KAPITEL VI MECHANISCHE WELLEN

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1 KAPITEL VI MECHANICHE WELLEN

2 . GRUNDEIGENCHAFTEN DER WELLEN. ENTTEHUNG EINER LINEAREN WELLE Wasserwellen sind ein anshaulihes eispiel ür eine Wellenbewegung in der Ebene. Der hall ist wohl das bekannteste eispiel ür eine Wellenbewegung im Raum. Lineare Wellen können au eilen oder an einer Reihe gekoppelter Pendel beobahtet werden. Das einahste Modell eines linearen Wellenträgers ist eine Kette gekoppelter gleihartiger Pendel. Wird das erste Pendel kurz angestoßen, überträgt sih die hwingung von Pendel zu Pendel. Durh den Impuls beim Anstoßen wird die Gleihgewihtslage der Oszillatorkette an einer telle gestört. Diese törung planzt sih inolge der Kopplung von Pendel zu Pendel weiter. Energie und Impuls wandern durh die Oszillatorkette. Nun wird das erste Pendel hin und her bewegt. obald die Oszillatoren von der törung erasst worden sind, wiederholen sie naheinander die hwingung des Erregers und der vorausgegangenen Oszillatoren mit gleiher Frequenz und etwa gleiher Amplitude. ie ühren erzwungene hwingungen aus. enahbarte Pendel shwingen niht in Phase, sondern ühren ihre hwingungen mit konstanter Phasendierenz zueinander aus. Die hwingungszustände (ein Maximum oder ein Nulldurhgang) lauen über die Kette der Oszillatoren hinweg, sodass sih eine ortshreitende Welle au der Oszillatorkette ausbildet. Eine lineare Welle entsteht, wenn einer Oszillatorkette periodish Energie zugeührt wird und die miteinander gekoppelten Oszillatoren naheinander gleihartige erzwungene hwingungen ausühren. Die hwingungszustände des die hwingung auslösenden Oszillators bewegen sih über die Kette hinweg. Führen die Oszillatoren harmonishe hwingungen aus, so entsteht eine lineare harmonishe Welle. An jedem Ort wiederholen sih gleihe hwingungszustände nah der hwingungsdauer T zeitlihe Periode. Zu jedem Zeitpunkt zeigen sih gleihe hwingungszustände in gleih großen Abständen, der so genannten Wellenlänge zueinander räumlihe Periode. Eine Welle ist ein zeitlih und räumlih periodisher Vorgang. Die zeitlihe Periode ist die hwingungsdauer T, die räumlihe Periode ist die Wellenlänge. Die Wellenlänge ist der kürzeste Abstand zweier in Phase shwingender Oszillatoren. ei jeder Welle breitet sih nur der hwingungszustand aus. Die einzelnen Teilhen ühren lediglih hwingungen um ortseste Gleihgewihtslagen aus. Jede Wellenbewegung ist mit einem Transport von Energie verbunden. Dieser Energietransport geht ohne Materietransport vor sih. Au der Ausbreitung von hwingungsenergie beruht die Energieübertragung vieler Arten von Wellen, meistens allerdings, wie z.. bei Liht von der onne zur Erde, ohne dass dazu, im Gegensatz zu mehanishen Wellen, Materie als Träger der Welle nötig ist. Liht, Mikrowellen, Röntgen- oder Gammastrahlung sind elektromagnetishe Wellen. ei elektromagnetishen Wellen erahren elektrishe und magnetishe Felder periodishe Veränderungen. WELLEN

