Arithmetik und Algebra
|
|
- Heiko Stieber
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Willkommen Gliederung "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Institut für Informatik Lehrstuhl 2 7. Juni 2005
2 Willkommen Gliederung Gliederung 1 Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 2 3 Definitionen Lösungsverfahren e 4 Beschreibung des Verfahrens
3 Gliederung Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 1 Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 2 3 Definitionen Lösungsverfahren e 4 Beschreibung des Verfahrens
4 Repräsentation der Zahlen im Rechner Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung Repräsentation der Zahl mittels einer Liste, welche jede Ziffer als ein Listenelement enthält. freie Wahl der Basis. Implementierung mittels... Feld einfach zu implementieren platzsparende Speicherung jede Stelle direkt adressierbar dynamische Größenanpassung möglich Verkettete Liste aufwendig zu implementieren Overhead durch Pointer mehrere Stellen gruppieren (Mischform) keine direkte Adressierung einfache Größenanpassung
5 Gliederung Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 1 Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 2 3 Definitionen Lösungsverfahren e 4 Beschreibung des Verfahrens
6 Auslöschung (Cancellation) Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung Auslöschung In der IEEE Arithmetik können die Grundrechenoperationen +/- zur Auslöschung von Informationsstellen führen, z.b. wenn zwei Zahlen fast gleicher Größe subtrahiert werden. : 1, 23456xxxx , 23455xxxx , xxxx 10 5 Beachte Eine Erhöhung der Informationsstellen garantiert also nicht, das unser Ergebnis auch genauer wird. Genauso wichtig ist es, auch den Algorithmus an sich zu analysieren, um Schwachstellen aufzudecken.
7 Gliederung Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 1 Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 2 3 Definitionen Lösungsverfahren e 4 Beschreibung des Verfahrens
8 Lösen von quadratischen Gleichungen Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung Die Nullstellen der quadratischen Funktion a x 2 + b x + c = 0 mit a 0 sind x 1 = b+ b 2 4ac 2a x 2 = b b 2 4ac 2a Betrachten wir das x x + 1 = 0 mit den Lösungen x 1 = und x 2 = Verwenden wir eine Arithmetik mit 4 Stellen (Basis 10, Mantissenlänge 4) und berechnen die Werte x 1 und x 2 erhalten wir die Lösungen x 1 = und x 2 =
9 Lösen von quadratischen Gleichungen Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung Die Nullstellen der quadratischen Funktion a x 2 + b x + c = 0 mit a 0 sind x 1 = b+ b 2 4ac 2a x 2 = b b 2 4ac 2a Betrachten wir das x x + 1 = 0 mit den Lösungen x 1 = und x 2 = Verwenden wir eine Arithmetik mit 4 Stellen (Basis 10, Mantissenlänge 4) und berechnen die Werte x 1 und x 2 erhalten wir die Lösungen x 1 = und x 2 =
10 Lösen von quadratischen Gleichungen Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung Die Nullstellen der quadratischen Funktion a x 2 + b x + c = 0 mit a 0 sind x 1 = b+ b 2 4ac 2a x 2 = b b 2 4ac 2a Betrachten wir das x x + 1 = 0 mit den Lösungen x 1 = und x 2 = Verwenden wir eine Arithmetik mit 4 Stellen (Basis 10, Mantissenlänge 4) und berechnen die Werte x 1 und x 2 erhalten wir die Lösungen x 1 = und x 2 =
11 Lösen von quadratischen Gleichungen Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung Formen wir die Lösungsgleichung durch Erweitern mit b b 2 4ac und Kürzen um, erhalten wir die folgenden 2 Gleichungen: x 1 = b+ 2c b 2 4ac x 2 = b 2c b 2 4ac Nebenrechnung: x 1 = b+ b 2 4ac 2a x 2 = b b 2 4ac 2a b 2 4ac b b = b 2 (b 2 4ac) 2 4ac 2a ( b b = 2c 2 4ac) b+ b 2 4ac b b 2 4ac b+ b = b 2 (b 2 4ac) 2 4ac 2a ( b+ b = 2c 2 4ac) b b 2 4ac b+
12 Lösen von quadratischen Gleichungen Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung Verwenden wir wieder eine Arithmetik mit 4 Stellen (Basis 10, Mantissenlänge 4) und berechnen diesmal die Werte mit x 1 und x 2 erhalten wir die Lösungen x 1 = und x 2 = 50. Zussamengefasst: Gegeben b± b 2 4ac 2a b± 2c b 2 4ac x x
13 Lösen von quadratischen Gleichungen Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung Verwenden wir wieder eine Arithmetik mit 4 Stellen (Basis 10, Mantissenlänge 4) und berechnen diesmal die Werte mit x 1 und x 2 erhalten wir die Lösungen x 1 = und x 2 = 50. Zussamengefasst: Gegeben b± b 2 4ac 2a b± 2c b 2 4ac x x
14 Gliederung 1 Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 2 3 Definitionen Lösungsverfahren e 4 Beschreibung des Verfahrens
15 Definitionen Teiler a heißt Teiler von b, wenn die Gleichung b = k a mit k Z erfüllt ist. a b k Z : b = k a Primzahl Eine Zahl k, welche nur die trivialen Teiler 1 und k besitzt, nennen wir Primzahl. e: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23,... Teilertheorem Für eine Zahl a und beliebige Zahlen n, gibt es genau ein q und r mit 0 r < n, so dass gilt: a = q n + r
16 Definitionen Teiler a heißt Teiler von b, wenn die Gleichung b = k a mit k Z erfüllt ist. a b k Z : b = k a Primzahl Eine Zahl k, welche nur die trivialen Teiler 1 und k besitzt, nennen wir Primzahl. e: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23,... Teilertheorem Für eine Zahl a und beliebige Zahlen n, gibt es genau ein q und r mit 0 r < n, so dass gilt: a = q n + r
17 Definitionen Teiler a heißt Teiler von b, wenn die Gleichung b = k a mit k Z erfüllt ist. a b k Z : b = k a Primzahl Eine Zahl k, welche nur die trivialen Teiler 1 und k besitzt, nennen wir Primzahl. e: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23,... Teilertheorem Für eine Zahl a und beliebige Zahlen n, gibt es genau ein q und r mit 0 r < n, so dass gilt: a = q n + r
18 Definitionen Gemeinsamer Teiler Eine Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, wenn d a und d b gilt. Größter gemeinsamer Teiler Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen a und b ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b. teilerfremd bzw. relativ prim Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist.
19 Definitionen Gemeinsamer Teiler Eine Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, wenn d a und d b gilt. Größter gemeinsamer Teiler Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen a und b ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b. teilerfremd bzw. relativ prim Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist.
20 Definitionen Gemeinsamer Teiler Eine Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, wenn d a und d b gilt. Größter gemeinsamer Teiler Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen a und b ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b. teilerfremd bzw. relativ prim Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist.
