Kapitel III. Lineare Abbildungen

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1 Kapitel III. Lineare Abbildungen Beispiele: 1 Lineare Abbildungen a) Seien c 1,..., c n K vorgegeben. Betrachte die Funktion F (x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n in den Variablen x 1,..., x n : F definiert eine Abbildung x 1 F : K n K, x =. y 1 Ist y =. y n x n c 1 x c n x n = (c 1,..., c n ) x K n ein weiteres n tupel und λ K, so gilt F (x + y) = F (x 1 + y 1,..., x n + y n ) = c 1 (x 1 + y 1 ) c n (x n + y n ) = = (c 1 x c n x n ) + (c 1 y c n y n ) = F (x) + F (y), sowie F (λx) = F (λx 1,..., λx n ) = c 1 (λx 1 ) c n (λx n ) = λf (x) b) Sei A eine m n Matrix über K. Für x K n setze F (x) = A x, d.h. F (x) = w 1. w m, wobei w i = a i1 x 1 + a i2 x a in x n, i = 1,..., m. F definiert eine Abbildung F : K n K m, x A x Nach den Rechenregeln für Matrizen (4.3) gilt für Vektoren x, y K n und λ K F (x + y) = A (x + y) = Ax + Ay = F (x) + F (y), F (λx) = A (λx) = λ (Ax) = λ F (x) 1

2 a) ist offenbar ein Spezialfall von b) (m = 1) Allgemeiner definiert man: Sei K ein Körper und V, W K Vektorräume. Eine Abbildung F : V W heißt linear (K linear), wenn gilt: (1) F (x + y) = F (x) + F (y) für alle x, y V. (2) F (λx) = λ F (x) für alle x V und alle λ K (Induktiv folgt: F ( r λ i v i ) = r λ i F (v i )) Beispiele: a) Ist A M(m n, K) so ist die Abbildung F : K n K m, x Ax linear (s.o.). b) Seien v 1,..., v n 1 K n und ϕ(x) = det(a 1,..., a n 1, x t ) für x K n die Determinante der Matrix mit den Zeilen a 1 = v t 1,..., a n 1 = v t n 1 und a n = x t. Wegen (D1) gilt für y K n und λ K ϕ(x + y) = det(a 1,..., a n 1, x t + y t ) = det(a 1,..., a n 1, x t ) + + det(a 1,..., a n 1, y t ) = ϕ(x) + ϕ(y) und ϕ(λx) = = det(a 1,..., a n 1, λx t ) = λ det(a 1,..., a n 1, x t ) = λϕ(x). ϕ : K n K, x det(a 1,..., a n 1, x t ) ist also linear. Entsprechendes gilt für die anderen Zeilen. (Die Determinante ist linear in den Zeilen.) Bild und Kern linearer Abbildungen Sei ϕ : A B eine Abbildung, A A, B B. ϕ(a ) := {ϕ(a) a A } B heißt Bild von A unter der Abbildung ϕ. ϕ 1 (B ) := {a a A und ϕ(a) B } A heißt Urbild von B bei der Abbildung ϕ. (Alles, was in B abgebildet wird). Für y B schreibe ϕ 1 (y) für ϕ 1 ({y}). (1.1) Satz: Sei F : V V eine lineare Abbildung. a) F (0) = 0, F (v w) = F (v) F (w) 2

