1.1. Natürliche Zahlen, der Zahlenstrahl Seite 8

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1 1.1. Natürliche Zahlen, der Zahlenstrahl Seite 8 Natürliche Zahlen Die Zahlen 1, 2, 3,... heissen natürliche Zahlen. Für die Menge aller natürlichen Zahlen schreiben wir N. Oft nimmt man die Zahl 0 zur Menge der natürlichen Zahlen hinzu, dann schreibt man N 0. Der Zahlenstrahl Der Zahlenstrahl ist definiert (bestimmt) durch den 0-Punkt, die Einheitsstrecke (e) und die Richtung. Es ist üblich, den Zahlenstrahl von links nach rechts zu zeichnen und für die Einheitsstrecke e =1 cm zu wählen. Diese kann aber kürzer oder länger gewählt werden, je nach Grösse der Zahlen, welche abgebildet werden müssen. e e Steht eine natürliche Zahl a auf dem Zahlenstrahl rechts von einer anderen natürlichen Zahl b, dann gilt: a > b ( a ist grösser als b ) 0 b a Steht eine natürliche Zahl x auf dem Zahlenstrahl links von einer anderen natürlichen Zahl y, dann gilt: x < y ( x ist kleiner als y ) 0 x y - 1 / a -

2 1.2. Term und Variablen Seite 9 Term Ein Term ist eine sinnvolle mathematische Zeichenreihe aus Zahlen und/oder Buchstaben, mit welcher man rechnen kann. Zahlenterm: Buchstabenterm: Gemischter Term: a - b + c 2a b Variable Variablen sind Buchstaben in einem Term, welche wir als Stellvertreter oder Platzhalter für Zahlen betrachten. Für Variablen verwenden wir normalerweise kleine Buchstaben (a, b, c,.. ), es können aber auch beliebige Zeichen verwendet werden (*,?,,.. ). - 1 / b -

3 1.3. Zahlenfolgen Seite 10 Eine Reihe von Zahlen heisst Zahlenfolge. Bei einer Zahlenfolge hat jede Zahl einen Vorgänger und einen Nachfolger. Nur die erste Zahl hat keinen Vorgänger und, wenn es eine letzte Zahl gibt, dann hat diese Zahl keinen Nachfolger. Eine Zahlenfolge ist definiert durch: - das Anfangsglied - das Bildungsgesetz - 5, 10, 15, 20, 25,... Folge der 5-er Zahlen. 10 ist Vorgänger von 15, 20 ist Nachfolger von , 2, 3, 4,... Folge der natürlichen Zahlen. - 1, 3, 5, 7,... Folge der ungeraden Zahlen. - 10, 20, 30, 40,... Folge der Zehnerzahlen. - 1, 4, 9, 16, 25,... Folge der Quadratzahlen Wenn wir in einem Term an Stelle der Variablen nacheinander die natürlichen Zahlen einsetzen, entsteht eine neue Zahlenfolge. Term: 3 x + 3 Eingesetzte natürliche Zahl: Zahlenfolge:: / c -

4 1.4. Stellenwertsystem, Dezimalbrüche und Zahlenvergleich (1.1.) Seite 11 Stellenwertsystem Der Stellenwert einer Ziffer wird durch die Stellung der Ziffer innerhalb der Zahl bestimmt. Das Zehnersystem ist ein Stellenwertsystem und wir benötigen 10 Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), um alle Zahlen darstellen zu können. Andere Stellenwertsysteme: 2-er System: (101) 2 = 5 im Zehnersystem (1110) 2 = 14 im Zehnersystem 5-er System: (143) 5 = 48 im Zehnersystem 16-er System: (79) 16 = 121 im Zehnersystem Dezimalbrüche Das Stellenwertsystem der bisher bekannten natürlichen Zahlen kann nach rechts ausgebaut werden. Rechts vom Komma (Nachkommastellen) stehen die Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t),... Viertausendfünfhundertsechsunddreissig Komma eins - sieben - acht - zwei Dezimalbrüche: 0,71 / 3,412 / 101,8 Dezimalzahlen: 4,12 / 27 / 117,0 (Zahlen im Zehnersystem) Dezimalen: Ziffern rechts vom Komma 4, Zehnerbrüche: 7 10, , / d -