3 . AUREITUNGGECHWINDIGKEIT EINER WELLE Die Abbildung zeigt shematish den Ablau einer sinusörmigen Wellenbewegung anhand von Momentaunahmen, die in gleihen Zeitintervallen vorgenommen wurden. Die Erregung, die sinusörmig in der Zeit erolgt, breitet sih sinusörmig entlang der x-ahse aus. Greien wir einen Ort heraus, dann erkennen wir, dass sih dort der gleihe hwingungszustand (Phase) nah der Periodendauer T wiederholt. Innerhalb dieser Zeit hat sih die Welle entlang der x-ahse um genau eine Wellenlänge weiterbewegt. Niht das Medium ist weitergewandert, sondern eine bestimmte Phase, z.. ein Wellenberg oder ein Wellental, hat sih in der Zeit T um die treke durh das Medium ausgebreitet. Die konstante Geshwindigkeit mit der sih eine Phase (hwingungszustand) bewegt, bezeihnet der Physiker als Phasengeshwindigkeit v Ph bzw. als Ausbreitungsgeshwindigkeit der Welle. Damit können wir die Ausbreitungsgeshwindigkeit angeben, mit der sih eine harmonishe Welle ausbreitet : x t T T.3 WELLENGLEICHUNG Zur eshreibung der Welle müssen wir einen Ausdruk inden, der die doppelte Periodizität im Raum und in der Zeit beshreibt. Ihre Auslenkung y hängt sowohl vom dem betrahteten Ort x als auh vom jeweiligen Zeitpunkt t ab. Es gilt also y ( x, t ). Die zeitlihe Periodizität des ersten Oszillators in der Kette bei x=0 können wird als sinusörmige hwingung beshreiben : y (0, t ) yˆ sin t y 0, t yˆ sin t reitet sih die Welle in positiver x-rihtung aus, dann wird ein Oszillator am Ort x um die Zeit t später von dieser hwingung erreiht. Dort gilt dann das olgende Zeit-Weg-Gesetz : y x, t yˆ sin t t [] ei die Ausbreitungsgeshwindigkeit der in positiver Rihtung lauenden Welle. Die benötigte Zeit t um die treke x zurükzulegen beträgt : x t [] WELLEN 3

4 etzen wir den Ausdruk [] in die Gleihung [] ein, so erhalten wir : y y x, t x yˆ sin t x yˆ sin t T yˆ sin t T x T x x, t yˆ sin t T T T etzen wir shlußendlih x = x, so erhalten wir ür die Wellenbewegung olgende Gleihung t T x x, t yˆ sin y Die Form dieser Wellengleihung ordert implizit ür die Anangsbedingungen x = 0 und t = 0 den Anangswert der Elongation y(0,0) = 0. ollte die Anangsbedingung bei den Elongationen eine andere sein, so müssen wir dies durh Hinzuügen eines Phasenwinkels 0 berüksihtigen, ähnlih wie bei den hwingungen. Die Elongation einer in positiver x-rihtung ortshreitenden Welle lautet demnah allgemein y t x x, t yˆ sin 0 T.4 TRANVERAL- UND LONGITUDINALWELLEN In einer Transversalwelle steht die hwingungsrihtung y senkreht zur Ausbreitungsrihtung x der Welle. ie besitzen eine hwingungsebene. (A) ei einer Longitudinalwelle verläut die hwingungsrihtung y parallel zur Ausbreitungsrihtung x der Welle. Diese Wellen besitzen daher keine hwingungsebene, sondern nur eine hwingungsgerade. () Da eine Longitudinalwelle immer mit der Ausbreitung von Verdihtungen und Verdünnungen verbunden ist, kann sie sih nur in solhen Medien ausbreiten, in denen Änderungen der Dihte möglih sind. Derart elastishe Längswellen treten am häuigsten in Lut au, wir nennen sie hallwellen. hallwellen sind Kugelwellen, sie breiten sih nah allen eiten mit gleiher Geshwindigkeit aus. A y y Verdünnung Verdihtung Verdünnung WELLEN 4

