Herzlich Willkommen zur letzten Vorlesung in. Statistik 2. vor Weihnachten

Transkript

1 Herzlich Willkommen zur letzten Vorlesung in Statistik 2 vor Weihnachten

2 Was sollen wir heute machen? Vorlesung? Übung? Weihnachtsfeier?

6 Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhängigkeit 20. Dezember 2007

7 Motivation Definition und Entwicklung In den letzten Jahren hat das Management von Finanzrisiken immer mehr an Bedeutung gewonnen (Basel II, Solvency II). Dabei ist insbesondere die Abhängigkeit von verschiedenen Risiken untereinander immer mehr in den Blickpunkt gerückt ( Im Moment scheint alles mit allem zusammenzuhängen, FAZ zur Subprime-Krise). Copulas sind zur Zeit im quantitativen Risikomanagement und der Versicherungsmathematik sehr populär.

10 Motivation Definition und Entwicklung Suche nach dem Wort Copula in Google lieferte Treffer, im September 2005 bereits Treffer. Es gibt allerdings auch Kritik an diesem regelrechten Copula-Hype : Z.B. Thomas Mikosch: Copulas: Tales and Facts, 2005 ( Aber er trägt gar keine Kleider ) Link zur Vorlesung: Abhängigkeit

13 Literatur Definition und Entwicklung Nelsen, Roger B.: An Introduction to Copulas, 2. Auflage, Springer, 2006 McNeil, Alexander J.; Frey, Rüdiger; Embrechts, Paul: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, Tools, Princeton University Press, 2005 Embrechts, Paul; Lindskog, Filip; McNeil, Alexander J.: Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management, in Rachev, Svetlozar T. (Hrsg.): Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance, Elseriver, 2003, S

16 Literatur Definition und Entwicklung Embrechts, Paul; McNeil, Alexander J.; Straumann, Daniel: Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls, in Dempster, M. (Hrsg.): Risk Management: Value at Risk and Beyond, 2002, S

17 Gliederung Definition und Entwicklung 1 Definition und Entwicklung 2 3

18 Gliederung Definition und Entwicklung Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar 1 Definition und Entwicklung Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar 2 3

19 Verallgemeinerte Inverse Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar Definition Sei T : R R eine nichtfallende Funktion. Dann heißt die Funktion T 1 : R R := [, + ] mit T 1 (y) := inf {x R T (x) y} die verallgemeinerte (linksseitig stetige) Inverse von T. Proposition Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F. Dann gilt P ( F 1 F (X ) = X ) = 1.

20 Verallgemeinerte Inverse Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar Definition Sei T : R R eine nichtfallende Funktion. Dann heißt die Funktion T 1 : R R := [, + ] mit T 1 (y) := inf {x R T (x) y} die verallgemeinerte (linksseitig stetige) Inverse von T. Proposition Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F. Dann gilt P ( F 1 F (X ) = X ) = 1.

21 Verallgemeinerte Inverse Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar Proposition Sei F die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen X und F 1 ihre verallgemeinerte Inverse, das heißt F 1 (y) = inf{x R F (x) y}. Dann gilt 1 ( Quantilstransformation) Für U U(0, 1) gilt P ( F 1 (U) x ) = F (x). 2 ( Wahrscheinlichkeitstransformation) Falls X die stetige Verteilungsfunktion F hat, gilt F (X ) U(0, 1).

22 Grundidee Definition und Entwicklung Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar Isolierung der Information über die Abhängigkeitsstruktur zwischen den einzelnen Komponenten eines Zufallsvektors X = (X 1,..., X n ), welche implizit in der gemeinsamen Verteilungsfunktion F (x 1,..., x n ) = P (X 1 x 1,..., X n x n ) von X enthalten ist. Eine n-dimensionale Copula C verknüpft die Verteilungsfunktionen F 1,..., F n der einzelnen Komponenten von X mit der gemeinsamen Verteilungsfunktion F.

23 Grundidee Definition und Entwicklung Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar Isolierung der Information über die Abhängigkeitsstruktur zwischen den einzelnen Komponenten eines Zufallsvektors X = (X 1,..., X n ), welche implizit in der gemeinsamen Verteilungsfunktion F (x 1,..., x n ) = P (X 1 x 1,..., X n x n ) von X enthalten ist. Eine n-dimensionale Copula C verknüpft die Verteilungsfunktionen F 1,..., F n der einzelnen Komponenten von X mit der gemeinsamen Verteilungsfunktion F.

