Schwingungen und Wellen

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1 Schwingungen und Wellen Prof Dr Reinhard Strehlow Hochschulübergreifender Studiengang Wirtschaftsingenieur Schwingungen und Wellen p 1/73

2 Inhalt: Schwingungen Allgemeines über Schwingungen Gedämpfte und erzwungene Schwingungen Überlagerung von Schwingungen Nichtharmonische Schwingungen Gekoppelte Schwingungen Übungen Schwingungen und Wellen p 2/73

3 Allgemeines über Schwingungen Beispiele für Schwingungen: a) x 0 2 b) α 2 c) d) x 2 e) Schwingung: Zeitlich periodische Änderung einer physikal Größe x(t) Spezialfall: Harmonische Schwingung Schwingungen und Wellen p 3/73

4 Allgemeines über Schwingungen Beispiel: Federschwinger: F = kx Es gilt x(t) = A cos(ωt + α) Schwingungen und Wellen p 4/73

5 Allgemeines über Schwingungen Mehr Einblick in die Natur der Bewegung eines Federschwingers erhalten wir durch die Untersuchung seiner Geschwindigkeit und Energie: v = ẋ = Aω sin(ωt + α) = v 0 sin(ωt + α) Weiter gilt E kin = mv2 2 E pot = kx2 2 = = Schwingungen und Wellen p 5/73

6 Allgemeines über Schwingungen Wegen ω 2 = k/m hat man schließlich E = k 2 A2 = mv2 0 2 Merke: E A 2! Schwingungen und Wellen p 6/73

7 Gedämpfte und erzwungene Schwingungen Wir untersuchen den Federschwinger mit Reibung F R = rẋ und äußerer Kraft F a (t) = F 0 cos(ω F t) Zu lösen ist mẍ = kx rẋ + F 0 cos(ω F t) Mit k/m = ω0 2 und r/m = 2β folgt Schwingungen und Wellen p 7/73

8 Gedämpfte und erzwungene Schwingungen Lösungen: Mit ω = ω 2 0 β 2 gilt Fall a) ω 0 > β (Schwingfall) x = A 0 e βt cos(ωt + α) Fall b) ω 0 < β (Kriechfall) x = A 1 e ( β+ β 2 ω0 2)t + A 2 e ( β β 2 ω0 2)t Fall c) ω 0 = β (aperiodischer Grenzfall) x = (A 1 + A 2 t)e βt Schwingungen und Wellen p 8/73

9 Gedämpfte und erzwungene Schwingungen Illustration der drei Lösungen: x(t) a) Schwingfall: β = 0, 1 ω t/t 0 x(t) b) Kriechfall: β = 2 ω t/t 0 x(t) c) aperiodischer Grenzfall: β = ω t/t 0 Schwingungen und Wellen p 9/73

10 Gedämpfte und erzwungene Schwingungen Um das Problem der erzwungenen Schwingung zu lösen, benötigt man noch eine partikuläre Lösung der Newtonschen Gleichung: Ansatz: x = C cos(ω F t α) Lösung: C = F 0 m (ω0 2 ωf) β 2 ωf 2 Schwingungen und Wellen p 10/73

11 Gedämpfte und erzwungene Schwingungen Illustration der Lösung: C(ω F ) β=0 β=0,2 β=0,4 α β=0,2 β=0 β=0, ω F /ω ω F /ω 0 Schwingungen und Wellen p 11/73

12 Gedämpfte und erzwungene Schwingungen Gedämpfter elektrischer Schwingkreis: R C L Wegen U R = RI, U C = Q/C und U L = L I liefert der Maschensatz d 2 I dt 2 + R L di dt + 1 CL I = 0 Vergleich: Federschwinger - Schwingkreis physikalische Größe Federschwinger elektrische Schwingung Kreisfrequenz ω 0 Dämpfungsfaktor β Kreisfrequenz ω k m r 2m ω0 2 (r/2m)2 Schwingungen und Wellen p 12/73

