Sinus und Kosinus als Punktkoordinaten am Einheitskreis. Einfache trigonometrische Gleichungen

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1 Trigonometrie für Winkel über 90 Gradmaß und Bogenmaß Sinus und Kosinus als Punktkoordinaten am Einheitskreis. Einfache trigonometrische Gleichungen Sehr ausführliche Besprechung, was man bei den CAS Rechnern TI Nspire und CASI ClassPad beachten muss, wenn man trigonometrische Aufgaben lösen will. Datei Nr. 600 Stand: 6. April. 0 INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 600 Grundlagen Teil Vorwort Dies ist ein sehr inhaltsreicher Tet, der den Anfänger leicht vor Rätsel stellt, wenn er bzw. sie sich nicht ausführlich mit dem Inhaltsverzeichnis beschäftigt. Da gibt es das Rechnen im Gradmaß, im Bogenmaß, mit Grafikrechnern und mit verschiedenen CAS-Rechnern. Will man das einigermaßen gründlich darstellen, braucht man viel Platz, viele Beispiele und viel Geduld. Es gibt zwei Arten von Einführung für Sinus, Kosinus und Tangens.. Über die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.. Über die Koordinaten von Punkten im Einheitskreis. Das sind ganz unterschiedliche Vorgehensweisen im Unterricht. Man benötigt beides. sin, cos und tan sind Maße für Seitenverhältnisse, und damit kann man Dreiecke u. a. berechnen. Über die Koordinaten im Einheitskreis kommt man auch zu Winkeln über 90 Grad, wie man sie dann für Funktionen benötigt. Schüler, die hiermit üben und wiederholen möchten, suchen sich eben den passenden Tet aus.. Wer Dreiecksberechnung mit sin, cos und tan üben will, benötigt den Tet 600 und weitere (siehe Menü Trigonometrie der Mathematik-CD.). Die Rechnungen mit dem Einheitskreis, mit Bogenmaß und mit Taschenrechnern und CAS-Rechnern findet man in 600. Ferner einfache trigonometrische Gleichungen und Rechnen mit Formeln, was ist 60 ausführlich fortgesetzt wird.

3 600 Grundlagen Teil Inhalt Bogenmaß des Winkels 5. Grundlagen 5. Übungen mit Taschenrechner / Grafikrechner 6 () Umrechnungen vom Gradmaß ins Bogenmaß 6 () Umrechnungen vom Bogenmaß ins Gradmaß 6 Trainingsaufgaben 6. Umrechnungen mit dem CAS-Rechner CASI ClassPad 7 () Voreinstellungen 7 () Umrechnungen vom Gradmaß ins Bogenmaß 7 () Umrechnungen vom Bogenmaß ins Gradmaß 8 (4) Umrechnungen: Neugrad in Grad 8 (5) Trigonometrische Berechnungen 9 Trainingsaufgaben 9.4 Umrechnungen mit dem CAS-Rechner TI Nspire 0 () Voreinstellungen 0 () Rechnungen bei der Voreinstellung Gradmaß 0 () Rechnungen bei der Voreinstellung Bogenmaß (4) Nspire kann auch ganze Listen auf einmal umrechnen Trainingsaufgaben Punktkoordinaten auf dem Einheitskreis. Sinus und Kosinus als Koordinaten im. Feld des Einheitskreises. Sinus für Winkel über Kosinus für Winkel über Übersicht über Sinus und Kosinus, Beispiele und Aufgaben 7 Trainingsaufgaben 4 7 Winkel aus Sinus/Kosinuswerten bestimmen 8. Einfachste Sinus-Gleichungen (in 0 60 ) 8. Einfachste Kosinus-Gleichungen (in 0 60 ) 0. Trainingsaufgaben 5.4 Gleichungen im Bogenmaß lösen (in 0 π ) ohne Taschenrechner Trainingsaufgaben 6.5 Gleichungen im Bogenmaß lösen (in 0 π ) mit Taschenrechner Trainingsaufgaben 7

