Testen von Hypothesen bei gegebenem Annahmebereich - Übungen

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1 Mathias Russ, MK Hypothesentest_Ueb_Ber.mcd Testen von Hypothesen bei gegebenem Annahmebereich - Übungen (1) Schulschwänzer Von einem Schüler wird behauptet, dass er (mindestens) 40% der Unterrichtstage schwänzt (Nullhypothese). Um diese Vermutung zu bestätigen, werden 20 zufällig ausgewählte Tage überprüft. Die Nullhypothese wird angenommen, wenn mindestens 8 Fehltage dabei sind. Berechnen Sie das Risiko dafür, dass der Schüler nicht als Schwänzer erkannt wird, obwohl er einer ist. (2) Wahrsagerin Eine Wahrsagerin behauptet, dass sie sich in (maximal) 5% ihrer Vorhersagen irrt (Nullhypothese). Sie überprüfen 50 Vorhersagen auf ihre Richtigkeit. Die Behauptung der Wahrsagerin wird als zutreffend angenommen, wenn höchstens 3 Vorhersagen falsch sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Wahrsagerin irrtümlich als Scharlatan bezeichnet? (3) Waldsterben Vor einigen Jahren stellte man bei einer Zählung fest, dass in einem bestimmten Waldstück der Wildverbiss bei Fichten 20% beträgt. Bei einer aktuellen Waldbegehung kommt der Verdacht auf, dass sich dieser Schadensanteil vergrößert hat (Gegenhypothese). Um dies zu überprüfen, werden 200 zufällig ausgewählte Fichten auf Wildverbiss untersucht. Sind hiervon mehr als 50 geschädigt, wird die Vermutung als bestätigt angesehen. Geben Sie die Testgröße T, die Nullhypothese H 0 und den Ablehnungsbereich der Nullhypothese an. Bestimmen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit man sich irrtümlich für eine Vergrößerung des Schadensanteils entscheidet. Beschreiben Sie, worin hier der Fehler 2. Art besteht. (Quelle: AP 2003/S I) (4) Lerneifer Einem Schüler werden in einer Prüfung 25 Fragen gestellt, die er mit ja oder nein beantworten kann und soll. Der Prüfer vermutet, dass der Schüler nicht vorbereitet ist und somit rät (Nullhypothese). Diese Vermutung wird verworfen, wenn der Schüler mehr als 15 richtige Antworten gibt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man den Schüler fälschlicherweise als eifrigen Lerner einschätzt? (5) Osterhasen Der Hersteller von Schokoladenosterhasen gewährt seinen Kunden keinen Preisnachlass, wenn (höchstens) 20% der gelieferten Hasen beschädigt sind (Nullhypothese). Hersteller und Kunde vereinbaren, 30 Hasen zu überprüfen. Es gibt einen Preisnachlass, wenn mehr als 8 Hasen zerbrochen sind. Wie groß ist das Herstellerrisiko? Wie groß ist das Risiko des Kunden, keinen Nachlass zu erhalten, obwohl tatsächlich 40% der Hasen zerbrochen sind? (6) Glücksrad Bei einem Kindergartenfest wird ein Glücksrad aufgestellt, das in acht gleichgroße Sektoren unterteilt ist. Einer dieser Sektoren ist blau eingefärbt. Ein Lausbub, der bereits bis 50 zählen kann, hat das Glücksrad manipuliert, indem er heimlich einen Kaugummi auf die Rückseite des blauen Sektors geklebt hat. Er vermutet, dass der blaue Sektor nun häufiger erscheint (Gegenhypothese). Dazu beobachtet er 50 Drehungen des Rades und glaubt, seine Vermutung bestätigen zu können, wenn dabei der blaue Sektor mehr als zehnmal erscheint. Geben Sie die Testgröße, die Nullhypothese und die Gegenhypothese sowie die Art des vorliegenden Hypothesentests an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Lausbub seine Vermutung als bestätigt betrachtet, obwohl das Rad durch den Kaugummi in Wirklichkeit nicht beeinflusst wird. (Quelle: AP 1999/S II)