5 . ÜERLAGERUNG LINEARER WELLEN. REFLEXION LINEARER WELLEN Eine vollständige Übertragung der hwingungsenergie von einem Teilhen au das olgende ist nur möglih, wenn die einzelnen Teilhen völlig gleih sind. Diese edingung ist nur innerhalb eines gleihartigen toes homogenes Medium erüllt. Was geshieht nun, wenn die lineare Welle ans Ende des Mediums gelangt? Wenn in der ursprünglihen Ausbreitungsrihtung kein shwingungsähiges Teilhen mehr olgt, kann die hwingungsenergie sih nur au das vorhergehende Teilhen übertragen. Von ihm läut die Welle dann wieder in entgegen gesetzte Rihtung zurük. Der Physiker spriht von Relexion. Relexion am losen Ende Relexion am esten Ende Relexion am losen Ende : Die Rihtung der Auslenkung ist nah der Relexion die gleihe wie die der ankommenden Welle, wenn das Endteilhen sih rei bewegen kann. Ein Wellenberg wird als Wellenberg, ein Wellental als Wellental zurükgeworen. Relexion am esten Ende : Die Auslenkung ändert aber ihre Rihtung, wenn das Endteilhen est eingeklemmt ist. Ein Wellenberg wird als Wellental, ein Wellental als Wellenberg relektiert. omit ändert sih bei der Relexion am esten Ende das Vorzeihen der Elongation, was einem Phasensprung von = 80 ( = ) bzw. einem Weguntershied einer halben Wellenlänge entspriht. Wir bezeihnen die Umkehr der Ausbreitungsrihtung einer Welle als Relexion und die zurüklauende Welle als relektierte Welle. ei der Relexion am esten Ende erährt eine Transversalwelle einen Phasensprung von =, bei der Relexion am losen Ende stellen wir keinen derartigen Phasensprung est.. ÜERLAGERUNG GLEICHLAUFENDER LINEARER WELLEN isher haben wir nur die Ausbreitung einzelner Wellen betrahtet. Was geshieht, wenn sih in einem Medium vershiedene Wellensysteme durhdringen. Wir wissen, dass die Ausbreitung einer hallwelle durh das Vorhandensein anderer hallquellen niht beeinlusst wird: ein Flügel klingt als oloinstrument gleih wie in Orhesterbegleitung. Die Wellen passieren einander, ohne sih zu stören. An der Überlagerungsstelle ergibt sih die resultierende Gesamtelongation aus der vektoriellen Addition der Elongationen der sih überlagernden Wellen uperpositionsprinzip. Wir beshränken uns au die Überlagerung von zwei Wellen gleiher Frequenz und gleiher Amplitude, die in die gleihe Rihtung lauen und in der gleihen Ebene shwingen. Verlauen beide Wellen exakt im Gleihtakt, so dass immer Wellenberg au Wellenberg und Wellental au Wellental trit, so verstärken sie sih in ihrer Wirkung: die Gesamtamplitude ist doppelt so groß WELLEN 5

6 wie die Einzelamplituden konstruktive Intererenz. ewegen sih die Einzelwellen in solh einem Abstand zueinander, dass stets Wellenberge mit Wellentälern zusammenallen, dann löshen sih die beiden Einzelwellen völlig aus destruktive Intererenz. Konstruktive Intererenz Destruktive Intererenz Die ür die Verstärkung bzw. Abshwähung maßgebende Größe ist der Abstand, mit dem die beiden sih überlagernden Wellen hintereinander herlauen. Diesen Abstand bezeihnen wir als Ganguntershied x bzw. s g. Allgemein gilt Konstruktive Intererenz : Destruktive Intererenz : s g k mit k = 0,,, 3, s g k mit k = 0,,, 3,.3 ÜERLAGERUNG GEGENLÄUFIGER WELLEN / TEHENDE WELLEN Eine besondere Ersheinung zeigt sih, wenn eine Welle und ihre relektierte Welle, also Wellenzüge gleiher Amplitude und gleiher Frequenz mit entgegen gesetzten Ausbreitungsrihtungen sih überlagern. Da so entstehende Intererenzmuster ist erstaunliher Weise ortsest, obwohl die beiden Einzelwellen, die es zustande bringen, ortshreitende Wellen sind. olhe ortseste Intererenzmuster bezeihnet der Physiker als stehende Wellen. K / K / K K Wir stellen est, dass die tellen maximaler Amplitude immer an den gleihen Orten autreten. Dazwishen liegen Punkte, in denen das Medium dauernd in Ruhe ist. Die tellen, an denen das Medium am hetigsten shwingt, bezeihnen wir als ewegungsbäuhe (); die dazwishen liegenden Orte, die immer in Ruhe sind, heißen ewegungsknoten (K). Der Abstand zweier benahbarter Knoten oder äuhe beträgt eine halbe Wellenlänge. WELLEN 6