21 Definitionen Euklidischer Algorithmus Der Euklidische Algorithmus dient zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen. Rekursive Implementierung Iterative Implementierung EUCLID( i n t a, i n t b ) { i f ( b == 0) return a ; else return EUCLID(b, a mod b ) ; } EUCLID( i n t a, i n t b ) { while ( b!= 0 ) { i n t c = b ; b = a mod b ; a = c ; } return a ; }
22 Definitionen Euklidischer Algorithmus Der Euklidische Algorithmus dient zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen. Rekursive Implementierung Iterative Implementierung EUCLID( i n t a, i n t b ) { i f ( b == 0) return a ; else return EUCLID(b, a mod b ) ; } EUCLID( i n t a, i n t b ) { while ( b!= 0 ) { i n t c = b ; b = a mod b ; a = c ; } return a ; }
23 Definitionen Lemma von Bezout a, b N 0 : s, t Z : a s + b t = ggt(a, b) Erweiterter Euklidischer Algorithmus Der erweiterte Euklidische Algorithmus berechnet zusätzlich eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers als Linearkombination. Rekursive Implementierung Iterative Implementierung EX EUCLID( i n t a, i n t b ) { i f ( b == 0) return ( a, 1, 0 ) ; else { ( d, s, t ) = EX EUCLID( b, a mod b ) ; s = t ; t = s t ( a d i v b ) ; return ( d, s, t ) ; } } EX EUCLID( i n t a, i n t b ) { ( d, s, t ) = ( a, 1, 0 ) ; ( d, s, t ) = ( b, 0, 1 ) ; while ( d!= 0) { c = ( d d i v d ) ; ( d, s, t ) = ( d, s, t ) c ( d, s, t ) ; ( d, s, t ) = ( d, s, t ) ; ( d, s, t ) = ( d, s, t ) ; } return ( d, s, t ) ; }
24 Definitionen Lemma von Bezout a, b N 0 : s, t Z : a s + b t = ggt(a, b) Erweiterter Euklidischer Algorithmus Der erweiterte Euklidische Algorithmus berechnet zusätzlich eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers als Linearkombination. Rekursive Implementierung Iterative Implementierung EX EUCLID( i n t a, i n t b ) { i f ( b == 0) return ( a, 1, 0 ) ; else { ( d, s, t ) = EX EUCLID( b, a mod b ) ; s = t ; t = s t ( a d i v b ) ; return ( d, s, t ) ; } } EX EUCLID( i n t a, i n t b ) { ( d, s, t ) = ( a, 1, 0 ) ; ( d, s, t ) = ( b, 0, 1 ) ; while ( d!= 0) { c = ( d d i v d ) ; ( d, s, t ) = ( d, s, t ) c ( d, s, t ) ; ( d, s, t ) = ( d, s, t ) ; ( d, s, t ) = ( d, s, t ) ; } return ( d, s, t ) ; }
25 Definitionen Lemma von Bezout a, b N 0 : s, t Z : a s + b t = ggt(a, b) Erweiterter Euklidischer Algorithmus Der erweiterte Euklidische Algorithmus berechnet zusätzlich eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers als Linearkombination. Rekursive Implementierung Iterative Implementierung EX EUCLID( i n t a, i n t b ) { i f ( b == 0) return ( a, 1, 0 ) ; else { ( d, s, t ) = EX EUCLID( b, a mod b ) ; s = t ; t = s t ( a d i v b ) ; return ( d, s, t ) ; } } EX EUCLID( i n t a, i n t b ) { ( d, s, t ) = ( a, 1, 0 ) ; ( d, s, t ) = ( b, 0, 1 ) ; while ( d!= 0) { c = ( d d i v d ) ; ( d, s, t ) = ( d, s, t ) c ( d, s, t ) ; ( d, s, t ) = ( d, s, t ) ; ( d, s, t ) = ( d, s, t ) ; } return ( d, s, t ) ; }
26 zum erweiterten Euklidischen Algorithmus Berechne den ggt(240, 17) mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus Die Linearkombination lautet: = 1
27 zum erweiterten Euklidischen Algorithmus Berechne den ggt(240, 17) mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus Die Linearkombination lautet: = 1
28 zum erweiterten Euklidischen Algorithmus Berechne den ggt(240, 17) mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus Die Linearkombination lautet: = 1
29 zum erweiterten Euklidischen Algorithmus Berechne den ggt(240, 17) mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus Die Linearkombination lautet: = 1
30 zum erweiterten Euklidischen Algorithmus Berechne den ggt(240, 17) mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus Die Linearkombination lautet: = 1
31 zum erweiterten Euklidischen Algorithmus Berechne den ggt(240, 17) mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus Die Linearkombination lautet: = 1
32 Gliederung 1 Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 2 3 Definitionen Lösungsverfahren e 4 Beschreibung des Verfahrens
33 Definition Sei n 1,..., n k eine Folge von paarweise teilerfremden natürlichen Zahlen, d.h. i < j [1, k] gilt ggt(n i, n j ) = 1, und sei n := n 1... n k. Für jede Folge r 1 Z n1,..., r k Z nk gibt es genau ein r Z n, so dass i [1, k] gilt r r i ( mod n i ). Einfach gesagt... Zu Gleichungen der Form r r i ( mod n 1 ). r r i ( mod n k ) lässt sich ein r mod n bestimmen, so dass alle Gleichungen erfüllt sind (r (r 1, r 2,..., r k )). Voraussetzung ist, dass alle n i paarweise teilerfremd sind.
34 Definition Sei n 1,..., n k eine Folge von paarweise teilerfremden natürlichen Zahlen, d.h. i < j [1, k] gilt ggt(n i, n j ) = 1, und sei n := n 1... n k. Für jede Folge r 1 Z n1,..., r k Z nk gibt es genau ein r Z n, so dass i [1, k] gilt r r i ( mod n i ). Einfach gesagt... Zu Gleichungen der Form r r i ( mod n 1 ). r r i ( mod n k ) lässt sich ein r mod n bestimmen, so dass alle Gleichungen erfüllt sind (r (r 1, r 2,..., r k )). Voraussetzung ist, dass alle n i paarweise teilerfremd sind.
35 Definition Wir haben also folgende 2 Möglichkeiten: r (r 1, r 2,..., r k ) : Dividiere r durch alle n i und stelle jeweils die Gleichung r r i mod n i auf. (r 1, r 2,..., r k ) r: 1 Berechne für alle i = 1, 2,..., k mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus die Gleichung c i = m i (m 1 i mod n i ), wobei m i = n n i ist. 2 Berechne r mit der Gleichung Beweis siehe [1] oder [3]. r (r 1 c 1 + r 2 c r k c k ) mod n.
36 Gliederung 1 Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 2 3 Definitionen Lösungsverfahren e 4 Beschreibung des Verfahrens
37 Eine Bande von 17 Räubern stahl einen Sack mit Goldstücken. Als sie ihre Beute teilen wollten, blieben 3 Goldstücke übrig. Beim Streit darüber, wer ein Goldstück mehr erhalten sollte, wurde ein Räuber erschlagen. Jetzt blieben bei der Verteilung 10 Goldstücke übrig. Erneut kam es zum Streit, und wieder verlor ein Räuber sein Leben. Jetzt konnten die Goldstücke endlich gleichmäßig verteilen. Wieviele Goldstücke waren mindestens im Sack? Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl x mit x 3 (mod 17) x 10 (mod 16) x 0 (mod 15) Beachte: ggt(17, 16, 15) = 1
38 Eine Bande von 17 Räubern stahl einen Sack mit Goldstücken. Als sie ihre Beute teilen wollten, blieben 3 Goldstücke übrig. Beim Streit darüber, wer ein Goldstück mehr erhalten sollte, wurde ein Räuber erschlagen. Jetzt blieben bei der Verteilung 10 Goldstücke übrig. Erneut kam es zum Streit, und wieder verlor ein Räuber sein Leben. Jetzt konnten die Goldstücke endlich gleichmäßig verteilen. Wieviele Goldstücke waren mindestens im Sack? Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl x mit x 3 (mod 17) x 10 (mod 16) x 0 (mod 15) Beachte: ggt(17, 16, 15) = 1
39 r 3 (mod17) r 10 (mod16) r 0 (mod15) 1 Berechne c i = m i (m 1 i mod n i ) mit m i = n n i für i = 1, 2,..., k. n = n 1 n 2... n k = = 4080 c 1 : ggt(17, 4080 ) = = 1 c 1 = 240 ( 8 mod 17) 17 {z } 240 c 2 : ggt(16, 4080 ) = = 1 c 2 = 255 ( 1 mod 16) 16 {z } 255 c 3 : ggt(15, 4080 ) = = 1 c 3 = 272 ( 7 mod 15) 15 {z } 272
40 r 3 (mod17) r 10 (mod16) r 0 (mod15) 1 Berechne c i = m i (m 1 i mod n i ) mit m i = n n i für i = 1, 2,..., k. n = n 1 n 2... n k = = 4080 c 1 : ggt(17, 4080 ) = = 1 c 1 = 240 ( 8 mod 17) 17 {z } 240 c 2 : ggt(16, 4080 ) = = 1 c 2 = 255 ( 1 mod 16) 16 {z } 255 c 3 : ggt(15, 4080 ) = = 1 c 3 = 272 ( 7 mod 15) 15 {z } 272
41 r 3 (mod17) r 10 (mod16) r 0 (mod15) 1 Berechne c i = m i (m 1 i mod n i ) mit m i = n n i für i = 1, 2,..., k. n = n 1 n 2... n k = = 4080 c 1 : ggt(17, 4080 ) = = 1 c 1 = 240 ( 8 mod 17) 17 {z } 240 c 2 : ggt(16, 4080 ) = = 1 c 2 = 255 ( 1 mod 16) 16 {z } 255 c 3 : ggt(15, 4080 ) = = 1 c 3 = 272 ( 7 mod 15) 15 {z } 272
42 r 3 (mod17) r 10 (mod16) r 0 (mod15) 1 Berechne c i = m i (m 1 i mod n i ) mit m i = n n i für i = 1, 2,..., k. n = n 1 n 2... n k = = 4080 c 1 : ggt(17, 4080 ) = = 1 c 1 = 240 ( 8 mod 17) 17 {z } 240 c 2 : ggt(16, 4080 ) = = 1 c 2 = 255 ( 1 mod 16) 16 {z } 255 c 3 : ggt(15, 4080 ) = = 1 c 3 = 272 ( 7 mod 15) 15 {z } 272
43 r 3 (mod17) r 10 (mod16) r 0 (mod15) 1 Berechne c i = m i (m 1 i mod n i ) mit m i = n n i für i = 1, 2,..., k. n = n 1 n 2... n k = = 4080 c 1 : ggt(17, 4080 ) = = 1 c 1 = 240 ( 8 mod 17) 17 {z } 240 c 2 : ggt(16, 4080 ) = = 1 c 2 = 255 ( 1 mod 16) 16 {z } 255 c 3 : ggt(15, 4080 ) = = 1 c 3 = 272 ( 7 mod 15) 15 {z } 272
44 r 3 (mod17) r 10 (mod16) r 0 (mod15) 1 Berechne c i = m i (m 1 i mod n i ) mit m i = n n i für i = 1, 2,..., k. n = n 1 n 2... n k = = 4080 c 1 : ggt(17, 4080 ) = = 1 c 1 = 240 ( 8 mod 17) 17 {z } 240 c 2 : ggt(16, 4080 ) = = 1 c 2 = 255 ( 1 mod 16) 16 {z } 255 c 3 : ggt(15, 4080 ) = = 1 c 3 = 272 ( 7 mod 15) 15 {z } 272
45 2 Berechne r (r 1 c 1 + r 2 c r k c k ) mod n. r ((3 240 ( 8 mod 17) ( 1 mod 16)) mod (4080) r 3930 mod 4080
46 2 Berechne r (r 1 c 1 + r 2 c r k c k ) mod n. r ((3 240 ( 8 mod 17) ( 1 mod 16)) mod (4080) r 3930 mod 4080
47 Gliederung Definitionen Lösungsverfahren e 1 Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 2 3 Definitionen Lösungsverfahren e 4 Beschreibung des Verfahrens
48 Definition Definitionen Lösungsverfahren e Diophantische Gleichung Eine Gleichung f(x 1, x 2,..., x n) = b wird Diophantische Gleichung in n Unbekannten genannt, wenn f ein Polynom in x 1, x 2,..., x n mit Koeffizienten aus der Menge Z der ganzen Zahlen und b eine ganzzahlige Konstante ist und man sich ausschließlich für ganzzahlige Lösungen interessiert. Lineare Diophantische Gleichung Eine lineare Diophantische Gleichung in n Unbekannten ist eine Gleichung der Form a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b (a i Z, b Z), für die nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden.
