Mathematisches Grundwissen...2 Summen und Differenzen...2 Rechnen mit Brüchen...3 Addition und Subtraktion...3 Erweitern / Kürzen...

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1 Mthemtisches Grundwissen... Summen und Differenzen... Rechnen mit Brüchen... Addition und Sutrktion... Erweitern / Kürzen... Multipliktion / Division... Aufgen - Rechnen mit Brüchen... Lösungen - Rechnen mit Brüchen... Rechnen mit Termen... Vereinfchen durch Ausklmmern... Multipliktion von Summen... Binomische Formeln... Bruchterme... Aufgen - Rechnen mit Termen... Lösungen - Rechnen mit Termen... Potenzen und Wurzeln... Addition und Sutrktion... Multipliktion... Division... Potenzieren... Rdizieren (Wurzelziehen)... Aufgen Potenzen und Wurzeln... Lösungen Potenzen und Wurzeln... Logrithmen... Logrithmensysteme... Logrithmengesetze... Aufgen Rechnen mit Logrithmen... Lösungen Rechnen mit Logrithmen... Logrithmische Sklierung... Aufgen Logrithmische Sklierung... Lösungen Logrithmische Sklierung... Gleichungen... Äquivlenzumformungen... Aufgen Linere Gleichungen... Lösungen Linere Gleichungen... Qudrtische Gleichungen... Aufgen einfche qudrtische Gleichungen... Lösungen einfche qudrtische Gleichungen... Qudrtische Ergänzung... p-q-formel (kleine Lösungsformel)... --c-formel (große Lösungsformel)... Stz von Viet... Linerform der qudrtischen Gleichung... Aufgen qudrtische Gleichungen... Lösungen qudrtische Gleichungen... Dreistz... Einfcher Dreistz proportionl... Umgekehrter Dreistz umgekehrt proportionl... Aufgen Dreistz... Lösungen Dreistz... Prozentrechnung... Aufgen Prozentrechnung... Lösungen Prozentrechnung... Zins- und Zinseszinsrechnung... Aufgen Zinsrechnung... Lösungen Zinsrechnung... Mischungsrechnen... Aufgen Mischungsrechnen...

2 Mthemtisches Grundwissen Summen und Differenzen Gleichrtige Summnden werden zusmmengefsst. y y y y Ds Rechenzeichen vor einer Klmmer muss echtet werden. : Rechenzeichen leien erhlten - : Rechenzeichen kehren sich um Jedes Glied der Summe oder Differenz wird mit dem Fktor multipliziert. y y y y y Fktoren dürfen vertuscht werden. y y y Klmmern werden von innen nch ußen ufgelöst. [ ] [ ]

3 Rechnen mit Brüchen Addition und Sutrktion Gleichnmige Brüche werden ddiert / sutrhiert, indem mn die Zähler ddiert / sutrhiert und den Nenner eiehält. ) ) Erweitern / Kürzen Brüche werden erweitert, indem mn Zähler und Nenner mit der gleichen Zhl multipliziert. Brüche werden gekürzt, indem mn Zähler und Nenner durch die gleiche Zhl dividiert. Ungleichnmige Brüche werden zuerst gleichnmig gemcht und dnn ddiert / sutrhiert. ) ) Multipliktion / Division Brüche werden multipliziert, indem mn Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Brüche werden dividiert, indem mn mit dem Kehrwert multipliziert. oder

4 Aufgen - Rechnen mit Brüchen. Kürzen Sie:. Erweitern Sie die Brüche uf den vorgegeenen Nenner:. Schreien Sie ls Bruch:. Berechnen Sie und schreien Sie möglichst ls Bruch: ) ). Berechnen Sie und geen Sie ds Ergenis möglichst ls gemischte Zhl n: ls Bruch schreien gleichnmig mchen (erweitern uf kleinsten gemeinsmen Nenner) (Punkt vor Strich echten!) Gut pssende Brüche zuerst zusmmenfssen und evtl. kürzen.

5 Kleinsten gemeinsmen Nenner finden,,, Alle Zhlen in Primfktoren zerlegen und untereinnder schreien - lle Fktoren, die vorkommen nschließend multiplizieren. KGN. Multiplizieren Sie und kürzen Sie, wenn möglich: ) ). Dividieren Sie und kürzen Sie, wenn möglich: : ) : : : : ) : : :. Vermischte Aufgen ) : : )

6 Lösungen - Rechnen mit Brüchen. Kürzen Sie:. Erweitern Sie die Brüche uf den vorgegeenen Nenner:. Schreien Sie ls Bruch:. Berechnen Sie und schreien Sie möglichst ls Bruch: ) ). Berechnen Sie und geen Sie ds Ergenis möglichst ls gemischte Zhl n:. Multiplizieren Sie und kürzen Sie, wenn möglich: ) )

7 . Dividieren Sie und kürzen Sie, wenn möglich: ) : : : : ) : : : :. Vermischte Aufgen ) ) : :