4 600 Grundlagen Teil 4 4 Tangenswerte 4 4. Tangenswerte für Tangenswerte für > Umkehrung: Winkel zum Tangens finden Tangens-Gleichungen Berechnungen im Bogenmaß 6 Trainingsaufgaben Der trigonometrische Pthagoras 8 Trainingsaufgaben Verwendung von Bogenmaßwinkel über ganz R 6. Sinuskurve, Kosinuskurve 6. Lösung von Sinusgleichungen mit TR für andere Intervalle Trainingsaufgaben 0 6. Lösung von Kosinusgleichungen mit TR für andere Intervalle 4 Trainingsaufgaben Hilfen zum Lösen von trigonometrischen Gleichungen mit CAS 6 () mit ClassPad 6 () mit Nspire 40 Lösungen der Trainingsaufgaben ab 45

5 60 Einführung Sin Cos Tan 5. Grundlagen Bogenmaß des Winkels Zu jeder Größe, die gemessen wird, gehören Maßeinheiten. Diese sind unerlässlich, sonst versteht man ja das Ergebnis nicht. Eine Strecke s = kann in cm, m, km usw. gemessen worden sein. Für Winkel sind drei Maßssteme gebräuchlich:. In der Geometrie wird vor allem das Gradmaß verwendet. Die Einteilung des Vollwinkels in 60 Grad ist allerdings gekünstelt und historisch bedingt und nicht unbedingt sehr günstig.. Für technische Anwendungen hat man Neugrad eingeführt, wobei ein rechter Winkel 00 Neugrad, ein Vollwinkel also 400 Neugrad erhält.. Für Funktionen verwendet man eine natürliche Art, das Winkelmaß anzugeben. Dies ist das sogenannte Bogenmaß. Beim Bogenmaß des Winkels wird der zum Winkel gehörende Kreisbogen vom Radius angegeben. Das Bogenmaß ist also die Länge des Bogens im Einheitskreis. Zur Umrechnung ins Bogenmaß bzw. zurück ins Gradmaß benötigt man folgende Formeln: Der Kreisumfang wird so berechnet: U= πr. () Für einen Halbkreis erhält man den halben Bogen: b = U= πr () HK Der zum Winkel gehörende Bogen hat die Länge: b = U () 60 Das ist einfach der Bruchteil von zum Vollwinkel. Dieser gilt auch für den Bogen! Ersetzt man () in () erhält man die wichtige Formel b = πr = πr (4) Das BGENMASS ist nichts anderes als diese Bogenlänge mit dem Radius r =. Das ergibt die Bogenmaß-Formel: In der Prais wird das Bogenmaß meist mit statt mit b bezeichnet. Setzt man für häufig vorkommende Winkel ein, erhält man diese Tabelle, die man unbedingt auswendig lernen sollte: Die Verwendung von CAS-Rechnern zur Umrechnung wird einige Seite später beschrieben.

6 600 Grundlagen Teil 6. Übungen mit Taschenrechner: Teil ) Umrechnungen vom Gradmaß ins Bogenmaß: π = b= 80 Das Bogenmaß kann man mit oder mit b bezeichnen. 75 π = 75 b =, π = 70 b = = π 4,7 80 Wenn man eine Reihe von Umrechnungen machen möchte, sollte man mit einem Trick arbeiten: π Schreibt man die Formel so: b =, dann erkennt man, 80 π dass es sich lohnt, den Bruch 80 auszurechnen und zwischenzuspeichern, dann geht der Rest schneller. Teil ) Aus Hinweis: Umrechnungen vom Bogenmaß in Gradmaß π b 80 = ergibt sich b = 80 π,5 b =,5 = 80 4, π 80 b = = 57, π b = = ,5 = ,5 π Einen Bogen der Länge gibt es am Einheitskreis nicht. Dieser Winkel kann daher nicht geometrisch gedeutet werden, phsikalisch gesehen ist es ein Drehwinkel. Er führt wie die Rechnung zeigt, nach einer Volldrehung zum Restwinkel ' = 7,5. Wie groß ist der maimale Bogen am Einheitskreis? Das ist der zu 60 gehörende Bogen: b = π 6,8. Auch hier kann man für den Fall zahlreicher Berechnungen das Geschehen dadurch abkürzen, dass man den Bruch 80 als Konstante zwischenspeichert und dann π 80 Die Formel = b so anwendet: π A Trainingsaufgabe a) Rechne ins Bogenmaß um:, 4, 48, 50. b) Rechne ins Gradmaß um:,6; 5,4; 0,5;,8; 00; -,5.

