Übungsblatt 2 Höhere Mathematik I WS 2010/2011. Teil B

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1 Prof. Dr. Rudolf Stens Lehrstuhl A für Mathemati RWTH Aachen Aachen, den Übungsblatt Höhere Mathemati I WS 010/011 Aufgabe B. Teil B Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Indution: (a (b 1 n(n + 1(n + 1, ( 1 +1 n+1 n(n + 1 ( 1. (c p n > n für n N und p N mit p 3. Lösung. (a Sei A(n : (IA: Für n 1 gilt: 1 n(n + 1(n + 1 : Es gelte A(n für ein n N mit n 1. (IS: Zeige nun, dass A(n + 1 wahr ist. Es ist n (1 + 1( (n n(n + 1(n (n (n + 1[n + n + n + ] 1 (n + 1[n + 7n + ] 1 (n + 1(n + (n (n + 1((n ((n (b Sei A(n : ( 1 +1 ( 1 n+1 n(n + 1

2 (IA: Für n 1 gilt: LS: ( 1 +1 ( RS: ( ( LS : Es gelte A(n für ein n N mit n 1. (IS: Zeige nun, dass A(n + 1 wahr ist. Es ist n+1 ( 1 +1 ( ( 1 n+ (n + 1 n+1 n(n + 1 ( 1 + ( 1 n+ (n + 1 ( n(n + 1 ( 1 n+1 (n + n + 1 [ ] n ( 1 n+1 + n n n 1 ] ( 1 n+1 [ n 3 n 1 ( 1 n+1 ( 1 n + 3n + n+ (n + 1(n + ( 1 (c Es sei p N und p 3 und A(n : p n > n. (IA: Für n 1 gilt: p 1 p 3 > 1 Für n gilt: p 9 > 4 A(1 und A( gelten. : Es gelte A(n für ein n N mit n. (IS: Zeige nun, dass A(n + 1 wahr ist. Es gilt: p n+1 p p n > p n Vor 3n Es genügt also zu zeigen, dass 3n (n + 1 gilt. Da n gilt, ist n 1 1. Also gilt: 3n (n + 1 3n n + n + 1 n n 1 n(n 1 1 n(n 1 1 > 1

3 Aufgabe B 7. Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Indution: (a (b n 1 ( 1 1 n(n 1 für n N,! (n + 1! 1 für n N. Lösung. (a Sei A(n : n 1 ( 1 1 n(n 1. (IA: Für n 1 gilt: LS: ( 1 1 ( RS: 1 ( LS : Es gelte A(n für ein n N mit n 1. (IS: Zeige nun, dass A(n + 1 wahr ist. Es ist (n+1 1 n+1 ( 1 1 ( 1 1 n 1 ( ( 1 n 1 (n + ( 1 n+1 1 (n + 1 n(n 1 + (n + 1 4n n n + 4n + 4n + 1 4n n + 3n + 1 (n + 1(n + 1 (b Sei A(n :! (n + 1! 1 für n N. (IA: Für n 1 gilt: LS:! 1 1! 1 RS: (1 + 1! 1! LS : Es gelte A(n für ein n N.

4 (IS: Zeige nun, dass A(n + 1 wahr ist. Es ist n+1!! + (n + 1(n + 1! (n + 1! 1 + (n + 1(n + 1! (n + 1!(1 + n (n +! 1 Aufgabe B 8. Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Indution. (a 7 n + n 8 n (n N (b n ( + ( n + (n + 1 (n N (c (j 1 n (n N j1 (d n 3 + 5n ist durch teilbar (n N Lösung. (a Es sei A(n : 7 n + n 8 n. (IA n 1: Es gelte A(n für ein n N. (IS Zeige, A(n + 1 ist wahr. 7 n+1 + n (7 n + n n n n n + 8 n 8 n+1 (b Es sei A(n : n ( + ( n + (n + 1. (IA n 1: 1 ( + ( (1 + 1