24 Entstehung und Entwicklung Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar Copula (lat.): Band, Verbindungsstück Im statistischen Sinne wurde das Wort Copula erstmals von Abe Sklar im Jahr 1959 benutzt. Viele Ideen und grundlegende Ergebnisse gehen allerdings schon auf Wassily Heoffding zurück (Anfang 40er Jahre des 20. Jh). Ohne Hoeffdings Arbeiten zu kennen, kam Maurice Fréchet 1951 zu einer Vielzahl gleicher Ergebnisse.

28 Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar Nach 1959 wurden Copulas von unterschiedlichen Autoren wiederentdeckt und teilweise mit anderen Namen wie uniform representations oder dependence functions bezeichnet. Bei der Untersuchung der Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen wurden Copulas das erste Mal von Schweizer und Wolff im Jahre 1981 explizit benutzt. Bezeichnung: Wir bezeichnen die Menge der n-dimensionalen Copulas mit C n.

31 Definition Definition und Entwicklung Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar Definition (Copula 1) Eine n-dimensionale Copula ist die multivariate Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors (U 1,..., U n ) mit lauter auf [0, 1] gleichverteilten Komponenten. Alternativ zu dieser recht anschaulichen Definition, kann eine Copula auch foldendermaßen etwas formaler definiert werden:

32 Definition 2 Definition und Entwicklung Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar Definition (Copula 2) Eine n-dimensionale Copula ist eine Funktion C : [0, 1] n [0, 1], welche die folgenden drei Eigenschaften erfüllt: 1 C(u 1,..., u n ) ist in jeder Komponente u i, i = 1,..., n wachsend. 2 C(1,..., 1, u i, 1,..., 1) = u i für alle i {1,..., n}, u i [0, 1]. 3 Für alle (a 1,..., a n ), (b 1,..., b n ) [0, 1] n mit a i b i für i = 1,..., n gilt 2 i 1 =1 2 ( 1) i 1+ +i n C(u 1i1,..., u nin ) 0, (1) i n=1 mit u j1 = a j und u j2 = b j für alle j {1,..., n}.

33 Satz von Sklar Definition und Entwicklung Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar Satz (Sklar, 1959) Sei F eine gemeinsame Verteilungsfunktion mit Randverteilungen F 1,..., F n. Dann existiert eine Copula C : [0, 1] n [0, 1], so dass für alle x 1,..., x n R F (x 1,..., x n ) = C(F 1 (x 1 ),..., F n (x n )) (2) gilt. Falls die Randverteilungen stetig sind, ist C eindeutig. Ansonsten ist C auf Ran F 1 Ran F 2... Ran F n eindeutig bestimmt, wobei Ran F i = F i (R). Umgekehrt gilt, dass falls C eine Copula und F 1,..., F n univariate Verteilungsfunktionen sind, die in (2) definierte Funktion eine gemeinsame Verteilungsfunktion mit Randverteilungen F 1,...,F n ist.

34 Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar Aus dem Satz von Sklar erhalten wir mit u i := F i (x i ), i = 1,..., n unmittelbar das folgende Korollar: Korollar Sei F eine n-dimensionale Verteilungsfunktion mit stetigen Randverteilungen F 1,..., F n und Copula C (wobei C (2) erfüllt). Dann gilt für alle u = (u 1,..., u n ) [0, 1] n C(u 1,..., u n ) = F (F 1 1 (u 1 ),..., F 1 n (u n )). (3) Ohne die Annahme der Stetigkeit, muss man vorsichtig sein.

35 Copula von F Definition und Entwicklung Hilfsmittel Grundidee und Entwicklung Definition und der Satz von Sklar Definition Sei X = (X 1,..., X n ) ein Zufallsvektor mit gemeinsamer Verteilungsfunktion F und stetigen Randverteilungen F 1,..., F n. Dann ist die Copula von F (beziehungsweise die Copula von X) die Verteilungsfunktion C von (F 1 (X 1 ),..., F n (X n )).

