Der einfache Dreisatz

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1 Der einfache Dreisatz

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... 2 Impressum... 3 EINFÜHRUNG... 4 Der einfache Dreisatz mit geradem (direktem) Verhältnis... 6 ZUSAMMENFASSUNG: GERADES VERHÄLTNIS... 9 AUFGABEN MIT GERADEM VERHÄLTNIS Der einfache Dreisatz mit ungeradem (umgekehrtem, indirektem) Verhältnis ZUSAMMENFASSUNG: UNGERADES VERHÄLTNIS AUFGABEN MIT UNGERADEM VERHÄLTNIS Seite 2

3 Impressum Produktion: leitner.interactive, Äußere Buchleuthe 58, Kaufbeuren Herausgeber: e/t/s Didaktische Medien GmbH Kirchstraße Halblech Autor: Bfw Bad Pyrmont Rechte: Copyright 2006 e/t/s Didaktische Medien GmbH, Halblech. Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Herausgebers reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Auch die Rechte der Wiedergabe durch Vortrag, Funk und Fernsehen sind vorbehalten. Text, Abbildungen und Programme wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Herausgeber, Programmierer und Autoren können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Namensschutz: Die meisten in dieser Einheit erwähnten Soft- und Hardwarebezeichnungen sind auch eingetragene Marken und unterliegen als solche den gesetzlichen Bestimmungen. Microsoft, Windows und andere Namen von Produkten der Firma Microsoft, die in dieser Qualifizierungseinheit erwähnt werden, sind eingetragene Warenzeichen der Microsoft Corporation. Inhaltliche Verantwortung: Diese Qualifizierungseinheit enthält Verweise (sogenannte Hyperlinks) auf Seiten im World Wide Web. Wir möchten darauf hin weisen, dass wir keinen Einfluss auf die Gestaltung sowie die Inhalte der gelinkten Seiten haben. Deshalb distanzieren wir uns hiermit ausdrücklich von allen Inhalten der Seiten, auf die aus unserem Lerninhalt verwiesen wird. Diese Erklärung gilt für alle in diesem Lerninhalt ausgebrachten Links und für alle Inhalte der Seiten, zu denen Links oder Banner führen. Seite 3

4 EINFÜHRUNG Der Dreisatz ist eine Verhältnisrechnung, bei der verschiedene Größen (z.b. Gewicht, Preis, Zeit) miteinander ins Verhältnis gesetzt werden. Bei diesem Rechenverfahren wird von drei oder mehr bekannten Größen auf eine weitere, unbekannte Größe geschlossen (daher auch die andere Bezeichnung "Schlussrechnung"). Die Lösung erfolgt stets in drei Schritten*: Man schließt von einer MEHRHEIT über die EINHEIT auf eine neue MEHRHEIT. * Die Lösung von Dreisatz-Aufgaben wird in Büchern unterschiedlich gehandhabt. Wir haben uns bewusst für den hier dargestellten Weg entschieden. Falls Sie den Dreisatz jedoch anders gelernt haben und Sie mit Ihrem Verfahren klarkommen, müssen Sie sich auf keinen Fall umstellen. Seite 4

5 Werden nur zwei Größen miteinander ins Verhältnis gesetzt, spricht man vom sogenannten EINFACHEN DREISATZ, wobei es Aufgaben mit geradem (direktem) Verhältnis wie auch mit ungeradem (umgekehrtem, indirektem) Verhältnis gibt. Werden mindestens drei Größen miteinander ins Verhältnis gesetzt, handelt es sich um den sogenannten ZUSAMMENGESETZTEN DREISATZ, der aus mehreren einfachen Dreisätzen besteht. In diesem Lernbrief lernen Sie alles Wichtige über den einfachen Dreisatz, während im Lernbrief Dreisatz 2 der zusammengesetzte Dreisatz behandelt wird. Die Lösungen befinden sich ausnahmsweise nicht direkt hinter den Aufgaben, sondern es gibt ein Lösungsheft mit ausführlicher Darstellung sämtlicher Rechenschritte. Seite 5