13 Überlagerung von Schwingungen A) Zwei Schwingungen (x 1 = A cos ω 1 t, x 2 = A cos ω 2 t) in gleicher Richtung mit gleicher Amplitude aber unterschiedlicher Frequenz Es gilt x = x 1 + x 2 = A [cos ω 1 t + cosω 2 t] = Für ω 1 = ω, ω 2 = ω + ω ergibt sich die Schwebung Schwingungen und Wellen p 13/73

14 Überlagerung von Schwingungen Beispiel einer Schwebung: x(t) Hz t/s x(t) Hz t/s x(t) 19 Hz (2 Hz) t/s Schwingungen und Wellen p 14/73

15 Überlagerung von Schwingungen B) Zwei Schwingungen in zueinander senkrechter Richtung (x = A 1 cos ω 1 t, y = A 2 cos(ω 2 t + α)) mit unterschiedlicher Frequenz und beliebiger Phasendifferenz Beispiel: ω 1 = ω 2, α = π/2 Die Überlagerung liefert Schwingungen und Wellen p 15/73

16 Überlagerung von Schwingungen Lissajous-Figuren: Phasenverschiebung (in Grad) S ch 1:1 w in g u n g e n 1:3 2:3 Schwingungen und Wellen p 16/73

17 Überlagerung von Schwingungen C) Modulation Bei der Amplitudenmodulation wird die Amplitude einer hochfrequenten Schwingung x H = A H cos ω H t gemäß A = A H + A N cos(ω N t + β) durch eine niederfrequente Schwingung moduliert Mit m = A N /A H (Modulationsgrad) folgt: oder x = A H [1 + m cos(ω N t + β)] cosω H t, x = A H cos ω H t+a H m 2 (cos[(ω H+ω N )t+β]+cos[(ω H ω N )t β]) Schwingungen und Wellen p 17/73

18 Überlagerung von Schwingungen Es zeigt sich also: Die modulierte Schwingung enthält also außer der Grundschwingung noch zwei Seitenbanden mit den Frequenzen ω H ± ω N Einem Sender muß daher ein ganzes Frequenzband zwischen ω H ± max(ω N ) zur ungestörten Übertragung zur Verfügung stehen Schwingungen und Wellen p 18/73

19 Nichtharmonische Schwingungen Beispiele: x x 0 T 2T 3T 4T t x/a Zeit t/s Kippschwingungen (links) oder eine Überlagerung von harmonischen Schwingungen (rechts) sind Beispiele für nichtharmonische oder anharmonische Schwingungen Schwingungen und Wellen p 19/73

20 Nichtharmonische Schwingungen Anharmonische und auch nichtlineare Schwingungen x(t) können durch Fourrier Reihen beschrieben werden: Es gilt x(t) = A m=1 [ ( ) 2πm A m cos T t + B m sin ( 2πm T t )], mit den Koeffzienten A m und B m A m = 2 T T 0 x(t) cos ( 2πm T t ) dt, B m = 2 T T 0 x(t) sin ( 2πm T t ) dt Schwingungen und Wellen p 20/73

21 Gekoppelte Schwingungen Steht ein Schwinger mit einem zweiten in Wechselwirkung, so enstehen gekoppelte Schwingungen Durch eine Pendelkopplung wird im allgemeinen Energie und Impuls zwischen zwei Pendeln übertragen werden Schwingungen und Wellen p 21/73

22 Gekoppelte Schwingungen Fundamentalschwingungen: φ 1 φ 2 l l x 1 x 2 Schwingungen und Wellen p 22/73

23 Übungen 1 Gesucht sind Amplitude und Anfangsphase einer harmonischen Schwingung mit der Periodendauer T = 0, 3 s, deren schwingender Massenpunkt eine maximale Beschleunigung von a max = ±57 ms 2 und zum Zeitpunkt t = 0 s eine Auslenkung von x 0 = 92 mm hat 2 Eine Saite von 87, 4 cm erzeugt den gleichen Ton wie eine Stimmgabel Verlängert man die Saite um 0, 6 cm, so erzeugen Stimmgabel und Saite eine Schwebung von 3 Hz Mit welcher Frequenz schwingt die Stimmgabel? Schwingungen und Wellen p 23/73