5 Es gelte A(n für ein n N mit n 1. (IS Zeige, A(n + 1 ist wahr. n+1 ( + ( n ( + ( + 1 (n + 1 (n (n + 3 n + (n + 1 (n + 1 (n + 3 (n + 3 n + 3 (n + (c Es sei A(n : (IA n 1: j1 (j 1 n. (j j1 Es gelte A(n für ein n N. (IS Zeige, A(n + 1 ist wahr. n+1 (j 1 j1 (j 1 + n + 1 j1 n + n + 1 (n + 1 (d Es sei A(n : n 3 + 5n ist durch teilbar. (IA n 1: ist durch teilbar. Es gelte A(n für ein n N. (IS Zeige, A(n + 1 ist wahr. (n n + 5 n 3 + 5n + 3n + 3n + n 3 + 5n + 3(n (n Nun ist entweder n oder n + 1 gerade und damit auch n (n eine gerade Zahl.Dann ist 3(n (n durch teilbar und nach Indutionsvoraussetzung ist dann (n (n + 1 durch teilbar. Aufgabe B 9. Seien x 1,..., x n R. Beweisen Sie die verallgemeinerte Dreiecsungleichung: ( x x

6 Lösung. Beweis per vollständiger Indution nach n. (IA n 1: n : x x 1 + x x 1 + x Es gelte ( für ein n N mit n. Dies folgt aus der Dreiecsungleichung. (IS n+1 x x + x n+1 x + x n+1 x + x n+1 n+1 x nach der Dreiecsungleichung Nach dem Prinzip der vollständigen Indution folgt die verallgemeinerte Dreiecsungleichung für alle n N. Aufgabe B 10. (a Zeigen Sie: n Elemente ann man auf n! verschiedene Arten anordnen. (b Die Binomialoeffizienten sind definiert durch n. Zeigen Sie: ( n + 1 ( n ( n 1 : + n! (n!! ( n n N 0, 0 Lösung. (a Behauptung: n Elemente ann man auf n! verschiedene Arten anordnen. (IA n 1: Hat man nur ein Element, so ann man es auch nur auf 1! 1 Art anordnen. Es gelte die Behauptung für ein n N. (IS Nimm eine beliebige Anordnung der ersten n Elemente. Dann ann man das (n+1- te Element auf n + 1 Arten in diese Anordnung einfügen. [ z.b. vor jedem vorhandenen Element (n Möglicheiten oder nach dem n-ten Element; macht also n + 1 Möglicheiten ] Laut gibt es n! Anordnungen der ersten n Elemente. das (n + 1-te Element ann auf n!(n + 1 (n + 1! verschiedene Arten in die n-tupel eingeschoben werden. Es gibt (n + 1! Möglicheiten n + 1 Elemente anzuordnen. Damit folgt die Behauptung nach dem Indutionsprinzip.

7 (b ( n + 1 ( n n! ( 1!(n + 1! + n! n! (n + 1!(n + 1! (n + 1!!(n + 1! ( n + 1!(n! n! + n! (n + 1!(n + 1! Aufgabe. Finden Sie den Fehler in folgendem Indutionsbeweis: Behauptung: Alle Planeten im Sonnensystem sind bewohnt. Beweis. Es sei A(n : je n Planeten sind bewohnt. (IA A(1 ist offenbar wahr (die Erde ist bewohnt. Es seien n Planeten im Sonnensystem bewohnt, es gelte also A(n. (IS Schließe nun auf (n+1 wie folgt: Die (n+1 Planeten werden auf folgende Art gruppiert: Erste Gruppe: 1,,..., n, zweite Gruppe:, 3,..., n + 1. Wegen der Indutionsvoraussetzung sind in der ersten Gruppe alle Planeten bewohnt, ebenso in der zweiten. Folglich müssen alle Planeten im Sonnensystem bewohnt sein, und A(n + 1 ist gezeigt. Lösung. Dieser Beweis ist schon beim Schluss von 1 falsch, da hier die zwei Gruppen nicht so gebildet werden önnen, dass A(1 angewandt werden ann. Denn A(1 gilt nur für einen ausgezeichneten Planeten.

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