7 Rehts und links von einem Knoten shwingt die stehende Welle gegenphasig, d.h. rehts in Rihtung positiver und links in Rihtung negativer Elongationen und umgekehrt. tehende Wellen eignen sih also vorzüglih zur estimmung der Wellenlänge, da der Abstand aueinander olgender äuhe und Knoten sih leiht bestimmen lässt. Was ist mit dem Energiestrom geworden, der von den beiden ortlauenden Einzelwellen in entgegensetzte Rihtung transportiert wurde. Im Gegensatz zu einer ortlauenden Welle indet in einer stehenden Welle kein Energietransport statt, die stehende Welle nagelt die Energie räumlih est. In den ewegungsknoten ist die Energie dauernd Null. In den ewegungsbäuhen indet dauernd eine Umwandlung zwishen kinetisher und potentieller Energie statt. Die genaue Lage der Knoten und äuhe hängt u.a. davon ab, ob am Ort der Erregung und am Ort der Relexion este oder lose (reie) Enden vorliegen. An einem esten Ende können immer nur ewegungsknoten entstehen, während am reien Ende stets ewegungsbäuhe autreten. Zwei untershiedlihe ituationen lassen sih so untersheiden. TEHENDE WELLEN EI GLEICHEN ENDEN tehende Wellen lassen sih also bei konstanter Frequenz (Wellenlänge) nur ür ganz bestimmte Längen des shwingenden Trägers (eil, Lutsäule) oder bei konstanter hwingungslänge nur ür ganz bestimmte Frequenzen (Wellenlängen) anregen. tehende Wellen au endlihen Wellenträgern werden häuig als Eigenshwingungen und die dazugehörigen Frequenzen als Eigenrequenzen des shwingenden ystems bezeihnet. Eigenshwingungen zeigen typishes Resonanzverhalten. ei zwei gleihen Enden gilt ür die k. Obershwingung : l k ) ( k k ( k ) mit k = 0,,, 3, l WELLEN 7

8 TEHENDE WELLEN EI ZWEI UNTERCHIEDLICHEN ENDEN ei zwei untershiedlihen Enden gilt ür die k. Obershwingung : l k ) 4 ( k k ( k ) mit k = 0,,, 3, 4l Derart stehende Wellen sind vor allem in der Akustik Lehre des halls bei Musikinstrumenten bedeutsam. Ein aiteninstrument besteht aus mehreren an zwei esten Enden eingespannten tahlseilen, den aiten. Regt man eine aite durh Zupen oder treihen an, so shwingt sie im Allgemeinen niht nur in der Grundshwingung, sondern es werden auh immer ganzzahlige Vielahe der Grundshwingung, so genannte Harmonishe angeregt. Das gleihe gilt auh ür shwingende Lutsäulen z.. in Orgelpeien. ei einer shwingenden Lutsäule entspriht ihr oenes Ende immer dem reien Ende einer eingespannten aite und ihr geshlossenes Ende immer dem esten Ende der eingespannten aite. Runde und rehtekige Metallplatten, mit einem and bestreut und an vershiedenen tellen eingespannt, können mit einem Geigenbogen oder einem Lautspreher zu Eigenshwingungen angeregt werden. Der and sammelt sih an den ruhenden tellen, den ewegungsknoten, an und bildet so genannte Chladni she Klangiguren. a) Eigenshwingung einer Lutsäule (. Obershw.) Chladni she Klangiguren b) Grundshwingung einer gedakten Orgelpeie ) Grundshwingung einer oenen Orgelpeie WELLEN 8

9 3. AUREITUNG ZWEIDIMENIONALER WELLEN 3. INTERFERENZ VON WAERWELLEN Wenn zwei Oberlähenwellen sih von vershiedenen Zentren aus über einen gemeinsamen ereih ausbreiten, entsteht dort eine Überlagerung der zwei Wellen. Man erhält die gesamte Anregung in einem Punkt des Überlagerungsgebietes, indem man die beiden Teilanregungen unter erüksihtigung ihre Rihtungen und Phasen als Vektoren zusammenaßt. Von besonderem Interesse sind solhe Überlagerungen, bei denen an bestimmten tellen stets eine gegenseitige Verstärkung und an anderen tellen eine gegenseitige Abshwähung eintritt. In diesem Fall spriht der Physiker von der Intererenz zweier Wellen. Als Intererenzbedingungen gelten : Die beiden Wellen haben gleihe hwingungsrihtung und gleihe Frequenz. Die beiden Wellen werden von punktörmigen Erregern erzeugt. Ihre Phasendierenz an einer telle muss über längere Zeit konstant bleiben. Um bei Wasserwellen Intererenzen zu erzeugen, erregen wir in einer Wellenwanne mit zwei Tauhstiten, die vom gleihen Motor angetrieben werden, zwei Wellen gleiher Frequenz, gleiher Amplitude und gleiher Ausgangsphase. Von den beiden Entstehungszentren geht je eine Kreiswelle aus. Im ereih der Überlagerung erkennen wir treien, in denen die Wasseroberlähe in Ruhe ist, weil sih dort die Anregungen der beiden Wellen durh destruktive Intererenz auslöshen. Dazwishen liegen treien mit verstärkter Anregung. Kreiswelle Intererenz von zwei Wasserwellen Die tellen der Auslöshung liegen also an den Orten, wo der Untershied der Wege s und s zu den beiden Wellenzentren und genau dem ungeraden Vielahen einer halben Wellenlänge entspriht. Man erhält also ür den Ganguntershied bei Auslöshung : s,,,... also s g k mit k,,,... g Die tellen der maximalen Verstärkung liegen also an den Orten, wo der Untershied der Wege s und s zu den beiden Wellenzentren und genau dem geraden Vielahen einer ganzen Wellenlänge entspriht. Man erhält also ür den Ganguntershied bei maximaler Verstärkung : g s 0,,, 3,... also s g k mit k 0,,, 3,... Die tellen gleiher Ganguntershiede, also auh die Orte ür gegenseitige Auslöshung und die Orte ür maximale Verstärkung liegen au Hyperbeln, deren rennpunkte in den Erregungszentren und liegen. WELLEN 9