24 Übungen 3 Auf eine Waagschale der Masse M = 200 g, die an einer gewichtslosen Feder mit der Federkonstanten k = 2 N/cm aufgehängt ist, fällt aus der Höhe h = 10 cm ein Körper der Masse m = 50 g und bleibt dort nach dem Aufprall liegen Die Waagschale beginnt nunmehr zu schwingen Berechnen Sie die Amplitude der entstehenden Schwingung 4 Die Amplitude eines gedämpften Federschwingers (Periodendauer 0, 5 s) klingt nach 5 vollen Perioden auf 1/10 ihres Wertes ab Man bestimme die Abklingkonstante des Schwingers Schwingungen und Wellen p 24/73

25 Inhalt: Wellen Allgemeine Grundlagen Interferenz, Beugung, Polarisation Reflexion und Brechung Der Doppler-Effekt Überschallgeschwindigkeit Schallwellen Elektromagnetische Wellen Übungen Schwingungen und Wellen p 25/73

26 Allgemeine Grundlagen Eine räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes nennt man Welle Die Schwinger bleiben dabei an ihren Orten, während sich Impuls und Energie räumlich ausbreiten Transversalwelle : Longitudinalwelle : Schwingungen und Wellen p 26/73

27 Allgemeine Grundlagen Darstellung einer Transversalwelle und einer Longitudinalwelle am Beispiel gekoppelter Massenpunkte: Transversalwelle - Gleichgewichtsposition - aktuelle Position Longitudinalwelle Schwingungen und Wellen p 27/73

28 Allgemeine Grundlagen Longitudinale und transversale Wellenausbreitung lassen sich durch unterschiedliche Anregung für eine Feder realisieren: aus Tipler, Physik, Spektrum Schwingungen und Wellen p 28/73

29 Allgemeine Grundlagen Welche der beiden Wellentypen bei Anregung entsteht, hängt sowohl von der Natur des Mediums ab, in dem sich die Welle ausbreitet, als auch von der Art der Anregung: Transversalwellen setzen die Existenz von Scherkräften voraus, wie sie in Festkörpern existieren Schwingungen und Wellen p 29/73

30 Allgemeine Grundlagen Welche der beiden Wellentypen bei Anregung entsteht, hängt sowohl von der Natur des Mediums ab, in dem sich die Welle ausbreitet, als auch von der Art der Anregung: Transversalwellen setzen die Existenz von Scherkräften voraus, wie sie in Festkörpern existieren In Gasen sind nur Longitudinalwellen möglich, in Flüssigkeiten ohne innere Reibung ebenfalls Schwingungen und Wellen p 29/73

31 Allgemeine Grundlagen Welche der beiden Wellentypen bei Anregung entsteht, hängt sowohl von der Natur des Mediums ab, in dem sich die Welle ausbreitet, als auch von der Art der Anregung: Transversalwellen setzen die Existenz von Scherkräften voraus, wie sie in Festkörpern existieren In Gasen sind nur Longitudinalwellen möglich, in Flüssigkeiten ohne innere Reibung ebenfalls Keinerlei Medium (!) bedarf es für die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen, die transversalen Charakter haben Schwingungen und Wellen p 29/73

32 Allgemeine Grundlagen Zu den bereits bekannten Charakteristika einer Schwingung kommt für Wellen noch die Wellenlänge hinzu: Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer bestimmtem (festen) Phase c gilt c = λ T = λ f Schwingungen und Wellen p 30/73

33 Allgemeine Grundlagen Zur Charakterisierung der Wellenform nutzt man auch: Wellenfläche: Wellenfront: Kugelwelle und ebene Welle (zweidimensional): Wellenfront Wellenfront Schwingungen und Wellen p 31/73

