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1 Tail Abhängigkeit Definition 12 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit Randverteilungen F 1 und F 2. Der Koeffizient der oberen Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert: λ U (X 1,X 2 ) = lim P(X u 1 2 > F2 (u) X 1 > F1 (u)) vorausgesetzt der Limes existiert. Der Koeffizient der unteren Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert: λ L (X 1,X 2 ) = lim P(X u F2 (u) X 1 F1 (u)) vorausgesetzt der Limes existiert. Wenn λ U > 0 (λ L > 0) heißt es, (X 1,X 2 ) T hat eine obere (untere) Tail-Abhängigkeit. 39

2 Definition 13 Sei Copula C die Verteilungsfunktion von (U 1,U 2,...,U d ) mit U i U[0,1], i = 1,2,...,d. Die Verteilungsfunktion von (1 U 1,1 U 2,...,1 U d ) heißt Survival Copula von C und wird mit Ĉ bezeichnet. Lemma 4 Sei X ein Zufallsvektor mit multivariater Tail-Funktion F ( F(x 1,x 2,...,x d ) = Prob(X 1 > x 1,X 2 > x 2,...,X d > x d )) und Randverteilungsfunktionen F i, i = 1,2,...,d. Sei F i = 1 F i, i = 1,2,...,d. Es gilt F(x 1,x 2,...,x d ) = Ĉ( F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F d (x d ) Lemma 5 Für jede Copula C gilt Ĉ(1 u 1,1 u 2 ) = 1 u 1 u 2 +C(u 1,u 2 ), wobei Ĉ die Survival-Copula von C ist. Theorem 17 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungsfunktionen und Copula C. Es gilt λ U (X 1,X 2 ) = lim u 1 λ L (X 1,X 2 ) = lim u 0 + vorausgesetzt die Limes existieren. 1 2u+C(u,u) 1 u C(u, u) u und 40

3 Beispiel 13 Die Gumbel Familie von Copulas: C Gu θ (u 1,u 2 ) = exp ( [ ( lnu 1 ) θ +( lnu 2 ) θ] 1/θ ), θ 1 Es gilt λ U = 2 2 1/θ, λ L = 0. Beispiel 14 Die Clayton Familie von Copulas: Es gilt λ U = 0, λ L = 2 1/θ. C Cl θ (u 1,u 2 ) = (u θ 1 +u θ 2 1)1/θ, θ > 0 41

4 Elliptische Copulas Definition 14 Sei X ein d-dimensionaler Zufallsvektor, seien µ IR d und Σ IR d d zwei Konstanten, und sei ψ:[0, ) IR eine Funktion. Wenn φ X µ = ψ(t T Σt) gilt, wobei φ X µ die charakteristische Funktion von X µ ist, dann ist X eine elliptisch verteilter Zufallsvektor mit Parameter µ, Σ, ψ: X E d (µ,σ,ψ). ψ heißt erzeugende Funktion (oder Generator) von X. Für d = 1 stimmen die elliptischen Verteilungen mit den symmetrischen Verteilungen überein. Überzeugen Sie sich! Verwenden Sie die stochastische Darstellung einer elliptischen Verteilung. Theorem 18 (Stochastische Darstellung) Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X ist elliptisch verteilt, X E d (µ,σ,ψ) und rang(σ) = k, dann und nur dann wenn es eine Matrix A IR d k, A T A = Σ, sowie eine nicht negative Zufallsvariable R und einen k-dimensionalen auf der Einheitskugel S k 1 = {z IR k :z z z = 1} gleichverteilten Zufallsvektor U gibt, sodass R und U unabhängig sind und X d = µ+rau. Anmerkung: Eine elliptische Verteilung X ist radial symmetrisch: X µ d = µ X. 42

5 Definition 15 Sei X E d (µ,σ,ψ) mit Verteilungsfunktion F und stetigen Randverteilungen F 1,F 2,...,F d. Dann wird die eindeutige Copula C von F, C(u) = F(F 1 (u 1),...,F d (u d)), elliptische Copula genannt. Beispiel 15 Gauss sche Copulas sind elliptische Copulas Sei CR Ga die Copula einer d-dimensionalen standard Normalverteilung mit Korrelationsmatrix R: C Ga R (u) = φ d R(φ 1 (u 1 ),...,φ 1 (u d )), wobei φ d R die Gesamtverteilungsfunktion einer d-dimensionalen Normalverteilung mit Erwartungsvektor 0 und Korrelationsmatrix R und φ 1 die Inverse der Verteilungsfunktion einer univariaten standard Normalverteilung ist. Da die Normalverteilung eine elliptische Verteilung ist, ist diegauss sche Copula CR Ga eine elliptische Copula. Im bivariaten Fall gilt: C Ga R (u 1,u 2 ) = φ 1 (u 1 ) φ 1 (u 2 ) wobei ρ ( 1,1). 1 2π(1 ρ 2 ) 1/2 exp { (x 2 1 2ρx 1 x 2 +x 2 2 ) } dx 2(1 ρ 2 1 dx 2, ) 43