10 3. EUGUNG VON WELLEN HUYGEN CHE PRINZIP Durh periodishes Eintauhen eines tabes in die Wellenwanne erzeugen wir ebene Wellenronten. Ebene Wellenronten verbinden Punkte gleiher Phase in großer Enternung zur Erregerstelle, d.h. alle diese Punkte (z.. alle Wellenberge) bilden eine gerade treke. Lassen wir diese ebene Wellenronten gegen einen palt lauen, so erhalten wir je nah paltbreite untershiedlihe Resultate : Wir müssen drei ituationen untersheiden : >> Ist die paltbreite sehr viel größer als die Wellenlänge, beobahten wir, dass die Welle hinter dem palt sauber durh diesen begrenzt wird geometrisher hattenwur. ind paltbreite und die Wellenlänge in der gleihen Größenordnung, so beobahten wir im Welleneld hinter dem palt ausgeprägte Maxima (Verstärkung) und Minima (Auslöshung), sogar im hattenraum des Hindernisses. Aus der Lage der Maxima und Minima können wir noh au die paltbreite shließen (siehe 3GE). << Ist die paltbreite sehr viel kleiner als die Wellenlänge, wird der palt zum Ausgangspunkt einer Elementarwelle, hier einer Kreiswelle. Diese Elementarwelle breitet sih auh im hattenraum des Hindernisses aus. Wir können aus der eobahtung des Welleneldes hinter dem palt niht mehr au die reite des paltes shließen. Das Eindringen von Wellen in den geometrishen hattenraum hinter Hindernissen und Önungen wird als eugung bezeihnet. Entsheidend ür die Ausprägung der eugungsersheinungen ist das Verhältnis der Größe des Hindernisses zur Wellenlänge. Die eugung ist besonders stark, wenn das Ausmaß des beugenden Huygens shes Hindernisses von gleiher Größenordnung Prinzip wie die Wellenlänge oder kleiner ist. Die edeutung von Kreiswellen bzw. von Kugelwellen im Raum hat zuerst Christian HUYGEN (69-695) erkannt und mit den so genannten Elementarwellen die Wellentheorie begründet. Jeder Punkt einer Wellenront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden, die sih mit gleiher Phasengeshwindigkeit und gleiher Frequenz wie die ursprünglihe Welle ausbreiten. Alle diese Elementarwellen überlagern sih zu einer neuen Wellenront. Die neue Wellenront ist die Einhüllende aller Elementarwellen. (Huygens shes Prinzip) WELLEN 0