8 Rechnen mit Termen Term: Vrile: Ein mthemtischer Ausdruck, in dem Zhlen, Vrile, mthemtische Zeichen und Klmmern enthlten sein können. Vrile sind Buchsten, die ls Pltzhlter für Zhlen dienen. Vereinfchen durch Ausklmmern Ausklmmern mcht us einer Summe ein Produkt, dies wird uch fktorisieren gennnt. ( ) Wird ein negtiver Fktor usgeklmmert, muss mn die Vorzeichen echten. ( ) gleichnmig mchen usklmmern, Vorzeichen echten c m mc ( c) m( c) ( m)( c) Multipliktion von Summen Jeder Summnd der ersten Summe wird mit jedem Summnd der zweiten Summe multipliziert. ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

9 Binomische Formeln. Binomische Formel. Binomische Formel. Binomische Formel Bruchterme Bei der Lösung von Bruchtermen ist zu echten: Durch die Zhl Null drf nicht dividiert werden (der Nenner drf nicht Null werden). Definitionsmenge: D R \ { } (Menge der reellen Zhlen ußer ) Anwendung der Binomischen Formeln: D R \ { } D R \ { } ;. Bruch kürzen Gleichnmig mchen. Bruch mit (-) erweitern,. Bruch mit erweitern. inomische Formel usrechnen, uf einen Bruch reduzieren Klmmer uflösen Ausrechnen und - usklmmern

10 Aufgen - Rechnen mit Termen. Vereinfchen Sie durch Ausklmmern! ) y y ) y ( c) ( ) c) y y y c c c ( ) ( y y ) ( y y). Formen Sie den Term um durch Multiplizieren und Zusmmenfssen! ) ( y)( ) ( )( ) ( )( ) ( c)( c) c c ) ( y)( y) ( ) y ( )( )( ) ( c)( c )( c )

11 . Formen Sie mit Hilfe der inomischen Formeln um! ) p q ) y ( ) ( y) y y( y ) ( y ) y y c) ( )( ) ( ) ( p q) ( p q)( p q) ( y) ( y) ( y)( y). Vereinfchen Sie die Bruchterme. Geen Sie jeweils die Definitionsmenge n. ) p q p( q ) pq q p p ) ( ) ( ) ( ) ( )

12 Lösungen - Rechnen mit Termen. Vereinfchen Sie durch Ausklmmern! ) ( ) ( ) ( ) y y ( ) y(y ) ) y ( y ) ( ) ( ( )) ( c) c ( c) ( ) ( ) c) y y y y( y) c c c c( c) ( ) ( ) ( y y ) ( y y) y( y) y( ) y( y) ( ). Formen Sie den Term um durch Multiplizieren und Zusmmenfssen! ) ( y)( ) y y ( )( ) ( )( ) ( c)( c) c c c c c c c c ) ( y)( y) ( y ) y y ( )( )( ) ( c)( c )( c ) c c c c c c c. Formen Sie mit Hilfe der inomischen Formeln um!

13 ) ( p q)( p q) p q ( ) ) ( y)( y) y ( ) ( ) ( ) y y y y y y ( y) c) y y y y ( )( ) ( ) ( ) ( p q) ( p q)( p q) p pq q ( y) ( y) ( y)( y) y. Vereinfchen Sie die Bruchterme. Geen Sie jeweils die Definitionsmenge n. ) D R \ {} D R \ {; -} p q pq p ( q ) q p p p q D R \ {; -} D R p, q

14 ) D R \ {; -} D R \ {-; -/} D R D R

15 Potenzen und Wurzeln Eine Potenz ist die Multipliktion gleicher Fktoren (Bsis), ei der der Eponent die Anzhl der Fktoren ngit. n... c (n ml multiplizieren! n Addition und Sutrktion Potenzen mit gleicher Bsis und gleichem Eponent können ddiert / sutrhiert werden. Multipliktion Potenzen mit gleicher Bsis werden multipliziert, indem mn die Eponenten ddiert und die Bsis eiehält. m n m n n n ( ) flls n gerde ( ) n n n ( ) ( ) flls n ungerde ( ) ( ) Potenzen mit ungleicher Bsis und gleichem Eponent werden multipliziert, indem mn die Bsen multipliziert und den Eponenten eiehält. n n n () Division Potenzen mit gleicher Bsis werden dividiert, indem mn den Nenner-Eponenten vom Zähler-Eponenten sutrhiert und die Bsis eiehält. m m n mn gilt für m > n n mm Flls m n ist, ergit sich der Eponent und es gilt Ist der Zähler-Eponent kleiner ls der Nenner-Eponent, m < n, ergit sich eine negtive Zhl ls Eponent und es gilt: m m n n Eenso gilt er uch umgekehrt: n n Setzt mn eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich ds Vorzeichen.