7 600 Grundlagen Teil 7. Umrechnung mit dem CAS-Rechner Casio ClassPad Teil : Voreinstellungen Gradmaß In der Statuszeile am unteren Rand erkennt man, ob die Voreinstellung Gradmaß (Gra) ist, oder Bogenmaß (Bog) oder Neugrad (Gon). Durch Anklicken mit dem Stift ändert man die Voreinstellung. (Neugrad wird in der Schule nicht verwendet. Zur Information: Hier hat der rechte Winkel 00 Neugrad und der Vollwinkel 400 Neugrad.) Für eine Umwandlung stellt man die gewünschte Ziel-Maßeinheit unten ein und gibt im Rechenfeld den Winkel mit der aktuellen (alten) Einheit ein. EXE wandelt dann um! Teil : Umrechnungen: Gradmaß in Bogenmaß () Unten stellt man Bog ein. () Im Soft-Keboard wählt man das Menü mth und darin das Untermenü Trig (siehe oben). Dann sieht man die Zeichen für die Maßeinheit Grad und rechts daneben r für die Maßeinheit Radiant (Bogenmaß). () Die rechte Abbildung zeigt verschiedene Umrechnungen ins Bogenmaß: Setzt man hinter 0 das Gradzeichen und drückt EXE, dann erscheint als Ergebnis das Bogenmaß zu 0. Man kann auch eine ganze Liste umrechnen lassen. Dazu schreibt man die Winkel im Gradmaß in geschweifte Klammern, getrennt durch Kommas. 70 ohne Gradzeichen wird als Bogenmaß angenommen und nicht umgerechnet. Nun achte man darauf, dass die Voreinstellung Standard war, daher gibt ClassPad die Ergebnisse wenn möglich eakt aus, daher hat man hier Brüche als Ergebnis. Ändert man durch Anklicken diese Voreinstellung in Dezimal, dann erhält man alle Ergebnisse in Dezimalform, und zwar hier mit 4 Dezimalen, weil ich dies so eingestellt hatte.

8 600 Grundlagen Teil 8 Teil : Umrechnungen: Bogenmaß in Gradmaß () Unten stellt man Gra ein. () Im Soft-Keboard wählt man das Menü mth und darin das Untermenü Trig. Dann sieht man die Zeichen für die Maßeinheit Grad und rechts daneben r für Radiant. () Die rechte Abbildung zeigt verschiedene Umrechnungen ins Gradmaß: Die obere Abbildung zeigt Umrechnungen mit der Voreinstellung Dezimal. Zuerst wird das Bogenmaß,5 Rad in 4.94 umgewandelt, und dann gleich eine ganze Liste. Die obere Abbildung zeigt dieselben Umrechnungen mit der Voreinstellung Standard, die nur eakte Werte, hier also Brüche ausgibt. Jeder weiß natürlich, dass man durch Markieren und dann Anklicken des Icons die Umwandlung Standard Dezimal spontan vornehmen kann. Teil 4: Umrechnungen: Neugrad in Grad Für Interessierte hier eine kleine Demonstration: Die Voreinstellung ist jetzt Neugrad. Ich wandle um: 90 in 00 Neugrad, 60 in 400 Neugrad und π Rad (80 im Bogenmaß) in 00 Neugrad.