2 (1) Schulschwänzer Von einem Schüler wird behauptet, dass er (mindestens) 40% der Unterrichtstage schwänzt (Nullhypothese). Um diese Vermutung zu bestätigen, werden 20 zufällig ausgewählte Tage überprüft. Die Nullhypothese wird angenommen, wenn mindestens 8 Fehltage dabei sind. Berechnen Sie das Risiko dafür, dass der Schüler nicht als Schwänzer erkannt wird, obwohl er einer ist. Nullhypothese H 0 : Der Schüler fehlt mindestens an 40% der Schultage Testgröße: Anzahl der Fehltage Stichprobenlänge n = 20 Entscheidungsregel 8 k (linksseitiger Test) Annahmebereich A = Ablehnungsbereich A = H 0 p H 1 p 1 < 0.4 P( x 7) 7 20 k 0.4k ( 1 0.4) 20 k = SPBin_h( 20, 0.4, 7) = Tafelwerk, S. 21 α = 42% (2) Wahrsagerin Eine Wahrsagerin behauptet, dass sie sich in (maximal) 5% ihrer Vorhersagen irrt (Nullhypothese). Sie überprüfen 50 Vorhersagen auf ihre Richtigkeit. Die Behauptung der Wahrsagerin wird als zutreffend angenommen, wenn höchstens 3 Vorhersagen falsch sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Wahrsagerin irrtümlich als Scharlatan bezeichnet? Nullhypothese H 0 : Die Wahrsagerin irrt mit höchstens 5%. Testgröße: Anzahl der unzutreffenden Vorhersagen Stichprobenlänge n = 50 Entscheidungsregel k 3 (rechtsseitiger Test) Annahmebereich A = Ablehnungsbereich A = H 0 p H 1 p 1 > 0.05 P( x 3) 3 50 k 0.05k ( ) 50 k = SPBin_h( 50, 0.05, 3) = Tafelwerk, S. 13 α = = 24%

3 (3) Waldsterben Vor einigen Jahren stellte man bei einer Zählung fest, dass in einem bestimmten Waldstück der Wildverbiss bei Fichten 20% beträgt. Bei einer aktuellen Waldbegehung kommt der Verdacht auf, dass sich dieser Schadensanteil vergrößert hat (Gegenhypothese). Um dies zu überprüfen, werden 200 zufällig ausgewählte Fichten auf Wildverbiss untersucht. Sind hiervon mehr als 50 geschädigt, wird die Vermutung als bestätigt angesehen. Geben Sie die Testgröße T, die Nullhypothese H 0 und den Ablehnungsbereich der Nullhypothese an. Bestimmen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit man sich irrtümlich für eine Vergrößerung des Schadensanteils entscheidet. Beschreiben Sie, worin hier der Fehler 2. Art besteht. (Quelle: AP 2003/S I) Nullhypothese H 0 : Der Anteil der angeknabberten Fichten liegt bei höchstens 20% Testgröße: Anzahl der gebissenen Bäume Stichprobenlänge n = 200 Entscheidungsregel k 50 (rechtsseitiger Test) Annahmebereich A = Ablehnungsbereich A = H 0 p H 1 p 1 > 0.2 P( x 50) k 0.2k ( 1 0.2) 200 k = SPBin_h( 200, 0.2, 50) = Tafelwerk, S. 19 α = = 3.45% ß bedeutet hier, dass man den Anstieg der Wildschäden nicht erkennt. (4) Lerneifer Einem Schüler werden in einer Prüfung 25 Fragen gestellt, die er mit ja oder nein beantworten kann und soll. Der Prüfer vermutet, dass der Schüler nicht vorbereitet ist und somit rät (Nullhypothese). Diese Vermutung wird verworfen, wenn der Schüler mehr als 15 richtige Antworten gibt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man den Schüler fälschlicherweise als eifrigen Lerner einschätzt? Nullhypothese H 0 : Der Schüler rät die Antworten, er hat 50% richtige Antworten. Testgröße: Anzahl der richtigen Antworten Stichprobenlänge n = 25 Entscheidungsregel k 15 (rechtsseitiger Test) Annahmebereich A = Ablehnungsbereich A = H 0 p H 1 p 1 > 0.5 P( x 15) k 0.5k ( 1 0.5) 25 k = SPBin_h( 25, 0.5, 15) = Tafelwerk, S. 27 α = = 11.5%