16 Potenzen mit ungleicher Bsis und gleichem Eponent werden dividiert, indem mn die Bsen dividiert und den Eponenten eiehält. n n n Potenzieren Potenzen werden potenziert, indem mn die Eponenten multipliziert. m n m n ( ) Rdizieren (Wurzelziehen) Potenzen werden rdiziert, indem mn den Potenz-Eponenten durch den Wurzel-Eponenten dividiert und die Bsis eiehält. n m m n Qudrtwurzel:

17 Aufgen Potenzen und Wurzeln. Fssen Sie zusmmen und vereinfchen Sie: y ( ) ( ) ( ) ) y y( y ) ( y ) y( y y) ( ) ( ) ) y y y n n ( ) c) ( ) y ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) Minus usklmmern! Nur ei ungerden Eponenten möglich; ( ) ( ) ( ) ( ). Ordnen Sie der Größe nch:,,,. Ergänzen Sie die Telle.,,,. Drücken Sie ls er-potenz in der ngegeenen Einheit us! ) Liter µl ml µl ml ) cm µm mm,m km c) Liter cm³ mm³,m³ ³mm³ l ml ml µl m cm m mm mm µm µl mm ml cm

18 . Schreien Sie ls Wurzel!. Schreien Sie ls Potenz! ( ). Formen Sie um und erechen Sie: ) ) ( ),. Mchen Sie den Nenner rtionl. ) ) ( ) ( )

19 Lösungen Potenzen und Wurzeln. Fssen Sie zusmmen und vereinfchen Sie: ) y y y y y y y y y y y y ) ( ) y y y y n n n ) ( c) y y y d)

20 . Ordnen Sie der Größe nch:,,,,,,. Ergänzen Sie die Telle.,,,,,,. Drücken Sie ls er-potenz in der ngegeenen Einheit us! ) Liter µl l l ml l l µl l l, l ml l l ) cm µm cm cm mm cm cm,m cm, cm km cm cm c) Liter cm ml l l mm µl l,m, l mm µl ml l. Schreien Sie ls Wurzel!

21 . Schreien Sie ls Potenz!. Formen Sie um und erechen Sie: ) ),. Mchen Sie den Nenner rtionl. ) )

22 Logrithmen Bsis Eponent Potenzwert Ersetzt mn Bsis, Eponent oder Potenzwert durch, erhält mn folgendes: Aufge gesucht Lösungsweg Ergenis Potenzwert Potenzieren Bsis Wurzelziehen Eponent Logrithmieren ist der Logrithmus von zur Bsis log Der Logrithmus ist der Eponent (), mit dem die Bsis () potenziert werden muss, um den Potenzwert (c) zu erhlten. ist der Logrithmus von c zur Bsis. log c c Logrithmensysteme log Logrithmus zur Bsis lg - dekdischer Logrithmus: Logrithmus zur Bsis (Zehnerlogrithmus) log c lg c!!! Achtung: uf Tschenrechnern Tste log!!! ln ntürlicher Logrithmus Logrithmus zur Bsis e (e Eulersche Zhl,...) log e c ln c!!! Achtung: uf Tschenrechnern Tste ln!!!

23 Logrithmengesetze Der Logrithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logrithmen der einzelnen Fktoren. ( c) log log c log Der Logrithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logrithmen von Zähler und Nenner. log log c log c Der Logrithmus einer Potenz ist gleich dem Logrithmus der Bsis multipliziert mit dem Eponenten. log log c ( ) c log c c ( ) log log Umrechnung in ein nderes Logrithmensystem c Der Logrithmus von zur Bsis ist gleich dem Quotienten des dekdischen oder ntürlichen Logrithmus von (Zähler) und (Nenner). lg log oder lg log ln ln lg Bsp.: log (Tschenrechner verwenden) lg

24 Aufgen Rechnen mit Logrithmen. Schreien Sie ls Logrithmus.. Bestimmen Sie den Logrithmus. log log log log log, lg, log log. Vereinfchen Sie und echten Sie dei die Logrithmengesetze: log lg log lg log log lg log. Berechnen Sie ohne Tschenrechner: log log log log lg lg lg ln lg lg ln log log log. Berechnen Sie mit Tschenrechner und runden Sie uf Stellen: log ln log lg lg log lg log log log log log log lg

25 Lösungen Rechnen mit Logrithmen. Schreien Sie ls Logrithmus. log lg log log. Bestimmen Sie den Logrithmus. log log log log log,. Vereinfchen Sie: lg, log log log log log ( ) log lg lg log lg lg lg log lg lg lg log ( ) log lg lg lg log log lg lg lg. Berechnen Sie ohne Tschenrechner: lg log lg log log, log lg lg lg lg lg lg ln ln log log log log log log ( )

26 . Berechnen Sie mit Tschenrechner und runden Sie uf Stellen: log, ln, log, lg lg, log, log, lg log log log, log log, lg

27 Logrithmische Sklierung Bei der logrithmischen Sklierung werden uf der y-achse die Logrithmen der Funktionswerte eingetrgen. Die ttsächlichen Werte müssen errechnet werden. Beispiel: Die Messungen der Stndrdkurve des Gerinnungsfktors ergeen folgende Werte: % log sec,,, Trägt mn nun die sec-werte uf die -Achse und die %-Werte uf die Y-Achse ei linerer Sklierung, so erhält mn folgende Kurve: Die niedrigen %-Werte sind prktisch nicht lesr. Wählt mn für die %-Werte eine logrithmische Einteilung (mn trägt lso den dekdischen Logrithmus der Prozentwerte ein), ergit sich diese Grfik:, log %,, sec Aus der Kurve ist eine Gerde geworden. Anhnd der gemessenen Sekunden knn mn den Logrithmus der Prozente lesen. Um nun die richtigen Prozentwerte zu erhlten, erechnet mn: log % % Bsp.: Gemessen: s Agelesen:, (log%) Berechnet:,,% Eine weitere Möglichkeit ist die Verwendung von logrithmischem Ppier Es ergit sich eenflls eine Gerde, er es entfällt die Berechnung, mn knn die Prozentwerte direkt lesen.

