4. Mathematikschulaufgabe

Transkript

1 Klasse 7 1. Vereinfache so weit wie möglich: ( 17yx 7y ) 16xy x 4,8y x xy x 2,2y = 2. Vereinfache: = a) ( b) ab ( ab) b) ( 3x y) ( 13x y ) 8xy ( 5x y ) 6xy ( x y) + = 3. a) Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC aus γ = 90, c = 5,8 cm und α = 39. b) Spiegele das Dreieck ABC an B. c) Zeichne ein Achsenpaar ein, das dieselbe Abbildung bewirkt. 4. a) In einem rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90 ist β fünfmal so groß wie α. Berechne α und β b) In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Winkel Berechne die beiden anderen Winkel. c) In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel jeweils um 18 kleiner als der Winkel an der Spitze. Berechne die drei Winkel. GM_A0005 **** Lösungen 3 Seiten

2 4. Klassenarbeit Klasse 7 Hinweis: Bei allen Konstruktionen dürfen nur Zirkel und Lineal verwendet werden! 1. Prüfe, ob die Aussagen wahr (w) oder falsch (f) sind! a) Jedes Quadrat ist ein Trapez. c) Jedes Parallelogramm ist eine Raute. b) Jedes Quadrat ist eine Raute. d) Jede Raute ist ein Drachenviereck. 2. Konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels β und spiegle an dieser Geraden das Dreieck ABC! 3. Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf g liegt. Konstruiere das Lot von P auf g und formuliere hierzu eine Konstruktionsanweisung! GM_A0054 **** Lösungen 3 Seiten 1 (2)

3 4. Drei Wochenendhäuser A, B und C sollen durch einen Brunnen mit Wasser versorgt werden. Das Bohrloch soll gleich weit von jedem Haus entfernt sein. Wie weit ist das Bohrloch von den Häusern entfernt? ( Abstände der Häuser: AB = 50 m; BC = 80 m; AC = 70 m ) 5. Bestimme durch eine Konstruktion alle Punkte, die sowohl von P als auch von g den Abstand 3 cm haben! GM_A0054 **** Lösungen 3 Seiten 2 (2)

4 4. Klassenarbeit Klasse 7 Hinweis: Bei allen Konstruktionen dürfen nur Zirkel und Lineal verwendet werden! 1. Nenne sechs Beispiele für Symmetrieachsen in Flächen! 2. Bestimme die Beträge der Winkel α, γ und δ in der nebenstehenden Skizze! (Die Skizze ist nicht maßstabsgerecht!) 3. Wie groß sind die Außenwinkel eines gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecks? 4. Konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels γ und spiegle an dieser Geraden das Dreieck ABC! 5. Begründe anhand einer Skizze, warum die Summe der Beiträge der Innenwinkel bei einem Sechs-Eck 720 beträgt! 6. In einem Garten wurde ein runder Gartenteich angelegt. Drei Kastanienbäume A, B und C sollen so gepflanzt werden, daß jeder Baum gleich weit von der Teichmitte entfernt ist. Die Bäume sollen zueinander folgende Abstände haben: AB = 7 m; BC = 4 m; AC = 5 m. Wie weit ist die Teichmitte von den Bäumen entfernt? (Konstruktion!) GM_A0055 **** Lösungen 2 Seiten

5 Klasse 7 1. a) Konstruiere das Dreieck ABC aus c = 8 cm, h b = 4,5 cm und h c = 4,8 cm! (Planfigur und Konstruktionsbeschreibung!) b) Konstruiere das Viereck ABCD aus a = 4 cm, e = 7 cm, c = 5 cm, β = 110 und δ = 90. (Ohne Konstruktionsbeschreibung!) 2. Löse über der Grundmenge G = Q! 3( 2 6x) 3( 3 2x) 2( 5x 1) 3. Berechne und vereinfache! (mit geeigneten Zwischenschritten!) a) ( 8a + 3b)( 3a 8b) ( 6a 4b)( 4a + 6b 7) = b) ( 2a b)( 3b + a)( b + 2a) = 4. Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks ist 60 cm. Jeder Schenkel soll mindestens 7,5 cm länger sein als die Basis. Welche Länge muss ein Schenkel mindestens haben? (Ungleichung aufstellen und lösen!) GM_A0064 **** Lösungen 2 Seiten

6 Klasse 7 Aufgabe 1: Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen! a) 5 x+ 1 3 x+ 1 2 x x x+ 1 = b) 0,6(4 + 3x) = 5(0,7 + 0,2x) + 2,5 Die Grundmenge ist dabei jeweils die Menge der negativen, rationalen Zahlen ohne die Null. Aufgabe 2: Bestimme die beiden Lösungen der folgenden Gleichung! x = 3x + 12x+ 12 Aufgabe 3: Berechne in der nebenstehenden Figur den markierten Winkel α! Dabei ist M der Mittelpunkt des angedeuteten Kreises! Sämtliche verwendeten Winkel müssen klar bezeichnet werden; der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein! Aufgabe 4: Das Dreieck ABC mit A(1/5), B(3/3) und C(4/8) wird mit dem Verschiebungsvektor v! so verschoben, daß C (9/7) der Bildpunkt von C ist. a) Bestimme den Verschiebungsvektor und zeichne Dreieck ABC und Bilddreieck A B C in ein Koordinatensystem. b) Ersetze die Verschiebung durch eine Doppelspiegelung Sa2 " Sa1. Die Achse a 1 soll dabei durch den Punkt P(5/7) verlaufen. Aufgabe 5: Bei einer Drehung seien der Punkt P(2/1) und sein Bildpunkt P (7/5) vorgegeben. Konstruiere das Zentrum der Drehung, die P auf P abbildet, für den Drehwinkel ϕ = 110. GM_A0083 **** Lösungen 2 Seiten

7 Klasse 7 1. Zeichne das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A ( - 3 / - 2 ), B ( 4 / 0 ) und C ( 1 / 4 ) in ein Koordinatensystem und konstruiere den Umkreismittelpunkt U. Gib die Koordinaten von U Millimetergenau an. 2. Konstruiere eine Raute mit der Seitenlänge a = 4 cm und β = 45. Gib in Kurzform die Konstruktionsschritte an. 3. Bestimme in der Grundmenge G = die Lösungsmenge L folgender Gleichung: { ( ) } 5x 8 = x 8 + x 2x x 4. Ermittle in der Grundmenge der rationalen Zahlen die Lösungsmenge L der Doppelungleichung (4x + 5) < 4x 7(x + 1) (3 + 4x) Veranschauliche die Lösungsmenge auf der Zahlengeraden und formuliere sie in der Intervallschreibweise. GM_A0225 **** Lösungen 2 Seiten