36 Gliederung Definition und Entwicklung Gleichmäßige Stetigkeit und Invarianz Fréchet-Hoeffding Schranken 1 Definition und Entwicklung 2 Gleichmäßige Stetigkeit und Invarianz Fréchet-Hoeffding Schranken 3

37 Gleichmäßige Stetigkeit auf [0, 1] n Gleichmäßige Stetigkeit und Invarianz Fréchet-Hoeffding Schranken Eine n-dimensionale Copula ist auf [0, 1] n gleichmäßig stetig, wie folgender Satz besagt. Satz Sei C : [0, 1] n [0, 1] eine Copula. Dann gilt für alle u = (u 1,..., u n ) und ũ = (ũ 1,..., ũ n ) in [0, 1] n C(ũ) C(u) n ũ k u k. k=1

38 Invarianz Definition und Entwicklung Gleichmäßige Stetigkeit und Invarianz Fréchet-Hoeffding Schranken Eine weitere wichtige Eigenschaft von Copulas ist ihre Invarianz unter streng wachsenden Transformationen. Proposition Sei X = (X 1,..., X n ) ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und Copula C, weiter seien T 1,..., T n streng wachsende Funktionen auf Ran X 1,..., Ran X n. Dann besitzt (T 1 (X 1 ),..., T n (X n )) ebenfalls die Copula C.

39 Partielle Ordnung für Copulas Gleichmäßige Stetigkeit und Invarianz Fréchet-Hoeffding Schranken Wir führen nun eine Ordnung für Copulas ein. Definition Seien C 1 und C 2 zwei n-dimensionale Copulas. Dann sagen wir C 1 ist größer [ kleiner ] als C 2 und schreiben C 1 [ ]C 2 genau dann, wenn C 1 (u) [ ]C 2 (u) für alle u [0, 1] n gilt. Bemerkung Diese Ordnung auf der Menge der Copulas ist nicht vollständig. Sie ist unvollständig, da nicht jedes Paar von Copulas in ihr vergleichbar ist.

40 Fréchet-Hoeffding Schranken Gleichmäßige Stetigkeit und Invarianz Fréchet-Hoeffding Schranken Satz Für jede Copula C : [0, 1] n [0, 1] gilt { n } max u i n + 1, 0 C(u 1,..., u n ) min{u 1,..., u n }. i=1 (4) Definition Die untere Schranke in (4) wird gewöhnlich mit W (u 1,..., u n ) bezeichnet und die untere Fréchet-Hoeffding Schranke genannt. Die obere Schranke in (4) wird gewöhnlich mit M(u 1,..., u n ) bezeichnet und entsprechend die obere Fréchet-Hoeffding Schranke genannt.

41 Fréchet-Hoeffding Schranken Gleichmäßige Stetigkeit und Invarianz Fréchet-Hoeffding Schranken Satz Für jede Copula C : [0, 1] n [0, 1] gilt { n } max u i n + 1, 0 C(u 1,..., u n ) min{u 1,..., u n }. i=1 (4) Definition Die untere Schranke in (4) wird gewöhnlich mit W (u 1,..., u n ) bezeichnet und die untere Fréchet-Hoeffding Schranke genannt. Die obere Schranke in (4) wird gewöhnlich mit M(u 1,..., u n ) bezeichnet und entsprechend die obere Fréchet-Hoeffding Schranke genannt.

42 Gleichmäßige Stetigkeit und Invarianz Fréchet-Hoeffding Schranken Bemerkung 1 M(u 1,..., u n ) = min{u 1,..., u n } ist für alle n 2 eine Copula. 2 Für n = 2 ist W (u 1, u 2 ) = max{u 1 + u 2 1, 0} eine Copula. 3 Für n 3 ist W (u 1,..., u n ) = max{ n i=1 u i n + 1, 0} keine Copula.

43 Gleichmäßige Stetigkeit und Invarianz Fréchet-Hoeffding Schranken Aber obwohl W für n 3 keine Copula ist, ist die untere Fréchet-Hoeffding Schranke die bestmögliche untere Schranke im folgenden Sinne. Satz Für alle n 3 und alle u [0, 1] n existiert eine (von u abhängige) Copula C, so dass gilt C(u) = W (u).

44 Gliederung Definition und Entwicklung Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas 1 Definition und Entwicklung 2 3 Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas

45 Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Copulas, die wichtige Abhängigkeitsstrukturen repräsentieren Die Unabhängigkeitscopula ist gegeben durch n Π(u 1,..., u n ) := u i. i=1 Die Komonotoniecopula ist die obere Fréchet-Hoeffding Schranke M(u 1,..., u n ) = min{u 1,..., u n }. (5) Diese Copula ist gerade die gemeinsame Verteilungsfunktion des Zufallsvektors U = (U,..., U) mit U U(0, 1). Man sagt manchmal auch, dass M perfekte positive Abhängigkeit beschreibt.