49 Definition Definitionen Lösungsverfahren e Diophantische Gleichung Eine Gleichung f(x 1, x 2,..., x n) = b wird Diophantische Gleichung in n Unbekannten genannt, wenn f ein Polynom in x 1, x 2,..., x n mit Koeffizienten aus der Menge Z der ganzen Zahlen und b eine ganzzahlige Konstante ist und man sich ausschließlich für ganzzahlige Lösungen interessiert. Lineare Diophantische Gleichung Eine lineare Diophantische Gleichung in n Unbekannten ist eine Gleichung der Form a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b (a i Z, b Z), für die nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden.
50 Definition Definitionen Lösungsverfahren e Lösungsbedingung Eine Diophantische Gleichung ist genau dann lösbar, wenn der größte gemeinsame Teiler aller a i ein Teiler von b ist und nicht alle a i gleich 0 sind. D. G. ist lösbar ggt(a 1, a 2,..., a n) b und (a 1, a 2,..., a n) (0, 0,..., 0)
51 Gliederung Definitionen Lösungsverfahren e 1 Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 2 3 Definitionen Lösungsverfahren e 4 Beschreibung des Verfahrens
52 Lösungsverfahren für n = 2 Definitionen Lösungsverfahren e Sei f : a 1 x 1 + a 2 x 2 = b mit (a 1, a 2 ) (0, 0) eine lösbare Diophantische Gleichung, d.h. ggt(a 1, a 2 ) b. 1 Dividiere die Gleichung f durch den ggt(a 1, a 2 ). Wir erhalten f : a 1 x 1 + a 2 x 2 = b mit ggt(a 1, a 2) = 1. 2 Berechne nun mit dem erweiterten Euklikdischen Algorithmus die Darstellung von 1 als Linearkombination von a 1 und a 2: c 1 a 1 + c 2 a 2 = 1. 3 (c 1 b, c 2 b ) ist nun eine spezielle Lösung der Diophantischen Gleichung f. Lösungsgesamtheit der Gleichung f: Sei (x 0 1, x 0 2 ) eine spezielle Lösung der Gleichung, dann ist die Menge aller Lösungen {(x t a 2, x 0 2 t a 1) t Z}.
53 Lösungsverfahren für n = 2 Definitionen Lösungsverfahren e Sei f : a 1 x 1 + a 2 x 2 = b mit (a 1, a 2 ) (0, 0) eine lösbare Diophantische Gleichung, d.h. ggt(a 1, a 2 ) b. 1 Dividiere die Gleichung f durch den ggt(a 1, a 2 ). Wir erhalten f : a 1 x 1 + a 2 x 2 = b mit ggt(a 1, a 2) = 1. 2 Berechne nun mit dem erweiterten Euklikdischen Algorithmus die Darstellung von 1 als Linearkombination von a 1 und a 2: c 1 a 1 + c 2 a 2 = 1. 3 (c 1 b, c 2 b ) ist nun eine spezielle Lösung der Diophantischen Gleichung f. Lösungsgesamtheit der Gleichung f: Sei (x 0 1, x 0 2 ) eine spezielle Lösung der Gleichung, dann ist die Menge aller Lösungen {(x t a 2, x 0 2 t a 1) t Z}.
54 Lösungsverfahren für n = 2 Definitionen Lösungsverfahren e Sei f : a 1 x 1 + a 2 x 2 = b mit (a 1, a 2 ) (0, 0) eine lösbare Diophantische Gleichung, d.h. ggt(a 1, a 2 ) b. 1 Dividiere die Gleichung f durch den ggt(a 1, a 2 ). Wir erhalten f : a 1 x 1 + a 2 x 2 = b mit ggt(a 1, a 2) = 1. 2 Berechne nun mit dem erweiterten Euklikdischen Algorithmus die Darstellung von 1 als Linearkombination von a 1 und a 2: c 1 a 1 + c 2 a 2 = 1. 3 (c 1 b, c 2 b ) ist nun eine spezielle Lösung der Diophantischen Gleichung f. Lösungsgesamtheit der Gleichung f: Sei (x 0 1, x 0 2 ) eine spezielle Lösung der Gleichung, dann ist die Menge aller Lösungen {(x t a 2, x 0 2 t a 1) t Z}.
55 Lösungsverfahren für n = 2 Definitionen Lösungsverfahren e Sei f : a 1 x 1 + a 2 x 2 = b mit (a 1, a 2 ) (0, 0) eine lösbare Diophantische Gleichung, d.h. ggt(a 1, a 2 ) b. 1 Dividiere die Gleichung f durch den ggt(a 1, a 2 ). Wir erhalten f : a 1 x 1 + a 2 x 2 = b mit ggt(a 1, a 2) = 1. 2 Berechne nun mit dem erweiterten Euklikdischen Algorithmus die Darstellung von 1 als Linearkombination von a 1 und a 2: c 1 a 1 + c 2 a 2 = 1. 3 (c 1 b, c 2 b ) ist nun eine spezielle Lösung der Diophantischen Gleichung f. Lösungsgesamtheit der Gleichung f: Sei (x 0 1, x 0 2 ) eine spezielle Lösung der Gleichung, dann ist die Menge aller Lösungen {(x t a 2, x 0 2 t a 1) t Z}.
56 Lösungsverfahren für n > 2 Definitionen Lösungsverfahren e Sei f : a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b mit (a 1, a 2,..., a n) (0, 0,..., 0) eine lösbare Diophantische Gleichung und der ggt(a 1, a 2,..., a n) = 1. Wäre dies nicht der Fall, müßte man noch durch den ggt dividieren. 1 Forme die Gleichung folgendermaßen um: a 1 x 1 + a 2 x a n 1 x n 1 = b a n x n 2 Betrachte nun x n als eine ganzzahlige Konstante. Wir erhalten eine Diophantische Gleichung mit (n 1) Unbekannten, die genau dann lösbar ist, wenn ggt(a 1, a 2,..., a n 1 ) (b a n x n). 3 Die Bedingung ggt(a 1, a 2,..., a n 1 ) (b a n x n) ist genau dann erfüllt, wenn es ganze Zahlen c und c n gibt, für die gilt: ggt(a 1, a 2,..., a n 1 ) c + a n c n = b Ist diese neue Diophantische Gleichung mit 2 Unbekannten gelöst, hat man nur noch eine Diophantische Gleichung mit (n 1) Unbekannten zu lösen.