8 Klasse 7 1. Bestimme jeweils die Lösungsmenge! (G = ) a) 3 x 2 > 1 (1 5x) x 7x x 4x 5 8x 3 + 6x 84 b) ( ) ( ) ( ) 2. Frau E. will im Monat August (31 Tage) einen Eisstand mieten. Am See ist die Standmiete pro Tag um 10 teurer als im Stadtpark. Pro Portion Eis macht Frau E. im Stadtpark 2 Gewinn, am See hingegen macht sie pro Portion 50 Cent weniger Gewinn. An Schönwettertagen verkauft sie im Stadtpark 50 Portionen Eis, am See dreimal so viele. An Schlechtwettertagen verkauft sie im Stadtpark 40 Portionen Eis, am See dagegen nichts. Wie viele Schönwettertage müssen im August mindestens sein, damit der Stand am See mehr Gewinn abwirft als der Stand im Stadtpark? 3. Zeichne in ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit C als Spitze ( γ< 90 ) alle Höhen ein. Die Höhenfußpunkte sind H, a H b und H c. H ist der Schnittpunkt der Höhen. a) Begründe: Die Ecken des Vierecks CHbHH a liegen auf einem Kreis. b) Konstruiere den Mittelpunkt M dieses Kreises! 4. In der Landschaft seiner Modelleisenbahn baut Egon vom Tal auf die Bergspitze eine Seilbahn und eine Stromleitung. Die benötigten Zahlenwerte findest Du in untenstehender Skizze. a) Konstruiere das Dreieck ABC. Fertige dazu einen Konstruktionsplan und die Konstruktion an. b) Ermittle die Höhe des Berges durch Messung in Deiner Konstruktion! GM_A0226 **** Lösungen 3 Seiten

9 Klasse 7 / (G8) 1. Ergänze zu einem vollständigen Quadrat! a) ,89a b 6,8ab + b) ,76x y + 17,64 c) ( ) ,6st = + 16,12s t + 9,61s t 2. Zerlege soweit wie möglich in Faktoren! a) a b b) x 512y Berechne: ( 0,19 a 9,1b ) 3 4. Faktorisiere: 2as + at + 2bs + bt + as + 2at + bs + 2bt 5. Wie groß sind die Winkel eines gleichschenkligen Trapezes, wenn α γ= 42 ist? 6. Konstruiere ein Parallelogramm ABCD aus e f = 7 cm, b 9,5 cm Konstruktionsbeschreibung! =, ( ) e, f = 120! GM_A0348 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0348)

10 Klasse 7 / (G8) 2 3 2x x 1+ 2x = 8 x x 1,5 x Berechne x: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. a) Fünf Schüler vergleichen ihr wöchentliches Taschengeld und stellen fest, dass sie zusammen im Durchschnitt 12,00 bekommen. Wie viel Taschengeld erhält Charly in der Woche, wenn Anton, Bert, Daniel und Eddie jeweils 15,00, 19,00, 5,00 und 12,00 bekommen? b) Die Klassen 8a, 8b und 8c des Siggi-Schlau-Gymnasiums nahmen jeweils mit 33, 28 und 29 Schülerinnen und Schülern am landesweiten Englischtest teil und erreichten die Durchschnittsnoten 2,60, 4,30 und 2,20 (in dieser Reihenfolge). Welchen Gesamtdurchschnitt erreichten die Schülerinnen und Schüler dieser drei Klassen? 3. Steinkohle als Energieträger wird in Kraftwerken, in Stahlwerken und in privaten Haushalten genutzt. In nebenstehendem Diagramm ist die Verteilung der durch Steinkohle erzeugten Energie skizziert, also nicht maßstabsgetreu dargestellt. a) Wie viel Kilogramm Steinkohle entsprechen 100%? b) Stelle den gleichen Sachverhalt in einem Balkendiagramm dar, in dem der Balken, der die durch die privaten Haushalte genutzte Energie veranschaulicht, 3,0 cm lang ist. 4. Der Absatz der Hobbyzeitschrift Computermäuse hat sich seit dem Erscheinungsjahr 2002 jährlich um (genau) 10% erhöht. Wie hoch war die Anzahl der verkauften Zeitungen im Erscheinungsjahr, wenn im Jahr 2005 insgesamt Zeitungen verkauft wurden? 5. a) Konstruiere das Dreieck ABC mit positivem Umlaufsinn mit A ( 0 1 ), B30, ( ) α= 90, β = 45! b) Trage nun an A 1P 1 Du erhältst die Seite A 1B 1 des Dreiecks das gilt: α 1 =α; β 1 =β. Konstruiere das Dreieck A 1 B 1 C 1! mit A ( 4 5 ) und ( ) P93 die Strecke der Länge c1 = AB an. A B C mit negativem Umlaufsinn, für c) Konstruiere die Achse a 1 so, dass B B 1 und das Bilddreieck A 'B1C' von Dreieck ABC bei dieser Achsenspiegelung! ( ) Aa 1 GM_A0591 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0591)

11 Klasse 7 / (G8) 1. Die beiden Diagramme veranschaulichen das Ergebnis einer Umfrage unter den Schülerinnen einer 10. Klasse nach der Höhe ihres monatlichen Taschengeldes. a) Wie viele Schülerinnen hat die Klasse? b) Wie viele Schülerinnen erhalten mehr als 30 pro Monat? c) Wie viel Prozent der befragten Schülerinnen erhalten mindestens 30 pro Monat? d) Wie viel erhält eine Schülerin im Durchschnitt? 2. Herr Roth kauft einen Computer für 899 zuzüglich 19% Mehrwertsteuer. Er bezahlt bar und erhält deshalb einen Preisnachlass von 3% auf den Endpreis. Wie viel bezahlt er? 3. Das Dreieck ABC ist gleichschenklig. Sind die Dreiecke ADC und EBC kongruent? Begründung! Gib gegebenenfalls den entsprechenden Kongruenzsatz an! Blatt 2 beachten! GM_A0592 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0592) 1 (2)

12 Klasse 7 / (G8) 4. Ein Trapez ist ein Rechteck. Bringe den Satz in die Wenn dann Form und schreibe den Kehrsatz auf. Prüfe die Sätze auf wahr oder falsch. Begründe einen falschen Satz! 5. Gegeben ist folgende Skizze mit AD= 6cm. a) Konstruiere einen 75 -Winkel. b) Konstruiere damit die gegebene Figur. c) Berechne die Winkel α und γ. Begründung! GM_A0592 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0592) 2 (2)