9 600 Grundlagen Teil 9 Teil 5: Trigonometrische Berechnungen a) Gegeben ist sin = 0,7. Berechne im Gradmaß. Eingabe: sin ( 0.7). Was ist hier passiert? Man muss fragen: Welche Voreinstellungen haben zu dieser unbrauchbaren Antwort geführt? ClassPad hat die Aufgabe ungelöst ausgegeben, weil die Voreinstellung Standard ein genaues Ergebnis verlangt, und dieses gibt es nicht. Im Bogenmaß und im Gradmaß passiert hier dasselbe. Durch Markierung und Umwandlung in eine Dezimalzahl erhält man bei der Voreinstellung Rad: 0,790 Und bei der Voreinstellung Grad:,756. Übrigens erhält man gleich diese beiden Screens, wenn Dezimal statt Standard eingestellt ist. Ja, und wenn man gar nicht auf die Voreinstellung achtet, kann erhält man möglicherweise einen Winkel im Bogenmaß, wenn man einen im Gradmaß berechnen soll. Man lernt daraus, dass man zuvor darauf achten sollte, dass Dezimal und Grad eingestellt ist, zumindest wenn man geometrische Winkel berechnet. Handelt es sich um Funktionswerte, bleibt man beim Bogenmaß. b) Man berechne cos 64. Rechts zwei Berechnungen mit verschiedenen Einstellungen. Was ist richtig? Die obere Berechnung wurde bei der Voreinstellung Bog ausgeführt und ist daher falsch. So kann es gehen, wenn man sich nicht angewöhnt, darauf zu achten. Man fährt auch nicht im 4. Gang an der Ampel los. Trainingsaufgabe a) Rechne ins Bogenmaß um:, 4, 48, 50. b) Rechne ins Gradmaß um:,6; 5,4; 0,5;,8; 00; -,5 Überlege Dir dazu genau, welche Voreinstellungen du dazu benötigst: Bogenmaß oder Gradmaß, Standard oder Dezimal.

10 600 Grundlagen Teil 0.4 Umrechnung mit dem CAS-Rechner TI Nspire (Version /) Teil : Voreinstellungen () Berechnungen: Je nach aktiver Voreinstellung verhält sich TI Nspire anders. Diese Voreinstellungen bekommt man so angezeigt: ~ 7 Teil : Arbeiten mit der Voreinstellung Gradmaß Die Abbildung zeigt, dass man problemlos Sinuswerte berechnen kann, und auch die Umkehrung ist einfach. () Umrechnung: Vom Gradmaß ins Bogenmaß 0 π 0,54 6 In der Voreinstellung Auto(matisch) gibt Nspire einen Bruch aus, wenn dies möglich ist. Will man diesen in eine Dezimalzahl umwandeln, drückt man anschließend /. Das Umwandlungszeichen Rad entnimmt man entweder der Bibliothekk, oder man gibt es manuell ein: Mit /k öffnet man die Zeichentabelle. Dort steht oben rechts das und dahinter tippt man rad ein. () Umrechnung: Vom Bogenmaß ins Gradmaß: Nun will ich den oben ermittelten Wert von 0,54 wieder ins Gradmaß zurückrechnen. Dazu benötigt man aus der Zeichentabelle /k das hochgestellte Bogenmaßzeichen r. Die Klammer setzt Nspire automatisch. Weil die Grundeinstellung Gradmaß ist, reicht zur Umwandlung aus. ctr enter Rechts noch ein Beispiel: cos 0 =. Verwendet man (bei der Voreinstellung Grad) das Bogenmaß, also 6 π statt 0, dann muss man das Nspire durch ein hochgestelltes r auch mitteilen.

11 600 Grundlagen Teil Teil : Rechnungen bei der Voreinstellung Bogenmaß () Berechnungen: Die Abbildung zeigt, dass man problemlos Sinuswerte berechnen kann. Verwendet man (bei der Voreinstellung Bogenmaß) jedoch einen Winkel im Gradmaß, muss man dies Nspire durch eine hochgestellte mitteilen. Dieses Gradzeichen übernimmt man aus der Zeichentabelle, die man durch /k aufruft (Abb. rechts, Ecke oben rechts). () Umrechnung: Vom Bogenmaß ins Gradmaß: Die Umrechnung π geschieht mit der Funktion DD. 6 0 Rechnet man mit π 0,54 (. Zeile) erhält man 0,0. 6 Für manche Zwecke kann man auch den alternativen Befehl DMS verwenden und erhält dann das Ergebnis in Grad, Winkelminuten und Winkelsekunden angezeigt (. Zeile) ( Degree-Minutes-Seconds ). Diesen Befehl DD (Dezimal-Degree) kann man auch direkt an Rechnungen koppeln: (Immer beachten, dass wir im Moment mit der Voreinstellung Bogenmaß arbeiten:) Dann liefert sin 0,5 ( ) nicht den Winkel 0 sondern seine Maßzahl im Bogenmaß: 0,5599 (rad). Soll das Ergebnis jedoch im Gradmaß ausgegeben werden, fügt man DD direkt an (. Zeile). () Umrechnung: Vom Gradmaß ins Bogenmaß: Man beachte die Berechnungen der Abbildung: In der. Zeile signalisiert das Gradzeichen dem im Bogenmaß voreingestellten Nspire, dass ein Winkel im Gradmaß vorliegt. startet die Umwandlung. Man kann natürlich auch Rad verwenden, muss aber auch hier das Gradzeichen einfügen, damit Nspire die Zahl 0 als Grad-Winkelmaß interpretiert.

