825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170 e 500 e 443 e 608 e. Zeichnen Sie das Box-Plot. Sind in dieser Stichprobe Ausreißer vorhanden?

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1 1. Aufgabe: Eine Bank will die jährliche Sparleistung eines bestimmten Kundenkreises untersuchen. Eine Stichprobe von 12 Kunden ergab folgende Werte: 825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170 e 500 e 443 e 608 e Zeichnen Sie das Box-Plot. Sind in dieser Stichprobe Ausreißer vorhanden? geordnete Stichprobe: n = 12 x 1 = 170, x 2 = 290, x 3 = 443, x 4 = 486, x 5 = 500, x 6 = 528, x 7 = 542, x 8 = 608, x 9 = 618, x 10 = 675, x 11 = 825, x 12 = 945. unterer Viertelwert: α = 0, 25, n α = 3 = V u = x 0.25 = 1 2 (x 3 + x 4 = 1 ( = 464, 5. 2 oberer Viertelwert: α = 0, 75, n α = 9 = V o = x 0.75 = 1 2 (x 9 + x 1 0 = 1 ( = 646, 5. 2 Median: α = 0, 75, n α = 9 = x = x 0.5 = 1 2 (x 6 + x 7 = 1 ( = d = V o V u = 646, 5 464, 5 = 182 = A u = V u 1, 5 d = 191, 5 und A o = V o +1, 5 d = 919, 5. Damit ist x 1 = 170 < 191, 5 = A u ein Ausreißer nach unten und x 12 = 945 > 919, 5 = A o ein Ausreißer nach oben.

2 2. Aufgabe: Ein Markt wird von 5 Herstellern bestimmt. Die Marktanteile dieser Hersteller sind in der folgenden Tabelle gegeben: (a Bestimmen Sie den Ginikoeffizienten. Hersteller Marktanteil 37% 18% 27% 8% 10% (b Wie groß könnte der Ginikoeffizient, bei entsprechend geänderten Marktanteilen, hier maximal sein? (c Welche Marktanteile müssten die Hersteller haben, damit der Ginikoeffizient 0 ist? (a G = 1 1 n (b G max = n 1 n = 4 5. ( n (v i + v i 1 = n i=1 n v i 1 = 1 1 3, 5 = 0, 3. 5 i=1 i u i 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 v i 0,08 0,18 0,36 0,63 1,0 = 5 v i = 2, 25 (c G min = 0 für Gleichverteilung, d.h. alle 5 Marktteilnehmer je 20%. 3. Aufgabe: Bei einer Wahl wählen 25% der Wähler eine bestimmte Partei. In einer Stichprobe werden 12 Wähler nach ihrer Wahlabsicht gefragt. Sei X die zufällige Anzahl unter den 12 Befragten, die diese Partei wählen. (a Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählen genau 4 der Befragten die Partei? (b Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählen weniger als 2 der Befragten die Partei? X Bin(n, p, n = 12 und p = 0, 25. ( n P (X = k = p k (1 p n k k = 0, 1,.., 12. k i=1 (a (b P (X = 4 = ( , , 75 8 = 0, 1936 P (X < 2 = P (X = 0 + P (X = 1 ( 12 = 0, , = 0, , = 0, 1584 ( , , 75 11

