Messungen und Messfehler

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1 Messungen und Messfehler B. Schönfeld LMPT, ETH Zürich September 2007

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3 1 Einleitung Messfehler sind (meistens) keine Fehler, sondern Messunsicherheiten. Was man in Messungen bestimmt, sind Schätzwerte, nicht wahre Werte. Um die Zuverlässigkeit einer Messung bewerten zu können, benötigt man eine Angabe zu ihrer Unsicherheit. Und auch diese Unsicherheit ist mit einer Unsicherheit behaftet. Erliegen Sie also nicht der sinnlosen Schärfe im Zahlenrechnen (Gauss). Beispiel zu signifikanten Stellen: Bei einer Mittelung liefert Ihr Taschenrechner die Werte 29, ± 0, Was sind dabei die signifikanten Stellen? Das wird durch die Unsicherheit der Fehlerangabe festgelegt. Z.B., kennt man die Güte der Unsicherheit nicht, so wird man sich für 30, 000 ± 0, 005 entscheiden. Kennt man sie auf besser als etwa 20%, so ist die Angabe 29, 9997 ± 0, 0049 adäquat. Es gibt zwei Arten von Fehlern, systematische Fehler und zufällige Fehler (Abb. 1.1). Figure 1.1: Messungen mit statistischen Fehlern, ohne (a) und mit (b) systematischen Fehlern. Systematische Messfehler: Sie besitzen feste Werte bei identischen Messbedingungen. Für erkannte Messfehler sind Abhilfen möglich, seien sie experimenteller, seien sie rechnerischer Natur. Abweichungen sind typischerweise einseitig. 3

4 1 Einleitung Systematische Messfehler können nicht durch Wiederholungen unter gleichen Bedingungen erkannt werden. Zufällige Messfehler: Sie schwanken statistisch bei identischen Messbedingungen. Sie sind unvermeidbar. Abweichungen haben beiderlei Vorzeichen. Messfehler können durch Wiederholung unter gleichen Messbedingungen charakterisiert werden. Dies kann auf zweierlei Weise geschehen: durch eine Standardabweichung einer Stichprobe (= Teilmenge aus einer möglicherweise unendlich grossen Grundgesamtheit aller möglichen Messwerte) oder durch eine Standardabweichung des Mittelwertes einer Stichprobe. Messwerte besitzen eine abschätzbare Unsicherheit. Beispiele von systematischen Messfehlern: (i) Als Referenztemperatur bei Messungen mit Thermoelementen wird oft Zimmertemperatur angenommen. Dieser Wert schwankt. (ii) Geräte können Eichfehler haben. (iii) Die Nullpunkteinstellung einer Apparatur kann fehlerhaft sein. (iv) Der Beobachter kann voreingenommen sein. Es kann ein Parallaxefehler beim Ablesen eines Messwertes auf einer Skala auftreten. 4

5 2 Zufällige Fehler: Mittelwert und Standardabweichung Nach Wiederholungen einer Messung stellen sich zwei Fragen: Was ist der beste Schätzwert für die Grundgesamtheit? Was für einen Vertrauensbereich ordnen wir diesem Schätzwert zu? Dazu verwenden wir das arithmetische Mittel und die Standardabweichung. Wir ordnen zunächst die Messwerte x i in Klassen mit einem Werte-Intervall x i ein (Abb. 2.1) Figure 2.1: Histogramm mit Werteintervall x i = 1. Total der Eintragungen ist N = 69. Statt die Zahl der günstigen Fälle pro Intervall aufzutragen, normiert man besser auf die totale Anzahl der Fälle und erhält im Grenzfall x i 0 die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x). Die Fläche x 2 x 1 f(x)dx gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Messergebnis in den gewählten Bereich [x 1, x 2 ] fällt. N i N günstige Fälle Total der Fälle Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) (2.1) Aus einer Stichprobe (= beschränkte Serie von Messungen) erhalten wir eine empirische Verteilung. Eine Grundgesamtheit liefert eine Modellverteilung. Zwei 5