3 b) Seien v 1,..., v r V. Ist (F (v 1 ),..., F (v r )) linear unabhängig, so war schon (v 1,..., v r ) linear unabhängig. c) (i) Ist W V ein Untervektorraum, so ist auch F (W ) V ein UVR. (ii) Ist W V ein UVR, so ist auch F 1 (W ) V ein UVR. d) Ist (v 1,..., v n ) ein Erzeugendensystem von V, so ist (F (v 1 ),..., F (v n )) ein Erzeugendensystem von F (V ). Beweis: a) F (0) = F (0 0) = 0F (0) = 0 F (v w) = F (v + ( 1)w) = F (v) + ( 1)F (w) = F (v) F (w) b) Aus r λ i v i = 0 folgt 0 = F (0) = ( r λ i v i ) = = r λ i F (v i ). Da (F (v 1 ),..., F (v r )) linear unabhängig war folgt λ 1 =... = λ r = 0. c) (i) 0 = F (0) F (W ) nach a). Seien v, w F (W ). Dann gibt es v, w W mit v = F (v), w = F (w) und v + w W, da W UVR. Es folgt v + w = F (v) + F (w) = F (v + w) F (W ). Für λ K ist λv W, da v W. Es folgt λv = λf (v) = F (λv) F (W ). Damit ist F (W ) ein UVR von V. (ii) 0 W und F (0) = 0, also 0 F 1 (W ). Seien v, w F 1 (W ) und λ K. Es folgt F (v) W und F (w) W, also F (v + w) = F (v) + F (w) W, d.h. v + w F 1 (W ). F (λv) = λf (v) W, d.h. λv F 1 (W ) Damit ist F 1 (W ) ein UVR von V. d) Jedes v V ist von der Form v = n λ iv i. Also ist F (v) = F ( n λ i v i ) = n λ i F (v i ) Linearkombination von F (v 1 ),..., F (v n ). 3

4 Definition: Sei L : V W linear. Der Untervektorraum L(V ) von W heißt Bild von L. Schreibe dafür Bild (L). Der Untervektorraum L 1 (0) = {v V L(v) = 0} von V heißt Kern von L. Schreibe dafür Kern (L). Beispiel: a) Gegeben sei ein lineares GLS a 11 x a 1n x n = b 1 b 1 x 1 ( ). b =. ; x =. a m1 x a mn x n = b m mit Koeffizientenmatrix A = (a ij ) und erweiterter Matrix (A b). Sind a 1,..., a n die Spalten von A, so gilt Ax = x 1 a x n a n und ( ) schreibt sich in der Form Ax = b Also ist L 1 (b) = {x Ax = b}, die Menge der Lösungen von ( ), wenn L : K n K m, x Ax. Speziell, wenn b = 0 ist (homogenes GLS): b m Lös A = L 1 (0) = Kern L Damit ist erneut gezeigt, dass Lös (A) ein UVR von K n ist. Lösbarkeit von ( ), falls b 0 (( ) inhomogen): Wegen Ax = x 1 a x n a n gilt BildL = {Ax x K n } = {x 1 a x n a n x 1,..., x n K} = SRA ( ) ist lösbar, falls es ein x K n gibt mit L(x) = Ax = b, d.h. wenn b Bild L = SRA. Genau dann ist b SRA, wenn SR(A) = SR(A b), d.h. wenn Rang A = Rang (A b). Wir haben also erneut gesehen: Genau dann ist das lineare GLS Ax = b lösbar, wenn A und (A b) den gleichen Rang haben (vgl. Kap. I). x n 4

5 Problem: Durch welche Daten ist eine lineare Abbildung festgelegt. Beispiel: Seien e 1,..., e n K n die Einheitsvektoren. (e 1,..., e n ) ist eine Basis von K n. Sei L : K n K m, x Ax(A M(m n, K)) Ae 1 = L(e 1 ), Ae 2 = L(e 2 ),..., Ae n = L(e n ) sind die Spalten der Matrix A. Fazit: Die lineare Abbildung L ist durch die Bilder der Basisvektoren e 1,..., e n festgelegt (A ist durch ihre Spalten bestimmt). Allgemeiner gilt (1.2) Satz: Seien V und W Vektorräume, (v 1,..., v n ) eine Basis von V und (w 1,..., w n ) ein beliebiges System von Vektoren aus W. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung F : V W mit F (v 1 ) = w 1, F (v 2 ) = w 2,..., F (v n ) = w n. (Nach 1.1 d) ist dann F (V ) = Kw Kw n ). Insbesondere gilt: Zur Festlegung einer linearen Abbildung F : V W mit dim V < genügt es, die Werte der Elemente einer Basis unter der Abbildung F anzugeben. Beweis: a) Existenz: Sei v V. Dann schreibt sich v in der Form v = n λ i v i. Dabei sind die λ 1,..., λ n durch v eindeutig festgelegt. Daher beschreibt F (v) := n λ i w i eine wohldefinierte Abbildung F : V W, und es gilt: F ist linear: F (v 1 ) = w 1, F (v 2 ) = w 2,..., F (v n ) = w n. Sei v V ein weiterer Vektor. Schreibe v = n µ i v i. Dann ist F (v ) = n µ i w i. Wegen v + v = n λ i v i + n µ i v i = n (λ i + µ i )v i gilt nach Definition von F : F (v + v ) = n (λ i + µ i )w i = = n λ i w i + n µ i w i = F (v) + F (w). 5