6 DER EINFACHE DREISATZ Der einfache Dreisatz mit geradem (direktem) Verhältnis Beispiel 1: Ein Radfahrer fährt in 2 1/4 Stunden 36 km. Wie weit kommt er bei gleichem Tempo in 3 1/2 Stunden? Lösung: Vorüberlegung: 2 1/4 Std. = 2,25 Std. 3 1/2 Std. = 3,5 Std. 2,25 Std km (Bedingungssatz) 3,5 Std. - x km (Fragesatz) * 3,5 x = = 56 2,25 (Schluss-Satz) Der Radfahrer schafft bei gleichem Tempo in 3 ½ Stunden 56 km. Erläuterung des Lösungsweges: 1. Zunächst wird ein Ansatz aufgestellt: - Die 1. Zeile (Bedingungssatz) beinhaltet die Ausgangsbedingungen. - Die 2. Zeile (Fragesatz) enthält die Fragestellung. Die gesuchte Größe muss dabei stets auf der rechten Seite stehen, gleiche Bezeichnungen sind untereinander anzuordnen. 2. Im sogenannten Schluss-Satz wird von der angegebenen Mehrheit (hier: 2,25 Std.) erst auf die Einheit (hier: 1 Std.) und dann auf die neue Mehrheit (hier: 3,5 Std.) geschlossen: In 2,25 Std. schafft der Radfahrer 36 km. In 1 Std. schafft er weniger km, nämlich den 2,25-ten Teil. Seite 6

7 In 3,5 Std. schafft er mehr km als in 1 Std., nämlich 3,5-mal so viel. Insgesamt gesehen schafft er in MEHR STUNDEN bei gleichem Tempo auch MEHR KM. 3. Anschließend erfolgt die Ausrechnung mit Hilfe des Kürzens, einer schriftlichen Rechnung oder des Taschenrechners. Seite 7

8 Beispiel 2: Frau Rohrmann hat beim letzten Mal 68 l Benzin getankt und dafür 108,12 bezahlt. Wie viel l Benzin tankt sie dieses Mal, wenn die Rechnung bei gleich bleibendem Literpreis über 87,45 lautet? Lösung: 108,12-68 l Benzin (Bedingungssatz) 87,45 - x l Benzin (Fragesatz) * 87,45 x = = ,12 (Schluss-Satz) Frau Rohrmann tankt dieses Mal 55 l Benzin. Anmerkung zur Lösung: Der Schluss von der Mehrheit über die Einheit zur neuen Mehrheit lautet bei diesem Beispiel folgendermaßen: Für 108,12 erhält sie 68 l Benzin. Für 1 erhält sie weniger Benzin, nämlich den 108,12-ten Teil. Für 87,45 erhält sie wiederum mehr Benzin als für 1, nämlich 87,45-mal so viel. Man berechnet bei der Frage nach der Einheit in diesem Fall also nicht den Preis für 1 l Benzin, sondern man überlegt, wie viel l Benzin man für 1 erhält. Insgesamt gesehen erhält sie für WENIGER auch WENIGER BENZIN. Seite 8

9 ZUSAMMENFASSUNG: GERADES VERHÄLTNIS Beiden Beispielen ist gemeinsam, dass sich die Größen jeweils im gleichen Verhältnis ändern: je mehr - desto mehr bzw. je weniger - desto weniger Man spricht deshalb auch von einem Dreisatz mit geradem (direktem) Verhältnis. Der Rechenweg lautet bei derartigen Aufgaben stets: ERST DIVIDIEREN, DANN MULTIPLIZIEREN : X Seite 9

10 AUFGABEN MIT GERADEM VERHÄLTNIS 1. Der Benzinverbrauch eines PKW wird ab Werk mit 7,5 l auf 100 km angegeben. Für wie viel km reicht eine Tankfüllung von 42 l? 2. Ein 4,75 m langes Kupferrohr wiegt 22,325 kg. Wie schwer ist ein 5,60 m langes Rohr gleicher Beschaffenheit? 3. Ein 36 cm langer Draht dehnt sich beim Erwärmen auf 40 cm aus. Wie lang wird ein 54 cm langer Draht nach dem Erwärmen sein? 4. Vor dem Siegeszug des Computers wurden in der Bürowelt häufig sogenannte Schreibautomaten eingesetzt. Ein solcher Schreibautomat konnte in 35 Minuten Anschläge machen. Wie viel Anschläge machte er in 75 Minuten? 5. Ein 520 m 2 großes Grundstück wird als Bauplatz für verkauft. Das Haus nimmt 130 m 2 in Anspruch, der Rest bleibt für den Garten. Welchen Wert hat der Garten? 6. Ein LKW-Transport, bestehend aus 65 Kisten Schnaps, wird mit versichert. Durch einen Verkehrsunfall werden 37 Kisten vollständig zerstört. Wie viel Euro muss die Versicherung ersetzen? 7. Ein Tagungsraum in einem Kongress-Zentrum ist 42 m lang und 12 1/2 m breit. Ein neuer Bodenbelag für den Raum kostet Wie teuer ist der gleiche Bodenbelag für einen zweiten Raum, der 12 m lang und 5 1/2 m breit ist? Seite 10