11 3.3 REFLEXION VON WELLEN Die Relexion von Wellen z.. an einer geraden Wand lässt sih mit dem Huygens shen Prinzip erklären. In dem Augenblik, in dem die ebene Wellenront (A C ) die Wand in A trit, geht von diesem Punkt eine Elementarwelle aus. Nah einer gewissen Zeit t hat sih die eintreende Wellenront weiter mit der Geshwindigkeit ausgebreitet und trit in C au die Wand au. Die treke C C ist also gleih t. In dieser Zeit hat sih die vom Punkt A ausgegangene Elementarwelle nah allen eiten bis zu einem Kreis mit dem Radius t ausgebreitet. Die neue Wellenront durh C muss diesen Kreis berühren; deshalb ist die Tangente A C zum Kreis ein tük der relektierten Wellenront. Weil die Dreieke (A C C ) und (A A C ) kongruent sind, haben die ankommende Wellenront (A C ) und die relektierte Wellenront (A C ) gleihe Neigung gegen die relektierende Wand. ezeihnen wir die beiden Winkel zwishen Wand und Wellenront oder, was gleihbedeutend ist, die Winkel zwishen den Wellenstrahlen 0 bzw. 0 und dem Lot zur Wand mit e bzw. r, so erhalten wir e = r Einallswinkel e und Relexionswinkel r sind gleih groß. (Relexionsgesetz) 3.4 RECHUNG VON WELLEN Au ähnlihe Weise wie die Relexion lassen sih auh die Eigenshaten des Übergangs eines Mediums in ein anderes erklären. Der wesentlihe Untershied zweier Medien in ezug au die Ausbreitung von Wellen besteht darin, dass die Wellen in ihnen vershiedene Fortplanzungsgeshwindigkeiten und besitzen. Medium > Medium Wird die Grenzlähe zwishen den beiden Medien von der ankommenden Wellenront (A C ) in A getroen, so gehen in diesem Augenblik von allen Punkten dieser Wellenront kreisörmige Elementarwellen aus. In einer bestimmten Zeit t breitet sih die von C ausgehende Elementarwelle im Medium um die treke t aus, bis sie in C die Grenzlähe trit. In der gleihen Zeit WELLEN

12 breitet sih die von A ausgehende Elementarwelle im Medium um die treke t aus. Die neue Wellenront im Medium wird als Einhüllende der Elementarwellen durh die Tangente dargestellt, die von C aus an den Kreis der Elementarwelle um A gezogen werden kann. Die Wellenronten (A C ) bzw. (A C ) bilden mit der Grenzlähe die Winkel bzw.. Gleihe Winkel bestehen auh zwishen der Ausbreitungsrihtung 0 der Wellenront (A C ) bzw. zwishen der Ausbreitungsrihtung 0 der Wellenront (A C ) und dem Lot zur Grenzlähe. Dreiek (A C C ) : sin t Dreiek (A A C ) : AC ilden wir den Quotienten aus den beiden inuswerten, so erhalten wir : sin sin t A C t A C t sin A C Die Änderung der Rihtung der Wellenronten bzw. ihrer Ausbreitungsrihtungen (Wellenstrahlen) beim Übergang von einem Medium in ein anderes bezeihnet der Physiker als rehnung. Für alle Wellenarten gilt olgendes allgemeine rehungsgesetz : sin sin In der Optik untersheiden wir die Eigenshaten eines Mediums meistens durh seine optishe Dihte. Als Maß ür die optishe Dihte verwenden wir die rehzahl (rehungsindex) n. rehzahl n V M Lihtgesh windigkeit im Vakuum Lihtgesh windigkeit im Medium Je höher die rehzahl n ist, desto optish dihter ist das Medium und desto geringer ist in ihm die Ausbreitungsgeshwindigkeit M des Lihts. Da die Ausbreitungsgeshwindigkeit des Lihts im Vakuum stets größer ist als in jedem anderen Medium, muss n sein. Durh Einsetzen der rehzahl in das allgemeine rehungsgesetz, erhalten wir die uns aus der geometrishen Optik bekannte Form des rehungsgesetzes. sin sin sin sin sin sin V n n n n V V n und n (Form des rehungsgesetzes in der Optik) V WELLEN