28 % sec Allerdings muss mn die logrithmische Sklierung genu echten. (Die y-achse eginnt nicht ei Null und nch der ist der nächste Huptteilstrich schon. Die Astände zwischen den Huptlinien werden immer kleiner.) Ds Gnze ist ntürlich uch umgekehrt möglich, wenn mn die Sekunden uf die linere y-achse ufträgt und die Prozentwerte uf die logrithmische -Achse. Hier eginnt dnn die -Achse ei %

29 Aufgen Logrithmische Sklierung. Berechnen Sie die y-werte und trgen Sie die Punkte uf Millimeterppier und uf einfch logrithmisches Ppier uf. y y y y

30 Lösungen Logrithmische Sklierung. Berechnen Sie die y-werte und trgen Sie die Punkte uf Millimeterppier und uf einfch logrithmisches Ppier uf. y y,,,,,,,,,, y y,,,,,,,,,, Liner:

31 Gleichungen Gleichungen (oder Ungleichungen) estehen us zwei Termen, rechts und links vom Reltionszeichen (,, <,, >, ). Es gelten folgende Definitionen: Grundmenge G: lle Zhlen, die zum Einsetzen in die Gleichung vorgesehen sind Definitionsmenge D: lle Elemente der Grundmenge, die für die Uneknnte eingesetzt werden dürfen Lösungsmenge L: lle Elemente der Definitionsmenge, die die Gleichung in eine whre Aussge üerführen Beispiele: G N D N L {} G R D R L {,-} G R D R \ {} L {} N Menge der ntürlichen Zhlen {,,, } Mnchml wird die Null dzugezählt, mn schreit N*. R Menge der reellen Zhlen lle Zhlen mit Dezimldrstellung Äquivlenzumformungen Durch Umformung wird die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändert. Folgende Möglichkeiten git es: Auf eiden Seiten der Gleichung die gleiche Zhl oder den gleichen Term ddieren oder sutrhieren. Beide Seiten mit der gleichen Zhl oder demselen Term multiplizieren. Beide Seiten durch die gleiche Zhl oder denselen Term dividieren. NICHT erlut sind: Multipliktion mit Null, Division durch Null, Qudrieren eider Seiten u.ä.

32 Aufgen Linere Gleichungen. Lösen Sie die Gleichungen nch uf.. Lösen Sie die Gleichungen nch uf. ( ). Die Summe von ufeinnder folgenden Zhlen ergit. Berechnen Sie die größte Zhl.. Die Differenz der Qudrte von zwei ufeinnder folgenden Zhlen ist. Bestimmen Sie die eiden Zhlen.. Bei einem Rechteck ist eine Seite um m länger ls die ndere. Die längere Seite wird um m verkürzt, die kürzere um m. Ddurch verkleinert sich der Flächeninhlt um m². Wie groß wr ds ursprüngliche Rechteck?

33 Lösungen Linere Gleichungen. Lösen Sie die Gleichungen nch uf.. Lösen Sie die Gleichungen nch uf.. Die Summe von ufeinnder folgenden Zhlen ergit. Berechnen Sie die größte Zhl. Die größte Zhl ist ().. Die Differenz der Qudrte von zwei ufeinnder folgenden Zhlen ist. Bestimmen Sie die eiden Zhlen. Die eiden Zhlen sind und.

34 . Bei einem Rechteck ist eine Seite um m länger ls die ndere. Die längere Seite wird um m verkürzt, die kürzere um m. Ddurch verkleinert sich der Flächeninhlt um m². Wie groß wr ds ursprüngliche Rechteck? ( ) ( )( ),m - -,m ( ),m Die Fläche des ursprünglichen Rechtecks eträgt, m².

35 Qudrtische Gleichungen Gleichungen, in denen nur vorkommt, nennt mn reinqudrtische Gleichungen. Die Lösung erhält mn durch Umformen und Wurzelziehen. Ddurch erhält mn zwei Lösungen. ± : L L Bechte: Aus einer negtiven Zhl drf mn keine Wurzel ziehen! Einfche qudrtische Gleichungen der Form lssen sich durch Ausklmmern lösen. ( ) Ein Produkt ist genu dnn Null, wenn mindestens ein Fktor Null ist. Die llgemeine Form der qudrtischen Gleichung lutet: c Wenn mn nun eide Seiten durch dividiert, erhält mn die Normlform der qudrtischen Gleichung: c c oder wenn p und q p q

36 Aufgen einfche qudrtische Gleichungen. Lösen Sie die Gleichungen nch uf. ( ). Formen Sie die Gleichungen um und lösen Sie nch uf. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ). Lösen Sie die Gleichungen durch Ausklmmern.