34 Allgemeine Grundlagen Mathematische Beschreibung einer (ebenen) Welle: Um zu jedem Zeitpunkt t an jedem Ort x (eindimensionale Betrachtung!) die Auslenkung des dortigen Schwingers ξ zu charakterisieren, genügt die Kenntnis der Funktion ξ(x,t) Wir nehmen an, daß bei x = 0 für den dortigen Schwinger ξ(0,t) = A cos(ωt + α) gelte Frage: Wie lautet dann ξ(x, t)? Schwingungen und Wellen p 32/73

35 Allgemeine Grundlagen Definiert man noch dem Wellenvektor k mit k = ω/c = 2π/λ, der senkrecht auf den Wellenflächen steht und in Ausbreitungsrichtung zeigt, so folgt ξ(x,t) = A cos(ωt kx + α) Schwingungen und Wellen p 33/73

36 Allgemeine Grundlagen Die Funktion ξ(x, t) genügt der (eindimensionalen) Wellengleichung 2 ξ t = 2 ξ 2 c2 x, 2 wobei c die Ausbreitungsgeschwingigkeit ist Die allgemeine (dreidimensionale) Wellengleichung lautet: 2 ξ t 2 = c2 ( 2 ) ξ x + 2 ξ 2 y + 2 ξ 2 z 2 Schwingungen und Wellen p 34/73

37 Allgemeine Grundlagen Bei der Ableitung solcher Wellengleichungen erhält man c in Abhängigkeit von den das Ausbreitungsmedium charakterisierenden Größen: ZB gilt c 2 = K/ρ Longitudinalwellen in Flüssigkeiten mit der Dichte ρ und dem Kompressionsmodul K c 2 = κp/ρ Schallwellen in Gasen der Dichte ρ beim Druck p, κ = C m,p /C m,v ist das Verhältnis der molaren Wärmekapazitäten des Gases Schwingungen und Wellen p 35/73

38 Interferenz, Beugung, Polarisation Die Wellengleichung ist linear Physikalisch heißt dies: Interferenz bei Wasserwellen aus Tipler, Physik, Spektrum Schwingungen und Wellen p 36/73

39 Interferenz, Beugung, Polarisation Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz: Überlagerung zweier Wellen (gleicher Amplitude (!)) mit der Phasendifferenz α liefert: ξ = ξ 1 + ξ 2 = A cos(ωt kx) + A cos(ωt kx + α), Schwingungen und Wellen p 37/73

40 Interferenz, Beugung, Polarisation Als Gangunterschied = (α/2π)λ bezeichnet man die Phasenverschiebung in Einheiten von λ Man findet Schwingungen und Wellen p 38/73

41 Interferenz, Beugung, Polarisation Überlagerung von Wellen unterschiedlicher Frequenz (gleicher Amplitude (!)): Aus ξ = ξ 1 + ξ 2 = A cos(ω 1 t k 1 x) + A cos(ω 2 t k 2 x) folgt die Darstellung ξ = 2A cos ( ω1 ω 2 2 t k 1 k 2 2 x ) cos ( ω1 + ω 2 2 t k 1 + k 2 2 x ) Schwingungen und Wellen p 39/73

42 Interferenz, Beugung, Polarisation Sind die Frequenzen, wie bei der Schwebung, nicht allzu verschieden, dann kommt es zur Ausbildung einer sogenannten Wellengruppe: Schnell oszillierender Term Phasengeschwingigkeit: Langsam oszillierender Term Gruppengeschwindigkeit: Schwingungen und Wellen p 40/73

43 Interferenz, Beugung, Polarisation Wellengruppe zu drei verschiedenen Zeiten: ξ(t) x Zeit (t) ξ(t) x (t + t) ξ(t) (t + 2 ) x c c gr Schwingungen und Wellen p 41/73

44 Interferenz, Beugung, Polarisation Zeitliche Entwicklung einer Wellengruppe: Allgemein gilt c gr = dω dk = c λ dc dλ Wir stellen zusammenfassend fest: Schwingungen und Wellen p 42/73

45 Interferenz, Beugung, Polarisation Den Begriff Dispersion kennt man eigentlich aus einem anderen Gebiet der Physik Aus welchem? Schwingungen und Wellen p 43/73