57 Lösungsverfahren für n > 2 Definitionen Lösungsverfahren e Sei f : a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b mit (a 1, a 2,..., a n) (0, 0,..., 0) eine lösbare Diophantische Gleichung und der ggt(a 1, a 2,..., a n) = 1. Wäre dies nicht der Fall, müßte man noch durch den ggt dividieren. 1 Forme die Gleichung folgendermaßen um: a 1 x 1 + a 2 x a n 1 x n 1 = b a n x n 2 Betrachte nun x n als eine ganzzahlige Konstante. Wir erhalten eine Diophantische Gleichung mit (n 1) Unbekannten, die genau dann lösbar ist, wenn ggt(a 1, a 2,..., a n 1 ) (b a n x n). 3 Die Bedingung ggt(a 1, a 2,..., a n 1 ) (b a n x n) ist genau dann erfüllt, wenn es ganze Zahlen c und c n gibt, für die gilt: ggt(a 1, a 2,..., a n 1 ) c + a n c n = b Ist diese neue Diophantische Gleichung mit 2 Unbekannten gelöst, hat man nur noch eine Diophantische Gleichung mit (n 1) Unbekannten zu lösen.
58 Lösungsverfahren für n > 2 Definitionen Lösungsverfahren e Sei f : a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b mit (a 1, a 2,..., a n) (0, 0,..., 0) eine lösbare Diophantische Gleichung und der ggt(a 1, a 2,..., a n) = 1. Wäre dies nicht der Fall, müßte man noch durch den ggt dividieren. 1 Forme die Gleichung folgendermaßen um: a 1 x 1 + a 2 x a n 1 x n 1 = b a n x n 2 Betrachte nun x n als eine ganzzahlige Konstante. Wir erhalten eine Diophantische Gleichung mit (n 1) Unbekannten, die genau dann lösbar ist, wenn ggt(a 1, a 2,..., a n 1 ) (b a n x n). 3 Die Bedingung ggt(a 1, a 2,..., a n 1 ) (b a n x n) ist genau dann erfüllt, wenn es ganze Zahlen c und c n gibt, für die gilt: ggt(a 1, a 2,..., a n 1 ) c + a n c n = b Ist diese neue Diophantische Gleichung mit 2 Unbekannten gelöst, hat man nur noch eine Diophantische Gleichung mit (n 1) Unbekannten zu lösen.
59 Gliederung Definitionen Lösungsverfahren e 1 Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 2 3 Definitionen Lösungsverfahren e 4 Beschreibung des Verfahrens
60 1. für n = 2 Definitionen Lösungsverfahren e 114x + 315y = 6 1 Prüfe die Lösbarkeitsbedingung. Der ggt(114, 315) = 3 6, somit ist die Gleichung lösbar. 2 Teile die Gleichung durch 3. Wir erhalten 38x + 105y = 2. 3 Wir berechnen mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus, die Linerakombination = 1. 4 (47 2, (17) 2) = (94, 34) ist also eine spezielle Lösung der Diophantischen Gleichung. 5 Die Lösungsmenge der Gleichung ist {(94 + t 105, 34 t 38) t Z}.
61 1. für n = 2 Definitionen Lösungsverfahren e 114x + 315y = 6 1 Prüfe die Lösbarkeitsbedingung. Der ggt(114, 315) = 3 6, somit ist die Gleichung lösbar. 2 Teile die Gleichung durch 3. Wir erhalten 38x + 105y = 2. 3 Wir berechnen mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus, die Linerakombination = 1. 4 (47 2, (17) 2) = (94, 34) ist also eine spezielle Lösung der Diophantischen Gleichung. 5 Die Lösungsmenge der Gleichung ist {(94 + t 105, 34 t 38) t Z}.
62 1. für n = 2 Definitionen Lösungsverfahren e 114x + 315y = 6 1 Prüfe die Lösbarkeitsbedingung. Der ggt(114, 315) = 3 6, somit ist die Gleichung lösbar. 2 Teile die Gleichung durch 3. Wir erhalten 38x + 105y = 2. 3 Wir berechnen mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus, die Linerakombination = 1. 4 (47 2, (17) 2) = (94, 34) ist also eine spezielle Lösung der Diophantischen Gleichung. 5 Die Lösungsmenge der Gleichung ist {(94 + t 105, 34 t 38) t Z}.
63 1. für n = 2 Definitionen Lösungsverfahren e 114x + 315y = 6 1 Prüfe die Lösbarkeitsbedingung. Der ggt(114, 315) = 3 6, somit ist die Gleichung lösbar. 2 Teile die Gleichung durch 3. Wir erhalten 38x + 105y = 2. 3 Wir berechnen mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus, die Linerakombination = 1. 4 (47 2, (17) 2) = (94, 34) ist also eine spezielle Lösung der Diophantischen Gleichung. 5 Die Lösungsmenge der Gleichung ist {(94 + t 105, 34 t 38) t Z}.
64 1. für n = 2 Definitionen Lösungsverfahren e 114x + 315y = 6 1 Prüfe die Lösbarkeitsbedingung. Der ggt(114, 315) = 3 6, somit ist die Gleichung lösbar. 2 Teile die Gleichung durch 3. Wir erhalten 38x + 105y = 2. 3 Wir berechnen mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus, die Linerakombination = 1. 4 (47 2, (17) 2) = (94, 34) ist also eine spezielle Lösung der Diophantischen Gleichung. 5 Die Lösungsmenge der Gleichung ist {(94 + t 105, 34 t 38) t Z}.
65 1. für n = 2 Definitionen Lösungsverfahren e 114x + 315y = 6 1 Prüfe die Lösbarkeitsbedingung. Der ggt(114, 315) = 3 6, somit ist die Gleichung lösbar. 2 Teile die Gleichung durch 3. Wir erhalten 38x + 105y = 2. 3 Wir berechnen mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus, die Linerakombination = 1. 4 (47 2, (17) 2) = (94, 34) ist also eine spezielle Lösung der Diophantischen Gleichung. 5 Die Lösungsmenge der Gleichung ist {(94 + t 105, 34 t 38) t Z}.
66 1. für n > 2 Definitionen Lösungsverfahren e 2x + 4y + 3z = 3 1 Prüfe die Lösbarkeitsbedingung. Der ggt(2, 4, 3) = 1 3, somit ist die Gleichung lösbar. 2 Wir formen die Gleichung folgendermaßen um: 2x + 4y = 3 3z. 3 Diese Gleichung mit den Unbekannten x und y ist genau dann lösbar, wenn ggt(2, 4) (3 3z) ist. Die zugehörige Diophantische Gleichung 2z + 3z = 3 hat die Lösungsmenge {( 3 + t 3, 3 t 2) t Z}. Daraus folgt z = 3 2t. Gesucht ist nun die Lösungsmenge der Diophantischen Gleichung 2x + 4y = 3 3 (3 2t) bzw. x + 2y = 3 + 3t für jedes t Z.
67 1. für n > 2 Definitionen Lösungsverfahren e 2x + 4y + 3z = 3 1 Prüfe die Lösbarkeitsbedingung. Der ggt(2, 4, 3) = 1 3, somit ist die Gleichung lösbar. 2 Wir formen die Gleichung folgendermaßen um: 2x + 4y = 3 3z. 3 Diese Gleichung mit den Unbekannten x und y ist genau dann lösbar, wenn ggt(2, 4) (3 3z) ist. Die zugehörige Diophantische Gleichung 2z + 3z = 3 hat die Lösungsmenge {( 3 + t 3, 3 t 2) t Z}. Daraus folgt z = 3 2t. Gesucht ist nun die Lösungsmenge der Diophantischen Gleichung 2x + 4y = 3 3 (3 2t) bzw. x + 2y = 3 + 3t für jedes t Z.
68 1. für n > 2 Definitionen Lösungsverfahren e 2x + 4y + 3z = 3 1 Prüfe die Lösbarkeitsbedingung. Der ggt(2, 4, 3) = 1 3, somit ist die Gleichung lösbar. 2 Wir formen die Gleichung folgendermaßen um: 2x + 4y = 3 3z. 3 Diese Gleichung mit den Unbekannten x und y ist genau dann lösbar, wenn ggt(2, 4) (3 3z) ist. Die zugehörige Diophantische Gleichung 2z + 3z = 3 hat die Lösungsmenge {( 3 + t 3, 3 t 2) t Z}. Daraus folgt z = 3 2t. Gesucht ist nun die Lösungsmenge der Diophantischen Gleichung 2x + 4y = 3 3 (3 2t) bzw. x + 2y = 3 + 3t für jedes t Z.
69 1. für n > 2 Definitionen Lösungsverfahren e 2x + 4y + 3z = 3 1 Prüfe die Lösbarkeitsbedingung. Der ggt(2, 4, 3) = 1 3, somit ist die Gleichung lösbar. 2 Wir formen die Gleichung folgendermaßen um: 2x + 4y = 3 3z. 3 Diese Gleichung mit den Unbekannten x und y ist genau dann lösbar, wenn ggt(2, 4) (3 3z) ist. Die zugehörige Diophantische Gleichung 2z + 3z = 3 hat die Lösungsmenge {( 3 + t 3, 3 t 2) t Z}. Daraus folgt z = 3 2t. Gesucht ist nun die Lösungsmenge der Diophantischen Gleichung 2x + 4y = 3 3 (3 2t) bzw. x + 2y = 3 + 3t für jedes t Z.