13 4. DER DOPPLER-EFFEKT Der nah seinem Entdeker Christian DOPPLER ( ) benannte Doppler-Eekt besteht darin, dass die von einem Empänger registrierte Frequenz einer Wellenstrahlung niht mit der gesendeten Frequenz übereinstimmt, wenn sih ender und Empänger relativ zueinander bewegen. Im Alltag ist die Ersheinung bei bewegten hallquellen zu beobahten. Fährt z.. ein Fahrzeug mit heulender irene an einem eobahter vorbei, so sinkt im Augenblik des Vorbeiahrens die Tonlage des Horns ür den eobahter merklih ab. Ein entsprehender Eekt tritt au, wenn sih ein eobahter selbst au die hallquelle zu- oder von ihr weg bewegt. Welhe Änderungen der Frequenz ergeben sih ür hallwellen in Lut? Dazu müssen wir zwei Fälle untersheiden. 4. Ruhender ender ewegter eobahter Der eobahter nähert sih dem ender Nähert sih der eobahter dem ender mit der Geshwindigkeit v, so treen ihn in der Zeit t niht nur die Wellenronten, die an seinen Anangsstandpunkt gelangen, sondern auh noh zusätzlih n Wellenronten, welhe er in der Zeit t bei seiner ewegung von nah shneidet. Die vom eobahter wahrgenommene Frequenz ist demnah um höher als die vom ender ausgestrahlte Frequenz mit n t t v t t v n Wir erhalten shließlih ür die vom eobahter wahrgenommene Frequenz v v s v s t Der eobahter enternt sih vom ender Enternt sih der eobahter vom ender mit der Geshwindigkeit v, so treen ihn bei seiner ewegung von nah n Wellenronten weniger, als an seinem Anangsstandpunkt ankommen. Die vom eobahter wahrgenommene Frequenz ist demnah um geringer als die vom ender ausgestrahlte Frequenz ' ' v v WELLEN 3

14 4. Ruhender eobahter ewegter ender Der ender nähert sih dem eobahter Nähert sih der ender dem eobahter mit der Geshwindigkeit v, so legt er in der Zeit t, bei seiner ewegung von nah, die treke v t zurük; die Wellen, die bei ruhendem ender die treke t einnehmen, verteilen sih nur noh au die verkürzte treke t - v t = ( - v ) t. Daher hat sih die vom eobahter wahrgenommene Wellenlänge verkürzt au : v t t v Die vom eobahter wahrgenommene Frequenz ist demnah höher als die vom ender ausgestrahlte Frequenz und beträgt : v s v v Der ender enternt sih vom eobahter Enternt sih der ender vom eobahter mit der Geshwindigkeit v, so verteilen sih die Wellen, die bei ruhendem ender die treke t einnehmen, nun au die vergrößerte treke t + v t = ( + v ) t. Daher hat sih die vom eobahter wahrgenommene Wellenlänge vergrößert au ' v und die vom eobahter wahrgenommene Frequenz verringert zu ' v WELLEN 4

15 4.3 Zusammenassung Doppler-Eekt Nähern sih ein ender und ein Empänger (eobahter), so nimmt der Empänger eine höhere Frequenz wahr, als der ender ausstrahlt. Enternen sie sih voneinander, so ist die vom Empänger wahrgenommene Frequenz geringer als die vom ender ausgestrahlte Frequenz. Wenn sih Empänger und ender kreuzen, ergibt sih eine Frequenzänderung ( - ). Diese Ersheinung bezeihnet der Physiker als Doppler-Eekt. Dass sih in beiden Fällen zwei vershiedene eziehungen ür die vom Empänger registrierte Frequenz ergeben, liegt daran, dass das die Welle tragende Medium als estes ezugssystem vorhanden ist. ewegt sih ein Empänger relativ zum Wellenträger, so ändert sih ür ihn, bei gleih bleibender Wellenlänge, die Ausbreitungsgeshwindigkeit au ( v ) und damit auh die Frequenz der Welle. ewegt sih ein ender relativ zum Wellenträger, so ändert sih ür den Empänger, bei gleih bleibender Ausbreitungsgeshwindigkeit, die Wellenlänge und damit auh die Frequenz der Welle. In beiden Fällen ist die Ursahe ür die Frequenzänderung eine andere und somit ist es logish, dass sih vershiedene eziehungen ergeben. 4.4 Übershallknall A C Die Abbildung zeigt ür vershiedene Geshwindigkeiten einer hallquelle, die Lage von vier aueinander olgenden Verdihtungen. v < v = v > Wenn ein Objekt, im Folgenden stets ein Flugzeug, hallwellen aussendet, bilden sih in der umgebenden Lut Verdihtungen (tellen mit höherem Lutdruk als normal) und Verdünnungen (tellen mit niedrigerem Lutdruk als normal). ewegt sih das Objekt, werden sih in ewegungsrihtung die Verdihtungen zusammenshieben. Nähert sih die Geshwindigkeit v der hallgeshwindigkeit, so liegen diese Verdihtungen sehr eng beieinander. Das Flugzeug durhstößt in rasher Folge tellen mit hohem Lutdruk, geolgt von tellen mit niedrigem Lutdruk. Dies wirkt wie mehanishe hläge au das Flugzeug. Im Grenzall bewegt sih das Flugzeug genau mit hallgeshwindigkeit. Dann treen die Verdihtungen aller ausgehenden hallwellen an einer telle zusammen. Es entsteht ein Ort mit extrem hohem Lutdruk, der au das Flugzeug wie eine Wand wirkt hallmauer. eim Übershreiten der hallgeshwindigkeit können sih die vom Flugzeug ausgehenden hallwellen niht mehr nah vorne ausbreiten, da sie zu langsam sind. Die gesamten hallwellen bilden nun einen kegelörmigen Körper, den so genannten Mah-Kegel. Da sih nun vor dem Objekt keine tellen mit wehselndem Lutdruk mehr beinden, ührt dies zu einer Änderung der Lutströmung an den Flügeln und somit der Flugeigenshaten des Flugzeugs. Au dem Kegelmantel summieren sih die Lutverdihtungen durh konstruktive Intererenz, so dass hier ein ganz besonders starker Überdruk herrsht. An allen Orten, über die dieser Kegelmantel hinweg streiht, hören wir wegen dem shlagartigen Anstieg des Lutdruks einen explosionsartigen Knall. Wir sagen dazu auh, das Flugzeug habe die hallmauer durhbrohen. ei dieser Redeweise entsteht der Eindruk, der Knall entstehe nur einmal in dem Augenblik, in dem das Flugzeug die hallgeshwindigkeit übershreitet. In Wirklihkeit shleppt ein mit WELLEN 5