46 Interferenz, Beugung, Polarisation Stehende Wellen: Breitet sich ξ 1 = A cos(ωt kx) entlang der positiven x-achse und ξ 2 = A cos(ωt + kx) entlang der negativen x-achse aus, so führt die Überlagerung auf eine stehende Welle der Form ξ(x,t) = ξ 1 + ξ 2 = 2A cos kx cos ωt Man beachte, daß Zeitabhängigkeit und Ortabhängigkeit separiert sind! Schwingungen und Wellen p 44/73

47 Interferenz, Beugung, Polarisation Vergleich zwischen fortschreitender und stehender Welle: fortschreitende Welle Das Wellenbild wandert mit der Phasengeschwindigkeit c Alle Oszillatoren schwingen mit gleicher Amplitude A Die Phase ändert sich stetig mit dem Ort x; gleiche Phasen haben den Abstand λ Energie und Impuls werden räumlich transportiert stehende Welle Das Wellenbild steht Die Amplitude ist ortsabhängig: Schwingungsbäuche: x n = n λ/2, Schwingungsknoten: x n = (2n + 1) λ/4, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist Jeweils zwischen zwei benachbarten Knoten schwingen alle Oszillatoren mit gleicher Phase Energie und Impuls sind ortsfest gespeichert Schwingungen und Wellen p 45/73

48 Interferenz, Beugung, Polarisation Stehende Wellen infolge von Reflexion: Stehende Wellen werden oft durch Reflexion einer Welle erzeugt In einem endlichen Medium spricht man dann auch von Eigenschwingungen Reflexion einer Seilwelle am festen und losen Ende: aus Tipler, Physik, Spektrum Man beachte den Phasensprung um π am festen Ende! Schwingungen und Wellen p 46/73

49 Interferenz, Beugung, Polarisation Stehende Wellen infolge von Reflexion: Es sei ξ in = A cos(ωt kx) die einfallende und ξ out = A cos(ωt kx + φ) die reflektierte Welle Dann gilt: ξ = ξ in + ξ out = 2A cos(kx φ/2) cos(ωt + φ/2) Randbedingung am festen Ende: ξ(0) = 0 = Randbedingung am losen Ende: ξ(0) = 2A = Schwingungen und Wellen p 47/73

50 Interferenz, Beugung, Polarisation Bei der Ausbildung stehender Wellen gilt zusammenfassend: Erfolgt die Reflexion am dünneren Medium (losen Ende) so entsteht dort ein Schwingungsbauch Bei der Reflexion am dichteren Medium (festen Ende) ensteht ein Schwingungsknoten, und es erfolgt ein Phasensprung um π Schwingungen und Wellen p 48/73

51 Interferenz, Beugung, Polarisation Stehende Wellen in einer Gitarre: Eigenschwingungen kann man sichtbar machen mittels Interferenzholografie Schwingungen und Wellen p 49/73

52 Interferenz, Beugung, Polarisation An den Rändern von Hindernisses kommt es zu einer Richtungsänderung der Wellenausbreitung, die man als Beugung bezeichnet Beispiel: Beugung an einem Hindernis Schwingungen und Wellen p 50/73

53 Interferenz, Beugung, Polarisation Polarisation: Um experimentell zu entscheiden, ob eine Welle transversal oder longitudinal ist, nutzt man eine besondere Eigenschaft von Transversalwellen sie sind polarisierbar Zur Polarisation einer transversalen Seilwelle: Polarisator Analysator Schwingungen und Wellen p 51/73

54 Interferenz, Beugung, Polarisation Das Huygens-Fresnelsche Prinzip: Jeder Punkt, den die Wellenfront erreicht, kann als Ausgangspunkt einer neuen kugelförmigen Elementarwelle aufgefaßt werden Die Einhüllende dieser Wellen ergibt dann die neue Wellenfront aus Grehn, Metzler Physik, Metzlersche Verlagsgesellschaft und Grimsehl, Band 1, Teubner Schwingungen und Wellen p 52/73