5 Sollen Dezimalbrüche auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden, wird die Strecke für ein Ganzes (ein Zehntel,... ) solange in jeweils gleich lange Teile geteilt, bis eine Darstellung möglich ist ,5 3,6 4 3,5 3,57 3,6 Vergleich von Dezimalbrüchen Der Vergleich von Dezimalbrüchen erfolgt ziffernweise von links nach rechts: - Von zwei Dezimalbrüchen mit unterschiedlich vielen Vorkommastellen ist derjenige der grössere, welcher mehr Vorkommastellen hat. - Von zwei Dezimalbrüchen mit gleich vielen Vorkommastellen ist derjenige der grössere, welcher beim Ziffernvergleich, von links nach rechts, erstmals eine grössere Ziffer besitzt. - Hinter dem Komma dürfen beliebig viele Nullen angehängt werden, ohne dass dabei der Wert der Zahl sich ändert ,67 > 1234, ,67 hat fünf, 1234,567 hat nur vier Vorkommastellen. 123,456 > 123,345 Die Zahlen unterscheiden sich erstmals in der ersten Dezimalen ==> 4 > 3! = 175, / e -

6 1.5. Grössen Seite 17 Ausdrücke wie 17,2 m, 24,55 Fr. und 13 kg nennen wir Grössen. Grössen sind das Produkt einer Masszahl und einer Masseinheit. Bei Rechnungen mit Grössen müssen diese in der gleichen Masseinheit angegeben werden. Grösse = Masszahl * Masseinheit 17,2 m = 17,2 * 1 m 24,55 Fr = 24,55 * 1 Fr 13 kg = 13 * 1 kg 2,35 m + 11 cm = 2,35 m + 0,11 m = 2,46 m Bezeichnungen Um sehr grosse und sehr kleine Grössen einfach bezeichnen zu können, wurde folgendes System geschaffen. Die Beispiele stammen aus der Längenmessung, sie werden aber auch bei anderen Sorten gebraucht m = 1 Gm (1 GIGAmeter) m = 1 Mm (1 MEGAmeter) m = 1 km (1 KILOmeter) 100 m = 1 hm (1 HEKTOmeter) 10 m = 1 dam (1 DEKAmeter) 1 m <==> Grundeinheit 0,1 m = 1 dm (1 DEZImeter) 0,01 m = 1 cm (1 ZENTImeter) 0,001 m = 1 mm (1 MILLImeter) 0, m = 1 µm (1 MIKROmeter) 0, m = 1 nm (1 NANOmeter) 0, m = 1 pm (1 PIKOmeter) - 1 / f -

7 1.6. Längenmasse (1.5.) Seite 17 Bei Längenmassen ergibt das Zehnfache einer Einheit die nächstgrössere Einheit. Wenn ein Längenmass in dezimaler Schreibweise in der nächstgrösseren (nächst-kleineren) Masseinheit geschrieben wird, muss das Komma um eine Stelle nach links (rechts) verschoben werden. Die Grundeinheit ist 1 Meter. mm cm dm m dam hm km Millimeter Zentimeter Dezimeter Meter Dekameter Hektometer Kilometer : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : Gewichtsmasse (1.5.) Bei Gewichtsmassen (Masse wird umgangssprachlich oft als Gewicht bezeichnet) ergibt das Tausendfache einer Einheit die nächstgrössere Einheit. Wenn ein Gewichtsmass in dezimaler Schreibweise in der nächstgrösseren (nächstkleineren) Masseinheit geschrieben wird, muss das Komma um drei Stellen nach links (rechts) verschoben werden. Die Grundeinheit ist 1 Kilogramm. : 1000 : 1000 : 1000 mg g kg t Milligramm Gramm Kilogramm mg g kg t Tonne (Megagramm) / g -

8 1.8. Addition und Subtraktion (Bezeichnungen) Seite 23-1 / h -

9 1.9. Flussdiagramm Seite 26 Mit Hilfe von Flussdiagrammen können Rechen- und Programmabläufe systematisch dargestellt werden. Die Zeichen haben fest definierte Bedeutungen: Beispiel eines Flussdiagrammes - 1 / i -