37 Lösungen einfche qudrtische Gleichungen. Lösen Sie die Gleichungen nch uf. / ± / ± / ± / ± / ± / ±. Formen Sie die Gleichungen um und lösen Sie nch uf. / ± / ± / ± { } L. Lösen Sie die Gleichungen durch Ausklmmern. ) (

38 Qudrtische Ergänzung Um eine qudrtische Ergänzung zu mchen, formt mn die Gleichung so um, dss uf der einen Seite lle und stehen und uf der nderen Seite die Zhl ohne. Nun wird der Koeffizient von (Zhl, die ei steht) zuerst hliert, dnn qudriert und uf eiden Seiten der Gleichung ddiert. Die so entstndene inomische Formel wir dch und ufgelöst. Beispiel : - (qudrtische Ergänzung). Binomische Formel ± ( ) ( ) ± ( ) ( ) ( ) Beispiel : : (qudrtische Ergänzung). Binomische Formel ± ( ) ( ) ( ) ± ( ) ( )

39 p-q-formel (kleine Lösungsformel) Wendet mn ds Verfhren der qudrtischen Ergänzung uf die Normlform der qudrtischen Gleichung n, so erhält mn die p-q-formel:, q p p q p ± / q p ezeichnet mn ls Diskriminnte D Eine qudrtische Gleichung ht o Zwei Lösungen, wenn q p > o Eine Lösung, wenn q p o Keine Lösung, wenn q p < --c-formel (große Lösungsformel) c c / ± Auch hier gilt: Es git o Zwei Lösungen, wenn c > o Eine Lösung, wenn c o Keine Lösung, wenn c < Die Berechnung des Ausdrucks unter der Wurzel git Auskunft üer die Anzhl der Lösungen und ersprt dher mnchml Rechenreit! q p p q p p q p p q p p p q p q p ± ± / /

40 Stz von Viet Wenn mn die Lösungen einer qudrtischen Gleichung kennt, knn mn mit dem Stz von Viet die Gleichung rekonstruieren. Dies eignet sich uch zur Lösungskontrolle. q p q p Beispiel: p p q q Mit Hilfe des Stzes von Viet lssen sich uch Gleichungen konstruieren, die gnz estimmte Lösungen hen. Beispiel: Wie lutet die qudrtische Gleichung mit der Lösungsmenge { } ; L? p p p q q ist die zur Lösungsmenge gehörende Gleichung. Linerform der qudrtischen Gleichung Eine weitere Möglichkeit zur Konstruktion von qudrtischen Gleichungen sind die Linerfktoren. Ein Produkt ist immer dnn Null, wenn einer der Fktoren Null ist: Wenn { } ; L dnn gilt: Beispiel: { } ; L

41 Aufgen qudrtische Gleichungen. Lösen Sie die Gleichungen durch qudrtische Ergänzung.. Leiten Sie die c-formel durch qudrtische Ergänzung us der llgemeinen Form der qudrtischen Gleichung. c. Lösen Sie die Gleichungen mit Hilfe der pq-formel. Berechnen Sie zuerst die Diskriminnte p q. Lösen Sie die Gleichungen mit Hilfe der c-formel. Berechnen Sie zuerst den Ausdruck unter der Wurzel ( c

42 . Berechnen Sie nch dem Stz von Viet zuerst p und q und erstellen Sie dnn die qudrtische Gleichung. L { ; } L { ; } L { ; } L { ; } L { ; } L { ; }. Erstellen Sie die qudrtische Gleichung mit gnzzhligen Koeffizienten. L ; L ; L ; L ; L ; L ;. Zerlegen Sie die qudrtischen Gleichungen (Polynome) in Linerfktoren. Es dürfen nur gnze Zhlen vorkommen. Beispiel: ht folgende Lösungen: L ; Die Linerform lutet lso: Um in den Klmmern nur gnze Zhlen zu erhlten, multipliziert mn jede Klmmer mit dem entsprechenden Nenner, lso die erste Klmmer mit, die zweite Klmmer mit und erhält: ( )( ). Beweisen Sie folgende Annhme: Vermehrt mn ds Qudrt der Differenz zweier Zhlen um ihr vierfches Produkt, so erhält mn ds Qudrt der Summe der eiden Zhlen.. Bestimmen Sie zwei Zhlen, deren Summe, und deren Produkt -, ist.. Zwei Zhlen unterscheiden sich um, ihr Produkt eträgt. Wie heißen die Zhlen? Git es mehrere Lösungen?