13 Klasse 7 / (G8) 1. Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen: a) ( a+ 5) ( a 2) b) ( 3b + 4) ( 3b + 4) 2. a) Zeichne ein stumpfwinkliges Dreieck ABC (mit dem stumpfen Winkel bei B), das nicht gleichschenklig ist. Trage α, β, γ ein! b) Zeichne die Parallele g zu a durch A. c) Durch Verlängerung der Dreiecksseiten b und c entstehen, zusammen mit der Parallelen g, sechs Teilwinkel bei A. Bezeichne diese mit α, α 2, α 3, α 4, α 5 und α 6 und notiere (mit Stichwort zur Begründung), welcher Teilwinkel mit welchem Innenwinkel des Dreiecks übereinstimmt! 3. Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann besitzt es vier rechte Winkel. a) Wie lautet die Umkehrung dieses Satzes? b) Ist die Umkehrung wahr? (kurze Begrünung!) 4. Zeichne zuerst eine Strecke BC mit [ BC] = 9 cm. Konstruiere dazu ein Dreieck mit α= 90, c = 5cm und gib eine Konstruktionsbeschreibung für deine Konstruktion an! Miss die Länge der Seite b! 5. Führe in einem Koordinatensystem (1 LE = 1 cm) die folgende Konstruktion durch: R34 (2) g= PQ (1) P21, ( ) Q82,5, ( ) ( ) (3) k1( R; r1 RQ ) = (4) k2( Q; r2 = r1) (5) k1 k2 = { T; U} (6) TU RQ = { M} k M; r = MP (8) k MP = { P; S} (7) 3( 3 ) Färbe die Geraden g und RS rot! Welche Lage haben die beiden Geraden zueinander? 6. In untenstehender Figur ist AE CD und EDC = 57. Markiere diesen Winkel auf dem Aufgabenblatt und ermittle anschließend auf nachvollziehbarem Weg, wie groß α= BAE ist! 3 GM_A0593 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0593)

14 Klasse 7 / (G8) 1. a) Wie viele spitze Innenwinkel besitzt ein spitzwinkliges Dreieck, wie viele stumpfe ein stumpfwinkliges? Begründe! b) Zeichne Beispiele für Stufen- und Wechselwinkel an parallelen Geraden! 2. In einem Dreieck ABC gilt: α = 110, a = 0,5cm. Was kannst du über die anderen Winkel und Seiten sagen? 3. Wenn in einem Dreieck eine der Seiten zugleich Durchmesser des Umkreises ist, so ist das Dreieck rechtwinklig. a) Wie lautet die Umkehrung des Satzes? b) Ist die Umkehrung wahr? 4. Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis AB und a = 7 cm, β= 70. Gib eine Konstruktionsbeschreibung an! 5. Zeichne in einen Kreis (um M) mit Radius r = 3,5cm eine 5 cm lange Sehne AB! Wie groß ist der Winkel AMB? Wähle einen Punkt C auf dem Kreisbogen von B nach A. Wie groß ist der Winkel ACB? 6. In der abgebildeten (nicht unbedingt maßstabsgetreuen) Figur ist EDC = 64 und ACIIDE. Wie groß ist β? (Erkläre deinen Lösungsweg!) 7. Führe die folgende Konstruktion durch: Platzbedarf: ganze Seite (1) k1( M; r1 = 4cm) (2) A k1 (3) AM k { A;B} ginamit AB,g = 45 1 = (4) ( ) (5) h in B mit ( ) (7) k2( A; r2 AB ) h, AB = 45 (6) g h= { C} = (8) k ( B; r = r ) (9) D k2 AC, sodass C AD (10) E k3 BC, sodass C BE 8. Konstruiere in einem Koordinatensystem (mit 1LE 1cm an km78;r ( ( ) 3,5cm) =. Platzbedarf: 0 x 12; 0 y 12 = ) die Tangenten von P31 ( ) GM_A0594 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0594)

15 Klasse 7 / (G8) Alle Konstruktionslinien müssen erkennbar sein. Zum Konstruieren von Parallelen darf das Geodreieck für Lote benutzt werden; diese müssen aber als rechte Winkel gekennzeichnet werden. Lösungen 1 bis 3 auf ein Beiblatt, Lösungen 4 bis 6 auf das Aufgabenblatt, 1. a) Ein DVD-Player kostete ursprünglich 90. Dann wurde sein Preis um 19% reduziert. Was kostet er jetzt? (Grundgleichung, Rechnung, Antwortsatz) b) Ein DVD-Player kostete ursprünglich 90. Er wird jetzt für 75 verkauft. Um wie viel Prozent war er vorher teurer? 2. Für die beiden Dreiecke ABC und A BC gilt: a = 5cm; c = 7cm; γ= 95 und a = 7cm; b = 5cm; α = 95. (Keine Konstruktion, nur Skizzen!) a) Entscheide, ob die Dreiecke mit diesen Angaben kongruent sein können. Begründe. b) Warum wäre das Dreieck ABC nicht konstruierbar, wenn a = 7cm; c = 5cm; γ= 95 betragen würde? 3. Berechne ε. Begründe die Rechenschritte. 4. Konstruiere einen Winkel der Größe 165, gib deine Rechenüberlegung an. Blatt 2 beachten! GM_A0595 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0595) 1 (2)

16 Klasse 7 / (G8) 5. Konstruiere die Geraden g 1 und g 2 durch A, die vom Punkt Q den Abstand 1,8 cm haben. Schließe die Figur zu einem Dreieck ABC mit B g1 und C g2 und mit AB= 9cm, so dass auch BC den Abstand 1,8 cm vom Punkt Q besitzt. (Konstruktionsbeschreibung!). 6. Konstruiere ein Dreieck ABC aus Winkel β, Höhe c h und Winkelhalbierender w β. (Skizze kein Kongruenzsatz Konstruktion Konstruktionsbeschreibung) GM_A0595 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0595) 2 (2)

