MECHANIK II. Arbeit, Energie, Leistung Impuls Rotationen

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1 MECHANIK II Arbeit, Energie, Leistung Impuls Rotationen

2 Mechanik ikii Flaschenzug

3 Mechanik ikii Flaschenzug: beobachte: F 1 kleiner als F (Gewichtskraft), aber: r größer alsr aber: r 1 größer als r genauer: F, 11 r F r Produkt aus Kraft Weg ist konstant ähnliches auch bei: schiefer Ebene Hebel Fahrradübersetzung... physikalische Größe F, r F 1 r 1

4 Mechanik ikii 1.3 Arbeit, Energie, Leistung F mechanische Arbeit W r Einheit [ W] Nmkgm s (oule) Arbeit ist Skalar kl (Zahl), kein Vektor, aber abhängig von Winkel zwischen Kraft und Weg W Fr F r cos für gekrümmte kü t Strecken k als l Summe (Integral) über Teilstrukturen. Änderung der Bewegung Arbeit zuführen/entnehmen Energie: Fähigkeit Arbeit zu verrichten z.b. Änderung der Bewegung zu verursachen

5 Mechanik ikii Beispiele wirksame Kraft nur in Richtung der Bewegung (hier horizontal F H ) FH F cos( ) beiarbeit im Schwerefeld dererde: W=mgh; Hilfsmittel umnotwendige Kraft zu reduzieren: schiefe Ebene, Flaschenzug etc., Weg länger, Kraft geringer h lsin( ) F1 F G sin( ) W 0 keine (mechanische) Arbeit bei horizontaler Bewegung

6 Mechanik ikii allgemein: Kraftfeld F F() r Kraft hängt nur von ab. F E r grad E r Gradient Kraft auf MP ergibt sich aus Änderung der Energie W=0 für geschlossene Wege Experiment: Pendel allgemeines Konzept: Potential (Energiefeld) (z.b. Schwerefeld der Erde)

7 Mechanik ikii Energie Energie für Massepunkte (MP) MP in Bewegung: v Berechne Arbeit W, die notwendig ist, um MP auf v zu beschleunigen: Kraft wirkt auf MP während bestimmter Zeit t, bzw. über best. Strecke r (z.b. bei Auto) at r v t, fürv 0 gilt t 0 0 v at ( ) ra r F W F W v 0 m m r a aufgewendete f d t Ab Arbeit: W mv E kin kinetische Energie

8 Mechanik ikii MP in Höhe h (Schwerkraft wirkt) potentielle Energie: E mgh pot Bi Beispiel: ilkörper auf Höhe h=0 0 mit Anfangsgeschwindigkeit itv 0 nach oben (entgegengesetzt zur Kraft) Körper wird abgebremst bis v 0 dann gilt: v v gt, wenn v 0 : v gt, bzw. t v g x at ghv mv E mgh E 0 pot, t kin,0 wenn Körper zur Ruhe kommt (Zeit t), hat er potentielle Energie (= kinetische Energie bei t=0). Diese kann ihm wieder zugeführt werden indem er auf Ausgangshöhe gebracht wird. id

9 Mechanik ikii Pendel: Umwandlung potentielle Energie kinetische Energie Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstant

10 Mechanik ikii Versuch: Pendel asymmetrisches Pendel P : E 0, E mgh 0 P : E 0, E mv / 1 kin pot pot kin aus Energieerhaltung: mgh mv / v gh max Höhe links und rechts gleich Energie bleibt erhalten max

11 Mechanik ikii Pendel: Umwandlung potentielle Energie kinetische Energie Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstant Leistung: Energieänderung pro Zeiteinheit P W t F r t Fv 3 Einheit [ P] skgm s W (Watt)