70 1. für n > 2 Definitionen Lösungsverfahren e x + 2y = 3 + 3t für jedes t Z 4 Die Gleichung ist lösbar, da ggt(1, 2) = 1 ( 3 + 3t). 5 Der erweiterte Euklidische Algorithmus liefert uns ( 1) = 1 und es gilt somit (3 3t) 1 + ( 3 + 3t) 2 = 3 + 3t. Die Lösungsmenge ergibt sich zu {((3 3t) + s 2, ( 3 + 3t) s 1) s Z}. 6 Die Gesamtlösung ist also {((3 3t) + s 2, ( 3 + 3t) s 1, 3 t 2) s, t Z}.
71 1. für n > 2 Definitionen Lösungsverfahren e x + 2y = 3 + 3t für jedes t Z 4 Die Gleichung ist lösbar, da ggt(1, 2) = 1 ( 3 + 3t). 5 Der erweiterte Euklidische Algorithmus liefert uns ( 1) = 1 und es gilt somit (3 3t) 1 + ( 3 + 3t) 2 = 3 + 3t. Die Lösungsmenge ergibt sich zu {((3 3t) + s 2, ( 3 + 3t) s 1) s Z}. 6 Die Gesamtlösung ist also {((3 3t) + s 2, ( 3 + 3t) s 1, 3 t 2) s, t Z}.
72 1. für n > 2 Definitionen Lösungsverfahren e x + 2y = 3 + 3t für jedes t Z 4 Die Gleichung ist lösbar, da ggt(1, 2) = 1 ( 3 + 3t). 5 Der erweiterte Euklidische Algorithmus liefert uns ( 1) = 1 und es gilt somit (3 3t) 1 + ( 3 + 3t) 2 = 3 + 3t. Die Lösungsmenge ergibt sich zu {((3 3t) + s 2, ( 3 + 3t) s 1) s Z}. 6 Die Gesamtlösung ist also {((3 3t) + s 2, ( 3 + 3t) s 1, 3 t 2) s, t Z}.
73 1. für n > 2 Definitionen Lösungsverfahren e x + 2y = 3 + 3t für jedes t Z 4 Die Gleichung ist lösbar, da ggt(1, 2) = 1 ( 3 + 3t). 5 Der erweiterte Euklidische Algorithmus liefert uns ( 1) = 1 und es gilt somit (3 3t) 1 + ( 3 + 3t) 2 = 3 + 3t. Die Lösungsmenge ergibt sich zu {((3 3t) + s 2, ( 3 + 3t) s 1) s Z}. 6 Die Gesamtlösung ist also {((3 3t) + s 2, ( 3 + 3t) s 1, 3 t 2) s, t Z}.
74 Gliederung Beschreibung des Verafahrens 1 Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 2 3 Definitionen Lösungsverfahren e 4 Beschreibung des Verfahrens
75 Beschreibung des Verfahrens Beschreibung des Verafahrens Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Algorithmus, der es uns ermöglicht, die Lösung von Systemen von Gleichungen zu berechnen, die gleichzeitig erfüllt sein sollen. Lineares Gleichungssystem: Matrixschreibweise: 0 B@ a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a n1 x 1 + a n2 x a nnx n = b n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n. a n1 a n2 a nn 10 CA B@ x 1 x 2. x n 1 CA = b1 b 2. b n 1 CA
76 Beschreibung des Verfahrens Beschreibung des Verafahrens Folgende 4 Operationen können auf solchen Gleichungen ausgeführt werden, ohne das sich die Lösung ändert: Vertauschen von Gleichungen: In der Matrixschreibweise entspricht dies einem Vertauschen von Zeilen der Matrix und des Lösungsvektors. Umbenennen von Variablen: Dies entspricht dem Vertauschen von Spalten in der Matrixdarstellung. Multiplizieren von Gleichungen mit einer von Null verschiedenen Zahl: Dies entspricht dem Multiplizieren einer Zeile und des entsprechenden Elements des Lösungsvektors. Addieren eines vielfachen einer Gleichungen zu einer anderen Gleichung: Entspricht dem Addieren eines Vielfachen einer Zeile der Matrix und des Lösungsvektors zu einer anderen.
77 Beschreibung des Verfahrens Beschreibung des Verafahrens Das Ziel ist es, die Matrix durch Anwendung der 4 Operationen in ein sogenanntes gestaffeltes Gleichungssystem zu überführen. 0 B@ r 11 r 12 r 13 r 1n r 21 r 23 r 2n r 33 r 3n r nn 10 CA B@ x 1 x 2 x 3. x n 1 0 CA = B@ c 1 c 2 c 3. c n 1 CA Da nur äquivalente Umformungen vorgenommen wurden, besitzt Rx = c dieselbe Lösung wie Ax = b. Man erhält sie aus: x i = 1 c r i P n r ik x k (i = n 1, n 2,, 1; x n = cn ii r nn ) k=i+1
78 Beschreibung des Verfahrens Beschreibung des Verafahrens In (n 1) sogenannten Eliminationsschritten kann A in R überführt werden. Im folgenden wird der Schritt von A nach A 1 beschrieben. A = 0 B@ a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a 31 a 32 a 3n. a n1 a n2 a nn 1 0 CA A 1 = B@ a (1) 11 a (1) 12 a (1) 1n 0 a (1) 22 a (1) 2n 0 a (1) 32 a (1) 3n.. 0 a (1) n2 a (1) nn 1 CA 1 Bestimme ein a r1 0. a r1 heißt Pivot. 2 Vertausche die 1. und die r-te Zeile. 3 Subtrahiere für i = 2,, n das l i1 -fache der 1. Zeile von der i-ten Zeile, wobei a (1) ik = a ik l i1 a 1k, l i1 = a i1 und b (1) a 11 i = b i l i1 b 1 ist.
79 Gliederung Beschreibung des Verafahrens 1 Repräsentation der Zahlen im Rechner Auslöschung 2 3 Definitionen Lösungsverfahren e 4 Beschreibung des Verfahrens
80 Lösen eines Gleichungssystems Beschreibung des Verafahrens Lösung: x 3 = 2, x 2 = 5, x 1 = 1
81 Lösen eines Gleichungssystems Beschreibung des Verafahrens Lösung: x 3 = 2, x 2 = 5, x 1 = 1
82 Lösen eines Gleichungssystems Beschreibung des Verafahrens Lösung: x 3 = 2, x 2 = 5, x 1 = 1
83 Anhang Anhang Zusammenfassung Literatur Fragen 5 Anhang Zusammenfassung Literatur Fragen
84 Zusammenfassung Anhang Zusammenfassung Literatur Fragen und hoher Genauigkeit Arithmetik für große Zahlen ist in vielen Bibliotheken bereits enthalten. Eine Analyse des verwendeten Algorithmus selbst ist jedoch auch wichtig. Erlaubt uns die Rekonstruktion eines Wertes x nur durch Angabe von Gleichungen der Form x x i mod n i. Diophantische Gleichungen Ermöglicht es uns ganzzahlige Lösungen von Gleichungen der Form a 1 ẋ 1 + a 2 x a n x n = b zu finden. Liefert uns ein Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungen.
85 Quellen Anhang Zusammenfassung Literatur Fragen Cormen T., Leiserson C., Rivest R., Stein C. [1] Introduction to Algorithms (2nd ed.). The MIT Press, ISBN: Sedgewick R. [2] Algorithmen in C. ADDISON-WESLEY, ISBN: Bronstein I.N., Semendjajew K.A., Musiol G., Mühlig H. [3] Taschenbuch der Mathematik (5. Auflage). Verlag Harri Deutsch, ISBN: Steven S. Skiena, Miguel Revilla [4] Programming Challenges. Springer, ISBN: Prof. Dr. Volker Strehl [5] Theoretische Informatik 3 Skript. Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Institut für Informatik 8