46 Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Copulas, die wichtige Abhängigkeitsstrukturen repräsentieren Die Unabhängigkeitscopula ist gegeben durch n Π(u 1,..., u n ) := u i. i=1 Die Komonotoniecopula ist die obere Fréchet-Hoeffding Schranke M(u 1,..., u n ) = min{u 1,..., u n }. (5) Diese Copula ist gerade die gemeinsame Verteilungsfunktion des Zufallsvektors U = (U,..., U) mit U U(0, 1). Man sagt manchmal auch, dass M perfekte positive Abhängigkeit beschreibt.

47 Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Copulas, die wichtige Abhängigkeitsstrukturen repräsentieren Die Kontramonotoniecopula ist die untere Fréchet-Hoeffding Schranke für n = 2 W (u 1, u 2 ) = max{u 1 + u 2 1, 0}. (6) Diese Copula ist gerade die gemeinsame Verteilungsfunktion des Zufallsvektors U = (U, 1 U) mit U U(0, 1). Analog zum komonotonen Fall sagt man manchmal auch, dass W perfekte negative Abhängigkeit beschreibt.

48 Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Definition komonotoner und kontramonotoner Zufallsvariablen Definition Die Zufallsvariablen X 1,..., X n heißen komonoton, wenn sie die obere Fréchet-Hoeffding Schranke (5) als Copula haben. Für n = 2 definiert man entsprechend: Definition Die Zufallsvariablen X 1 und X 2 heißen kontramonoton, wenn sie die untere Fréchet-Hoeffding Schranke für n = 2, also gerade (6), als Copula haben.

49 Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Definition komonotoner und kontramonotoner Zufallsvariablen Definition Die Zufallsvariablen X 1,..., X n heißen komonoton, wenn sie die obere Fréchet-Hoeffding Schranke (5) als Copula haben. Für n = 2 definiert man entsprechend: Definition Die Zufallsvariablen X 1 und X 2 heißen kontramonoton, wenn sie die untere Fréchet-Hoeffding Schranke für n = 2, also gerade (6), als Copula haben.

50 Komonotone Zufallsvariablen Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Satz Sei X = (X 1,..., X n ) ein Zufallsvektor mit den Randverteilungen F 1,..., F n. Dann sind die folgende Aussagen äquivalent: 1 Die Zufallsvariablen X 1,..., X n sind komonoton; 2 Es existieren eine Zufallsvariable Z und wachsende Funktionen f 1,..., f n, so dass X d = (f 1 (Z),..., f n (Z)); 3 Für U U(0, 1) gilt X = d (F1 1 (U),..., Fn 1 (U))

51 Kontramonotone Zufallsvariablen Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Proposition Die Zufallsvariablen X 1 und X 2 sind genau dann kontramonoton, wenn (X 1, X 2 ) d = (f 1 (Z), f 2 (Z)) für eine Zufallsvariable Z, eine wachsende Funktion f 1 und eine fallende Fuktion f 2 oder umgekehrt, das heißt f 1 eine fallende Funktion und f 2 eine wachsende Fuktion, erfüllt ist. Bemerkung Das Konzept der Kontramonotonie kann nicht auf höhere Dimensionen, das heißt n 3, verallgemeinert werden, da die untere Fréchet-Hoeffding Schranke dann keine Copula mehr ist.

52 Weitere Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Die hier vorgestellten Copulas können in drei Kategorien eingeteilt werden: Die so genannten fundamentalen Copulas, die wichtige Abhängigkeitsstrukturen repräsentieren. Die so genannten impliziten Copulas, die mit Hilfe von (3) aus bekannten multivariaten Verteilungsfunktionen abgeleitet werden und nicht notwendigerweise in einer einfachen geschlossenen Form angegeben werden können. Die so gennaten expliziten Copulas, die in einfachen geschlossenen Ausdrücken angegeben werden können.

56 Fundamentale Copulas Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Die wichtigsten Beispiele der ersten Kategorie, nämlich die Unabhängigkeitscopula Π, die Komonotoniecopula M wie in (5) und die Kontramonotoniecopula W wie in (6), haben wir bereits kennengelernt. Als nächstes wollen wir zwei Beispiele für implizite Copulas angeben.

