteme lösen: TI89, TI92, Voyage 200: ( x+ y+ = z y = x+ z + x+ z = { xyz} ) ( x y z ) = ( 1 2 3) solve and 7 5 and 3 10,,, Achtung! Der Rechner verzeiht keine Syntaxfehler bei der Eingabe. Und es wird empfohlen, den Rechner auf Englisch einzustellen. Auf Deutsch müsste man löse verwenden, für die logische Verknüpfung der Gleichungen jedoch trotzdem and (nicht und!) TI Nspire: Menu Algebra Gleichungssystem lösen Gleichungssystem/System linearer Gleichungen lösen Anzahl der Gleichungen: 3 ÊÏ3x+ 5y+ 5= z ˆ ÁÔ Variablen Anzahl Unbekannte: x, y, z fi ( lin) SolveÁÌ7y= 5x+ z+, { xyz,, } ÁÔ x+ 3z = 10 ËÓ Lineare Gleichungssysteme lösen: Das Gleichungssystem muss zunächst auf die Normalform gebracht werden. Normalform heisst: Alle Variablen müssen links sortiert untereinander stehen, rechts die reinen Zahlen. Gleichungssystem: Normalform: Koeffizientenmatrix und Zielvektor 3x+ 5y+ 5= z 7y = 5x+ z+ x+ 3z = 10 3x+ 5y- z =-5-5x+ 7y- z = x + 3z = und È-5 Í Í ÍÎ10 TI89, TI92, Voyage 200: Apps FlashApps Simultaneous Eqn Solver New Number of Eqns (Anzahl Gleichungen): 3 Number Unknowns (Anzahl Unbekannte): 3 Die Koeffizientenmatrix in den Spalten a1, a2, a3 eingeben, den Zielvektor in der Spalte b1. mit F5 lösen. HP 48: Koeffizientenmatrix (siehe oben) eingeben Matrix invertieren (Taste 1 x drücken) gibt invertierte Matrix Zielvektor eingeben: [ ] Taste Multiplikation drücken Resultatevektor [ ]