Versuch Nr. 50: Dispersionsrelation Versuchsauswertung

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1 Versuch Nr. 50: Dispersionsrelation Versuchsauswertung Einstellen der Arbeitstemperatur: Zu Beginn des Versuches wurde zunächst die Temperatur der Meßzelle (GAR900312) eingestellt. Die Parameter lauten: Sollwert Verstärkung Regler I 2,71 2,69 Regler II 2,69 2,60 Die Temperatur der Meßzelle wurde mit 64, 5 C gemessen. Die Parameter der Eichzelle (GAR941213) lauten: Solltemperatur: 3,50 Verstärkung: oben Temperatur: 35, 4 C. Durchstimmen der Laserwellenlänge: Parameter für die Temperaturregelung des Peltier-Elements: Temperatur: 34,59 o C Peltier-Strom: 0,30 Temperatur (Sollwert): 33,9 o C Auswertung: Bestimmung des Brechungsindex von Luft Nach erfolgter Justage des Systems sollte der Brechungsindex der Luft gemessen werden. Dazu wurde die Vergleichszelle zunächst evakuiert. Dabei wurde beobachtet, daß die Interferenzmuster auf dem Beobachtungsschirm von unten nach oben wanderten. Da die Interferenzmuster aber zu schnell wanderten, wurde die Vergleichszelle anschließend belüftet (Interferenzmaxima wanderten dabei von oben nach unten). Die Anzahl der Maxima wurde mitgezählt. Die Zählung wurde zweimal durchgeführt. Zählung Maxima n Die Länge der Meßzelle wurde mit 10,5cm gemessen. Die Dicke beider Gläser, welche die Zelle abschließen, wurde mit 0,2cm angegeben. Inklusive einer angenommenen Ableseungenauigkeit von 0,01cm ergibt sich somit für die Länge der Meßzelle L Zelle = (10, 30 ± 0, 01)cm. Die Wellenlänge des Lasers beträgt laut Literatur λ=789nm. 1

2 Der Brechungsindex berechnet sich (laut Skript) nach der Formal: N λ = (n 1) L Zelle (1) mit den Parametern N =Anzahl der Interferenzmaxima; λ=laserwellenlänge; L Zelle =Länge der Vergleichszelle; n=brechungsindex. Aufgelöst nach n wird der Brechungsindex bestimmt durch die Formel: n = N λ L Zelle + 1 (2) Der Fehler lautet mit Gaußscher-Fehlerfortflanzung ( ) N 2 n = λ + L Zelle ( ) 2 ( ) 2 λ Nλ N + L L Zelle L 2 Zelle (3) Zelle Nach einsetzen der o.g. Zahlenwerte für die Parameter ergibt sich für den Brechungsindex ein Wert von n = (1, ± 0, ) Es bleibt anzumerken, daß der jeweilige, wetterbedingte Luftdruck für einen systematischen Fehler sorgt. Je nach Wetterlage ist der Luftdruck größer oder kleiner, womit sich dann auch der Brechungsindex ändert. Beim entlüften der Zelle werden somit jeweils unterschiedliche Druckdifferenzen durchlaufen und somit mehr oder weniger Interferenzmxima gezählt. Auswertung: Wellenlängeneichung In diesem Teil des Versuchs wurde die Einstellung der Meßzelle geändert: Sollwert Verstärkung Regler I 2,60 2,69 Regler II 2,60 2,60 Die Temperatur der Meßzelle wurde mit 59,6 o C gemessen. Der unterste Graph in Abbildung 1 zeigt die Absorption in der Referenzzelle. Zu sehen sind insgesamt vier Intensitätsmaxima. Sie sind die Maxima, welche aus der Hyperfeinstruktur sichtbar sind. Die einzelnen Maxima der Hyperfeinstruktur können hier nicht sichtbar gemacht werden, da sie sich aufgrund der Dopplerund Druckverbreiterung überlagern und nicht mehr einzeln sichtbar sind. Stattdessen bilden sie (aufgrund der Linienverbreiterung) die vier sichtbaren Maxima. Im folgenden wurden die Positionen der Maxima abgelesen mit der im Praktikum zur Verfügung gestellten Software durch Vegrößerung der jeweiligen Achsenabschnitte. Weiterhin wurde ein Graufilter (1,6) benutzt. Jedes Maximum stellt ein Wellenbündel aus sich überlagernden Wellenlängen 2