6 Analog zeigt man, dass F (λv) = λf (v). b) Eindeutigkeit: Sei G : V W eine weitere lineare Abbildung mit G(v i ) = w i, i = 1,..., n. Sei v V beliebig. Schreibe v in der Form v = n λ i v i. Es folgt G(v) = G( n λ i v i ) = n λ i G(v i ) = n λ i w i = F (v). Bezeichnungen: Sei F : V V eine lineare Abbildung (Man spricht auch von einem Homomorphismus von Vektorräumen.) F heißt Monomorphismus, falls F injektiv ist, Epimorphismus, falls F surjektiv ist, Isomormismus, falls F bijektiv ist, Endomorphismus, falls V = V ist. Ein bijektiver Endomorphismus wird auch Automorphismus genannt. End(V ) := Menge der Endomorphismen von V Aut(V ) := Menge der Automorphismen von V Vektorräume V und V heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus F : V V existiert. Schreibe dann V = V. (1.3) Satz: Seien F : V V und G : V V linear. Dann gilt: a) Die Komposition G F : V V, x G(F (x)) von F und G ist ebenfalls linear. b) Ist F : V V ein Isomorphismus, so ist auch Beweis: F 1 : V V ein Isomorphismus. 6

7 a) Seien v, w V und λ K. G F (v + w) = G(F (v + w)) = G(F (v) + F (w)) = G(F (v)) + G(F (w)) = G F (v) + G F (w) G F (λv) = G(F (λv)) = G(λF (v)) = λg(f (v)) = λ G F (v). b) Es ist zu zeigen, dass F 1 : V V linear ist. Seien dazu v, w V und λ K. Sei v = F 1 (v ) und w = F 1 (w ). Dann ist v = F (v) und w = F (w), also F 1 (v + w ) = F 1 (F (v) + F (w)) = F 1 (F (v+w)) = v+w = F 1 (v )+F 1 (w ), ferner F 1 (λv ) = F 1 (λf (v)) = F 1 (F (λv)) = λv = λf 1 (v ). (1.4) Korollar: Sei V ein Vektorraum. Dann gilt: a) (EndV, ) ist eine Halbgruppe mit Einselement id V b) (AutV, ) ist eine Gruppe mit Einselement id V (1.5) Satz: Sei F : V V linear. Äquivalente Aussagen sind: a) F ist ein Monomorphismus. b) Kern F = {0} c) Für jedes System linear unabhängiger Vektoren (v 1,..., v n ) ist auch (F (v 1 ),..., F (v n )) linear unabhängig. Beweis: a) b) Sei v Kern (F ). Dann ist F (v) = 0 und F (0) = 0. Da F injektiv ist, folgt v = 0. Also ist Kern F = {0}. b) c) Sei Kern F = {0}. Sei (v 1,..., v n ) linear unabhängig. Aus λ 1 F (v 1 ) λ n F (v n ) = 0 folgt F (λ 1 v λ n v n ) = λ 1 F (v 1 ) λ n F (v n ) = 0, λ 1 v λ n v n Kern F = {0}, also λ 1 v λ n v n = 0. Da (v 1,..., v n ) linear unabhängig ist, folgt λ 1 =... = λ n = 0. c) b) Ist v 0, so ist (v) linear unabhängig und daher nach Voraussetzung (F (v)) linear unabhängig. Also ist F (v) 0 und somit Kern F = {0}. b) a) Seien v, w V mit F (v) = F (w). Es ist zu zeigen, dass v = w : Aus F (v) = F (w) folgt 0 = F (v) F (w) = F (v w), also v w Kern F = {0}. Somit ist v w = 0, d.h. v = w. 7