86 Anhang Zusammenfassung Literatur Fragen Fragen?
Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra
Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Seminar Hallo Welt für Fortgeschrittene 2008 Matthias Niessner June 20, 2008 Erlangen 1 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Übersicht 1
MehrZahlentheorie I. Christoph Egger. 18. Juni Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32
Zahlentheorie I Christoph Egger 18. Juni 2010 Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni 2010 1 / 32 Übersicht 1 Modulare Arithmetik Addition & Subtraktion Multiplikation schnelles Potenzieren 2 Teiler Definition
MehrRechnen mit rationalen Zahlen
Rechnen mit rationalen Zahlen a ist die Gegenzahl von a und ( a) a Subtraktionsregel: Statt eine rationale Zahl zu subtrahieren, addiert man ihre Gegenzahl. ( 8) ( ) ( 8) + ( + ) 8 + 7, (,6) 7, + ( +,6)
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung Eine Menge von Vektoren a 1, a 2,, a k heisst linear unabhängig, wenn eine Linearkombination c 1 a 1 + c 2 a 2 + + c k a k = k c i a i (1) i=1 nur dann Null sein
MehrHallo Welt für Fortgeschrittene
Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Ibrahim Alagoez 22.06.2009 Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Motivation Eine Bande von 17 Räubern stahl
MehrLineare Algebra II 5. Übungsblatt
Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross / Mai Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Algebraisch abgeschlossener Körper) Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen,
MehrDie gleiche Lösung erhält man durch Äquivalenzumformung:
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 3..0 Quadratische Gleichungen Reinquadratische Gleichung Lösen Sie die Gleichung x = 5 Durch probieren erhält man die Lösung: x = 5 oder x = 5 Denn x = 5 = 5 oder
MehrLineare Gleichungen mit 2 Variablen
Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Lineare Gleichungen mit 2 Variablen sind sehr eng verwandt mit linearen Funktionen. Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion f(x) = m x+q m: Steigung, q: y Achsenabschnitt
MehrKapitel III Ringe und Körper
Kapitel III Ringe und Körper 1. Definitionen und Beispiele Definition 117 Eine Algebra A = S,,, 0, 1 mit zwei zweistelligen Operatoren und heißt ein Ring, falls R1. S,, 0 eine abelsche Gruppe mit neutralem
MehrMusterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Dr. Hartmut Lanzinger, Hans- Peter Reck
Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Dr. Hartmut Lanzinger, Hans- Peter Reck Gesamtpunktzahl: 114 Punkte, 100 Punkte= 100 %, keine Abgabe 1. Es seien m = 1155 und n = 1280.
Mehr4. ggt und kgv. Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9
Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9 4. ggt und kgv (4.1) DEF: Eine ganze Zahl g heißt größter gemeinsamer Teiler (ggt) zweier ganzer Zahlen a und b, wenn gilt: GGT 0 ) g 0 GGT 1 ) g a und g b GGT 2 )
Mehr3. Diskrete Mathematik
Diophantos von Alexandria um 250 Georg Cantor 1845-1918 Pythagoras um 570 v. Chr Pierre de Fermat 1607/8-1665 Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 3: Diskrete Mathematik 3.1 Zahlentheorie: Abzählbarkeit,
Mehr(a) Zunächst benötigen wir zwei Richtungsvektoren der Ebene E; diese sind zum Beispiel gegeben durch die Vektoren
Aufgabe Gegeben seien die Punkte A(,,, B(,,, C(,,. (a Geben Sie die Hesse-Normalform der Ebene E, welche die drei Punkte A, B und C enthält, an. (b Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (,, 5 zur Ebene
Mehr1.2. Teilbarkeit und Kongruenz
1.2. Teilbarkeit und Kongruenz Aus den Begriffen der Teilbarkeit bzw. Teilers ergeben sich die Begriffe Rest und Restklassen. Natürliche Zahlen, die sich nur durch sich selbst oder die 1 dividieren lassen,
MehrZahlentheorie, Arithmetik und Algebra I
Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Ulrich Rabenstein 18.06.2013 Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 18.06.2013 1 / 34 1 Modulare Arithmetik 2 Teiler 3 Primzahlen Ulrich Rabenstein
MehrLösen einer Gleichung
Zum Lösen von Gleichungen benötigen wir: mindestens einen Term eine Definition der in Frage kommenden Lösungen (Grundmenge) Die Grundmenge G enthält all jene Zahlen, die als Lösung für eine Gleichung in
Mehr2: Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik
2: Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32, 64} Prüfziffern mod 10 oder mod 11... 71 S. Lucks Diskr Strukt.
MehrZahlentheorie. Axel Schüler, Mathematisches Institut, Univ. Leipzig mailto:schueler@mathematik.uni-leipzig.de 24.10.2002
Zahlentheorie Axel Schüler, Mathematisches Institut, Univ. Leipzig mailto:schueler@mathematik.uni-leipzig.de 24.10.2002 Zur Zahlentheorie rechnen wir Aufgaben, die über dem Bereich = {1, 2,... } der natürlichen
MehrEuklidischer Algorithmus
Euklidischer Algorithmus Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers mit Euklid: function ggt (m, n) Hierbei ist m begin 0undn 0vorausgesetzt. if m = 0 then return n else return ggt (n mod m, m) fi end Man
Mehrp Z >1 ist Primzahl, wenn gilt Euklid:
Grundlegende Tatsachen über den Ring Z Z; +, ist ein nullteilerfreier Ring Divisionseigenschaft a Z, b Z > q, r Z : a = b q + r, r < b Arithmetik Grundlegende Tatsachen über den Ring Z Euklidischer Algorithmus
Mehr. Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I. Tobias Polzer. Tobias Polzer Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I.. /
Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Tobias Polzer Tobias Polzer Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / Modulare Arithmetik Motivation Rechenregeln schnelle Potenzierung Gemeinsame Teiler euklidischer
MehrAufgabe 1 (LGS mit Parameter): Bestimmen Sie die Lösungsmengen des folgenden LGS in Abhängigkeit vom Parameter :
Mathematik MB Übungsblatt Termin Lösungen Themen: Grundlagen Vektoren und LGS ( Aufgaben) DHBW STUTTGART WS / Termin SEITE VON Aufgabe (LGS mit Parameter): Bestimmen Sie die Lösungsmengen des folgenden
MehrKAPITEL 13. Polynome. 1. Primfaktorzerlegung in den ganzen Zahlen. ,, p r
KAPITEL 13 Polynome 1. Primfaktorzerlegung in den ganzen Zahlen DEFINITION 13.1 (Primzahl). Eine Zahl p ist genau dann eine Primzahl, wenn folgende beiden Bedingungen gelten: (1) Es gilt p > 1. (2) Für
MehrRechnen modulo n. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden
Rechnen modulo n Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Kanonische Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl n > 0 kann auf eindeutige Weise in der
MehrLineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme. Lineare Algebra 5. Ein Trainingsheft für Schüler
Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme Lineare Algebra Ein Trainingsheft für Schüler Manuelle Lösungen ohne Rechnerhilfen und (hier) ohne Determinanten Datei Nr. 600 Stand 8. September 04 FRIEDRICH
MehrDemoseiten für
Lineare Ungleichungen mit Variablen Anwendung (Vorübungen für das Thema Lineare Optimierung) Datei Nr. 90 bzw. 500 Stand 0. Dezember 009 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 90 / 500 Lineare Ungleichungen
MehrZahlentheorie. Stefan Takacs Linz, am 2. Juni 2004
Zahlentheorie Anna Rieger 0355556 Stefan Takacs 0356104 Daniela Weberndorfer 0355362 Linz, am 2. Juni 2004 Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit über die grundlegenden Sätze der Zahlentheorie beschäftigt
MehrLineare Gleichungssystem
Lineare Gleichungssystem 8. Juli 07 Inhaltsverzeichnis Einleitung Der Gauß-Algorithmus 4 3 Lösbarkeit von Gleichungssystemen 6 Einleitung Wir haben uns bisher hauptsächlich mit dem Finden von Nullstellen
MehrÄltere Aufgaben (bis 1998)
Ältere Aufgaben (bis 1998) Es waren in den 4 Stunden jeweils nur 2 Aufgaben zu bearbeiten, die einzelnen Aufgaben waren umfangreicher. September 1998, Aufgabe 1 Sei p eine ungerade Primzahl. a) Beweise:
MehrLineare Gleichungssysteme
Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Übersicht Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen 1 Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen Beispiele 2 Fakultät Grundlagen Folie: 2 Beispiel I Lineare
MehrNumerik für Informatiker und Bioinformatiker. Daniel Weiß
Numerik für Informatiker und Bioinformatiker Daniel Weiß SS 202 Folgende Literatur bildet die Grundlage dieser Vorlesung: P Deuflhard, A Hohmann, Numerische Mathematik, Eine algorithmisch orientierte Einführung,
MehrZahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1
Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 Monika Huber 24.6.2015 Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 24.6.2015 1 / 52 Übersicht Modulare Arithmetik Größter gemeinsamer Teiler Primzahlen
MehrWie löst man eine Gleichung?