3 Abbildung 1: T=59, 6 C, ohne Etalon der Hyperfeinstruktur dar. Jedes dieser Wellenbündel wird gewichtet und der Linienschwerpunkt bestimmt. Daraus ergibt sich die relative Verschiebung des Wellenbündels bezüglich der D2-Linie des Rubidiums aus der Feinstruktur. Die Wellenlänge der D2-Linie liegt bei 780nm. Daraus ergibt sich die Wellenlänge des jeweiligen Schwerpunktes des Wellenbündels. Dieser Wert wird im folgenden aufgetragen gegen den auf der Meßskala abgelesenen Wert für das Maximum. Der Fehler für das Ablesen von der Meßskala wurd mit 2 abgeschätzt. Wellenbündel Gewichtung Verschiebung Frequenz Wellenlänge Meßskala Fehler Σa k ν [GHz] ν [GHz] λ [nm] Meßskala 1 0,1737-2, ,8 780, ,2411-1, ,1 780, ,3009 1, ,0 779, ,1042 4, ,4 779, Die Gleichung für den Geradenfit (siehe Abbildung 2 ) lautet y = a + mx. Die Parameter lauten a=(779, 9769 ± 0, 0004)nm und m=(3, 4583 ± 0, 0061) 10 5 nm. Mit der Steigung m wurde dann die Wellenlängeneichung vorgenommen. 3

4 Abbildung 2: Diagramm Wellenlänge/Meßskale mit Geradenfit Auswertung: Eichung des logarithmischen Verstärkers In den Strahlengang der Meßzelle wurden Filter mit verschiedenen Graustufen angebracht. Der Zahlenwert entspricht dem 10er-Logarithmus der Abschwächung (Faktor 1,6=40-fache Intensität). Das Ausgangssignal des logarithmischen Verstärkers wird abgelesen (vgl. Tabelle). Die Faktoren werden gegeneinander in einem Diagramm aufgetragen (siehe Abbildung 3 ). Eine Geradenfit wird durchgeführt. Dieser ergibt für die Gleichung y=a+mx die Parameter a = 0, 29 ± 0, 24 und m = 2, 11 ± 0, 12. Laut Skript soll der Wert für m bei 2,5 liegen. Damit wäre unser Wert um 15% zu klein. Filterabsorption Verstärkung Fehler/Verstärkung 0 0,04 0,01 1,3 3,46 0,01 1,6 3,80 0,01 2,3 5,10 0,01 2,6 5,54 0,01 3,0 6,63 0,01 Aufnahme der Absorptionssignale Im letzten Teil des Versuches galt es, Absorptions- und Fluoreszenskurven bei verschiedenen Temperaturen aufzunehmen. Dies wurde zunächst bei T=59,6 o C 4

5 Abbildung 3: Diagramm Absorptionsfaktor/Verstärkungsfaktor mit Geradenfit vorgenommen, und zwar einmal mit und einmal ohne Etalon mit einem Graufilter der Stärke 1,6 (siehe Abbildung 4 ). Um die Position der Absorptionskurve zu bestimmen, wurde diese mit einer Lorentz-Kurve gefittet. Um ein besseres Fit-Ergebnis zu bekommen, wurden dabei die Meßwerte mit einer größeren Spannung als 4V nicht berücksichtigt (vertikale Linie). Dabei stellte sich heraus, daß die Absorptionskurve welche ohne Etalon gemessen wurde, bei weitem besser der theoretischen Kurve (Lorentzkurve) entsprach (χ 2 = 14). Die Kurve, welche mit dem Etalon aufgenommen wurde, war nur schlecht anzupassen (χ 2 = 157). Um die folgenden Berechnungen zu erleichtern, entschieden wir uns grundsätzlich gegen das Etalon. Im folgenden wurde die Temperatur variiert. Mit steigender Temperatur wurde die Absorptionskurve immer breiter und flacher. Dieser Effekt ist auf einen größer werdenden Doppler- und Druckverbreiterungseffekt zurückzuführen. Um diesen Effekt möglichst klein zu halten, entschieden wir uns für Temperaturen unterhalb von 60 o C. Es wurden Messungen bei folgenden Temperaturen und Einstellungen Vorgenommen: 5