6 t-copula: ein weiteres Beispiel elliptischer Copulas Definition 16 Sei X d = µ+ α S AZ t d (α,µ,σ), wobei µ IR d, α IN, α > 1, S χ 2 α, A IRd k mit AA t = Σ und Z N k (0,I k ), und S und Z unabhängig sind. Es heißt, X hat eine d-dimensionale t-verteilung mit Mittelwert µ (für α > 1) und Kovarianzmatrix Cov(X) = α α 2 Σ (für α > 2). Cov(X) existiert nicht für α 2. Definition 17 Die Copula Cα,R t Copula gilt: von X heißt t-copula. Für die t- C t α,r (u) = td α,r (t 1 α (u 1),...,t 1 α (u d)). R ij = Σ ij, i,j = 1,2...,d, ist die Korrelationsmatrix von Z, Σii Σ jj t d α,r ist die Verteilungsfunktion von α S Z, wobei S χ 2 α und Z N k (0,I k ) unabhängig sind, und t α sind die Randverteilungen von t d α,r. Bivariater Fall (d = 2): C t α,r (u 1,u 2 ) = t 1 α (u 1) t 1 α (u 2) 1 2π(1 ρ 2 ) 1/2 { 1+ x2 1 2ρx 1x 2 +x 2 2 α(1 ρ 2 ) für ρ ( 1,1). R 12 ist der lineare Korrelationskoeffizient der dazugehörigen bivariaten t α -Verteilung für α > } (α+2)/2 dx 1 dx 2,

7 Copulas: Weitere Eigenschaften Definition 18 (Radiale Symmetrie oder Kugel-Symmetrie) Ein Zufallsvektor X (oder eine Verteilungsfunktion) heißt radial symmetrisch (oder kugel-symmetrisch) um den Punkt a wenn X a d = a X. Beispiel: Ein elliptisch-verteilter Zufallsvektor X E d (µ,σ,ψ) IR d ist radial-symmetrisch um µ. Definition 19 (Radiale Symmetrie von Copulas) Eine Copula C heißt radial-symmetrisch wenn (U 1 0.5,...,U d 0.5) d = (0.5 U 1,...,0.5 U d ) U d = 1 U, wobei (U 1,U 2,...,U d ) ein Zufallsvektor mit Verteilungsfunktion C ist. Für eine radial symmetrische Copula gilt C = Ĉ. Beispiel: Elliptische Copulas sind radial symmetrisch. Die Gumbel und Clayton Copulas sind es nicht. Überzeugen Sie sich! 45

8 Die Dichtefunktion einer Copula Copulas haben nicht immer eine Dichtefunktion. Z.B. die Co- Monotonie Copula M bzw. die Anti-Monotonie Copula W haben keine Dichtefunktion. Wenn die Dichtefunktion c einer Copula C existiert dann gilt c(u 1,u 2,...,u d ) = C(u 1,u 2,...,u d ) u 1 u 2... u d Sei C die Copula einer Gesamtverteilung F mit stetigen Randverteilungsfunktionen F 1,...,F d. Dann kann die Gleichung C(u 1,...,u d ) = F(F 1 (u 1 ),...,F d (u d)) differenziert werden um die Dichte c von C zu erhalten: c(u 1,...,u d ) = f(f 1 1 (u 1),...,F 1 d (u d )) f 1 (F1 1 (u 1))...f d (F 1 d (u d )) f ist die Gesamtdichtefunktion, f i sind die Dichtefunktionen der Randverteilungen, 1 i d, und F 1 i ist die inverse Funktion von F i. 46

9 Definition 20 Ein Zufallsvektor X heißt vertauschbar ( exchangeable ) wenn (X 1,...,X d ) d = (X π(1),...,x π(d) ) für jede Permutation (π(1),π(2),...,π(d)) von (1,2,...,d). Definition 21 Eine Copula C heißt vertauschbar wenn sie die Gesamtverteilung eines vertauschbaren Zufallsvektors (mit Gleichverteilungen als Randverteilungen) ist. Für eine solche Copula gilt: C(u 1,u 2,...,u d ) d = C(u π(1),u π(2),...,u π(d) ) für jede Permutation (π(1),π(2),...,π(d)) von (1,2,...,d). Beispiele von vertauschbaren Copulas: Gumbel, Clayton, Gauss sche Copula CP Ga, t-copula Ct ν,p für den Fall, dass P eine Equikorrelationsmatrix ist: R = ρj d + (1 ρ)i d. J d IR d d ist eine Matrix bestehend aus lauter Einser, und I d IR d d ist die d-dimensionale Einheitsmatrix. Für bivariate vertauschbare Copulas gilt: P(U 2 u 2 U 1 = u 1 ) = P(U 1 u 2 U 2 = u 1 ). 47

10 Theorem 19 Sei (X 1,X 2 ) T ein normalverteilter Zufallsvektor. Dann gilt: λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 0. Korollar 2 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und einer Gauss schen Copula Cρ Ga, wobei ρ der Koeffizient der linearen Korrelation zwischen X 1 und X 2 ist. Dann gilt: λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 0. Theorem 20 Sei (X 1,X 2 ) T ein t-verteilter Zufallsvektor mit ν Freiheitsgraden, Mittelwert 0 und linearer Korrelationsmatrix R: (X 1,X 2 ) T t 2 (0,ν,R). Für R 12 > 1 gilt: ( ν ) 1 R12 λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 2 t ν R12 Beweis: Ähnlich wie der Beweis von Satz 19. Hinweis:. X 2 X 1 = x ( ν +1 ν +x 2 ) 1/2 X 2 ρx 1 ρ 2 t ν+1 48

Theorem 9 Sei G eine Verteilungsfunktion in IR. 1. Quantil-Transformation: Wenn U U(0, 1) (standard Gleichverteilung), dann gilt P(G (U) x) = G(x).

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