12 600 Grundlagen Teil Teil 4: Nspire kann aber auch ganze Listen auf einmal umrechnen Schreibt man mehrere Winkel durch Kommas getrennt zwischen geschweifte Klammern, ist das für Nspire eine Liste, die der Reihe nach abgearbeitet wird. Ich erkläre dies in Form einer Aufgabe: Welche Voreinstellung hatte Nspire bei Ausführung der gezeigten Rechnungen. Welche Eingabe hat dann die Rechnung ausgelöst? (a) (b) (c) (d) (e) (f) Lösung: (a) Voreinstellung Gradmaß: Umwandlung von 5 Winkeln im Gradmaß ins Bogenmaß mit.. Zeile: Erzwingen von Dezimalwerten mit /. (b) (c) (d) (e) (f) Voreinstellung Bogenmaß: Vier Winkel mit Grad-Einheiten-Angabe werden mit in das voreingestellte Bogenmaß verwandelt.. Zeile: Erzwingen von Dezimalwerten mit /. Voreinstellung Bogenmaß: Zu vier Bogenmaß-Winkeln werden die Kosinuswerte berechnet.. Zeile: Zu Winkeln im Gradmaß und zu Winkeln im Bogenmaß wird der Kosinus mit berechnet. Nur Wert ist eakt darstellbar. Mit / erhält man 4 Dezimalzahlen. Voreinstellung Gradmaß: Zu Winkeln im Gradmaß und zu Winkeln im Bogenmaß wird der Sinus mit berechnet. Nur Wert ist eakt darstellbar. Mit / erhält man 4 Dezimalzahlen.. Zeile: Diese Umrechnung von Winkeln ins Bogenmaß zeigt, dass Gradmaß voreingestellt ist. In der. Zeile werden die vier Zahlen als Gradmaß akzeptiert und unverändert wieder ausgegeben. In der. Zeile zeigt das hochgestellte r, dass die Liste Winkel im Bogenmaß enthält. Nach werden sie in der Voreinstellung ausgegeben, also im Gradmaß. Zu Sinuswerten werden die Winkel im Gradmaß (Voreinstellung) berechnet.. Zeile: Sie werden so direkt im Bogenmaß ausgegeben. Trainingsaufgabe Löse die Aufgaben auf zwei Arten: Zuerst mit der Voreinstellung Gradmaß, dann mit Bogenmaß. a) Rechne ins Bogenmaß um:, 4, 48, 50. b) Rechne ins Gradmaß um:,6; 5,4; 0,5;,8; 00; -,5.

13 600 Grundlagen Teil. Punktkoordinaten auf dem Einheitskreis. Sinus und Kosinus als Koordinaten im. Feld des Einheitskreises Zeichnet man einen Punkt P auf den Einheitskreis im. Feld, so dass also der Winkel im Bereich 0 bis 90 0 liegt, dann können wird mit den Formeln Gegenkathete sin= und Hpotenuse berechnen, dass gilt: sin= = sin cos= = cos. Anwendungsbeispiele: Beispiel : a) b) c) d) e) Ankathete cos= Hpotenuse Punkte im. Feld berechnen. Winkel -Koordinate -Koordinate Punkt = 0 : = 45 : = 60 : 4 = 7,5 5 = 74 Dazu eine Abbildung. = cos0 = 0,87, = cos45 = 0,7 = cos60 = 4 cos7,5 0,79 = sin0 = P( ) sin 45 = = P ( ) sin60 0,87 = = P ( ) = 4 sin7,5 0,6 = 5 sin74 0,96 5 cos74 0,8 Die Winkel gegen die -Achse sind am jeweiligen Radius angeschrieben. Die Berechnungen der Koordinaten mit einem Grafikrechner: P 4 : P 5 : r = = cos = P ( 0,79 0,6 ) = P ( 0,8 0,96 ) 4 5 = sin P( )

