Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung

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1 ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph von f mit der x-chse über dem Intervall I = [, 5] ein?

2 c) Die Fläche zwischen der Kurve von f, der x-chse zwischen den Geraden x = und x = a ( < a < ) beträgt 5 Flächeneinheiten (d.h. über dem Intervall I = [, a]). Wie groß ist a? Es werden zunächst die Nullstellen bestimmt: f(x) = -x + x = :(-) x - x = a) Mit der p-q-formel, oder wenn man x ausklammert, erhält man x = und x =. ( x x)dx x 6x (FE) b) In das Intervall I = [, 5] fällt eine Nullstelle, nämlich x =. Damit muss man zwei Integrale berechnen (siehe Grafik): x 6x 6 (FE) ( x x)dx 5 5 x 6x 7 7 (FE) ( x x)dx = + = (FE)

3 c) a ( x x)dx! a x 6x a 6a 5(FE) lso gilt: -a + 6a = 5-5 -a + 6a - 5 = ÿ(-) a - 6a + 5 = Hier können wir a nicht ausklammern und benötigen eine Polynomdivision. Dazu muss man a erraten. Wir finden a =. Mit der Polynomdivision (diese kann man unter Polynomdivision/Polynomdivision.php üben) ergibt sich (a - 6a + 5) : (a - ) = a -5a - 5. a -5a - 5 = ergibt mit der p-q-formel: a º -,85 und a º 5,85. Da nur a = zwischen und liegt, muss a = sein! ) Geben ist die Funktionen f(x) = x - x. Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? Es werden zunächst die Nullstellen bestimmt: f(x) = x - x = x ÿ(x - ) = Damit ist x / =. x - = ergibt x = - und x =

4 Damit muss man zwei Integrale berechnen, wobei die beiden Flächen gleich groß sind, denn f ist achsensymmetrisch zur y-chse ("es kommen nur gerade Exponenten vor"). 5 / 5 x / x 6 /5 6 /5 (FE) (x x )dx 5 / 5 x / x 6 /5 6 /5 (FE) (x x )dx = + = 8/5 FE º 8,5 FE ) Geben sind Funktionen f(x) = x - und g(x) = x. Wie groß ist die Fläche, die von den beiden Kurven eingeschlossen wird? Hier müssen zunächst die Schnittstellen bestimmt werden: f(x) = g(x)

5 x - = x -x x -x - = Damit ist x = - und x =. Da zwischen den Schnittstellen die Kurve von g über der von f liegt, integrieren wir über g(x) - f(x) (andernfalls müsste man den Betrag verwenden). (g(x) f (x))dx (x (x lso = / (FE) º,667 (FE). ))dx ( x x )dx / x x x ) Geben sind Funktionen f(x) = x, g(x) = 9x und h(x) = x. Wie groß ist die Fläche, die von den drei Kurven im ersten Quadraten eingeschlossen wird (siehe Grafik)? Hier muss man jeweils zwischen zwei Funktionen die Schnittstellen bestimmen, wobei nicht alle Schnittstellen relevant sind. f(x) = g(x) ñ x = 9x ñ x - 9x = ñ xÿ(x - 9) = Hier ergibt sich x =, x = und x = -. Wichtig wäre hier nur die Schnittstellen bei x = (siehe Grafik oben).

6 nalog ergeben sich bei f(x) = h(x) die Schnittstellen x =, x 5 = und x 6 = - (wir haben einfach weiter nummeriert), wobei nur die Schnittstellen bei x = relevant ist (siehe Grafik oben). g(x) = h(x) ergibt eine Schnittstelle bei x =. Wenn man die Grafik betrachtet, sieht man, dass zwei Flächen berechnet werden müssen: Für x zwischen und liegt die Kurve von g oben und die von h unten (Fläche ). Für x zwischen und liegt die Kurve von g oben und die von f unten (Fläche ). 5/ x (FE) (g(x) h(x))dx (9x x)dx 5x dx 9 / x / x 5/ (FE) (g(x) f (x))dx (9x x )dx = + = 65/ (FE) = 6,5 (FE) 5) Geben sind Funktionen f(x) = -x + 6x und g(x) = -x + 6. Wie groß ist die Fläche, die von den beiden Kurven und der x-chse eingeschlossen wird (siehe Grafik)?