6 2 Zufällige Fehler: Mittelwert und Standardabweichung wichtige Modellverteilungen werden wir kennenlernen, die Gauss-Verteilung oder Normalverteilung und die Poisson-Verteilung. Von einem Schätzwert, auch Erwartungswert genannt, erwartet man, dass er im Grenzfall einer unendlich umfangreichen Stichprobe (Zahl der Wiederholungen n ) den Wert µ der Grundgesamtheit ergibt. Weiterhin soll dieser Schätzwert die kleinste Standardabweichung aufweisen. Beide Forderungen werden vom arithmetischem Mittel x erfüllt, x = 1 n x i = m µ. (2.2) n Das arithmetische Mittel x oder m ist also der beste Schätzwert von µ. Zur weiteren Charakterisierung einer Verteilung verwendet man die Standardabweichung σ. Sie ist definiert durch σ 1 n (x i µ) n 2, (2.3) ihr Quadrat heisst Varianz. Sie sind also hinsichtlich der Grundgesamtheit definiert (µ wird als bekannt angenommen), n wird also als unendlich vorausgesetzt. Betrachten wir nun einen beliebigen, von x verschiedenen Wert A. Wegen 1 n (x i A) 2 = 1 n (x i x + x A) 2 = 1 n (x i x) 2 + (A x) 2 (2.4) n n n ist das Quadrat der Abweichungen vom arithmetischen Mittelwert x minimal. Wenden wir nun die Kennzeichnung von Verteilungen auf unsere Stichproben- Verteilung an. Da wir den Mittelwert µ in Gl. 2.3 nicht kennen, können wir nur einen Schätzwert der Varianz bzw. der Standardabweichung für die gegebene Stichprobe berechnen; wir bezeichnen diese Grössen mit s 2 bzw. s. Ausgehend von σ 2 = 1 n n (x i m + m µ) 2 und mit µ = 0 (dies ist ohne Einschränkung der Allgemeinheit möglich) ergibt sich als Schätzwert für s 2 1 n (x i m) 2 = 1 n n 2 (Σn x i ) 2 1 n ( ) x 2 n 2 i = 1 n s2. (2.5) Hierbei wird bei der Näherung vorausgesetzt, dass die x i unkorreliert sind. Wir erhalten nach Auflösung s 2 = 1 n (x i m) 2. (2.6) n 1 6

7 Dass der Nenner n 1 und nicht n lautet, lässt sich leicht verstehen: ein Freiheitsgrad ging bei der Bestimmung des arithmetischen Mittels verloren. Damit kennen wir die Standardabweichung s eines Stichprobenwertes. Wie gross ist nun aber die Varianz s 2 m des Mittelwertes m einer Stichprobe? Sie ist s 2 m = ([ 1 n ] ) 2 n x i µ = 1 n 1 n (x n 2 i µ) 2 = s2 n. n (x i µ) 1 n n (x j µ) (2.7) Damit ergibt sich für die Standardabweichung des Mittelwertes x s m = s = 1 n (x i x) n n(n 1) 2. (2.8) Mittelwerte und Standardabweichungen der Mittelwerte verschiedener Stichproben schwanken statistisch, wobei für n gilt j=1 m µ (2.9) s σ und s m 0. Beispiel einer Stichprobe: In einer Messreihe bestimmt man folgende Werte für die Grösse x und möchte dazu den Mittelwert x sowie die Standardabweichungen s und s m bestimmen: i x i (x i x) 2 [10 4 ] 1 5,61 3,24 2 5,59 0,04 3 5,50 84,64 4 5,68 77,44 5 5,65 33,64 6 5,52 51,84 33,55 250,84 Mittelwert x = 1 33, 55 = 5, 592 5, 59 6 Standardabweichung der Einzelmessung s = , = 0, 07 Standardabweichung des Mittelwertes s m = 0, 07/ 6 = 0, 03. 7