14 600 Grundlagen Teil 4 Beispiel : Aus der -Koordinate den Winkel und die -Koordinate berechnen a) Gegeben: ( ) A 0,4 d. h = sin = 0,4 = sin 0,4,58 Es folgt: = A ( 0,9 0,4 ) cos,58 0,9 b) Gegeben: ( ) c) Gegeben: ( ) d) Gegeben: ( ) 4 4 A 0,09 d. h. = sin = 0,09 cos5,6 0,9959 A 0,8 d. h. = cos = 0,8 = sin 0,09 5,6 = A ( 0,09) cos54, 0,59 A,5 d. h. 4 cos 4 =,5 = sin 0,8 54, = A ( 0,59 0,8 ) = 4 eistiert nicht! A 4 liegt nicht auf dem Einheitskreis: Sinus- und Kosinuswerte können nicht > sein! Und hier die Screenshots mit einem Grafikrechner zu diesen vier Berechnungen: Beispiel : a) Gegeben: ( ) b) Gegeben: ( ) c) Gegeben: ( ) Screenshots zu a) und b). Aus der -Koordinate den Winkel und die -Koordinate berechnen B 0, d. h = cosβ = 0, Es folgt: β = cos 0, 78,46 = B ( 0, 0,98 ) sin78,46 0,98 B d. h. cosβ Es folgt: = = β ( ) = cos 6,87 = B ( 0,47 0,88 ) sin6,87 0,88 B d. h. = cos = Winkel eistiert nicht. Sinuswerte können nicht größer als sein. B liegt nicht auf dem Einheitskreis. B Die Abbildung zeigt die Punkte A aus Beispiel = 0,4 A β und B aus Beispiel. = 0, r =

15 600 Grundlagen Teil 5. Sinus für Winkel über 90 Der Sinus ist die -Koordinate der Punkte auf dem Einheitskreis. P und P haben die gleiche -Koordinaten, weil sie an der -Achse gespiegelt worden sind. Ihre zugehörigen Drehwinkel ergeben zusammen 80. Also gilt: = 80 und sin = sin ( 0 ) sin0 = sin 80 = sin60 = ( 5 ) sin5 = sin 80 = sin 45 = ( ) sin4 = sin 80 4 = sin 8 =... ( ) sin50 = sin = sin0 = ( ) sin80 = sin = sin0 = 0 Die Punkte P und P 4 haben negative -Koordinaten. Also sind Sinuswerte zu Winkeln zwischen 80 und 60 negativ. Außerdem liegen P und P 4 zueinander spiegelbildlich. Daher ist sin = sin4 = sin!!!!! Für die Winkel zwischen 80 und 70 gilt: = 80 + bzw. 80 = Es folgt: sin0 = sin(0 80 ) = sin0 = sin5 = sin(5 80 ) = sin 45 = sin40 = sin(40 80 ) = sin60 = sin56 = sin(56 80 ) = sin76 =... sin70 = sin(70 80 ) = sin90 = Für die Winkel zwischen 80 und 70 gilt: = 60 bzw. 4 = 60 Es folgt: 4 sin00 = sin(60 00 ) = sin60 = sin5 = sin(60 5 ) = sin 45 = sin0 = sin(60 0 ) = sin0 = sin4 = sin(60 4 ) = sin8 =... sin60 = sin0 = 0 ( ) P P 0 H ( ) P( ) P ( ) P ( ). Feld ( ) P 0,8 0,6 P 0 H ( ). Feld. Feld 4. Feld P 0 ( ) P ( 0,8 0,6) ( ) P ( ) P 0,8 0,6. Feld ( ) P 0,8 0,6 P 0. Feld. Feld 4. Feld P 0 ( ) P ( 0,8 0,6) ( ) P ( 0,8 0,6) P 0,8 0,6. Feld H ( ) 4. Feld. Feld 4. Feld 4 P 0 ( ) Die roten Formeln zeigen, wie man beliebige Winkel umrechnet.