11 8. Ein Vertreter erhält für den Monat Mai eine Verkaufsprämie von bei einem Umsatz von Wie viel Euro beträgt die Verkaufsprämie für Juni, wenn er einen Mehrumsatz von erzielt hat? 9. Schneiderin Zickzack näht aus 14,4 m Stoff 6 Blusen. Wie viel Blusen der gleichen Sorte kann sie aus 50 m Stoff fertigen? 10. An einer Tankstelle tanken 2 Kunden nacheinander Superbenzin. Der 1. Kunde tankt 48 Liter und bezahlt 78,72. Der 2. Kunde muss 63,96 bezahlen. Wie viel Liter hat er getankt? 11. Eine Aushilfskraft arbeitet in der Verpackungsabteilung einer Lampenfabrik. Sie erhält für jeweils 30 verpackte Lampenschirme 2,55. Wie viele Lampenschirme hat sie verpackt, wenn ihr Tageslohn 83,30 beträgt? 12. Im Juli erhielt Herr Turbo für 580 km 226,20 Kilometergeld. Wie viele km ist er im August mehr gefahren, wenn er 308,10 Kilometergeld erhielt? 13. Ein Päckchen mit 250 Schrauben wiegt g. Wie viel Schrauben der gleichen Sorte befinden sich in einem Päckchen, das g wiegt? 14. Eine Angestellte verdient wöchentlich bei einer Arbeitszeit von 38,5 Stunden 689,15 brutto. Nach wie viel Stunden hätte sie einen Bruttoverdienst von erzielt? Seite 11

12 15. a) Ein PKW der gehobenen Klasse verbraucht im Durchschnitt ca. 14 Liter Benzin auf 100 km. Wie viel Benzinkosten fallen pro Jahr bei km Fahrleistung an, wenn der Benzinpreis 1,54 je Liter beträgt? b) Wie viel Euro Benzinkosten hätte der Autofahrer bei gleicher Fahrleistung und gleichem Benzinpreis einsparen können, wenn er einen Mittelklassewagen mit einem Benzinverbrauch von durchschnittlich ca. 8,5 Litern auf 100 km gefahren hätte? 16. Bauherr Niemehrwieder kauft zur Dachisolierung 195 m 2 Mineralfaserwolle zum Gesamtpreis von Bei der Montage stellt er fest, dass die erworbene Menge nicht ausreicht. Er kauft daher weitere 17 m 2, muss jedoch pro m 2 im Vergleich zum ersten Einkauf einen Aufpreis von 1,60 bezahlen. Welchen Betrag muss er für den zweiten Einkauf bereithalten? 17. Herr Sebastian fährt auf seiner Urlaubsreise mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 90 km/h. Seine Fahrstrecke beträgt 427 km. Um wie viel Uhr kommt er an, wenn er um 6.30 Uhr in Minden abfährt? 18. In einer Klasse mit 15 Schülern erhalten 3 Schüler einen Preis für ausgezeichnete schulische Leistungen. Wie viel Preise werden in der Parallelklasse mit 19 Schülern vergeben? 19. Ein Spitzenläufer benötigt für 400 m 44 Sekunden. Welche Zeit würde er für m benötigen? Seite 12

13 Der einfache Dreisatz mit ungeradem (umgekehrtem, indirektem) Verhältnis Beispiel 1: 24 Arbeiter benötigen 27 Arbeitstage für ein Bauvorhaben. Wie viele Arbeitstage müssen für das gleiche Bauvorhaben bei gleichem Arbeitstempo angesetzt werden, wenn 4 Arbeiter wegen Krankheit ausfallen? Lösung: Vorüberlegung: 24 A. - 4 A. = 20 A. 24 Arbeiter - 27 Arbeitstage (Bedingungssatz) 20 Arbeiter - x Arbeitstage (Fragesatz) * 24 x = = 32,4 33 (Schluss-Satz) 20 Wenn 4 Arbeiter wegen Krankheit ausfallen, müssen 33 Arbeitstage für das Bauvorhaben angesetzt werden. Erläuterung des Lösungsweges: 1. Zunächst wird der Ansatz mit Bedingungssatz und Fragesatz aufgestellt, wobei wie schon beim Dreisatz mit geradem Verhältnis die gesuchte Größe auf der rechten Seite steht und gleiche Bezeichnungen untereinander angeordnet werden. Seite 13