57 Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Implizite Copulas: Gauß-Copula Sei Y N n (µ, Σ) ein multivariat normalverteilter Zufallsvektor, dann hat er die sogenannte Gauß-Copula (Normalcopula) als Copula: C Ga P (u) = P (Φ(X 1) u 1,..., Φ(X n ) u n ) = Φ P ( Φ 1 (u 1 ),..., Φ 1 (u n ) ), (7) wobei Φ die Verteilungsfunktion der univariaten Standardnormalverteilung ist und Φ P die gemeinsame Verteilungsfunktion von X N n (0, P), mit P = (ρ(y)) i,j die Korrelationsmatrix von Y, bezeichnet.

58 Implizite Copulas: t-copula Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Die n-dimensionale t-copula hat die Form C t ν,p (u) = t ν,p ( t 1 ν (u 1 ),..., tν 1 (u n ) ), (8) wobei t ν die Verteilungsfunktion der univariaten Standard-t-Verteilung ist und t ν,p die gemeinsame Verteilungsfunktion des Zufallsvektors X t n (ν, 0, P) bezeichnet und P eine Korrelationsmatrix ist. Während die gerade kennengelernten Gauß- und t-copula Copulas sind, die von bekannten multivariaten Verteilungsfunktionen impliziert werden und selbst keine einfache geschlossene Form haben, wollen wir jetzt für den bivariaten Fall zwei Beispiele für Copulas mit einer einfachen geschlossenen Form geben.

59 Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Explizite Copulas: Bivariate Gumbel-Copula Die bivariate Gumbel-Copula ist durch { ( Cθ Gu (u 1, u 2 ) = exp ( ln u 1 ) θ + ( ln u 2 ) θ) } 1/θ, 1 θ, gegeben. Für θ = 1 erhalten wir die Unabhängigkeitscopula als Spezialfall und der Grenzfall von Cθ Gu für θ ist die zweidimensionale Komonotoniecopula.

60 Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Explizite Copulas: Bivariate Clayton-Copula Die bivariate Clayton-Copula ist durch gegeben. Cθ Cl (u 1, u 2 ) = (u1 θ + u2 θ 1) 1/θ, 0 < θ <, Im Grenzfall θ 0 gehen wir gegen die Unabhängigkeitscopula und für θ gehen wir gegen die zweidimensionale Komonotoniecopula.

61 Archimedische Copulas Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Die bivariate Gumbel-Copula und die bivariate Clayton-Copula gehören beide zu der so genannten Familie der archimedischen Copulas. Diese Familie wurde in der Vergangenheit sehr ausführlich untersucht. Diese Familie von Copulas hat sich unter anderem bei der Modellierung des Risikos aus einem Kreditportfolio als sehr hilfreich erwiesen.

62 Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Archimedische Copulas: Pseudo Inverse Definition Angenommen φ : [0, 1] [0, ] sei stetig und streng wachsend mit φ(1) = 0 und φ(0). Dann definieren wir eine Pseudo-Inverse von φ mit Definitionsbereich [0, ] durch φ [ 1] (t) = { φ 1 (t), 0 t φ(0) 0, φ(0) < t. (9) Mit Hilfe dieser Definition können wir jetzt bivariate Archimedische Copulas definieren:

63 Archimedische Copulas Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Satz Sei φ : [0, 1] [0, ] stetig und streng wachsend mit φ(1) = 0 und φ [ 1] (t) wie in (9). Dann ist C(u 1, u 2 ) = φ [ 1] (φ(u 1 ) + φ(u 2 )) (10) genau dann eine Copula, wenn φ konvex ist. Alle Copulas die gemäß (10) konstruiert wurden, heißen bivariate Archimedische Copulas.

64 Fundamentale Copulas Implizite Copulas Explizite Copulas Generator einer Archimedischen Copula Definition Eine stetige, streng wachsende, konvexe Funktion φ : [0, 1] [0, ], die φ(1) = 0 erfüllt, wird als Generator einer Archimedischen Copula bezeichnet. Ein solches φ heißt strikter Generator, falls φ(0) =. Die Generatoren für die Gumbel- und die Clayton-Copula sind folglich φ Gu (t) = ( ln t) θ bzw. φ Cl (t) = 1 θ (t θ 1).

65 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!

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