17 1. a) Erkläre kurz, wie man den Umkreismittelpunkt und den dazugehörigen Umkreis für ein Dreieck findet. Welche besondere Eigenschaft hat der Umkreismittelpunkt? b) Konstruiere die Tangenten durch den Punkt P 7 1 die den Kreis berühren, der durch die Punkte A 3 2, B 4 0 und C03 geht. c) Begründe, ob es auch bei Vierecken einen Umkreis geben kann. 2. a) Begründe, wie viele geeignete Stücke (Seiten, Innenwinkel, Diagonalen) mindestens gegeben sein müssen, damit man ein beliebiges Viereck eindeutig konstruieren kann. b) Konstruiere ein Parallelogramm ABCD mit den Maßen: CD c 6 cm, AC e 8 cm und dem Winkel CMD 90, wobei M der Diagonalenschnittpunkt ist. Fertige dazu eine Planfigur an, beschreibe deine wesentlichen Konstruktionsschritte. c) Begründe, welcher weitere Viereckstyp bei Teilaufgabe b entstanden ist. 3. Über der Seite [AB] des Rechtecks ABCD ist ein Halbkreis gezeichnet. a) Berechne die Größe des Winkels. b) Berechne die Größe des Winkels. c) Sind die Geraden BE und MF parallel? 4. Larissa mischt 0,2 Liter Apfelsaft und 0,3 Liter Wasser zu einer Apfelsaftschorle. a) Wie viel Prozent der Schorle sind Apfelsaft? b) Wie viel Liter Apfelsaft braucht Larissa, wenn sie nach obigem Mischungsverhältnis 30 Liter Apfelsaftschorle für ein Schülerfest herstellen will? c) Larissa verkauft auf dem Schülerfest die gesamten 30 Liter Apfelsaftschorle in Bechern zu je 0,2 Liter. Ein Becher Schorle kostet 50 Cent. Welchen Betrag nimmt Larissa ein? GM_A0596 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0596)

18 1. Warum sind zwei Dreiecke nicht unbedingt kongruent, wenn sie in den folgenden Stücken übereinstimmen? a 5cm, 35, c 8cm Konstruiere ein solches Dreieck und begründe deine Antwort anhand einer Zeichnung. 2. Betrachte das nebenstehende gleichschenklige Dreieck ABC. Es gilt AC AB und der Winkel sei 30. Die Mittelpunkte der Kreislinien k 1 und k 2 sind M und E. a) Welches Teildreieck ist aufgrund der eingezeichneten Kreise rechtwinklig? b) Welches Teildreieck ist gleichschenklig? c) Berechne die Winkel 1 und Von zwei stumpfwinkligen Dreiecken sind die folgenden Übereinstimmungen bekannt: und AB EF Welche zusätzliche Übereinstimmung ist mindestens erforderlich damit die Kongruenz gefolgert werden kann? Es gibt mehrere Möglichkeiten! (nummerieren!) Gib bei jeder Möglichkeit den Kongruenzsatz (abgekürzt) an, der dabei zutrifft. 4. Bei jedem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt. Um welchen besonderen Punkt handelt es sich? 5. Im Fahrradgeschäft sind die Preise nach Ostern um 12% erhöht worden. Das Fahrrad, das Felix kaufen möchte kostet nun 728,-. Welchen Betrag hätte er sparen können, wenn er das Fahrrad noch vor der Preiserhöhung gekauft hätte? GM_A0597 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0597)

19 1. Bei der der Klasse 7a ergab sich folgendes Notenbild: Note Anzahl Berechne den Notendurchschnitt. 2. Michaela kauft sich einen Computer für 800 zuzüglich 19% Mehrwertsteuer. Da sie den Computer bar bezahlt, erhält sie 2% Preisnachlass auf den Endpreis. Berechne, was Michaela für den Computer bezahlen muss. 3. Fertige von der nachfolgenden Abbildung eine vereinfachte Zeichnung im Maßstab 1 : an und bestimme damit die Höhe h des Eiffelturms in Metern. 4. Es gilt: In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Mittelsenkrechte der Basis das Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke. Kreuze an, welche der folgenden Argumentationen richtig sind. Die zwei Teildreiecke sind kongruent, weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Winkeln übereinstimmen und Dreiecke, die in allen drei Winkeln übereinstimmen, immer kongruent sind. weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Seiten übereinstimmen und Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, immer kongruent sind. weil man zeigen kann, dass die Flächeninhalte der Teildreiecke gleich groß sind und Dreiecke, die den gleichen Flächeninhalt besitzen, immer kongruent sind. weil die Mittelsenkrechte Symmetrieachse das gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks ist. GM_A0598 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0598) 1 (2)

20 5. Gegeben ist die folgende nicht maßstabsgetreue Figur. Berechne die Winkel, und. (Begründe jeweils kurz deine Vorgehensweise!) 6. Konstruiere ein Dreieck ABC aus c 7,2cm, ha (Planfigur Konstruktionsplan Konstruktion) 6,4cm und hb 5,5cm. GM_A0598 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0598) 2 (2)

21 A 1 a c h Der Flächeninhalt eines Trapezes errechnet sich nach der Formel Löse die Formel nach c auf. 2. a) Löse die Gleichung; die Grundmenge ist. x x 7 2 3x b) Gib einen Term an, mit dem man die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen kann, wenn der Winkel an seiner Spitze bekannt ist. 3. Das Dreieck ABC der nebenstehenden Figur ist gleichschenklig mit AC BC. a) Zeige durch Rechnung: 69. Argumentiere stichhaltig. b) Begründe damit, welche weiteren Strecken in der Figur gleich lang sind. 4. Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse c und der Kathete a und gib den Konstruktionsplan an! Bestimmungsstücke: siehe Blatt 2! GM_A0599 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0599) 1 (2)

22 5. Konstruiere die beiden Tangenten t 1 und t 2 an den Kreis k, die durch den Punkt P verlaufen. Benenne die beiden Berührpunkte mit T 1 und T 2. Mit welchem geometrischen Satz ist die Konstruktion durchführbar und warum ist dies der Fall? GM_A0599 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0599) 2 (2)

23 2 1. a) Vereinfache so weit wie möglich: 3a b 3a 2a 3b b) Faktorisiere so weit wie möglich: r s 2r 12r s 2. a) Bringe die folgende Aussage in die Wenn - Dann - Form und schreibe auch den Kehrsatz auf: Ein Rechteck ABCD hat einen Umkreis. b) Beweise oder widerlege jeweils den Satz und den Kehrsatz aus Teilaufgabe a). 3. Von zwei Dreiecken ABC und DEF ist bekannt: b f Nebenstehende Zeichnung ist nicht maßstäblich! Zeige, dass die Dreiecke kongruent sind, und gib den Wortlaut des verwendeten Kongruenzsatzes an. 4. Berechne die fehlenden Winkel in der Figur rechts. Begründe kurz deine Rechnungen. 5. Fertige für die folgende Konstruktion eine Planfigur und eine Konstruktionsbeschreibung an: Konstruiere ein Dreieck ABC aus a 8cm, hb 6cm und hc 7cm siehe Blatt 2! GM_A0600 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0600) 1 (2)

24 6. Konstruiere denjenigen Punkt P, der von den Geraden g und h gleich weit entfernt und ebenso von den Punkten A und B gleichweit entfernt ist. GM_A0600 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0600) 2 (2)