16 600 Grundlagen Teil 6. Kosinus für Winkel über 90 Der Kosinus ist die -Koordinate der Punkte auf dem Einheitskreis. P und P haben entgegengesetzte -Koordinaten, weil sie an der -Achse gespiegelt worden sind. Ihre zugehörigen Drehwinkel ergeben zusammen 80. Also gilt: = 80 und cos = cos ( 0 ) os60 cos0 cos 80 c = = = ( 5 ) cos5 = cos 80 = cos45 = ( 4 ) cos4 = cos 80 = cos8 =... ( 50 ) cos50 = cos 80 = cos0 = ( ) cos80 = cos = cos 0 = P hat dieselbe negative -Koordinate wie P. Kosinuswerte zu Winkeln zwischen 80 und 60 sind negativ. P und P sind zueinander spiegelbildlich. Daher ist sin = sin = sin!!!!! Für die Winkel zwischen 80 und 70 gilt: = 80 + bzw. 80 = Es folgt: cos0 = cos(0 80 ) = cos0 = cos5 = cos(5 80 ) = cos45 = cos40 = cos(40 80 ) = cos60 = cos56 = cos(56 80 ) = cos76 =... cos70 = cos(70 80 ) = cos90 = 0 P 4 hat dieselbe positive -Koordinate wie P. Für die Winkel zwischen 80 und 70 gilt: = 60 bzw. 4 Es folgt: = 60 cos4 = cos 4 cos00 = cos(60 00 ) = + cos60 = cos5 = cos(60 5 ) = + cos45 = cos0 = cos(60 0 ) = cos0 = cos4 = cos(60 = cos8 =. cos60 = cos0 = 4 ).. ( ) P P 0 H ( ) P( ) P ( ) P ( ). Feld ( ) P 0,8 0,6 P 0. Feld. Feld 4. Feld P 0 ( ) P ( 0,8 0,6) ( ) P ( ) P 0,8 0,6. Feld H ( ) ( ) P 0,8 0,6 P 0. Feld. Feld 4. Feld P 0 ( ) P ( 0,8 0,6) ( ) P ( 0,8 0,6) P 0,8 0,6. Feld H ( ) 4. Feld. Feld 4. Feld 4 P 0 ( ) Die roten Formeln zeigen, wie man beliebige Winkel umrechnet.

17 600 Grundlagen Teil 7.4 Übersicht über Sinus und Kosinus, Beispiele und Aufgaben Wir haben gelernt: Für Punkte auf dem Einheitskreis gilt: = = cos sin Beispiel: P ( 0,8 0,6 ) cos sin im. Feld. P ( 0,8 0,6 ) im. Feld. cos sin P ( 0,8 0,6) im. Feld. cos sin P 4( 0,8 0,6) im 4. Feld. cos4 sin4 Drehe den Punkt P ( ) Musteraufgabe Vorzeichentabellen: 0 auf dem Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn um a) 8 b) 5 c) 5 d) Berechne die Koordinaten des Endpunktes nach der Drehung. Lösung Die Sinus- und Kosinuswerte bestimmen wir mit einem Taschenrechner, der auf Gradmaß eingestellt ist: a) b) c) d) = 8 : 0,96, 0,8 Ergebnis: P ( 0, ) = 5 0,8, 0.9 Ergebnis: P ( 0,8 0,9) Achtung: Im. Feld ist = 5 0,85, 0,5 Ergebnis: P ( 0,85 0,5) Achtung: = cos 5 < 0 Im. Feld sind beide Koordinaten negativ: = < und cos 5 0 = 0,, 0.95 Ergebnis: P ( 0, 0,95) Achtung: Drehe den Punkt P ( ) 4 = sin5 < 0. Im 4. Feld ist die -Koordinate negativ: Trainingsaufgaben 4 sin 4 = sin < 0! 0 auf dem Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn um a) 6 b) 6 c) 99 d) Berechne die Koordinaten des Endpunktes nach der Drehung. cos