12 Mechanik ikii Stoß und Impuls stoßende Kugeln Stöße auf der Luftkissenschiene

13 Mechanik ikii in Kräfte freiem, abgeschlossenem System gilt: F ma m dt dv allgemeiner: F Impuls: dmv ( ) dt 0 p mv mehrere Massen m 1, m,... 0 (Geschwindigkeit konst.) (Produkt von Geschw. und Masse bleibt erhalten!) p p mv i i i i1... n i1... n ohne äußere Kräfte bleibt Impuls konstant für Analyse von Stößen definiere Schwerpunkt: Zentrum vieler Massen mrs miri i1.. n

14 Mechanik ikii Stoßgesetze Stoß: vorher m 1, v 1, m, v,... nachher m 1, v' 1, m, v',... Randbedingungen: Impulserhaltung: Energieerhaltung: mv mv... mv mv... mv mv... mv mv für elastische Stöße: u 1 v, sonst <1 Impulsübertrag: p mv u mvsin z.b.: Rakete (Düsenantrieb): stößt während t Masse µ mit Geschwindigkeit it w aus, d.h. mit Impuls µw. Gesamtimpuls konst. Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht: w µ tmv t ma nur bei elastischen Stößen!

15 Mechanik ikii Versuch: elastischer inelastischer Stoß v v 1 vorher nachher mv mv mv mv Vorzeichen beachten! v 1 v v' 1 =v' =v' vorher nachher mv mv ( m m) v 1 1 1

16 Mechanik ikii Stoßgesetze Stoß: vorher m 1, v 1, m, v,... nachher m 1, v' 1, m, v',... Randbedingungen: Impulserhaltung: Energieerhaltung: mv mv... mv mv... mv mv... mv mv für elastische Stöße: v, sonst <1 I l ä d Impulsänderung: p mv v mvsin z.b.: Rakete (Düsenantrieb): v 1 stößt während t Masse µ mit Geschwindigkeit it w aus, d.h. mit Impuls µw. Gesamtimpuls konst. Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht: w µ t m v t ma nur bei elastischen Stößen! entspricht Kraftwirkung!

17 Mechanik ikii Rotationen ti

18 Mechanik ikii Rotationen Kreisbahn: v r neue Koordinaten! v... Bahngeschwindigkeit... Winkel klunter dem Massepunkt gesehen wird, ändert sich mit der Zeit t. ( t) ( t1) d t Wikl Winkelgeschwindigkeit idikit[1/ [1/s] t 1 t t1 dt v r v r (Drei Finger Regel) Umlaufzeit (Zeit innerhalb der Winkel von überstrichen wird) r T v Einschub: Winkel Einheit: Radiant ( Grad) (Bogenmaß: Länge des Kreisbogens mit Einheitsradius) 60/3 90/ 10/

19 Mechanik ikii Zentripedalkraft v evtl. konstant, aber nicht geradlinig Änderung von v nur wenn Kraft wirkt, bzw. Beschleunigung g Analyse über ähnliche Dreiecke AB r v v v v v t a r r r r v v r t v Beschleunigung durch eine, auf das Zentrum gerichtete Kraft v a r F m r Zentripedalkraft r nach actio = reactio gibt es eine Gegenkraft: Zentrifugalkraft in rotierendem Bezugssystem weitere Kraft: Kugel aus Zentrum kommend bewegt sich geradlinig, im rot. System wird sie aber abgelenkt Kraft vergleiche Ablenkung mit at / v Kt ac vk Corioliskraft F c mv

20 Mechanik ikii Resumee Kreisbahnenerfordern erfordern Zentripetalkraft G it ti k ft ikt l Z t i t lk ft Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft (Planeten)

21 Mechanik ikii Zentripedalkraft notwendig, um MP auf Kreisbahn zu halten, sie ist aber nicht Ursache für Rotation andere Größe! Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP): Energie eines MP E kin =mv /, v i =r i, E mv mr 1 1 rot i i i i i i wenn mit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden. i i Massenteile wirken sich bei Rotation umso mehr aus, je weiter sie von Drehachse entfernt sind Trägheitsmoment: mr ( r () r dv) [kg m ] Satz von Steiner: Trägheitsmoment um bel. Achse ist Summe des TM um Achse durch Schwerpunkt und Trägheitmoment eines Massepunkts mit Gesamtmasse im Schwerpunkt A S Md AS d Drehmoment: T rf ( ) [Nm] Drehimpuls: dt L mr v i i i T r F mr r mr i i i i i