55 Reflexion und Brechung Reflexion und Brechung sind charakteristische Phänomene der Wellenausbreitung an der Grenzfläche zweier unterschiedlicher Medien einfallende Welle reflektierte Welle E D α α α A C B β F gebrochene Welle Medium I Medium II Interpretation von Reflexion (a) und Brechung (b) auf der Grundlage des Huygens-Fresnelschen Prinzips Schwingungen und Wellen p 53/73

56 Reflexion und Brechung Reflexionsgesetz: Bei der Reflexion einer Welle liegen einfallender Strahl, reflektierter Strahl und Einfallslot in einer Ebene und Einfallswinkel und Reflexionswinkel sind gleich Brechungsgesetz: Beim Übergang zwischen zwei unterschiedlichen Medien genügen Einfallswinkel α und Brechungswinkel β dem Brechungsgesetz: Schwingungen und Wellen p 54/73

57 Der Doppler-Effekt Ein interessantes Wellenphänomen wurde erstmals an Schallwellen im Jahre 1842 von Chr Doppler entdeckt: Immer, wenn sich eine Quelle, die Wellen mit der Frequenz f Q erzeugt, und ein Beobachter relativ zueinander bewegen, so mißt der Beobachter eine geänderte Frequenz f B Schwingungen und Wellen p 55/73

58 Der Doppler-Effekt Bei der Erklärung dieses Effektes werden wir zwei Fälle unterscheiden: a) Quelle ruht, Beobachter bewegt sich mit der Geschwindigkeit v B auf die Quelle zu Schwingungen und Wellen p 56/73

59 Der Doppler-Effekt b) Quelle bewegt sich mit der Geschwindigkeit v Q auf den Beobachter zu, Beobachter ruht Schwingungen und Wellen p 57/73

60 Überschallgeschwindigkeit Zur Entstehung eines Machschen Kegels: 1) 2) 3) W 3 W 3 W 3 W2 W2 W 2 W1 W1 W1 P 3 P 2 P 1 Q P 3 P 2 P 1 Q P 3 P 2 P 1 Q α v Q t Bei v > c bewegt sich die Quelle an der Spitze einer kegelförmigen Wellenfront, dem Machschen Kegel Es gilt sin α = c v Q = 1 M, M Machsche Zahl Schwingungen und Wellen p 58/73

61 Schallwellen Von besonderem Interesse ist die Ausbreitung von Schall, da wir dieses Phänomen mit unseren Sinnesorganen wahrnehmen können: Unter dem Begriff Schallwelle faßt man im allgemeinen alle Arten von elastischen Wellen in deformierbaren Medien zusammen Sie können sich daher in Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen ausbreiten Schwingungen und Wellen p 59/73

62 Schallwellen Eigenschaften von Schallwellen: Bei Ausbreitung in Luft sind sie für Frequenzen zwischen ca Hz (nimmt mit zunehmendem Alter stark ab!) vom Ohr wahrnehmbar Schallwellen in Luft sind longitudinal Mechanische Wellen mit höheren Frequenzen werden als Ultraschall bezeichnet, und über 10 6 Hz spricht man von Hyperschall Schwingungen und Wellen p 60/73

63 Schallwellen Stehende Wellen werden im Kundtschen Rohr zur Bestimmung von Schallgeschwindigkeiten in festen Stoffen genutzt Kundtsches Rohr: λ L /2 Stab P M Die Stabschwingungen werden auf die Luftsäule übertragen Aus der Korkmehlverteilung kann λ L bestimmt werden Schwingungen und Wellen p 61/73

64 Schallwellen Harmonische Schallwellen lassen sich als raum-zeitlich periodische Druckschwankung in der Form p(x,t) = p + p 0 cos(ωt kx + α) beschreiben, wobei p der mittlere Luftdruck und p 0 der Schallwechseldruck ist Für die Schallintensität (Energie, die pro Zeiteinheit die Einheitsfläche passiert), gilt I = 1 A de dt = 1 2 p 2 0 ρc Schwingungen und Wellen p 62/73