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7 Temperatur Sollwert I Sollwert II Verstärkung I Verstärkung II C 59,4 2,60 2,60 2,69 2,60 59,0 2,58 2,58 2,57 2,56 57,9 2,54 2,54 2,54 2,54 57,4 2,54 2,54 2,54 2,54 Zu den jeweiligen Temperaturen wurden mit Hilfe des Programmes ANOMDISP und einer CCD-Kamera die Absorption und die Fluoreszens der Meßzelle aufgenommen. Die Absorptionskurve wurde mit einer Lorentzkurve gefittet. Aus der Fluoreszenskurve wurde die Dispersionskurve ermittelt. Die ermittelten Daten und Kurven wurden Ausgedruckt (siehe Abbildung 5-8 ). Für die weitere Versuchsauswertung (s.u.) entschieden wir uns, die Meßergebnisse für die Temperatur von T=59,4 C zu benutzen (Abbildung 8 ). 7

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11 Versuchsauswertung: Dispersionsrelationen Es wird nun die Gültigkeit der Dispersionsrelation überprüft. Dazu werden die Meßergebnisse aus der Messung für T=59,4 C benutzt (Abbildung 8 ). Der komplexe Brechungsindex lautet: n = n + iκ (4) Der Realteil beschreibt dabei die Absorptionkurve und der Imaginärteil die Dispersionskurve n ω 0 ω 1 = f (5) (ω 0 ω) 2 + (γ/2) 2 κ = f γ/2 (ω 0 ω) 2 + (γ/2) 2 (6) Um die Dispersinsrelation zu verifizieren müssen also die Positionen für die Resonanzfrequenz ω 0, die Breite γ und die jeweiligen Amlituden für die Absorptionskurven und Dispersionskurven getrennt bestimmt werden. Stimmen diese überein, dann ist die Gültigkeit der Dispersionsrelation gezeigt! Die Position für ω 0 berechnet sich für die Absorptions- und die Dispersionskurve durch Ablesen des durch den Fit ermittelten Maximums (Absorption) bzw. des Wendepunktes (Dispersion) aus Abbildung 8. Der abgelesene Skalenwert wird 1 mit dem Faktor multipliziert. Diese Größe erlaubt einen direkten MaximalwertSkala Vergleich zwischen beiden Kurven. Für die Kurven bei T=59,4 o C lautet somit die relative Position für ω 0 ω 0Abs = 812 = 0, , 43 ω 0Disp = = 0, Beide Werte stimmen bis auf eine Abweichung von 2% überein. Nun wird die Breite γ für beide Kurven verglichen. Die Breite ist für beide Kurven bereits durch den Fit berechnet. Für die Absorptionkurve wird die Halbwertsbreite benutzt, für die Dispersionkurve wird der Abstand der Maxima verwendet. Diese Werte werden abgelesen und analog zur Positionsbestimmung der Resonanzfrequenz mit dem Faktor 1 MaximalwertSkala multipliziert. Die Breiten lauten (T=59,4 o C): γ Abs = 437 = 0,