8 2 Zufällige Fehler: Mittelwert und Standardabweichung Beispiel von Stichproben bei bekannter Grundgesamtheit: Man habe drei neunflächige Würfel, auf denen sich die Zahlen 1 bis 9 befinden. Es werden die Summen der drei (unkorrelierten) Würfelwerte x i notiert und zur Berechnung des Mittelwertes m mit wachsender Stichprobenanzahl (= Zahl der Würfe n) verwendet. Ein aktueller Wurf schwankt somit zwischen 3 und 27. Für dieses Spiel ist die Grundgesamtheit (= 729 Zahlenanordnungen auf den drei Würfeln) bekannt. Damit sind Mittelwert µ (= 15,0) und Standardabweichung σ (= 20, siehe Gl. 2.3) der Strichprobenwerte berechenbar. Abb. 2.2 zeigt, dass es sich prinzipiell lohnt, die Unsicherheit des Mittelwertes durch erhöhte Wurfzahl n zu reduzieren. (a) (b) (c) (d) Figure 2.2: Mittelwert m, Standardabweichungen s, s m sowie Histogramm zum Würfelbeispiel. 8

9 3 Modellverteilungen der Statistik Es gibt Modelle stochastischer Prozesse, deren jeweilige Verteilungsfunktion wohl bekannt ist. Als Beispiel werden die Poisson-Verteilung und die Gauss-Verteilung betrachtet. Die Poisson-Verteilung P (k, µ) gilt für Fälle, bei denen die mittlere Zahl der Ereignisse durch eine sehr grosse Zahl von Ereignismöglichkeiten verursacht wird, wobei aber die Ereigniswahrscheinlichkeit sehr klein ist. Der radioaktive Zerfall ist ein solches Beispiel. Es gilt P (k, µ) = µk k! e µ. (3.1) Hierbei ist k = Zahl der registrierten Ereignisse und µ = der Mittelwert. Wegen σ 2 = µ hat die Poisson-Verteilung nur einen Parameter. Bei 10 4 registrierten Zerfällen haben wir also eine Standardabweichung von 100 Zerfällen und somit eine Messunsicherheit von 1%. Abb. 3.1(a) zeigt, dass für kleine Mittelwerte µ die Poisson-Verteilung ausgeprägt asymmetrisch ist. Für grosse µ und grosse k geht die (diskrete) Poisson-Verteilung in eine (kontinuierliche) Gauss-Verteilung über, mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ = µ [Abb. 3.1(b)]. (a) (b) Figure 3.1: (a) Poisson-Verteilung P (k) für vorgegebene Werte von µ. (b) Für µ = 16 ergibt sich bereits eine gute Uebereinstimmung der diskreten Poisson- Verteilung (Histogramm) mit der kontinuierlichen Gauss-Kurve. 9

10 3 Modellverteilungen der Statistik Die Gauss-Verteilung G(x, σ, µ) hat zwei Modellparameter, Mittelwert µ und Varianz σ 2. Sie lässt sich unter der Annahme herleiten, dass jede Messung x das Ergebnis einer grossen Zahl von unabhängigen Elementarfehlern beinhaltet, die gleichwahrscheinlich positiv und negativ sind. Zufallsfehler direktgemessener Grössen werden oft durch die Gaussverteilung wiedergegeben - daher rührt ihre zentrale Bedeutung. Sie ist eine symmetrische Funktion [Abb. 3.2(a)]. ( ) G(x, σ, µ) = 1 (x µ) 2 σ 2π e 2σ 2 (3.2) (a) (b) Figure 3.2: (a) Gausssche-Normalverteilung für verschiedene Werte von σ. Der Wendepunkt der Kurven liegt jeweils bei µ ± σ. (b) 1σ-Vertrauensbereich, in dem 68 von 100 Messwerten erwartet werden. Oft will man eine Vertrauensgrenze für ein Resultat wissen. Diesen Wert erhält man durch Integration der normierten Verteilungskurve innerhalb der gewünschten Grenzen [µ a, µ + b], µ+b G(x, σ, µ)dx. (3.3) µ a Für ±1σ, ±2σ, ±4σ ergeben sich Vertrauensbereiche von 68,3%, 95,5%, 99,994% [Abb. 3.2(b)]. Liegen Werte ausserhalb von Vertrauensgrenzen von etwa ±2%, so bezeichnet man sie oft (willkürlich) als Ausreisser. Wiederholt wird dann auch das Kriterium von Chauvenet herangezogen, ob der Ausreisser wirklich den Schätzwert übermässig beeinflusst. 10