14 2. Im Schluss-Satz wird von der angegebenen Mehrheit (hier: 24 Arbeiter) über die Einheit (hier: 1 Arbeiter) auf die neue Mehrheit (hier: 20 Arbeiter) geschlossen: 24 Arbeiter benötigen 27 Arbeitstage. 1 Arbeiter benötigt für die gleiche Arbeit dann mehr Zeit, nämlich 24-mal so viel. 20 Arbeiter benötigen weniger Zeit als 1 Arbeiter, nämlich den 20- ten Teil. Insgesamt gesehen benötigen WENIGER ARBEITER für das gleiche Projekt MEHR ZEIT. 3. Anschließend erfolgt die Ausrechnung. Seite 14

15 Beispiel 2: Herr Hansmann aus München hat dienstlich in Köln zu tun und legt diese Strecke bei einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 85 km/h in 7 1/4 Stunden zurück. Auf dem Rückweg hat er eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 120 km/h. Wie lange (in Std. und Min.) dauert die Rückfahrt? Lösung: Vorüberlegung: 7 1/4 Std. = 435 Min. 85 km/h Minuten (Bedingungssatz) 120 km/h - x Minuten (Fragesatz) * 85 x = = 308, (Schluss-Satz) Min. = 5 Std. 9 Min. Die Rückfahrt dauert 5 Stunden und 9 Minuten. Anmerkung zur Lösung: Der Schluss von der Mehrheit über die Einheit zur neuen Mehrheit lautet bei diesem Beispiel folgendermaßen: Bei einer Geschwindigkeit von 85 km/h benötigt Herr Hansmann 435 Min. für die Fahrt nach Köln. Bei einer Geschwindigkeit von nur 1 km/h benötigt er für die gleiche Strecke wesentlich mehr Zeit, nämlich 85-mal so viel. Seite 15

16 Bei einer Geschwindigkeit von 120 km/h benötigt er wesentlich weniger Zeit als bei einer Geschwindigkeit von nur 1 km/h, nämlich den 120-ten Teil. Man berechnet bei der Frage nach der Einheit in diesem Fall also nicht die km- Leistung in einer Minute, sondern man überlegt, wie lange die Fahrt bei einer Geschwindigkeit von nur 1 km/h dauern würde. Insgesamt gesehen wird bei MEHR GESCHWINDIGKEIT für die gleiche Strecke WENIGER ZEIT benötigt. Seite 16

17 ZUSAMMENFASSUNG: UNGERADES VERHÄLTNIS Beiden Beispielen ist gemeinsam, dass die Größen sich jeweils gegensätzlich verhalten, d.h. sich im umgekehrten Verhältnis ändern: je mehr - desto weniger bzw. je weniger - desto mehr Man spricht deshalb auch von einem Dreisatz mit ungeradem (umgekehrtem, indirektem) Verhältnis. Der Rechenweg lautet bei derartigen Aufgaben stets: ERST MULTIPLIZIEREN, DANN DIVIDIEREN : X Seite 17

18 AUFGABEN MIT UNGERADEM VERHÄLTNIS Arbeiter heben einen Graben in 10 Stunden aus. Wie lange benötigen 15 Arbeiter für die gleiche Arbeit? Tüten Gewürz zu je 75 g sollen in Tüten zu je 125 g umgefüllt werden. Wie viele Tüten erhält man? Großhändler starten gemeinsam eine Werbekampagne, wobei jeder anteilige Kosten in Höhe von zu tragen hat. Wie hoch ist der Kostenanteil eines Großhändlers, wenn sich 15 Händler beteiligen würden? 4. Das Vorderrad eines Fahrzeugs mit 2,25 m Umfang macht auf einer bestimmten Strecke Umdrehungen. Wie viel Umdrehungen macht zu derselben Zeit das Hinterrad, das einen Umfang von 3,24 m hat? 5. Der Bestand an Fotokopierpapier reicht bei einem täglichen Bedarf von 500 Blatt noch 32 Tage. Wie lange reicht der gleiche Vorrat, wenn sich herausstellt, dass pro Tag zukünftig 600 Blatt benötigt werden? 6. Für das Vertäfeln einer Holzdecke benötigt ein Heimwerker 72 Bretter à 12 cm Breite. Wie viele Bretter braucht er, wenn sie 18 cm breit sind? 7. Um einen Schuttberg abzutragen, muss ein LKW mit einer Ladefläche von 2,8 m 3 37-mal fahren. Wie viele Fahrten müsste ein LKW, der 7,5 m 3 laden kann, weniger machen? Seite 18