43 Lösungen qudrtische Gleichungen. Lösen Sie die Gleichungen durch qudrtische Ergänzung. { } ; L { } ; L { } ; L { } L { } ; L { } ; L ; L ; L ; L ; L. Leiten Sie die c-formel durch qudrtische Ergänzung us der llgemeinen Form der qudrtischen Gleichung. c c c c c c c c / / / ± ± ± ±

44 . Lösen Sie die Gleichungen mit Hilfe der pq-formel. Berechnen Sie zuerst die Diskriminnte p q D, L { ; } D, L { ;} D, L { } D, L { } D L { ; } D { } L { ; } L ; D D, L { ; } D L { } D, L { ; }. Lösen Sie die Gleichungen mit Hilfe der c-formel. Berechnen Sie zuerst den Ausdruck unter der A c ). Wurzel ( A L ; A L ; A L ; A L ; A L { } A L ; A L ; A L ; A L ; A L ;

45 . Berechnen Sie nch dem Stz von Viet zuerst p und q und erstellen Sie dnn die qudrtische Gleichung. { } ; L { } ; L { } ; L { } ; L { } ; L { } ; L. Erstellen Sie die qudrtische Gleichung mit gnzzhligen Koeffizienten. ; L ; L ; L L ; ; L ; L. Zerlegen Sie die qudrtischen Gleichungen (Polynome) in Linerfktoren. Es dürfen nur gnze Zhlen vorkommen.

46 . Beweisen Sie folgende Annhme: Vermehrt mn ds Qudrt der Differenz zweier Zhlen um ihr vierfches Produkt, so erhält mn ds Qudrt der Summe der eiden Zhlen. ( ) ( ). Bestimmen Sie zwei Zhlen, deren Summe, und deren Produkt -, ist. Nch dem Stz von Viet gilt:,, Drus ergit sich folgende Gleichung: oder Diese Gleichung ht folgende Lösungen: L ;. Zwei Zhlen unterscheiden sich um, ihr Produkt eträgt. Wie heißen die Zhlen? Git es mehrere Lösungen? ( ) Durch Einsetzen in die pq-formel erhält mn folgende Lösungen: Es git zwei Lösungen und die gesuchten Zhlenpre sind: ( ; ) und (- ; -)

47 Dreistz Einfcher Dreistz proportionl Beim einfchen Dreistz liegt eine Gesetzmäßigkeit folgender Art vor: Je mehr A, desto mehr B Beim Verdoppeln, Verdreifchen, Vervielfchen von A wird uch B verdoppelt, verdreifcht, vervielfcht. Entsprechende Aufgen lssen sich in drei Schritten lösen:. Einheiten von A entsprechen Einheiten von B A oder verhält sich zu wie A zu B oder die Verhältnisse sind gleich! B. Einheit von A entspricht Einheiten von B. c Einheiten von A entsprechen demnch c Einheiten von B Beispiel: Ein Auto fährt in Stunden km ei konstnter Geschwindigkeit. Wie viele km legt es in Stunden zurück?. Lösungsmöglichkeit: (Dreistz) Std. km : Std. km Std. km Ds Auto legt in Stunden km zurück.. Lösungsmöglichkeit: (rechnerisch) zu wie zu Umgekehrter Dreistz umgekehrt proportionl Beim umgekehrten Dreistz liegt eine Gesetzmäßigkeit folgender Art vor: Je mehr A, desto weniger B Beim Verdoppeln, Verdreifchen, Vervielfchen von A wird uch B hliert, gedrittelt, durch ds Vielfche dividiert. Dei ergeen Einheiten von A mit Einheiten von B einkonstntes Produkt:

48 A B Beispiel: Areiter ruchen Tge für eine estimmte Areit. Wie lnge ruchen Areiter für die gleiche Areit (ei einer täglichen Areitszeit von Stunden)?. Lösungsmöglichkeit: (Dreistz) Areiter Tge Areiter Tge : Areiter Tge Tge, Stunden. Lösungsmöglichkeit: (rechnerisch)

49 Aufgen Dreistz. Blätter Kopierppier wiegen, kg. ) Wie viel wiegen Blätter? ) Wie viele Blätter hen ein Gewicht von g?. Um einen Weg zu schottern ruchen Bgger Tge. Wie lnge ruchen Bgger für die gleiche Areit?. Ein Becken wird durch ein Rohr mit einem Querschnitt von cm² in Stunden efüllt. Wie lnge würde es duern, wenn ds Rohr cm² Durchmesser hätte?. Der Leensmittelvorrt einer Schiffsestzung von Mnn reicht für Tge. Wie lnge reicht der gleiche Vorrt für Mnn?. Ein Supermrkt ewirt Nutell im g-gls ls Sonderngeot für,. Im Regl steht uch ds normle g-gls für,. Ist ds große Gls ttsächlich ein Sonderngeot?. Ein g-becher Joghurt kostet,. Im Aktionsngeot erhält mn g-becher der gleichen Sorte für,. Wie viel sprt mn im Vergleich zum Normlpreis?. Hennen legen Eier in Tgen. In wie vielen Tgen legen Hennen Eier?. Ein m² großes Blech, mm dick, wiegt, kg. Wie viel wiegt ein mm dickes Blech, ds eine Fläche von m² ht? (Bitte uf gnze kg runden!)