25 1. Löse die folgende Gleichung über der Grundmenge : :10 x 2 x x x Wie viele Winkel in einem Dreieck können größer als 90 sein? Wie heißt ein Dreieck mit einem Winkel, der größer als 90 ist? Wie heißt in einem rechtwinkligen Dreieck die längste Seite? 3. Konstruiere einen Winkel der Größe 15 und einen Winkel der Größe 225. Erkläre jeweils Deine Vorgehensweise. 4. a) Wie groß ist der Winkel, den je zwei von einer Würfelecke ausgehende Flächendiagonalen (siehe Zeichnung) miteinander bilden? Begründe Dein Ergebnis. b) Konstruiere das Dreieck ABC. 5. Von einem Dreieck ist bekannt, dass zwei Seiten gleich lang sind und ein Winkel die Größe 110 besitzt. Berechne nachvollziehbar die anderen Winkel in diesem Dreieck. 6. Ein Dreieck hat die Maße a 5cm, c 4cm und 90. a) Ist das Dreieck eindeutig durch die gegebenen Größen bestimmt? Begründe Deine Entscheidung. b) Konstruiere das Dreieck (Geodreieck erlaubt). c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks nachvollziehbar. d) Nenne die Voraussetzungen und die Folgerung des Satzes von Thales. GM_A0601 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0601)

26 1. Untersuche, ob aus folgenden Bestimmungsstücken jeweils ein Dreieck eindeutig konstruierbar ist. Gib den zugehörigen Kongruenzsatz an. a) c 6,0cm, 125, a 4,4cm b) c 5,0cm, a 4,0cm, Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit Basislänge c 5cm und 48. a) Begründe, warum die Konstruktion eindeutig ist. b) Gib eine Konstruktionsbeschreibung an. 3. Sind in einem Viereck zwei Winkel gleich und mindestens 90, so ist das Viereck ein Trapez. a) Begründe durch ein Gegenbeispiel, dass der Satz falsch ist. b) Gib den Kehrsatz an, und begründe ob dieser wahr oder falsch ist. 4. Sind in einem Dreieck zwei Winkel mit 57 und 66 gegeben, so ist das Dreieck gleichschenklig. a) Ist diese Aussage wahr oder falsch? Begründe! b) Bilde den Kehrsatz und begründe ob dieser wahr oder falsch ist. 5. Gegeben ist der Winkel 56. Bestimme alle weiteren benannten Winkel. Arbeite übersichtlich und nachvollziehbar. GM_A0602 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0602) 1 (2)

27 6. Konstruiere einen 150 -Winkel im Punkt A mit erstem Schenkel [AB. 7. Konstruiere aus den gegebenen Stücken zwei Dreiecke, die zueinander nicht kongruent sind. Benenne die gegebenen Stücke in deinen Dreiecken. GM_A0602 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0602) 2 (2)

28 1. Ich denke mir eine Zahl und verkleinere sie um 15%. Anschließend vergrößere ich die so erhaltene Zahl um 20% und erhalte 204. Welche Zahl habe ich mir ausgedacht? 2. Begründe, ob die Aussagen richtig oder falsch sind: a) Jedes gleichschenklige Dreieck ist gleichseitig. b) Jedes gleichschenklige Dreieck mit einem 45 - Winkel ist rechtwinklig. c) Jedes gleichseitige Dreieck ist kongruent zu einem Dreieck mit einem 60 - Winkel. 3. Gegeben ist die nebenstehende nicht maßstabsgetreue Figur. Berechne die Winkel, und. (Begründe jeweils kurz deine Vorgehensweise!) 4. a) Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse AB mit AB 10 cm und BC 5 cm. Planfigur, Konstruktionsplan und Konstruktion! b) Wie groß ist der Winkel? Begründung! siehe Blatt 2! GM_A0603 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0603) 1 (2)

29 5. Konstruiere ein Dreieck ABC mit der Seite b, der Seitenhalbierenden s b und dem Winkel. Erstelle dazu eine Planfigur und trage dort alle gegebenen Größen ein. Gib eine aussagekräftige Konstruktionsbeschreibung an. Bestimmungsstücke: GM_A0603 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0603) 2 (2)

30 1. Faktorisiere so weit wie möglich: a) 51x y 85x y 102x y b) 28x 4a 2b 7y 2b 4a 2. Wenn man bei einem Quadrat alle Seiten um je 6 cm verlängert, so entsteht ein neues Quadrat, dessen Flächeninhalt um 72 cm² größer ist als der des ursprünglichen Quadrats. Welche Seitenlänge hat das ursprüngliche Quadrat? (x-ansatz!) 3. Ein Würfel hat die Oberfläche 96 cm². Wie lang ist eine Kante des Würfels? 4. Anwendung der Zinsrechnung a) Welches Kapital bringt in 9 Monaten bei einem Zinssatz von 3% 81 Zinsen? b) Familie Schwarz erbt einen Geldbetrag, auf den sie 4% Zinsen pro Jahr erhält. Die Jahreszinsen werden dem Kapital zugeschlagen, das sich dadurch auf 5408 erhöht. Wie hoch war es ursprünglich? 5. a) Konstruiere ein Dreieck ABC aus: b 9,5cm, 70, hc (Planfigur; Konstruktion; Beschreibung) 6,0cm b) Beschreibe wie du den Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC findest. (Keine Konstruktion!) siehe Blatt 2! GM_A0604 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0604) 1 (2)

31 6. Zeichne einen Kreis k um M mit Radius 3 cm und wähle einen beliebigen Punkt A mit MA 7 cm a) Konstruiere von A die Tangenten an Kreis k. Bezeichne die Berührpunkte mit B 1 und B 2. b) Gib den Namen und drei Eigenschaften des Vierecks M B1 A B 2 an. c) Bestimme (durch Ausmessen geeigneter Größen) den Flächeninhalt von Viereck MB AB. Achte auf einen klaren Lösungsweg. 1 2 GM_A0604 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0604) 2 (2)