3 4. Aufgabe: Für einen speziellen Kundenkreis einer Bank ist die jährliche Sparleistung normalverteilt mit Erwartungswert 475 e und Standardabweichung 150 e. (a Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die jährliche Sparleistung größer als 700 e? (b In welchem Intervall symmetrisch zum Erwartungswert liegen 95% der jährlichen Sparleistungen. X N(µ, 2 = Z = X µ N(0, 1 mit µ = 475 e und = 150 e. (a (b P (X > 700 = ( X µ P > 150 = P (Z > 1, 5 = 1 P (Z 1, 5 = 1 Φ(1, 5 = 1 0, 933 = 0, 067 ( a P (µ a < X < µ + a = P < Z < a ( a = 2 Φ 1 =! 0, 95 ( a = Φ Φ ( a ( a = Φ = 0, 975 = a = z 0,975 = 1, = 294 = µ ± a = 475e ± 294e = [181e, 769e]. 5. Aufgabe: Eine seltene Krankheit kommt bei 0,5% der Bevölkerung vor. Zur Auffindung der Krankheit gibt es einen Test. Dieser Test führt bei 99% der Kranken zu einer Reaktion, aber auch bei 2% der Gesunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der die Reaktion eintritt, diese seltene Krankheit wirklich hat? K-Krankheit ist vorhanden: P (K = 0, 005 und damit P (K = 0, 995. R-Reaktion: P (R K = 0, 99 und P (R K = 0, 02. P (K R = P (R K P (K P (R K P (K + P (R K P (K = 0, 99 0, 005 0, 99 0, , 02 0, 995 = 0, 1992 Nur rund 20%, bei denen eine Reaktion auftritt, haben die seltene Krankheit.

4 6. Aufgabe: Die diskrete Zufallsvariable X hat die folgende Verteilung. k 0 1,5 3 4,5 6 P (X = k 0,15 0,2 0,3 0,2 0,15 (a Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X, d.h geben Sie diese analytisch an. (b Stellen Sie die Verteilungsfunktion von X graphisch dar. (a 0 : t 0 0, 15 : 0 < t 1, 5 0, 35 : 1, 5 < t 3 F X (t = P (X < t = 0, 65 : 3 < t 4, 5 0, 85 : 4, 5 < t 6 1 : 6 < t (b Verteilungsfunktion F(t t

5 7. Aufgabe: (a Es sei X normalverteilt mit Erwartungswert 1 und Standardabweichung 1. Ordnen Sie die folgenden drei Wahrscheinlichkeiten der Größe nach: P (X > 2, P (X < 2 und P ( X < 2. (Es muss nicht gerechnet werden. P (X > 2 < P ( X < 2 < P (X < 2. (b Eine Zufallsgröße X nimmt nur die beiden Werte 1 und +2 an, und zwar 1 mit Wahrscheinlichkeit p. Wie muss p gewählt werden, damit der Erwartungswert von X gleich 0 ist? EX = ( 1 p + 2 (1 p = 2 3 p! = 0 = p = 2 3 (c Es sei B 1 B 2. Zeigen Sie am Beispiel des Würfels, dass nicht immer für beliebiges A gilt: P (A B 1 P (A B 2. Würfel-Beispiel: A = {3}, B 1 = {3, 6} und B 2 = {3, 4, 5, 6}. P (A B 1 = P (A B 1 P (B 1 P (A B 2 = P (A B 2 P (B 2 = 1/6 2/6 = 1 2 = 1/6 4/6 = 1 4

6 (d Für eine Stichprobe wird angegeben: Spannweite 4, empirische Standardabweichung 4, Quartilsabstand 12, empirische Streuung 16. Es gibt hier einen offensichtlichen Fehler! Welchen? Spannweite < Quartilsabstand ist nicht möglich! (e Eine Grundgesamtheit vom Umfang N = 1000 zerfällt in die zwei Schichten S 1 vom Umfang N 1 = 900 und S 2 vom Umfang N 2 = 100. Das Merkmal X hat in S 1 die Standardabweichung 1 = 1 und in S 2 die Standardabweichung 2 = 5. Geben Sie eine optimal geschichtete Stichprobe vom Umfang n = 20 an. N = 1000, N 1 = 900 = p 1 = 0, 9 und N 2 = 100 = p 2 = 0, 1. 1 p 1 = 0, 9 und 2 p 2 = 0, 5. n i = n pi i p i i n 1 = 20 0, 9 = 12, 86 1, 4 n 2 = 20 0, 5 = , 4 = n 1 = 13 und n 2 = 7. (f Schätzen Sie den Parameter p der Bernoulli-verteilten Zufallsgröße { 1 : mit Wahrscheinlichkeit p X = 0 : mit Wahrscheinlichkeit 1 p nach der Momentenmethode! EX = p = ˆp = ÊX = X.

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