Wie löst man eine Gleichung? Eine Gleichung wird gelöst, indem man sie, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert, Schritt für Schritt in eine sog. unmittelbar auflösbare Gleichung umwandelt. Unter einer
MehrMathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten
Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 44 8. Lineare Algebra: 2. Determinanten Ein einführendes
MehrTerme, Rechengesetze, Gleichungen
Terme, Rechengesetze, Gleichungen Ein Junge kauft sich eine CD zu 15 und eine DVD zu 23. Er bezahlt mit einem 50 - Schein. Wie viel erhält er zurück? Schüler notieren mögliche Rechenwege: (1) 15 + 23 =
MehrÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS 2018
ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS 2018 KARLHEINZ GRÖCHENIG So wie Sport Training erfordert, erfordert Mathematik das selbständige Lösen von Übungsaufgaben. Das wesentliche an den Übungen ist das
MehrDiskrete Optimierungsverfahren zur Lösung von Sudokus
Diskrete Optimierungsverfahren zur Lösung von Sudokus Seminarvortrag von Daniel Scholz am 6. Dezember 2006 Am Beispiel der Lösung von Sudokurätseln mit Hilfe der linearen Optimierung werden verschiedenen
MehrKapitel I. Lineare Gleichungssysteme
Kapitel I Lineare Gleichungsssteme Lineare Gleichungen in zwei Unbestimmten Die Grundaufgabe der linearen Algebra ist das Lösen von linearen Gleichungssstemen Beispiel : Gesucht sind alle Lösungen des
MehrEuklidische Algorithmus, Restklassenringe (Z m,, )
Euklidische Algorithmus, Restklassenringe (Z m,, ) Manfred Gruber http://www.cs.hm.edu/~gruber SS 2008, KW 14 Gröÿter gemeinsamer Teiler Denition 1. [Teiler] Eine Zahl m N ist Teiler von n Z, wenn der
Mehr4 Ganzrationale Funktionen
FOS, Jahrgangsstufe (technisch) 4 Ganzrationale Funktionen 4 Polynomfunktionen Eine Funktion, die man auf die Form f : x a n x n + a n x n + + a 2 x 2 + a x + a 0 mit x R bringen kann, heißt ganzrationale
MehrIn Arbeit! Bruchungleichungen. Aufgaben mit Lösungsweg zur Webseite 2008 by Josef Raddy. 1
In Arbeit! Bruchungleichungen Aufgaben mit Lösungsweg zur Webseite www.mathematik.net 8 by Josef Raddy Version:..8 6.5 Uhr www.mathematik.net Aufgaben. Bruchungleichungen mit einem Bruch: Lösen durch Fallunterscheidung
MehrBeispiel bestimme x Z mit. es gilt also. gilt dann. für x = 1 i k c i (M/m i ) v i gilt. y c i mod m i (1 i k), nämlich y = x mod M
Chinesischer Restesatz einfachste Form p, q Z >0 mit ggt(p, q) = 1 Bézout-Koeffizienten u, v Z p u + q v = 1 also p u 1 mod q und q v 1 mod p für b, c Z sei x = c p u + b q v, dann gilt für y Z gilt y
Mehr1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen
3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern
MehrGrundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie
Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie 1.0 Teilbarkeit In diesem Abschnitt werden wir einerseits die ganzen Zahlen an sich studieren und dabei besonders wichtige Zahlen, die Primzahlen, entsprechend
MehrÜbung ln(p) x aus dem Primzahlsatz π(x) x/ ln(x) folgt. Gehen Sie dabei wie folgt vor: i) p x
Übung 0 Übung 0 Zeigen Sie, dass der Primzahlsatz π(x) x/ ln(x) aus p x ln(p) x folgt Übung 02 Zeigen Sie, dass p x ln(p) x aus dem Primzahlsatz π(x) x/ ln(x) folgt Gehen Sie dabei wie folgt vor: i) p
Mehr6 Lineare Gleichungssysteme
6 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 3 6 Lineare Gleichungssysteme Unter einem linearen Gleichungssystem verstehen wir ein System von Gleichungen α ξ + + α n ξ n = β α m ξ + + α mn ξ n = β m mit Koeffizienten α
MehrVorbemerkung: Homorphieprinzip für Ringe
Vorbemerkung: Homorphieprinzip für Ringe Ringe R, + R, R, 0 R, 1 R und S, + S, S, 0 S, 1 S Abbbildung Φ : R S ist Homomorphismus, falls a, b R Dann gilt Φ(a + R b) = Φ(a) + S Φ(b) Φ(a R b) = Φ(a) S Φ(b)
MehrLineare Gleichungssysteme
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 5. Dezember 2007 Definition : Tomographie (Fortsetzung) : Tomographie Definition: Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist ein System von n
Mehr5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten
5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 51 Lineare Gleichungssysteme Definition 51 Bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) sind n Unbekannte x 1, x 2,, x n so zu bestimmen, dass ein System von
MehrAllgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte.
Lineare Gleichungssysteme. Einleitung Lineare Gleichungssysteme sind in der Theorie und in den Anwendungen ein wichtiges Thema. Theoretisch werden sie in der Linearen Algebra untersucht. Die Numerische
MehrForm der Äquivalenzklassen
Form der Äquivalenzklassen Anmerkung: Es gilt a = a ± m = a ± 2m =... = a + km mod m für alle k Z. Wir schreiben auch {x Z x = a + mk, k Z} = a + mz. Es gibt m verschiedene Äquivalenzklassen modulo m:
MehrKapitel 6: Das quadratische Reziprozitätsgesetz
Kapitel 6: Das quadratische Reziprozitätsgesetz Ziel dieses Kapitels: die Untersuchung der Lösbarkeit der Kongruenzgleichung X also die Frage, ob die ganze Zahl Z eine Quadratwurzel modulo P besitzt. Im
MehrGrundlagen Algebra Aufgaben und Lösungen
Grundlagen Algebra Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. Januar 201 Inhaltsverzeichnis 1 Primfaktoren - ggt - kgv 2 1.1 ggt (a, b) kgv (a, b)...............................................
MehrRepetition: Schreibweisen
: : Ausgeschrieben : Ausgeschrieben a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... =... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m : Ausgeschrieben a 11 x 1 + a 12
Mehr8 Lineare Gleichungssysteme
8 Lineare Gleichungssysteme 8.1 Begriffe Allgemeine Form eines Gleichungssystems bestehend aus drei Gleichungen und drei Unbekannten: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3
MehrErweiterter Euklidischer Algorithmus
Erweiterter Euklidischer Algorithmus Algorithmus ERWEITERTER EUKLIDISCHER ALG. (EEA) EINGABE: a, b N 1 If (b = 0) then return (a, 1, 0); 2 (d, x, y) EEA(b, a mod b); 3 (d, x, y) (d, y, x a b y); AUSGABE:
MehrÜbungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2009 ***
Universität Bonn Mathematisches Institut Dr. Michael Welter Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2009 Einige Zeichen und Konventionen: IN := {1, 2, 3, 4,...} Die Menge der natürlichen Zahlen
MehrLineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Wie beginnen mit einem Beispiel: Gesucht ist die Lösung des folgenden Gleichungssystems: (I) 2x y = 4 (II) x + y = 5 Hier stehen eine Reihe von Verfahren
Mehr6. Rechnen mit Matrizen.
6. Rechnen mit Matrizen. In dieser Vorlesung betrachten wir lineare Gleichungs System. Wir betrachten lineare Gleichungs Systeme wieder von zwei Gesichtspunkten her: dem angewandten Gesichtspunkt und dem
MehrTutorium: Analysis und Lineare Algebra
Tutorium: Analysis und Lineare Algebra Vorbereitung der Bonusklausur am 14052018 (Teil 1) 7 Mai 2018 Steven Köhler mathe@stevenkoehlerde mathestevenkoehlerde 2 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Matrizen
MehrÜbungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger Ein leeres Produkt ist gleich 1, eine leere Summe 0. ***
Universität Bonn Mathematisches Institut Dr. Michael Welter Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2013 Einige Zeichen und Konventionen: IN := {1, 2, 3, 4,...} Die Menge der natürlichen Zahlen
MehrA2.3 Lineare Gleichungssysteme
A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen
MehrMathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie
Einführung I Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Dominik Schillo Universität des Saarlandes 007 (Stand: 007, 4:9 Uhr) Wie viel Kilogramm Salzsäure der Konzentration % muss
MehrLösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.
Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33
MehrHöhere Mathematik III WS 05/06 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt 2
Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt Die zu optimierende Zielfunktion ist der Abstand zum Ursprung. Ein bekannter Trick (Vereinfachung der Rechnung) besteht darin, das Quadrat
MehrDEMO für www.mathe-cd.de
(1) Rechnen mit Paaren und Tripeln () Eine Gleichung mit oder 3 Unbekannten (3) Zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten Datei Nr. 61 011 Stand 19. Oktober 010 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 4 Das Lemma von Bezout Satz 1. (Lemma von Bézout) Jede Menge von ganzen Zahlen a 1,...,a n besitzt einen größten gemeinsamen Teiler
Mehr(c) x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 + 6x 2 3x 3 = 2 6x 1 + 6x x 3 = 5
Musterlösungen zu Mathematik II (Elementare Lineare Algebra) Blatt Nathan Bowler A: Präsenzaufgaben. Zeilenstufenform und reduzierte Zeilenstufenform erkennen Welche der folgenden Matrizen sind in Zeilenstufenform?
MehrÜbungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger Ein leeres Produkt ist gleich 1, eine leere Summe 0. ***
Universität Bonn Mathematisches Institut Dr. Michael Welter Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2010 Einige Zeichen und Konventionen: IN := {1, 2, 3, 4,...} Die Menge der natürlichen Zahlen
MehrLR Zerlegung. Michael Sagraloff
LR Zerlegung Michael Sagraloff Beispiel eines linearen Gleichungssystems in der Ökonomie (Input-Output Analyse Wir nehmen an, dass es 3 Güter G, G, und G 3 gibt Dann entspricht der Eintrag a i,j der sogenannten
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Mehr1 Lineare Unabhängigkeit Äquivalente Definition Geometrische Interpretation Vektorräume und Basen 6
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Vektorräume und Rang einer Matrix Inhaltsverzeichnis Lineare Unabhängigkeit. Äquivalente Definition.............................
Mehr1 Körper. Wir definieren nun, was wir unter einem Körper verstehen, und sehen dann, dass es noch andere, ganz kleine Körper gibt:
1 Körper Sie kennen bereits 2 Beispiele von Zahlkörpern: (Q, +, ) (R, +, ) die rationalen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation die reellen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation Vielleicht
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 22 Algebraische Körpererweiterung Satz 1. Sei K L eine Körpererweiterung und sei f L ein Element. Dann sind folgende Aussagen
MehrLösungen der Aufgaben
Lösungen der Aufgaben Aufgabe 1.3.1 Es gibt 42 mögliche Verschlüsselungen. Aufgabe 2.3.4 Ergebnisse sind 0, 4 und 4 1 = 4. Aufgabe 2.3.6 Da in Z 9 10 = 1 ist, erhalten wir x = c 0 + + c m = c 0 + + c m.
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 21. Januar 2016 Definition 8.1 Eine Menge R zusammen mit zwei binären Operationen
Mehr8. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker II, SS 2004
8. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker II, SS 2004 MARTIN LOTZ &MICHAEL NÜSKEN Aufgabe 8.1 (Polynomdivision). (8 Punkte) Dividiere a mit Rest durch b für (i) a = x 7 5x 6 +3x 2 +1, b = x 2 +1in
MehrMathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 12 8. Juni 2010 Kapitel 10. Lineare Gleichungssysteme (Fortsetzung) Umformung auf obere Dreiecksgestalt Determinantenberechnung mit dem Gauß-Verfahren
MehrVorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
Mehr1. Grundbegriffe:... 2. 2. Das Lösen von Gleichungen... 5. 3. Lineare Gleichungen... 8. 4. Quadratische Gleichungen... 9
INHALTSVERZEICHNIS 1. Grundbegriffe:... 2 2. Das Lösen von Gleichungen... 5 3. Lineare Gleichungen... 8 4. Quadratische Gleichungen... 9 5. Bruchtermgleichungen... 13 6. Wurzelgleichungen... 13 7. Gleichungen
MehrHallo Welt für Fortgeschrittene
Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 Florian Habur Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Übersicht Modulare Arithmetik Rechenregeln Fast Exponentiation
MehrÜbungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger Ein leeres Produkt ist gleich 1, eine leere Summe 0. ***
M. Welter Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2004 Einige Zeichen und Konventionen: IN := {1, 2, 3, 4,...} Die Menge der natürlichen Zahlen IN 0 := IN {0}{0, 1, 2, 3, 4,...} Z := {..., 2,
Mehr7.1 Matrizen und Vektore
7.1 Matrizen und Vektore Lineare Gleichungssysteme bestehen aus einer Gruppe von Gleichungen, in denen alle Variablen nur in der 1. Potenz vorkommen. Beispiel Seite 340 oben: 6 x 2 = -1 + 3x 2 = 4 mit
Mehrm 2 m 3 m 5, m m 2
Musterlösung zum 8. Blatt 7. Aufgabe: Seien die folgenden Vektoren im R 4 gegeben: 2m 5 + 2 2m 2 2m 7 + m 2 m 3 m 5 v = m 5, v 2 = m 2, v 3 = m 7 m 2 m 3 m 5 m 2 m 3 m 5, m 5 + m 2 m 7 2m + m 2 m 4 2m
MehrWIEDERHOLUNG (BIS ZU BLATT 7)
Universität Bielefeld SS 2016 WIEDERHOLUNG (BIS ZU BLATT 7) JULIA SAUTER Wir wiederholen, welche Aufgabentypen bis zu diesem Zeitpunkt behandelt worden sind. Auf der nächsten Seite können Sie sich selber
MehrBsp: Die kleinsten Carmichael-Zahlen sind 561, 1105, 1729, Es gibt unendlich viele Carmichael-Zahlen (Beweis 1994).
Primzahltest Wir wollen testen, ob eine gegebene Zahl n eine Primzahl ist Effizienter Algorithmus zum Faktorisieren ist unbekannt Kontraposition des Kleinen Satzes von Fermat liefert: Falls a n 1 1 mod
MehrDiskrete Strukturen. Vorlesung 15: Arithmetik. 5. Februar 2019
1 Diskrete Strukturen Vorlesung 15: Arithmetik 5. Februar 2019 Nächste Termine Modul Diskrete Strukturen Hörsaalübung (Mo. 9:15) Vorlesung (Di. 17:15) 4.2. Tutorium (Klausurvorbereitung) 11.2. 12.2. 5.2.
Mehrf : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1
III. Funktionen und Gleichungen ================================================================== 3.1. Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Zuordnungvorschrift f : x y = mx + t und m, t R heißt lineare
MehrLänge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren
Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten Aufgabe Bestimme die Länge des Vektors x. Die Länge beträgt: x ( ) =. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Aufgabe Es sind die Eckpunkte A(; ), B(
MehrDiskrete Mathematik Kongruenzen
Diskrete Mathematik Kongruenzen 31. Mai 2006 1 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 2. Prime Restklassen 3. Die Sätze von Euler und Fermat 4. Lineare Kongruenzen 5. Systeme 2 Einleitung 3 Fragestellung Wie
MehrLineare Algebra 1. Roger Burkhardt
Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11 3 und lineare Gleichungssysteme und
MehrLineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten
Kapitel 2 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten Einen klassischen Einstieg in die lineare Algebra bietet die Behandlung linearer Gleichungssysteme Wir beschäftigen uns dabei zunächst mit
Mehr3. Der größte gemeinsame Teiler
Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) 18 3. Der größte gemeinsame Teiler (3.1) DEF: a und b seien beliebige ganze Zahlen. a) Eine ganze Zahl t heißt gemeinsamer Teiler von a und b, wenn gilt t a und t
MehrMischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw.
Kapitel 5 Lineare Algebra 51 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Man begegnet Systemen von linearen Gleichungen in sehr vielen verschiedenen Zusammenhängen, etwa bei Mischungsverhältnissen von Substanzen
MehrHast du auch wirklich versucht, die Aufgaben einmal selbständig zu lösen? Wenn nicht, tue es, bevor du dir die Lösungen anschaust!
Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) 1 14. Aufgabenblatt ZAHLENTHEORIE (für Master G und HRG) Lösungen Hast du auch wirklich versucht, die Aufgaben einmal selbständig zu lösen? Wenn nicht, tue es, bevor
Mehr4 Gleichungen und Ungleichungen
In diesem Kapitel werden Techniken zur Bestimmung der Lösungsmengen von Gleichungen und Ungleichungen rekapituliert. 4.1 Eindimensionale Gleichungen und Ungleichungen Eine Gleichung oder Ungleichung ohne
MehrDer euklidische Algorithmus für ganze Zahlen
Der euklidische Algorithmus für ganze Zahlen Ein unverzichtbares Verfahren in der Kryptographie ist der euklidische Algorithmus. In diesem Kapitel stellen wir die erste Version für ganze Zahlen vor. Sei
Mehr10. Teilbarkeit in Ringen
70 Andreas Gathmann 10. Teilbarkeit in Ringen Ein wichtiges Konzept in Ringen, das ihr für den Fall des Ringes Z bereits aus der Schule kennt, ist das von Teilern also der Frage, wann und wie man ein Ringelement
MehrAufgabenblatt 5 (Schnellübung)
Frühlingssemester 0, Aufgabenblatt (Schnellübung) Aufgabenblatt (Schnellübung) 30 Punkte Aufgabe (Kettenbrüche) a) Bestimme [b 0, b,..., b ] = [,... ], die Kettenbruchentwicklung von r = 3/9. b) Bestimme
Mehr2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)
2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Definition 2.2.. Ein LGS über einem Körper K von m Gleichungen in n Unbekannten x,..., x n ist ein Gleichungssystem der Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x +
Mehr