8 Frage: Wie verhalten sich Kern und Bild einer linearen Abbildung zueinander? Beispiel: Sei A eine m n Matrix und L : K n K m, x Ax die dazugehörige lineare Abbildung. Wir haben gesehen, dass Kern L = Lös (A) (Lösungsmenge des GLS Ax = 0) Bild L = SR (A) In II 4 wurde gezeigt: dim Lös (A) = n dim SR (A), d.h. dim Bild L+dim Kern L = n = dim K n. Allgemeiner gilt nun: (1.6) Satz: (Dimensionsformel für lineare Abbildungen) Sei V ein endlicher Vektorraum und F : V V eine lineare Abbildung. Dann sind auch Bild (F ) und Kern (F ) endliche Vektorräume und es gilt dim V = dim Bild F + dim Kern F. Beweis: Nach 1.1 c) ist Bild F endlicher Vektorraum und nach I.2.11 ist dim Kern (F ) dim V <. Wähle Basen (w 1,..., w r ) von Bild (F ) und (u 1,..., u s ) von Kern F. Zu zeigen: dim V = r + s. Wähle dazu v i V mit F (v i ) = w i, i = 1,..., r. Nach 1.1 b) ist (v 1,..., v r ) linear unabhängig. Zu zeigen: B = (v 1,..., v r, u 1,..., u s ) ist eine Basis von V. (i) B erzeugt V : Sei v V. Dann ist w = F (v) Bild F. Daher gibt es λ 1,..., λ r K mit F (v) = w = λ 1 w λ r w r = F (λ 1 v λ r v r ). Es folgt F (v (λ 1 v λ r v r )) = F (v) F (λ 1 v λ r v r ) = 0 und v (λ 1 v λ r v r ) Kern F. Also gibt es µ 1,..., µ s K mit v (λ 1 v λ r v r ) = µ 1 u µ 1 U s, d.h. v = r λ i v i + s µ j u j. j=1 8

9 (ii) B ist linear unabhängig: Aus λ i v i + µ j u j = 0 folgt λi v i = ( µ j u j ) Kern (F ), also ist λ 1 w λ r w r = λ 1 F (v 1 ) λ r F (v r ) = F ( λ i v i ) = 0 Es folgt λ 1 =... = λ r = 0, da (w 1,..., w r ) linear unabhängig, und s µ j u j = 0. Da auch (u 1,..., u s ) linear unabhängig ist folgt µ 1 = j=1... = µ s = 0. Damit ist gezeigt, dass B linear unabhängig ist. (1.7) Korollar: Ist V endlich und F : V V linear, so ist F injektiv genau dann wenn F surjektiv, genau dann wenn F ein Isomorphismus ist. Beweis: F injektiv 1.5 KernF = dim V = dim BildF II.2b) V = BildF F surjektiv. Die letzte Äquivalenz ist dann klar. (1.8) Korollar: Sei F : V V ein Homomorphismus endlicher Vektorräume. Dann gilt: a) Gibt es eine Basis (v 1,..., v n ) von V, so dass auch (F (v 1 ),..., F (v n )) eine Basis von V ist, so ist F ein Isomorphismus. b) Sei F ein Isomorphismus und v 1,..., v n V. Genau dann ist (v 1,..., v n ) eine Basis von V, wenn (F (v 1 ),..., F (v n )) eine Basis von V ist. c) V = V genau dann, wenn dim V = dim V. Beweis: a) V = K F (v 1 ) K F (v n ) 1.1 = Bild F, also ist F surjektiv und dim V = n = dim Bild F. Nach 1.6 ist daher Kern F = {0}, also F injektiv nach 1.5. b) Sei F ein Isomorphismus. Dann ist Kern F = 0 und Bild F = V. Aus 1.6 folgt dim V = dim V. Ist (v 1,..., v n ) eine Basis von V, so folgt dim V = n und (F (v 1 ),..., F (v n )) erzeugt V = Bild F. Nach II.2.10 ist dann (F (v 1 ),..., F (v n )) eine Basis von V. Die umgekehrte Richtung beweist man analog. 9