4 (5) Osterhasen Der Hersteller von Schokoladenosterhasen gewährt seinen Kunden keinen Preisnachlass, wenn (höchstens) 20% der gelieferten Hasen beschädigt sind (Nullhypothese). Hersteller und Kunde vereinbaren, 30 Hasen zu überprüfen. Es gibt einen Preisnachlass, wenn mehr als 8 Hasen zerbrochen sind. Wie groß ist das Herstellerrisiko? Wie groß ist das Risiko des Kunden, keinen Nachlass zu erhalten, obwohl tatsächlich 40% der Hasen zerbrochen sind? Nullhypothese H 0 : Höchstens 20% der Schokohäschen sind unbrauchbar Testgröße: Anzahl der zerbrochenen Hasen Stichprobenlänge n = 30 Entscheidungsregel k 8 (rechtsseitiger Test) Annahmebereich A = Ablehnungsbereich A = H 0 p H 1 p 1 = 0.4 P( x 8) P( x 8) 8 30 k 0.2k ( 1 0.2) 30 k = SPBin_h( 30, 0.2, 8) = Tafelwerk, S k 0.4k ( 1 0.4) 30 k = SPBin_h( 30, 0.4, 8) = Tafelwerk, S. 22 (6) Glücksrad Bei einem Kindergartenfest wird ein Glücksrad aufgestellt, das in acht gleichgroße Sektoren unterteilt ist. Einer dieser Sektoren ist blau eingefärbt. Ein Lausbub, der bereits bis 50 zählen kann, hat das Glücksrad manipuliert, indem er heimlich einen Kaugummi auf die Rückseite des blauen Sektors geklebt hat. Er vermutet, dass der blaue Sektor nun häufiger erscheint (Gegenhypothese). Dazu beobachtet er 50 Drehungen des Rades und glaubt, seine Vermutung bestätigen zu können, wenn dabei der blaue Sektor mehr als zehnmal erscheint. Geben Sie die Testgröße, die Nullhypothese und die Gegenhypothese sowie die Art des vorliegenden Hypothesentests an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Lausbub seine Vermutung als bestätigt betrachtet, obwohl das Rad durch den Kaugummi in Wirklichkeit nicht beeinflusst wird. (Quelle: AP 1999/S II) Nullhypothese H 0 : Das Glücksrad zeigt "blau" mit der Wahrscheinlichkeit 12,5% Testgröße: Anzahl der erdrehten blauen Sektoren Stichprobenlänge n = 50 Entscheidungsregel k 10 (rechtsseitiger Test) α = = 13% "Herstellerrisiko", der Hersteller zahlt grundlos. α = 9% "Kundenrisiko" bei 40% Ausschuss. Annahmebereich A = Ablehnungsbereich A = H 0 p 0 = H 1 p 1 > P( x 10) k 0.125k ( ) 50 k = SPBin_h( 50, 0.125, 10) = Tafelwerk, S. 13 α = = 4.2%

5 Binomialkoeffizient: Wahrscheinlichkeit nach Bernoulli: n: Anzahl der Versuche p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer k: Anzahl der Treffer n bk( n, k) := wenn k < 1, 1, k bk( n 1, k 1) Summenwahrscheinlichkeit, höchstens z Treffer: Summenwahrscheinlichkeit, mindestens z Treffer: PBinver ( n, p, k) := bk( n, k) p k ( 1 p) n k SPBin_h( n, p, z) := SPBin_m( n, p, z) := z n k = z PBinver ( n, p, k) PBinver ( n, p, k)