7 Hier müssen zunächst die Schnittstellen bestimmt werden: f(x) = g(x) - x + 6x = -x + 6 +x x + 7x - 6 = ÿ(-) x - 7x + 6 = Damit ist x = und x = 6. Wie an der Grafik zu sehen ist, spielt die Schnittstelle von f und g bei x = eine Rolle, sowie die kleiner Nullstelle von f bei x = und die Nullstelle von g bei x = 6. Dieses mal ist die Flächen von unten durch die x-chse begrenzt. Wenn man die Grafik betrachtet, sieht man, dass zwei Flächen berechnet werden müssen: Für x zwischen und liegt die Kurve von f oben und die x-chse unten (Fläche ). Für x zwischen und 6 liegt die Kurve von g oben und die x-chse unten (Fläche ). / x x 8/ (FE) f (x)dx ( x 6x)dx / x 6x 5/ (FE) g(x) dx ( x 6)dx = + = 9/6 (FE) º 5,67 (FE) 6) Geben sind Funktionen f(x) = x - x und g(x) = x -. Wie groß ist die Fläche, die von den beiden Kurven eingeschlossen wird?

8 Hier müssen zunächst die Schnittstellen bestimmt werden: f(x) = g(x) x - x = x - -x + x - x - x + = Wir können kein x ausklammern und benötigen eine Polynomdivision. Dazu müssen wir eine Nullstelle raten. Wir probieren und finden x =. Polynomdivision: (x -x -x + ) : (x - ) = x - x - -(x - x ) x -x -(-x + x) x + -(-x + ) Zu den restlichen Schnittstellen: x - x - = mit der p-q-formel gelöst ergibt: x = und x = - Nun ordnen wir die Schnittstellen nach der Größe: -; ;. Damit müssen wir zwei Integrale berechnen, einmal von - bis und einmal von bis. (f(x) g(x))dx (x x (x ))dx (x x x ) dx / x / x / x x 8/ (FE) Da zwischen den Schnittstellen und die Kurve von g über der von f liegt, integrieren wir über g(x) - f(x) (andernfalls müsste man den Betrag verwenden). Wenn man die Grafik oben nicht kennen würde, müsste man nur einen Wert zwischen und in beide Funktionen einsetzen und die Funktionswerte vergleichen: f(,5) = -,5, g(,5) = -,5, womit die Kurve von g über der Kurve von f liegt, wenn x zwischen und liegt. (g(x) f (x))dx (x (x x ))dx ( x x x ) dx / x / x / x x 5/ (FE)

9 Oder: (f (x) g(x))dx (x x (x ))dx (x x x ) dx / x / x / x x 5/ 5/ (FE) = + = 8/ (FE) + 5/ (FE) = 7/ (FE) º,8 (FE) 7) Die Fläche zwischen den Kurven von f(x) = x und g(x) = a ÿx (a > ) soll 8 Flächeneinheiten betragen. Wir berechnen wieder zuerst die Schnittstellen: f(x) = g(x) x = a x a x x - a x = xÿ(x - a ) =

10 Damit ist x =. x - a = + a x = a lso: x = a und x = -a. Da f und g beide punktsymmetrisch zum Ursprung sind, ist die Fläche zwischen den beiden Kurven über dem Intervall [-a, ] so groß (d.h. ), wie die, über dem Intervall [, a] (d.h. ). Da + = 8 (FE) ist, muss = = (FE) sein. Wir müssen damit nur oder bestimmen. Wenn x zwischen und a liegt, dann liegt der Graph von g über dem von f: a (g(x) f (x))dx a (a x x )dx [/ a x / x ] a / a a / a / a! lso: /ÿa = ÿ a = 6 a = (Da a > sein muss.)

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