16 Übershallgeshwindigkeit liegenden Flugzeug seinen Übershallknall au dem Mah shen Kegel dauernd hinter sih her. Tatsählih vernimmt man beim Überliegen eines Flugzeugs mit Übershallgeshwindigkeit im Abstand von a. einer Zehntelsekunde zwei Knallgeräushe. Dies rührt daher, dass das Flugzeug kein punktörmiges Objekt ist. Der erste Knall wird vom ug (Kopwelle), der zweite vom Hek (Hekwelle) des Flugzeugs verursaht. Für den halben Önungswinkel des Mah shen Kegels gilt : sin sin A AC t v t v Die Mah-Zahl M gibt das Verhältnis der Geshwindigkeit eines Objekts zur hallgeshwindigkeit an. v M Mah heißt das Objekt bewegt sih mit doppelter hallgeshwindigkeit, bei Mah 3 bewegt es sih mit dreiaher hallgeshwindigkeit. 4.5 Geshwindigkeitsmessung mit dem Radar Mikrowellen sind ein ammelbegri ür elektromagnetishe trahlung, welhe sih im Frequenzbereih zwishen 300 MHz und 300 GHz bewegt. ie haben somit eine Wellenlänge von etwa 0 m bis zu mm. Verwendung inden Mikrowellen in den vershiedensten ereihen. o inden wir in ast jedem Haushalt einen Mikrowellenherd. Dieser wird zum Garen von peisen benutzt. Auh beim Rihtunk, Mobilunk und beim Radar werden Mikrowellen eingesetzt. RADAR ist eigentlih eine Abkürzung und kommt aus dem Englishen und steht ür radio detetion and ranging, was man mit Funkermittlung und Enternungsmessung übersetzen kann. Radaranlagen haben die Augabe Objekte zu lokalisieren und ihren ewegungszustand zu bestimmen. Lokalisierung, Geshwindigkeitsbestimmung und Abstandsmessung bilden die drei größten Einsatzgebiete. Der große Vorteil dieser Anlagen gegenüber optishen und akustishen ystemen ist, dass sie Rauh, Wolken und Nebel durhdringen können. Die Funktionsweise einer Radaranlage basiert au einem Eho-Prinzip mit elektromagnetishen Wellen. Die Wellen werden mit Dauer und Abstand von einigen Millionstelsekunden ausgestrahlt. obald diese au ein Hindernis treen, werden sie dort relektiert. Der relektierte trahl wird am endeort empangen. Durh den Vergleih von der enderrequenz mit der durh Doppler-Eekt veränderten Eho-Frequenz lässt sih der ewegungszustand (Geshwindigkeit und ewegungsrihtung) eines angepeilten Objekts bestimmen. WELLEN 6