32 1. Weinhändler Gradwohl kauft 150 Flaschen Mosel-Weißwein zum Preis von 450 beim Winzer ein. Mit einem Aufschlag von 40% bietet der Weinhändler dann diesen Wein in seinem Geschäft an. a) Wie viel kostet eine Flasche Wein im Geschäft? b) Nach Ostern senkt der Weinhändler seinen Verkaufspreis für eine Flasche Wein um 25%. Liegt dieser Preis über oder unter dem Einkaufspreis? Berechne! 2. Markus legt einen Geldbetrag von 2000 für insgesamt 3 Jahre als Festgeld an. Erst nach Ablauf dieser 3 Jahre kann er das Geld und die Zinsen abheben. Die Zinsen werden jeweils am Jahresende dem Kapital gutgeschrieben. Der Zinssatz in den ersten drei Jahren liegt bei 2,5%. Entwickle einen Term, mit dem der Geldbetrag nach Ablauf von 3 Jahren berechnet werden kann. (Die Berechnung des Geldbetrags ist nicht verlangt!) 3. Das Bild zeigt 2 Würfel mit den Kantenlängen 3,0 cm. Die drei eingezeichneten Flächendiagonalen bilden das Dreieck ABC. Konstruiere das Dreieck ABC in wahrer Größe! Welche besondere Eigenschaft hat dieses Dreieck? 4. Im abgebildeten Dreieck gilt: 4 und a b. Berechne die Größe des Winkels. Achtung! Die Zeichnung ist nicht maßstäblich. 5. Für alle Dreiecke ABC kann man einen Inkreis und einen Umkreis konstruieren. a) Beschreibe die Eigenschaften des Inkreises. Gib an, wie man den Mittelpunkt des Inkreises konstruiert. b) Beschreibe die Eigenschaften des Umkreises. Gib an, wie man den Mittelpunkt des Umkreises konstruiert. GM_A1772 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1772)

33 1. Faktorisiere soweit wie möglich x y z 91x y z 39 y z 2. Multipliziere aus und fasse anschließend zusammen a b a 1 1 ab 2b a 3ab Löse die Gleichung. 2 x x 7x 4. Der Geburtstag wird bei uns durch den Tag, den Monat und das Jahr festgelegt. Verwende für folgenden Term die Variable t als Platzhalter für den Tag, die Variable m für den Monat und die Variable j für das Jahr. a) Stelle den Term auf für: Multipliziere den Tag mit 2 und addiere 8. Multipliziere das Ergebnis mit 200. Addiere nun den Monat und subtrahiere das Jahr. b) Berechne den Wert des aufgestellten Terms für eine Person, die am 19. Mai 1980 Geburtstag hat. 5. Bei einer schulinternen Befragung der Schülerinnen und Schüler aller 7. Klassen wird untersucht, welches der beiden Schulfächer Mathematik und Englisch beliebter ist. Von den 140 befragten Jungen und Mädchen bevorzugen 45% Englisch, während 42 Siebtklässler für Mathematik stimmen. Der Rest kann sich nicht entscheiden. a) Berechne, wie viele Teilnehmer der Befragung für das Schulfach Englisch stimmten und wie viel Prozent Mathematik bevorzugten. b) In einem Kreisdiagramm ist der Anteil der Unentschlossenen eingetragen. Berechne, welchen Winkel du für das Fach Englisch verwenden musst und vervollständige das Diagramm. 6. Der Punkt C des Dreiecks ABC liegt auf dem Halbkreis über der Strecke [AB], M ist der Mittelpunkt dieser Strecke. a) Der Winkel ist um 20% kleiner als der Winkel. Berechne die Größe von und. b) Berechne die Größe des Winkels, wenn 35 groß ist. Begründe deine Berechnungen. GM_A1773 **** Lösungen 1 Seite (GM_L1773)

34 a) Vereinfache folgenden Term: 2a 3a 2b b b 4ab 6 a b b) Löse die Gleichung: 23 4x 5 6x 78 x 9 2. Familie Sperling kauft in einem Tierfachgeschäft einen Papagei. Der Geschäftsinhaber bekommt für den Vogel 40% mehr, als er selbst für das Tier bezahlt hat. Nach einigen Monaten muss Familie Sperling in die USA umziehen, und können den Papagei dorthin nicht mitnehmen. Sie verkaufen ihn an eine andere Familie für 280. Dies sind nur 32% des Betrages, den Familie Sperling für den Papagei bezahlt hat. Wie hoch war der Kaufpreis im Tierfachgeschäft und zu welchem Preis hat der Geschäftsinhaber den Papagei eingekauft? 3. Konstruiere ein Dreieck ABC aus a 6cm, c 7cm, 42. (Planfigur, Konstruktion, Konstruktionsbeschreibung, Eindeutigkeit) 4. Überprüfe, ob ein Dreieck mit folgenden Angaben eindeutig konstruierbar ist. Begründe deine Antwort. Angaben c 5cm; a 4,5cm; 22 b 4cm; 76 cm; 105 c 8cm; 45 ; 60 Eindeutig konstruierbar? Begründung (z.b. Kongruenzsatz) 5. Die Mathelehrerin notiert sich jede nicht gemachte Hausaufgabe aus der Klasse 7a und erstellt zum Zwischenzeugnis eine Statistik über die Häufigkeit der vergessenen Hausaufgaben. Häufigkeit Zahl der Schüler in der 7a a) Berechne, wie oft jeder Schüler im Durchschnitt seine Hausaufgaben vergaß. b) Wie viel Prozent der Jugendlichen aus der 7a haben ihre Hausaufgaben 2 - mal vergessen? (Grundgleichung der Prozentrechnung) c) Stelle die Verteilung in einem Kreisdiagramm (Radius 4cm) dar. Gib deinen Rechenweg an. d) Auch für die Klasse 7b gibt es eine ähnliche Statistik: Häufigkeit Zahl der Schüler in der 7b Wie viel Prozent beider Klassen zusammen haben ihre Hausaufgaben mehr als 3 - mal vergessen? GM_A1774 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1774)

35 1. a) Im Juli 2011 stieg der Preis für eine Feinunze Gold von 1300 Dollar auf 1600 Dollar. Um wie viel Prozent ist die Feinunze Gold damit teurer geworden? b) Zum 50 - jährigen Firmenjubiläum reduziert ein Elektromarkt Kaffeemaschinen um 45% auf nunmehr 209. Wie viel kosteten die Kaffeemaschinen vor der Preissenkung? 2. Das Durchschnittsalter eines Jugend-Musikchors beträgt 14,5 Jahre. Nachdem zwei 13 Jährige und ein 12 Jähriger hinzugekommen sind, ist das Durchschnittsalter auf 14,0 Jahre gesunken. Wie viele Mitglieder hat der Chor jetzt? 3. Das Dreieck ABC im Bild rechts ist gleichschenklig mit [AC] = [BC]. Berechne die Winkel 1 und 2 für 36. Hinweis: Die Zeichnung ist nicht maßstäblich! 4. Von einem Dreieck ABC sind die Eckpunkte A und B, sowie der Mittelpunkt M des Inkreises bekannt. Konstruiere das Dreieck ABC. i 5. Manuel blickt von einem Turm aus 35m Höhe auf einen Baum herab. Die Baumspitze sieht er unter einem Winkel von 82 zur Senkrechten, den Fuß des Baumes unter 60. Welche Höhe x hat der Baum? Zeichne die geometrischen Verhältnisse möglichst genau im Maßstab 1:500 und bestimme damit die Baumhöhe. Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstäblich! GM_A1775 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1775)