11 4 Fehlerfortpflanzung 4.1 Zufallsfehler Ein zusammengesetztes Ergebnis F basiere auf N verschiedenen Messgrössen f k mit k = 1,..., N. Jede Grösse wurde n Mal gemessen, es liegen also jeweils f kj, j = 1,..., n Daten vor. Der Erwartungswert jeder Messgrösse betrage f k, zudem betrage die Abweichung jeder Einzelmessung von ihrem Mittelwert ɛ kj. Es gibt nun zwei Möglichkeiten, den Erwartungswert von F zu erhalten (ohne Herleitung): F m = F (f 1, f 2...f N ) oder (4.1) F = 1 n F i. (4.2) n Es lässt sich mittels einer Taylorentwicklung der F i in den zufälligen Abweichungen ɛ kj leicht zeigen, dass beide Ergebnisse übereinstimmen, F m = F. Die zweite Methode setzt allerdings voraus, dass alle direkten Messgrössen gleich oft gemessen werden, sie ist also nicht generell anwendbar. Nun zur Stichprobenvarianz von F, s 2 F = n 1 n 1 N ( F k=1 j=1 f k (F j F ) 2 = 1 n 1 ) 2 n j=1 ɛ2 k j n 1 = ( n N ( F j=1 N ( F k=1 f k k=1 ) 2 s 2 f k. f k ) ɛ kj ) 2 (4.3) Dies ist das Gausssche Fehlerfortpflanzungsgesetz. Anstelle der Varianzen der Stichproben kann man dieses Gesetz natürlich auch für die Varianzen der Mittelwerte verwenden. Wohlgemerkt, es wird vorausgesetzt, dass die Messungen der f k untereinander statistisch unabhängig sind! Das Umgehen mit Differentialen kann zu komplizierten Ausdrücken für die Varianz des zusammengesetzten Ergebnisses führen. Hier zwei wichtige Fälle. Für Summen F = c 1 f 1 ± c 2 f 2 gilt s 2 F = c 2 1s 2 f 1 + c 2 2s 2 f 2, (4.4) 11

12 4 Fehlerfortpflanzung für Produkte F = f p 1 f q 2 schreibt man vorteilhafterweise ( sf ) 2 = p 2 F ( sf1 f 1 ) 2 ( ) 2 + q 2 sf2. (4.5) f 2 Standardabweichung einer indirekten Messgrösse: Man will die Oberfläche A eines Zylinders samt ihrer Standardabweichung bestimmen und hat zuvor folgende Messergebnisse für die Mittelwerte von Radius r und Höhe h erhalten: r = (10, 5 ± 0, 2) cm und h = 15, 0 ± 0, 3 cm. Damit erhalten wir A = 1682 cm 2, A r und damit gemäss Gl. 4.3 ( A s m(a) = A = 2πr 2 + 2πrh (4.6) A = 4πr + 2πh und A r h = 2πr r A (r, h) = 226, 2 cm und (r, h) = 65, 97 cm h ) 2 ( ) 2 A s 2 m(r) + s 2 m(h) (4.7) h = 226, 2 2 0, , , 3 2 cm 2 = 49 cm 2. Noch eine Anmerkung zur Genauigkeit des mittleren Fehlers: bei gaussverteilten Messwerten gilt für die Standardabweichung der Standardabweichung von n Daten (ohne Herleitung) σ sg = s. (4.8) 2n Beispiel zu signifikanten Stellen: Als Mittelwert einer Stichprobe von 8 Messwerten ergibt der Taschenrechner x = 12, und s m = 0, Gl. 4.8 liefert σ sg /s = 0, 25. Also ist die korrekte Angabe x = 12, 4 ± 0, 4, oft auch als 12, 4(4) geschrieben. 12