19 8. Das Taschengeld von Birgit reicht 25 Tage, wenn sie täglich durchschnittlich 4,80 ausgibt. Wie viel Tage reicht das Geld länger, wenn sie täglich im Durchschnitt nur 3,50 ausgibt? 9. Herr Selbermann möchte sein Wohnzimmer tapezieren. Ist die Tapete 60 cm breit, benötigt er 16 Rollen. Wie viele Rollen muss er kaufen, wenn er sich für eine 72 cm breite Tapete entscheidet? 10. Für die Dekoration eines Festsaales benötigen 25 Raumausstatter insgesamt 36 Arbeitsstunden. Es stehen jedoch nur 34 Arbeitsstunden zur Verfügung. Wie viele Raumausstatter sind jetzt für die Dekoration nötig? 11. Bei 40 km/h Durchschnittsgeschwindigkeit schafft Herr Fischer die Strecke von Adorf nach Bedorf in einer halben Stunde. Wie lange (in Min. und Sek.) würde er für die gleiche Strecke bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 90 km/h benötigen? 12. Ein inzwischen veralteter Schreibautomat leistete während seiner Dienstzeit 980 Anschläge pro Minute und schrieb einen Werbebrief in 3 ½ Minuten. Wie lange (in Min. und Sek.) hätte ein Sekretär mit seiner Schreibmaschine für den gleichen Brief bei einer Leistung von 350 Anschlägen pro Minute benötigt? Pumpen leeren einen Behälter in 18 Stunden. Wie viel Stunden werden benötigt, wenn 4 Pumpen ausfallen? 13. Bei einer Fete wurde eine Musikanlage beschädigt. Wenn der Schaden auf alle 36 teilnehmenden Gäste umgelegt wird, muss jeder Gast 11 bezahlen. 6 Gäste verweigern allerdings die Zahlung. Wie viel entfällt dann auf jeden der restlichen Gäste? Seite 19

20 15. Der Heizölvorrat einer Firma reicht bei einem Tagesverbrauch von 33 Litern 190 Tage. In wie viel Tagen ist der gleiche Vorrat erschöpft, wenn der tägliche Verbrauch um 3 Liter gesenkt wird? 16. Wenn ein Schriftsetzer auf eine Buchseite 40 Zeilen setzt, benötigt er für das ganze Buch 18 Bogen. Wie viel Bogen werden gebraucht, wenn auf jede Seite 6 Zeilen weniger passen? 17. Ein Bagger hat bei Erdarbeiten ein Telefonkabel beschädigt. Zur Reparatur werden 3 Monteure eingesetzt, die in 165 Minuten fertig werden können. Die Reparatur soll aber bereits in 2 Stunden erledigt sein. Wie viel Monteure müssen noch zusätzlich eingesetzt werden? 18. Ein Intercity benötigt bei einer Geschwindigkeit von ca. 1,710 km pro Minute für die Strecke von Bochum nach Köln 59 Min. Wie viel Zeit (in Std. und Min.) benötigt ein Stadtexpress bei einer Geschwindigkeit von ca. 1,280 km pro Minute für die gleiche Strecke? 19. Ein Passagierschiff, das im Durchschnitt jede Stunde 18 km zurücklegt, fährt um Uhr von Köln ab und kommt um Uhr in Koblenz an. Welche durchschnittliche Geschwindigkeit hat ein anderes Passagierschiff, das um Uhr von Koblenz abfährt und in Köln um Uhr eintrifft? 20. Dagobert Müller fährt jeden Morgen mit seinem 75 PS starken PKW zur Arbeit. Seine Fahrzeit beträgt ca. 20 Minuten. Wie viel PS hat der PKW von Gottfried Schulze, der für eine ebenso lange Wegstrecke 25 Minuten benötigt? Seite 20