18 600 Grundlagen Teil 8 Winkel aus Sinus-/Kosinuswerten bestimmen ACHTUNG Hier sucht man nur die Lösungen aus Einfachste Sinus-Gleichungen Musteraufgabe Welche Winkel haben sin = 0,4? Die Frage lautet also: Für welche Punkte des Einheitskreises gilt = 0,4? Grafische Lösung: Man zeichnet die Gerade = 0,4 in ein Koordinatensstem. Diese schneidet den Einheitskreis zweimal: In P und in Q. Man kann nun abmessen oder eakt berechnen: 5 P liegt im. Feld. Dann folgt aus sin= 0,4 = sin 0,4 4,8 Q liegt im. Feld. Dann folgt aus sin= 0,4 80 = 55,7 Mit dem Taschenrechner ermittelt man diese Winkel so: Der Rechner liefert nur das Ergebnis im. Feld für das zweite im. Feld muss man die Berechnung wissen! Wer keinen Rechner hat, der den Befehl Ans (= letzte Antwort) verwendet, der verwendet statt Ans eben 4,8. Macht etwas mehr Arbeit. (Die -Koordinate erhält man so:, = cos,.) Musteraufgabe Welche Winkel haben sin= 0,64? Grafische Lösung: Man zeichnet die Gerade = -0,64 in ein Koordinatensstem. Diese schneidet den Einheitskreis zweimal: In P (. Feld) und in Q (4. Feld). Man erkennt, dass man den Winkel ' messen muss. Dann wird er einmal zu 80 addiert und (für Q) von 60 subtrahiert. Rechnerische Lösung: ' o ' ' Hilfswinkel. Lösung (P):. Lösung (Q): ' = sin 0,64 9,94 = 80 + ' = 9,94 = 60 ' = 0,06 = 0,64

19 600 Grundlagen Teil 9 Musteraufgabe mit Kurzlösung: a) sin = 0,75 Sinuswerte sind im. und. Feld positiv:. Feld: = sin 0,75 48,59. Feld: = 80 =,4 b) sin = 0,6 Sinuswerte sind im. Und 4. Feld negativ. MERKE: ACHTUNG: Daher braucht man zuerst einen Hilfswinkel mit positivem Sinuswert:. Feld:. Feld: 4. Feld: ' = sin 0,6 9, = 80 + ' = 98, = 60 ' = 50,79 Was passiert, wenn man mit dem Taschenrechner den Winkel aus dem: negativen Sinuswert berechnen will? Man erhält einen negativen Winkel. Was bedeutet das? Hat ein Winkel ein negatives Maß, dann versteht man ihn als Drehwinkel gegen im Uhrzeigersinn. Man lässt dann am einfachsten das Minuszeichen weg und rechnet dann wie oben gezeigt. Um eine Gleichung der Form sin= 0, zu lösen, bestimmt man die zum. Feld führende Lösung ' der Hilfsgleichung sin ' = + 0,. Damit berechnet man und = 80 + ' im. Feld = im 4. Feld. 60 ' ' < 0

20 600 Grundlagen Teil 0. Einfachste Kosinus-Gleichungen Musteraufgabe 4 Welche Winkel haben cos= 0,5? Der Kosinus ist die -Koordinate der zugehörigen Punkte auf dem Einheitskreis: = 0,5. Dies führt zu P im. Feld und zu Q im 4. Feld. Zeichnerische Lösung: Man zeichnet eine vertikale Linie mit = 0,5. Diese schneidet den Einheitskreis zweimal, in P und in Q. Rechnerische Lösung: Mit dem Taschenrechner erhält man: = cos 0,5 69,5 Den. Winkel erhält durch Drehung entgegen dem Uhrzeiger: = 60 = 90,49 Musteraufgabe 5 Welche Winkel haben cos= 0,75? Jetzt suchen wir Punkte mit negativer -Koordinate. Diese liegen im. und. Feld. = 0,5 Schwer!