Eigenwerte und Eigenvektoren

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1 Ergänzung Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Definitionen Beispiele im IR 2 Beispiele im IR 3

2 Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor Lineare Abbildungen werden im Allgemeinen durch Matrizen beschrieben. Wenn man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert, so erhält man wiederum einen Vektor, der aber in den meisten Fällen auf den ersten Blick gar nichts mit dem Ausgangsvektor gemeinsam hat: = 9 3 Mathematik kompakt

3 Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor In anderen sehr speziellen Fällen ist der Bildvektor ein Vielfaches des Ausgangsvektors: = 8 2 =2 4 Trivialerweise wird der Nullvektor unter einer linearen Abbildung immer auf sich selbst abgebildet: 4 2 = Das Studium des Nullvektors ist also völlig uninteressant; wir werden ihn bei den folgenden Betrachtungen weglassen. Mathematik kompakt 2

4 Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor Wir werden im Folgenden eine Methode vorstellen, wie man Vektoren identifiziert, die unter einer linearen Abbildung auf Vielfache von sich selbst überführt werden: A x = λ x A x λ x = A x λe x = A λe x = x deta λe! = Gesucht sind also Vektoren x, die durch die lineare Abbildung/Matrix A auf das λ-fache ihrer selbst abgebildet werden. Mathematik kompakt 3

5 Eigenwerte und Eigenvektoren Definitionen Definitionen Ein Vektor x, der bei Anwendung der Matrix A auf sein λ-faches übergeht, heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Eigenwerte λ sind dabei die Lösungen der sogenannten charakteristischen Gleichung deta λe =. Eigenvektoren x zum Eigenwert λ sind die nicht-trivialen Lösungen des linearen Gleichungssystems A λe x =. Mathematik kompakt 4

6 Eigenwerte und Eigenvektoren Definitionen Bemerkungen Die charakteristische Gleichung ist bei Vorliegen einer nxn-matrix A ein Polynom n-ten Grades. Nach dem Hauptsatz der Algebra hat ein Polynom n-ten Grades n möglicherweise komplexe, evtl. auch zusammenfallende Lösungen. Hat man einen Eigenwert gefunden, so erhält man wegen deta λe =auch immer zumindest eine nicht-triviale linear unabhängige Lösung des Gleichungssystems A λe x =. Bei mehrfachen Eigenwerten kann man muß aber nicht auch mehrere linear unabhängige Eigenvektoren zu einem Eigenwert finden. Mathematik kompakt 5

7 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 2D Beispiel Wir ermitteln die Eigenwerte zur Matrix A = deta λe = det λ λ = λ 2 =λ 2 2λ Es folgt: deta λe! = λ =,λ 2 =2 Die Eigenwerte zur Matrix A sind also: λ =und λ 2 =2. Mathematik kompakt 6

8 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 2D Wir suchen zunächst die Eigenvektoren x zum Eigenwert λ =: Wegen deta λ E x = folgt: x = x 2 und damit das lineare Gleichungssystem: x + x 2 = Lösungen dieses linearen Gleichungssystems sind: x = a, a IR x 2 Die Probe liefert: = = Mathematik kompakt 7

9 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 2D Wir suchen nun die Eigenvektoren x zum Eigenwert λ 2 =2: Wegen deta λ 2 E x = folgt: 2 x = 2 x 2 und damit das lineare Gleichungssystem: x + x 2 = Lösungen dieses linearen Gleichungssystems sind: x = a, a IR x 2 Die Probe liefert: = 2 2 =2 Mathematik kompakt 8

10 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 2D Insgesamt: Die Matrix A = besitzt zwei Eigenwerte: λ =und λ 2 =2. Zum Eigenwert λ =gehören die Eigenvektoren x = a, a IR\{}. x 2 Zum Eigenwert λ 2 =2gehören die Eigenvektoren x = a, a IR\{}. x 2 Mathematik kompakt 9

11 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 2D Übung Ermitteln Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren zur Matrix A =. Mathematik kompakt

12 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 2D Lösung deta λe = det λ λ = λ 2 Es folgt: deta λe! = λ = λ 2 = Die Eigenvektoren berechnen sich über: = x x 2 Eigenvektoren sind also: x = a x 2, a IR\{} x 2 = Zum doppelten Eigenwert λ =gibt es also nur einen linear unabhängigen Eigenvektor x,x 2 T =, T und seine Vielfachen. Mathematik kompakt

13 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 2D Übung Ermitteln Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren zur Matrix A =. Mathematik kompakt 2