36 1. a) Gib die Grundgleichung der Prozentrechnung an. Forme die Grundgleichung so um, dass mit der umgestellten Formel der Grundwert berechnet werden kann. b) In einem Autohaus wird am 1. März der Preis für einen Kleinwagen um 8% gesenkt um mehr Käufer für das Modell zu gewinnen. Nach dieser Aktion erhöht das Autohaus am 1. Mai den Preis für dieses Modell um 10%. Nun kostet der Kleinwagen genau 6578 Euro. Berechne schrittweise den Preis vor dem 1. Mai und vor dem 1. März. 2. Konstruiere ein Dreieck ABC von dem folgende Stücke bekannt sind: Seite c 6,0cm, Winkel 50, Umkreisradius r U 3,5cm. (Planfigur mit gegebenen Stücken, beschriftete Konstruktion) 3. Die Seite [AB] des Dreiecks ABC ist Durchmesser eines Kreises mit Mittelpunkt M. Der Punkt C liegt auf diesem Kreis (vgl. Skizze rechts). Berechne die Größe der Winkel, und wenn Zeichne die beiden Punkte P und Q so, dass gilt: PQ 6,5 cm. Konstruiere nun eine Gerade g, die den Punkt Q enthält und vom Punkt P den Abstand 3,0 cm hat. (Konstruktion mit Konstruktionsbeschreibung) 5. Formuliere in der Wenn - dann - Form: Ein Rechteck mit zwei gleich langen Seiten ist ein Quadrat. Widerlege diesen Satz (Zeichnung; kurze Begründung in Textform). 6. Berechne: a) 75% von 1 von 3 min 15 b) 51 von 2 kg 34 c) 12% von 1t d) 33 1 % von 3 von 2 h 3 4 GM_A1776 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1776)

37 1. Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichung x x 8 8x Ein Rechnungsbetrag wurde nach Abzug von 15% Rabatt mit 340 Euro beglichen. Wie hoch war der Rechnungsbetrag? 3. Von einem Dreieck ABC sind gegeben: Seite a 8cm, Höhe ha 7cm, Höhe hb 6cm. Konstruiere das Dreieck. Erstelle dazu eine Planfigur und eine Konstruktionsbeschreibung in Kurzform. 4. Für nebenstehende Figur gilt 34. Berechne die Größen der Winkel, und. Begründe jeden Schritt kurz. Gib dabei ggf. auch das verwendete Dreieck an. Falls zur Berechnung weitere Winkel erforderlich sind, so trage diese in die Zeichnung ein. 5. Begründe die Richtigkeit folgender Aussage: In einem gleichseitigen Dreieck hat der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten von allen drei Seiten den gleichen Abstand. 6. Auf dem abgebildeten Grundstück wird ein kreisförmiges Gebäude errichtet. Das Gebäude soll das Grundstück größtmöglich ausnutzen. Zeichne die notwendigen Strecken im Maßstab 1:1000, konstruiere den Kreis und bestimme so den maximalen Durchmesser des Gebäudes. GM_A1777 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1777)

38 1. Der Büroartikelladen in unserer Stadt hat verschiedene Taschenrechner im Angebot. Zum Schulbeginn verändert der Ladeninhaber seine Preise. a) Der Schulrechner Nautilus hat vorher 19 gekostet. Sein Preis wird um 8% reduziert. Berechne den jetzt gültigen Verkaufspreis. b) Der Verkaufspreis des Spitzenmodells Supercalc wird von 49 auf 47,04 gesenkt. Um wie viel Prozent ist der Rechner nun billiger? c) Das Einsteigermodell Mathegenie kostete vorher 14 und ist nun für 12 zu haben. Um wie viel Prozent war der Rechner vorher teurer? d) Formuliere zu der folgenden Gleichung eine Textaufgabe mit Fragestellung, die die Preisänderung eines Bürorechners beschreibt: x 0,13 x 0,15 x 0,13 x Gegeben ist im Dreieck ABC der Winkel 120 (vgl. Abb. rechts). Die Punkte B, C, D und E liegen auf einer gemeinsamen Geraden. Berechne schrittweise die restlichen angegebenen Winkel. Begründe kurz die einzelnen Rechenschritte. 3. Gegeben sind folgende Stücke eines Dreiecks ABC: Seite b 6cm, Seite c 7cm, Winkel 56. Skizziere eine Planfigur und trage alle gegebenen Stücke ein, Fertige einen vollständigen Konstruktionsplan an, Konstruiere das Dreieck ABC, Formuliere den Kongruenzsatz in Worten, der die Eindeutigkeit des Dreiecks ABC beschreibt. Für welche Länge der Seite [AB] c existiert kein Dreieck ABC, wenn die Länge der Dreiecksseite b und der Winkel unverändert bleiben? 4. Herr Moosheimer, Verkaufsleiter der Firma Mega-XL, muss vor der Geschäftsleitung die Umsätze der Firma im ersten Halbjahr präsentieren. Das rechts abgebildete Diagramm hat Herr Moosheimer dafür vorbereitet. a) Beschreibe, welchen falschen Eindruck das Diagramm auf den ersten Blick vermitteln könnte. Mio. EURO Jan Feb März April Mai Juni b) Erstelle ein neues Diagramm, das die Entwicklung der Umsätze der Firma Mega-XL realistisch darstellt. Benutze einen geeigneten Maßstab. GM_A1778 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1778)

39 1. Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungen. Grundmenge ist. a) 5 x x 4 3 x b) 2 5 x x 0,5 1 1,5x c) 65x 4 310x 2 10 d) 5x 12 7x Katharina ist vier Jahre jünger als ihre Schwester Elisabeth. In 6 Jahren sind beide zusammen 34 Jahre alt. Wie alt ist Katharina heute? 3. Von vier Zahlen ist die zweite um 6 größer als die erste und halb so groß wie die dritte. Die vierte Zahl ist so groß wie die erste und die zweite zusammen. Wie heißen diese vier Zahlen, wenn deren Summe 138 ist? 4. Absolute und relative Häufigkeit Bei Einführung des G8 in Bayern hat der Mathematiklehrer einer 7. Klasse die Mathematiknoten des Zwischenzeugnisses den Noten im Jahreszeugnis gegenübergestellt. Die beiden nachfolgenden Diagramme zeigen den Sachverhalt. a) Bestimme aus den Diagrammen die jeweilige Durchschnittsnote der Klasse. b) Beurteile die Leistung im ersten Halbjahr (bis zum Zwischenzeugnis) und die Ergebnisse im Jahreszeugnis. Ist eine Verbesserung oder eine Verschlechterung im Fach Mathematik eingetreten? Begründe deine Aussage kurz. 5. Konstruiere ein Dreieck ABC mit den angegebenen Größen: Seitenlänge a, Seitenlänge c, Höhe a h. Skizziere dazu eine Planfigur (gegebene Größen farbig einzeichnen und beschriften). Erstelle eine Konstruktionsbeschreibung. GM_A1779 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1779)