65 Schallwellen Schalldrücke variieren um mehr als 6, Schallintensitäten sogar um mehr als 13 Zehnerpotenzen (10 12 W/m 2 bis 10 W/m 2 ) Mit dem Schallpegel L definiert man daher ein logarithmisches Maß L = 10 log ( I I0 ), wobei I 0 = W/m 2, die untere Hörgrenze, als Bezugsschallintensität gewählt wird Die Größe L wird in Maßeinheit Dezibel (db) gemessen! Schwingungen und Wellen p 63/73

66 Schallwellen Die empfundene Lautstärke erweist sich bei fester Frequenz mehr oder weniger genau dem Logarithmus der Schallintensität proportional (Weber-Fechner-Gesetz) ist aber stark frequenzabhängig! Man definiert L S (1000 Hz) = 10 log ( ) I(1000 Hz) I 0 (1000 Hz) als Lautstärke (Maßeinheit Phon) In der Praxis nutzt man zur Messung der Lautstärke Bewertungskurve Am bekanntesten ist die Bewertungskurve A, mit der Einheit db(a) Schwingungen und Wellen p 64/73

67 Elektromagnetische Wellen Die Maxwellschen Gleichungen besitzen ua wellenförmige Lösungen, die eine raum-zeitliche Ausbreitung von elektrischem und magnetischem Feld beschreiben Eine fortschreitende Welle ist z B durch E x (z,t) = E 0 cos(ωt kz) H y (z,t) = H 0 cos(ωt kz) gegeben Schwingungen und Wellen p 65/73

68 Elektromagnetische Wellen Eigenschaften einer fortschreitenden Welle: Elektromagnetische Wellen sind stets transversal, die Feldvektoren E, H und die Ausbreitungsrichtung stehen paarweise aufeinander senkrecht In ebenen Wellen schwingen E und H in Phase Elektromagnetische Wellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus In einem Medium gilt c = 1 ε0 ε r µ 0 µ r Schwingungen und Wellen p 66/73

69 Elektromagnetische Wellen Eigenschaften einer fortschreitenden Welle: Elektromagnetische Wellen benötigen zu ihrer Ausbreitung kein Medium! Schwingungen und Wellen p 67/73

70 Elektromagnetische Wellen Erzeugung elektromagnetischer Wellen: A) Hertzscher Dipol: H E H E H E In einem offenen Schwingkreis entstehen hochfrequente Schwingungen (100 khz - 10 GHz), die sich räumlich ausbreiten können Schwingungen und Wellen p 68/73

71 Elektromagnetische Wellen a) B) Lecher Leitung: b) G S Schwingungen und Wellen p 69/73

72 Elektromagnetische Wellen C) Hohlleiter: Schwingungen und Wellen p 70/73

73 Elektromagnetische Wellen Elektromagnetisches Spektrum (Übersicht): In der Vorlesung werden wir näher eingehen auf: sichtbares Licht, Röntgenstrahlung, Gammastrahlung aus Tipler, Physik, Spektrum Schwingungen und Wellen p 71/73

74 Übungen 1 Wie kann man bei bekannter Schallgeschwindigkeit in Luft mittels des Kundtschen Rohres die Schallgeschwindigkeit für das Stabmaterial bestimmen? 2 Welche Lautstärke erzeugen zwei Schallquellen, wenn jede die Lautstärke 0 Phon erzeugt? 3 Beim Vorbeifahren eines Rennautos registriert ein Beobachter eine Abnahme der Tonhöhe von einer Quarte (Frequenzverhältnis: 4/3) Wie schnell fährt das Auto? Schwingungen und Wellen p 72/73

75 Übungen 4 Bei einer Orgelpfeife wird eine Luftsäule zu Schwingungen angeregt Am unteren Ende der Säule kann die Luft frei schwingen; am oberen Ende hat man entweder ebenfalls eine freie Schwingung (offene Pfeife) oder die Pfeife ist oben abgeschlossen (gedackte Pfeife) Man stelle Grund- und erste Oberschwingung für beide Fälle grafisch dar und berechne die entsprechenden Frequenzen für eine 3 m lange Pfeife Hinweis: Die Schallgeschwindigkeit sei 340 m/s Schwingungen und Wellen p 73/73