50 Lösungen Dreistz. Blätter Kopierppier wiegen, kg. ) Wie viel wiegen Blätter? g ) Wie viele Blätter hen ein Gewicht von g? Blätter. Um einen Weg zu schottern ruchen Bgger Tge. Wie lnge ruchen Bgger für die gleiche Areit? (indirekter Dreistz, Produkte sind gleich) Tge. Ein Becken wird durch ein Rohr mit einem Querschnitt von cm² in Stunden efüllt. Wie lnge würde es duern, wenn ds Rohr cm² Durchmesser hätte? (indirekter Dreistz) Stunden. Der Leensmittelvorrt einer Schiffsestzung von Mnn reicht für Tge. Wie lnge reicht der gleiche Vorrt für Mnn? (indirekter Dreistz) Tge. Ein Supermrkt ewirt Nutell im g-gls ls Sonderngeot für,. Im Regl steht uch ds normle g-gls für,. Ist ds große Gls ttsächlich ein Sonderngeot? Ds g-gls würde uf g hochgerechnet, kosten. Ds große Gls ist deshl kein Sonderngeot!. Ein g-becher Joghurt kostet,. Im Aktionsngeot erhält mn g-becher der gleichen Sorte für,. Wie viel sprt mn im Vergleich zum Normlpreis? Die gleiche Menge Joghurt kostet normlerweise,, mn sprt lso,.. Hennen legen Eier in Tgen. In wie vielen Tgen legen Hennen Eier? Pro Tg legt eine Henne, Eier (zuerst die Eier pro Henne, dnn die Eier pro Tg erechnen) Hennen legen lso pro Tg, Eier und ruchen dmit für Eier etw, Tge ( Tge, Stunden, Minuten). Ein m² großes Blech, mm dick, wiegt, kg. Wie viel wiegt ein mm dickes Blech, ds eine Fläche von m² ht? (Bitte uf gnze kg runden!) m² des mm dicken Blechs wiegt, kg, ein mm dickes Blech würde lso, kg pro m² wiegen. m² dieses Blechs wiegen dmit, kg, wenn ds Blech mm dick ist, wiegt es lso, kg.

51 Prozentrechnung Prozentstz p Grundwert G Prozentwert W % von. Wie viel sind % von? Gesucht ist der Prozentwert W. p W G. % einer Geldsumme sind. Wie hoch ist die Geldsumme? Gesucht ist der Grundwert G. W G p. Wie viel Prozent von sind? Gesucht ist der Prozentstz p. W p G

52 Aufgen Prozentrechnung. Ergänzen Sie die freien Felder: Grundwert G Prozentwert W Prozentstz p % %, %,,,,. Nch der Mehrwertsteuererhöhung von % uf % verteuerten sich folgende Wren: Schokolde von, uf, CD-Rohlinge ( Stück) von, uf, Plsmfernseher von uf Wie hen sich die Nettopreise entwickelt wenn mn erücksichtigt, dss die Mehrwertsteuer für Leensmittel ei % gelieen ist?. Nch einer Mieterhöhung von % muss Fmilie F. nun, ezhlen. Wie hoch wr die ursprüngliche Miete?. Ein Anlgeetrg von wird jährlich mit, % verzinst. Der Vertrg läuft üer Jhre, die Zinsen werden nicht mitverzinst. Wie viel Geld ht der Kunde m Ende der Lufzeit?. Wie viel Geld ht der Kunde us Aufge, wenn die Zinsen mitverzinst werden?

53 Lösungen Prozentrechnung. Ergänzen Sie die freien Felder: Grundwert G Prozentwert W Prozentstz p,, % %,, %,,,,,,. Nch der Mehrwertsteuererhöhung von % uf % verteuerten sich folgende Wren: Schokolde von, uf, CD-Rohlinge ( Stück) von, uf, Plsmfernseher von uf Wie hen sich die Nettopreise entwickelt wenn mn erücksichtigt, dss die Mehrwertsteuer für Leensmittel ei % gelieen ist? Artikel Nettopreis lt Nettopreis neu Teuerung Schokolde,,, % CD-Rohlinge,, -,% Plsmfernseher,,,%. Nch einer Mieterhöhung von % muss Fmilie F. nun, ezhlen. Wie hoch wr die ursprüngliche Miete?. Ein Anlgeetrg von wird jährlich mit, % verzinst. Der Vertrg läuft üer Jhre, die Zinsen werden nicht mitverzinst. Wie viel Geld ht der Kunde m Ende der Lufzeit?,-. Wie viel Geld ht der Kunde us Aufge, wenn die Zinsen mitverzinst werden?,

54 Zins- und Zinseszinsrechnung Für die Zinserechnung git es verschiedene Möglichkeiten: Einfche (linere) Verzinsung Die Zinsen werden für die gesmte Lufzeit erechnet. Dies geschieht proportionl zur Lufzeit, d.h. wenn die Lufzeit nur Monte eträgt, der jährliche Zinsstz er % eträgt, werden nur Monte erechnet. Kn K ( n i) Eponentielle Verzinsung (Zinseszinsen) Nch jeder Zinsperiode (z.b. m Ende des Jhres) werden die Zinsen dem Kpitl zugeschlgen und in der nächsten Zinsperiode mitverzinst. Ds Kpitl wächst um den Aufzinsungsfktor q i K K q n oder K K ( i) n n n K n K i n Endwert (Kpitl nch n Jhren) Brwert (Anfngskpitl) Zinsstz Lufzeit in Jhren Unterjährige Verzinsung Mnchml werden die Zinsen mehrmls pro Jhr dem Kpitl zugeschlgen (Hljährlich, vierteljährlich, montlich). Für die Berechnung des unterjährigen Zinsstzes i m (m Anzhl der Zinsperioden) git es zwei Möglichkeiten: Reltiver unterjähriger Zinsstz Der nominelle Jhreszins wird durch die Anzhl der Zinsperioden geteilt. i m Dei ergit sich ein höherer Effektivzinsstz. i m Beispiel: K, i %, n Hljährlich: i % Vierteljährlich: i % Montlich: i % K,, K,, K,, i eff.,% i eff.,% i eff.,% Konformer unterjähriger Zinsstz i m wird so estimmt, dss sich dersele Effektivzinsstz ergit wie ei jährlicher Verzinsung. i i Beispiel: i % m m Hljährlich: Vierteljärlich: Montlich:,,, i,,% i,,% i,,%