40 1. In nebenstehender Zeichnung sind die Geraden g und h zueinander parallel. Berechne die Maße der Winkel,, und. 2. Konstruiere ein Drachenviereck ABCD mit der Diagonalen BD als Symmetrieachse und AC 5 cm, 60, 90. Skizziere auch eine Planfigur. Eine Konstruktionsbeschreibung ist nicht verlangt. Welche besondere Eigenschaft hat das Dreieck ABC? Begründe genau! 3. Zerlege folgende Figuren in jeweils vier zueinander kongruente Teilfiguren. 4. Kreuze an: W = Wahr, F = Falsch. Begründe deine Antwort, bzw. gib ein Beispiel an. a) Es gibt Dreiecke, die gleichschenklig und zugleich rechtwinklig sind. b) Es gibt Dreiecke, die gleichseitig und zugleich rechtwinklig sind. c) Man kann jedes rechtwinklige Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen. d) Man kann jedes gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen. e) Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und dem Umkreisradius übereinstimmen, sind kongruent. 5. In nebenstehender Figur ist AB AC. Berechne die Winkel, 1 und 2. Notiere deine Überlegungen klar und nachvollziehbar. Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstäblich! GM_A1780 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1780) 1 (2)

41 6. Von einem Dreieck ABC sind gegeben: Seite c 6cm, Winkelhalbierende wa 5cm, Winkel 50. Erstelle eine Planfigur und eine Konstruktionsbeschreibung. Konstruiere das Dreieck ABC. 7. Konstruiere den Mittelpunkt des Kreises. Nutze hierfür einen bekannten Satz über Dreiecke. Begründe deine Konstruktion kurz. GM_A1780 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1780) 2 (2)

42 1. Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit 90, 40 und a 6cm. Fertige zunächst eine Planfigur an. Erstelle eine Konstruktionsbeschreibung. 2. Zerlege jede der drei Figuren in vier kongruente Teilfiguren. 3. Im Parallelogramm ABCD sind die Winkel 1 26, 68 und 76 gegeben. Berechne Lässt sich ein Dreieck aus folgenden Stücken eindeutig konstruieren? Begründe jeweils deine Antwort. a) 60, c 7cm. b) a 4,6 cm, b 3,8 cm, c 8,2 cm. c) 105, 85, a 6cm. d) 80, 40, 60. e) 45, a 3cm, b 5cm. 5. Konstruiere ein Rechteck, dessen eine Seite dreimal so lang ist wie die andere und dessen Umfang insgesamt 24 cm beträgt. 6. Löse die Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen. Der Taschenrechner ist nicht erlaubt. 2 x 5 2x x Berechne die Winkel: In einem rechtwinkligen Dreieck ist um 25% größer als. (Ansatz und Berechnung!) GM_A1781 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1781)

43 1. Konstruiere ein Dreieck mit folgenden Eigenschaften: a 8,5cm, c 4cm, 45. Fertige zuerst eine Planfigur und eine Konstruktionsbeschreibung an. Warum sind diese Angaben für die eindeutige Konstruierbarkeit ausreichend? Welcher Kongruenzsatz besagt das? 2. Konstruiere ein Dreieck mit: b 4cm, 2, Bestimme die Höhe h des Turmes. Wie weit ist er vom Beobachter entfernt? Löse die Aufgabe mit Hilfe einer passenden Konstruktion. Wähle dazu einen geeigneten Maßstab. 4. Berechne in nebenstehender Abbildung die Winkel,,, und. Begründe jeweils deine Rechenschritte. 5. Berechne die Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn der Basiswinkel um 30% größer ist, als der Winkel an der Spitze. 6. Es ist g parallel zu h und w halbiert den Winkel zwischen g und k. Untersuche ohne zu messen, ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist. Beschreibe deine Überlegungen genau. 7. Bringe die Aussagen in die Wenn-Dann-Form und schreibe die Kehrsätze auf. Prüfe, ob der Kehrsatz wahr ist. a) In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. b) Zwei kongruente Dreiecke stimmen in drei Winkeln überein. c) Ein gleichseitiges Dreieck hat 60 -Winkel. d) Das Produkt von zwei geraden Zahlen ist gerade. GM_A1782 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1782)

44 Arbeitszeit: 90 Minuten 1. Ein Schiffsmast wurde vom Sturm geknickt. Seine Spitze berührt 8m vom Mast entfernt den Schiffsboden. Der abgeknickte Teil des Mastes schließt mit dem noch verbliebenen Teil einen Winkel von 75 ein. Wie hoch war der Mast ursprünglich? Fertige eine Konstruktion im Maßstab 1:100 an und entnimm der Zeichnung die erforderlichen Maße. 2. Bei Ausgrabungen wurden die Überreste eines Brunnens gefunden. Wie kann man den Durchmesser bzw. den Mittelpunkt des Brunnens bestimmen? Gib eine Konstruktionsbeschreibung anhand einer Skizze. 3. Gegeben sind drei gleich lange Gelenkstangen ( AB BC BD). In Bild 1 ist die Strecke AC eine Gerade. Weise nach oder wiederlege: Die Strecke AC in Bild 2 ist ebenfalls eine Gerade. 4. Für die unten dargestellte Figur gilt: 36, 75 und 2 1,4 1. Berechne die Größen der Winkel,,. 1 2 GM_A1783 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1783) 1 (2)

45 5. In der rechts abgebildeten Figur liegen die Punkte A, B und C auf einem Kreis mit Mittelpunkt M. Berechne die Größe der Winkel und für Die 12 m lange Strecke PQ liegt in einer Flucht mit dem Fuß eines Turms der Höhe h. Die Spitze des Turms wird von P aus unter 25 und von Q aus unter 48 anvisiert. Wie hoch ist der Turm? Fertige dazu eine Zeichnung im Maßstab 1 : 200 an. 7. Eine Kugel mit Durchmesser 35 mm liegt in einer symmetrisch angeordneten Rinne (siehe Zeichnung rechts). Wie weit ist die Kugel noch vom Boden der Rinne entfernt (Maß x)? Ermittle das Maß x durch eine genaue Konstruktion. 8. M ist Mittelpunkt eines Halbkreises mit dem Durchmesser AB. Bestimme die Größe des Winkels, wenn MC BD und CD II AB. Begründe deine Rechnungen. GM_A1783 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1783) 2 (2)