22 Mechanik ikii Analogie zwischen Translation u. Rotation Bei Kraft F wird Körper beschleunigt und legt in Zeit t Weg r zurück Bei Drehmoment T wird Körper beschleunigt rotiert und überstreicht in Zeit t einen Winkel

23 Mechanik ikii Rotationsenergie unterschiedliche Körper mitgleicher Masse rollen über schiefe Ebene Energieerhaltung: Epot Ekin const aber: E E E vor Versuch: kin t( ranslation) rot( ation) am Ende der schiefen Ebene: 1 1 mgh mv 1 v mgh m v c r 1 gh v c v E Epot mgh 1 1 E E mv gh 1c r kin je größer c, desto kleiner v Hohlzylinder Vollzylinder Kugel Hohlkugel l 5 c mr mr 1 mr mr mr 3

24 Mechanik ikii Rotationsenergie unterschiedliche Körper mitgleicher Masse rollen über schiefe Ebene Energieerhaltung: Epot Ekin const aber: E E E vor Versuch: kin t( ranslation) rot( ation) am Ende der schiefen Ebene: 1 1 mgh mv 1 v mgh m v c r 1 gh v c v E Epot mgh 1 1 E E mv gh 1c r kin je größer c, desto kleiner v Hohlzylinder Vollzylinder Kugel Hohlkugel l 5 c mr mr 1 mr mr mr 3 Maxwell Rad, o o: fällt "langsam", da pot. Energie in E t +E rot aufgeteilt wird

25 Mechanik ikii

26 Mechanik ikii Beispiele Zentrifuge: Wäschezentrifuge: auf Wasser wirkt keine Zentripedalkraft, fliegt raus. Laborzentrifuge: Fm Teilchen mit hoher Dichte =m/v nach außen Gleichgewichtsorgan: Bogengänge empfindlich auf Rotationen (träge Masse der Flüssigkeit drücktauf Galertpfropfen und dehnt Sinneshärchen) Foucault'sches Pendel Pendel schwingt frei, aus rotierendem Systembetrachtet ändert es kontinuierlich seine Schwingungsebene g (Corioliskraft) komplexere Bewegungen (Kreisel, Planeten)

27 Mechanik ikii Drehmoment und StarreKörper Ungleiche Gewichte stehen im Gleichgewicht in Abständen, die sich umgekehrt verhalten wie die Gewichte. (Archimedes, um 50 v. Chr.) Ist eine belasteter Hebel im Gleichgewicht, so liegt sein Schwerpunkt über/unter der Achse Gleichgewicht (Körper in Ruhe), wenn Summe aller angreifenden Kräfte und Drehmomente verschwindet F 0 und T 0 i i1.. n i1.. n "Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm" i

28 Mechanik ikii Hebelgesetze F 0 und T 0 i i1.. n i1.. n Balkenwaage i Stehaufmännchen "folgsame Rolle": o o am Boden aufrollen/abrollen Rollenachse ist nicht Drehachse! Auflagepunkt am Boden! Drehmoment um diesen Punkt entscheidet über Drehrichtung

29 Mechanik ikii Hebelgesetze F 0 und T 0 i i1.. n i1.. n i Drehmomente beim Fahrrad Bi b t t kt Bizeps gebeugt gestreckt Kraft F Bs größer als Last F wegen kürzerem Hebel aufzuwendende Kraft F B noch größer, wenn Arm gestreckt

30 Mechanik ikii Zusammenfassung Arbeit, Energie, Leistung unterschiedliche Energieformen (kinetische, potentielle...) Energieerhaltung hl in abgeschlossenen Systemen (Pendel) Impuls Impulserhaltung Stoßgesetze, Rückstoß Rotation Winkel Winkelgeschwindigkeit g Drehmoment Trägheitsmoment Drehimpuls