55 Sonderfll: Stetige Verzinsung Wenn mn ei gleichleiendem Zinsstz die Anzhl der Zinsperioden vergrößert, wird ds Endkpitl immer größer. Es git llerdings eine Oergrenze. Beispiel: K, i % n K n ( ),,,,,,, Der Grenzwert ist die Eulersche Zhl e, Diese Art der Verzinsung stellt ein gutes Modell für ntürliche Wchstumsvorgänge oder rdioktiven Zerfll dr.

56 Aufgen Zinsrechnung

57 Lösungen Zinsrechnung

58 Mischungsrechnen Bei Mischungsrechnungen werden Konzentrtionen und Mengenverhältnisse errechnet, die sich eim Mischen gelöster Chemiklien, Säuren oder Lugen unterschiedlicher Konzentrtion ergeen. Ds Mischungskreuz ist eine Methode, mit der mn die Mengennteile erechnen knn, die mn enötigt, um us zwei Stmmlösungen, d. h. Lösungen mit eknnten Konzentrtionen, eine Lösung mit einer estimmten Zielkonzentrtion zu erzeugen. Auf der linken Seite des Mischungskreuzes werden die eknnten Ausgngskonzentrtionen der Flüssigkeiten ngegeen. An den Kreuzungspunkt schreit mn die gewünschte Zielkonzentrtion der Mischung. Nun ildet mn die Differenz us der eknnten Konzentrtion links oen und der gewünschten Zielkonzentrtion in der Mitte und notiert ds Ergenis rechts unten. Dnn ildet mn die Differenz us der eknnten Konzentrtion links unten und der gewünschten Zielkonzentrtion in der Mitte und schreit ds Ergenis rechts oen uf. Die Ergenisse sind immer positive Zhlen, notflls wird ds Vorzeichen umgekehrt! Auf der rechten Seite des Mischungskreuzes erhält mn dnn ls Ergenis die Anteile der Lösungen, mit denen mn die gewünschte Zielkonzentrtion herstellen knn. Die Mengen der einzelnen Bestndteile knn mn mit Hilfe des Dreistzes errechnen! Beispiel: Aus einer %igen Säure soll durch Verdünnung mit Wsser ml einer %igen Säure hergestellt werden. Ausgngskonzentrtion Endkonzentrtion Anteile der Lösungen % Teile ( ) % % Teile ( ) T ml T, ml T, ml (%ige Säure) T, ml (Wsser) Eine weitere Möglichkeit ist ds Berechnen der enötigten Mengen mit Hilfe einer Formel: p m p m p m m p Konzentrtion der Lösungen m Menge

59 Aufgen Mischungsrechnen. Es werden ml eines %igen Alkohols enötigt. Sie hen %igen Alkohol zur Verfügung. Wie müssen Sie verdünnen?. Aus einem %igen und einem %igen Alkohol sollen ml eines %igen Alkohols ngesetzt werden. Welche Mengen werden enötigt?. Sie mischen ml %ige Essigsäure mit ml Aqu dest. Welche Konzentrtion ht die Mischung?. Aus ml eines %igen Alkohols wird durch Zuge von Wsser %iger Alkohol. Wie viel Wsser müssen Sie zugeen und welche Menge erhlten Sie?. l eines %igen Alkohols werden mit l eines %igen Alkohols gemischt. Wie viel Prozent Alkohol ht die Mischung?. l eines Getränks esteht zu % us Fruchtsft und wird mit l einer nderen Getränkesorte gemischt. Die Mischung ht einen Fruchtsftgehlt von %. Wie viel Fruchtsft enthält die zweite Sorte?. Ein Apotheker will us l %igem Alkohol und l %igem Alkohol durch Hinzufügen von Wsser %igen Alkohol herstellen. Wieviel Wsser muss er zusetzen?. Aus %iger Formldehydlösung sollen l eines %igen Formldehyds ngesetzt werden. Sie hen Flschen mit je ml %iges Formldehyd zur Verfügung. Reicht diese Menge?. Sie sollen ml einer %igen Schwefelsäure nsetzen. Im Chemiklienschrnk stehen ml %ige Schwefelsäure und ml %ige Schwefelsäure. Von der %igen Säure werden ml für eine ndere Untersuchung enötigt. Wie viel Säure können Sie höchstens nsetzen?

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