10 c) gilt nach b). : Sei (v 1,..., v n ) eine Basis von V und (w 1,..., w n ) eine Basis von V. Nach 1.2 gibt es eine lineare Abbildung G : V V mit G(v i ) = w i und nach a) ist G ein Isomorphismus. Sei nun V endlich, dim V = n, B = (v 1,..., v n ) eine Basis von V. Nach 1.2 existiert eine lineare Abbildung φ B : K n V, φ B (e j ) = v j, j = 1,..., n und nach 1.8 ist φ B ein Isomorphismus; insbesondere ist x 1 Für x =. x n K n ist V = K n, falls dim V = n φ B (x) = φ B (x 1 e x n e n ) = x 1 v x n v n Umgekehrt gilt: Ist v V beliebig, so hat v eine eindeutige Darstellung v = x 1 v x n v n. Es gilt dann φ B x 1 x n x 1. = v, d.h.. x 1 Definition: Das n Tupel x =. x n x n = φ 1 B (v) mit v = x 1 v x n v n heißt Koordinatenvektor des Vektors v V bezüglich der Basis (v 1,..., v n ). Problem: Seien w 1,..., w m V und W = Kw Kw m. Ferner sei eine Basis B = (v 1,..., v n ) von V vorgegeben. Wie bestimmt man eine Basis von W? Lösung: (1) Stelle jeden erzeugenden Vektor w i als Linearkombination von v 1,..., v n dar: w i = n λ ij v j, i = 1,..., m. Dann ist j=1 λ i1 u i =. λ in der Koordinatenvektor von w i bezüglich B, i = 1,..., m. 10

11 (2) In II.3 wurde beschrieben, wie man durch elementare Umformung der Matrix A = (λ ij ),...,m mit den Zeilenvektoren u 1,..., u m eine Basis B 0 = j=1,...,n (b 1,..., b s ) von W = Ku Ku m = φ 1 B (W ) bekommt. (3) Berechne B 0 = (φ B (b 1 ),..., φ B (b s )). Nach 1.8a) ist dann B 0 eine Basis von W = φ B (W ), denn die Abbildung ist ein Isomorphismus. ϕ : W W, w φ B (w ) Beispiel: Sei V der R Vektorraum der Polynome vom Grad. Wie gesehen ist B = (1, t, t 2, t 3 ) eine Basis von V. a 0 φ B : R 4 V, a 1 a 2 a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 a 3 ist dann ein Isomorphismus mit Inversem φ 1 B : V R4, a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 a 1 a 2 a 3 (Hier ist v 1 = 1, v 2 = t, v 3 = t 2, v 4 = t 3 ) Sei W V der UVR, der von den Polynomen w 1 = 1+t 2, w 2 = (1+t) 2, w 3 = (1 + t) 3 und w 4 = t(1 + t) 2 erzeugt wird a 0 W = {λ 1 (1 + t 2 ) + λ 2 (1 + t) 2 + λ 3 (1 + t) 3 + λ 4 t(1 + t) 2 λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 R} w 1 = t + 1 t t 3 u t 1 = (1, 0, 1, 0) w 2 = 1 + 2t + 1 t t 3 u t 2 = (1, 2, 1, 0) w 3 = 1 + 3t + 3t t 3 u t 3 = (1, 3, 3, 1) w 4 = t + 2t t 3 u t 4 = (0, 1, 2, 1) 11

12 b t b t 2. Daher bilden b t b 1 = 0 1, b 2 = 1 0 und b 3 = 0 2 eine Basis von W = φ 1 b (W ) Nach 1.8 ist daher φ B (b 1 ) = 1 + t 2, φ B (b 2 ) = t, φ B (b 3 ) = 2t 2 + t 3 eine Basis W ; insbesondere ist dim W = 3. 12

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