13 4.2 Systematische Fehler 4.2 Systematische Fehler Hier ergibt sich die zusammengesetzte Grösse F aus den N Einzelmessungen f k, k = 1,..., N, die mit systematischen Fehlern h k behaftet sind. Statt des korrekten Wertes F 0 erhält man den verfälschten Wert F, F 0 = F (f 1, f 2,..., f N ) (4.9) F = F (f 1 + h 1, f 2 + h 2,..., f N + h N ). Nimmt man an, dass die systematischen Fehler klein sind (also nur eine Korrektur darstellen), so erhält man für die systematische Abweichung in einer Taylor- Entwicklung bis einschliesslich linearem Glied F F F 0 = N ( F k=1 f k ) h k. Der Gesamtfehler ergibt sich also algebraisch aus den Einzelfehlern. Vorzeichen müssen jetzt beachtet werden. Zwei Fälle sind wiederum nachfolgend ausgeführt. Für eine Summe F = af 1 + bf 2 ergibt sich F = ah 1 + bh 2, (4.10) für ein Produkt F = f p 1 f q 2 F F = ph 1 f 1 + q h 2 f 2. (4.11) 13

14 4 Fehlerfortpflanzung 14

15 5 Ausgleichsrechnung einer einzigen fehlerbehafteten Grösse Die Situation: es liegen Ihnen aus der Literatur n verschiedene Daten zu einer einzigen fehlerbehafteten Grösse x i vor, mit Standardabweichungen s i. Wegen der Zufallsfehler werden die Messgrössen im Widerspruch zueinander stehen. Ziel einer Ausgleichsrechnung ist es nun, den besten Schätzwert anzugeben. Die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass gerade dieser vorgegebene Satz von Beobachtungen gemessen wurde, ist bei angenommener völliger Unregelmässigkeit der Einzelwerte das Produkt der Einzelbeiträge. Für diese Einzelbeiträge setzen wir Normalverteilungen an, mit Erwartungswert x (statt µ) und Varianzen s 2 i der Stichproben (statt der unbekannten σi 2 ), [ ( )] n 1 e (x i x) 2 2s 2 i. (5.1) s i 2π Der Satz von Messungen wird umso unwahrscheinlicher, je weiter er vom besten Schätzwert x entfernt ist. Deshalb müssen wir den Potenzexponenten minimieren (Prinzip der kleinsten Abweichungsquadrate), n (x i x) 2 2s 2 i = Minimum, (5.2) und erhalten den gewichteten (oder gewogenen) Mittelwert x durch Ableiten nach x, [ n ] d 1 (x x dx 2s 2 i ) 2 i = 0 n 1 (x x i ) = 0 oder s 2 i x = n 1 x s 2 i i n 1 s 2 i. (5.3) Die Wichtung von Beobachtung x i erfolgt also mit dem jeweiligem 1/s 2 i. Anschaulich gesprochen: die Beobachtung mit der kleinsten Standardabweichung hat 15

16 5 Ausgleichsrechnung einer einzigen fehlerbehafteten Grösse den grössten Einfluss auf X. Im Falle einer konstanten Standardabweichung für die einzelnen Beobachtungen ergibt sich der arithmetische Mittelwert (Gl. 2.2). Der mittlere Fehler der Standardabweichung s m ergibt sich (falls die Unterschiede der Daten x i zufallsbedingt sind) durch das Gausssche Fehlerfortpflanzungsgesetz (Gl. 4.3) s 2 m = = n ( x x i 1 n 1/s2 i ) 2 s 2 i =. n (1/s 2 i ) 2 ( n s2 k=1 1/s2 k )2 i (5.4) Man beachte: die Grössen x i treten dabei nicht auf. Verwendete Literatur G.L. Squires, Practical Physics, Mc Graw-Hill, W.H. H. Gränicher, Messung beendet was nun?, vdf Hochschulverlag, L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 3, Vieweg, M. Drosg, Der Umgang mit Unsicherheiten, Facultas,