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13 17, 05 γ Disp = = 0, Die beiden Werte stimmen somit schlecht überein. Der Unterschied beträgt 62%. Wir führen den Fehler auf eine schlechte Breitenbestimmung der Dispersionskurve zurück. Die Dispersionskurve mußte gefittet werden. Dabei wurden einzelne, ungünstige Werte aus der Berechnung herausgenommen. Dies hat vermutlich zu dem schlechten Ergebnis beim Fit geführt. Im folgenden werden die Amplituden κ 0 der Absorptions- und der Dispersionskurve verglichen. Für die Amplitude der Absorptionskurve ergibt sich aus der Dispersionsrelation die Gleichung κ 0Abs = ln 10 4π 1 UAλ 0 (7) m V L Zelle mit κ 0Abs = Amplitude der Absorptionskurve; m V der logarithmischen Verstärkung = (2, 11±0, 12); U A =maximale Amplitudenspannung= (6, 56±0, 01)V; λ 0 =Wellenlänge der Resonanzfrequenz= (780, 0456 ± 0, 4957)nm; Z Zelle =Länge der Meßzelle= (10, 30 ± 0, 01)cm. Der Fehler berechnet sich mit Gußscher-Fehlerfortflanzung ( ) m 2 ( ) 2 ( ) 2 V UA λ0 κ 0Abs = κ 0Abs m V U A λ 0 ( LZelle L Zelle ) 2 (8) Durch einsetzen der Zahlernwerte ergibt sich der Wert κ 0Abs = (4, 314 ± 0, 018) 10 6 V Nun gilt es, die Amplitude für die Dispersionskurve zu bestimmen. Die entsprechende Formel lautet: κ 0Disp = φ 0λ 0 πl Zelle (9) Die Parameter lauten κ 0Disp =Amplitude der Dispersionskurve; φ 0 =abgelesene Höhe der Dispersionskurve aus dem Fit = 2, 25. Der Fehler berechnet sich nach Gaußscher-Fehlerfortflanzung: ) 2 ( λ0 κ 0Disp = κ 0Disp + λ 0 ( LZelle L Zelle ) 2 (10) Einsetzen der Zahlenwerte ergibt den Wert κ 0Disp = (5, 424 ± 0, 006) 10 6 V. Die prozentuale Abweichung der beiden Werte beträgt ca. 20%. Auch hier gilt, daß die Abweichung insgesamt zu groß ist. Die Fitkurve der Dispersion ist insgesamt zu hoch. Hier gilt das gleiche, wie bei der Bestimmung der Breite schon angemerkt wurde, nämlich daß der Fit der Dispersionskurve noch nicht gut genug war! 13

14 Diskussion der Meßergebnisse: Der Positionsvergleich zwischen den ω 0 der Dispersions- und Absorptionskurve liefert recht gute Ergebnisse. Wir können sagen, daß beide Werte (Position des Maximums bzw. des Wendepunktes) recht gut übereinander liegen und diesen Teil der Theorie bestätigen. Dagegen weicht die Halbwertsbreite der Absorptionskuve um rund 62% von den Maxima der Dispersionskurve ab. Diese Abweichung erscheint uns als zu groß, um diesen Teil der Theorie quantitativ zu bestätigen. Wie schon erleutert führen wir diesen Fehler jedoch auf Probleme mit dem Fitprogramm zurück. Einzelne Werte mußten beim Fit entfernt werden, um überhaupt eine näherungsweise Ähnlichkeit mit der theoretischen Dispersionskurve zu erlangen. Vermutlich ist dadurch die Bereitenbestimmung verfälscht worden. Als drittes wurden die jeweiligen Höhen der Absorptions- bzw. Dispersionskurve berechnet. Die beiden Höhen wichen dabei um rund 20% voneinander ab. Eine quantitative Bestätigung der Theorie erschien uns bei dieser Abweichung als riskant. In Anbetracht der oben bezeichneten Probleme beim Fit erschien uns diese Abweichung jedoch erklärlich. Um die Qualität unserer Messung abschließend zu beurteilen, fehlen uns leider Erfahrungswerte. Wir können schlecht sagen, wie gut wir an die optimale Meßung herangekommen sind. Wir sehen das Problem in der Fit-Software, bei dem Meßwerte aus dem Fit herausgenommen wurden. Vermutlich sorgen diese Werte für den relativ großen Fehler. 14

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