14 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 2D Lösung deta λe = det λ λ = λ 2 Es folgt: deta λe! = λ = λ 2 = Die Eigenvektoren berechnen sich über: x = = x 2 Eigenvektoren sind also alle Vektoren bis auf den Nullvektor. Dies ist trivial, denn für die Einheitsmatrix gilt E x = x. Zum doppelten Eigenwert λ =gibt es also zwei linear unabhängige Eigenvektoren x,x 2 T =, T und x,x 2 T =, T sowie alle Linearkkombinationen davon. Mathematik kompakt 3

15 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 2D Beispiel Wir ermitteln die Eigenwerte zur Matrix A = und lernen dabei komplexe Eigenwerte kennen. λ deta λe = det λ = λ 2 = λ 2 + Es folgt: deta λe! = λ = i, λ 2 = i Die Eigenwerte zur Matrix A sind also: λ = i und λ 2 = i. Mathematik kompakt 4

16 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 2D Wir suchen zunächst die Eigenvektoren x zum Eigenwert λ = i: Wegen deta λ E x = folgt: i x = i x 2 und damit das lineare Gleichungssystem: ix + x 2 = Lösungen dieses linearen Gleichungssystems sind: x = a, a IR i x 2 Die Probe liefert: i = i = i i Mathematik kompakt 5

17 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 2D Wir suchen nun die Eigenvektoren x zum Eigenwert λ 2 = i: Wegen deta λ 2 E x = folgt: i x i x 2 = und damit das lineare Gleichungssystem: ix + x 2 = Lösungen dieses linearen Gleichungssystems sind: x i = a, a IR x 2 Die Probe liefert: i = i = i i Mathematik kompakt 6

18 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 2D Für quadratische Matrizen A = allgemein: a a 2 a 2 a 22 gilt deta λe a λ a = det 2 a 2 a 22 λ = a λ a 22 λ a 2 a 2 = λ 2 a + a 22 } {{ } Spur A λ + a a 22 a 2 a 2 } {{ } Determinante A Andererseits ist λ λ λ λ 2 =λ 2 λ + λ 2 λ + λ λ 2. Mathematik kompakt 7

19 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 2D Für quadratische Matrizen A = a a 2 a 2 a 22 mit den Eigenwerten λ und λ 2 gilt: λ + λ 2 = a + a 22 = SpurA λ λ 2 = a a 22 a 2 a 2 = deta Mathematik kompakt 8

20 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 3D Beispiele im IR 3 Wir betrachten ein Beispiel aus dem dreidimensionalen Raum, nämlich die Spiegelung an der Ebene x = y: z e 3 e e 2 y x Diese lineare Abbildung wird durch die folgende Matrix wiedergegeben: A =. Beachte: Durch die Spiegelung gehen die Einheitsvektoren in folgende Bildvektoren über: e e 2, e 2 e, e 3 e 3. Mathematik kompakt 9

21 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 3D Es gibt auch bei der Spiegelung an der Ebene x = y Vektoren, die auf Vielfache ihrer selbst abgebildet werden: = = = = = = Auch hier liegen also Eigenwerte und Eigenvektoren vor, nämlich: Eigenwert λ =: Eigenvektoren, Eigenwert λ = : Eigenvektor Mathematik kompakt 2

22 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 3D Die Rechnung erfolgt analog. deta λe = det λ λ λ λ = λ det λ = λ λ 2 Es folgt: deta λe! = λ = λ 2 =,λ 3 = Mathematik kompakt 2

23 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 3D Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = λ 2 = berechnen sich über: x x 2 x 3 = und damit das lineare Gleichungssystem: x + x 2 =. Lösungen dieses linearen Gleichungssystems sind die linear unabhängigen Eigenvektoren: x = bzw. x 2 = Mathematik kompakt 22

24 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 3D = be- Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ 3 rechnen sich über: 2 x x 2 x 3 = und damit das lineare Gleichungssystem: x + x 2 =, 2x 3 =. Lösung dieses linearen Gleichungssystems ist der linear unabhängige Eigenvektor: x 3 = Mathematik kompakt 23

25 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 3D Übung Ermitteln Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren zur Matrix A = Mathematik kompakt 24

26 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele 3D Lösung Zum Eigenwert λ =gehört der Eigenvektor x = 2. Zum Eigenwert λ =6gehören die Eigenvektoren x 2 = 2 und x 3 =. 2 Mathematik kompakt 25

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