10 1.10. Rechenvorteile und Rechengesetze Seite 27 Der Wert einer Summe ändert sich nicht, wenn die Reihenfolge der Summanden vertauscht wird Vertauschungsgesetz (Kommutativ-Gesetz). a + b = b + a Die Summe muss nicht von links nach rechts gerechnet werden, man kann die Summanden beliebig zusammenfassen Verbindungsgesetz (Assoziativ- Gesetz). (a + b) + c = a + (b + c) Diese Gesetze gelten nicht für die Subtraktion. Gesucht ist der Wert der Summe Vertauschungsgesetz = Verbindungsgesetz ( ) + (3 + 17) + 9 = = 129 Gesucht ist die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis = Vertauschungsgesetz = Verbindungsgesetz (1 + 14) + (2 + 13) + (3 + 12) + (4 + 11) + (5 + 10) + (6 + 9) + (7 + 8) = = 15 7 = / j -

11 1.11. Runden Seite 33 Entscheidend für das Runden (auf- oder abrunden) ist der Wert der ersten Ziffer, welche rechts neben der zu rundenden Stelle steht! Ist die Ziffer eine 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet. Ist die Ziffer eine 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet. Runden auf Zehner 381 = = = = 390 Werden Dezimalbrüche gerundet, so muss die gerundete Dezimale (Stellen nach dem Komma) geschrieben werden, auch wenn sie 0 ergibt. Diese 0 sagt etwas über die Genauigkeit der gerundeten Zahl aus. Runden auf Hundertstel 3,415 = 3,42 3,495 = 3,50 3,003 = 3,00 Fehlerspanne bei gerundeten Dezimalbrüchen unterster Wert gerundete Zahl oberster Wert Fehlerspanne auf Zehntel gerundet auf Hundertstel gerundet auf Tausendstel gerundet auf Zehntausendstel ger / k -

12 1.12. Schätzen / Überschlagsberechnung (1.11.) Seite 37 Alle Resultate von Berechnungen (ohne / mit Taschenrechner) sollten wenn möglich geschätzt werden!! Methode 1. Im Term wird das grösste Element (Summand, Minuend,...) gesucht. Dieses wird auf die 2.-vorderste Stelle gerundet. 2. Alle anderen Elemente werden auf die gleiche Stelle gerundet. 3. Die Rechnung wird mit den gerundeten Elementen ausgeführt. Das Resultat wird nicht gerundet. Beispiel = 1. Der grösste Summand ist 738, wir runden auf die 2.-vorderste Stelle, d.h. wir runden auf Zehner => Die andern Summanden werden auch auf Zehner gerundet 4 => => Berechnung mit den gerundeten Summanden = 860 => Das Resultat darf nicht weiter gerundet werden! Beispiel 2 1. ( ) - ( ) = 7433 ist grösstes Element, wir runden auf Hunderter 2. ( ) - ( ) = = / l -

13 1.13. Lösungsplan für Textaufgaben Seite 38 Textaufgaben enthalten sehr oft viele versteckte Informationen. Man verliert die Übersicht und übersieht wichtige Hinweise. Das Einhalten eines Schemas erleichtert die Orientierung in der Aufgabe. Schema 1. Lies die ganze Aufgabe gründlich durch. 2. Wovon handelt die Aufgabe? Welcher Sachverhalt wird in der Aufgabe dargestellt? 3. Was ist gesucht? 4. Was ist gegeben? Welche Angaben im Aufgabentext sind für das Lösen der Aufgabe wichtig (Signalwörter)? Gibt es in der Aufgabe bestimmte Ausdrücke (Signalwörter), welche auf eine bestimmte Rechenart hinweisen? 5. Überlege den Lösungsweg. Falls du Schwierigkeiten hast, prüfe, ob dich Lösungshilfen weiterbringen: - zerlege die Aufgabe in Teilaufgaben - erstelle eine Skizze - arbeite mit einer Tabelle - hast du schon ähnliche Aufgaben gelöst 6. Stelle den Term auf und berechne ihn. 7. Kontrolliere das Ergebnis. 8. Schreibe einen Antwortsatz. Beispiel Fritz legt mit seinen Freunden während einer 7-tägigen Radtour insgesamt 420 km zurück. Wieviele Kilometer sind sie am Tag durchschnittlich gefahren? 1. lesen 2. mehrtägige Radtour mit angegebener Fahrleistung 3. km pro Tag 4. Gesamtstrecke 420 km / Anzahl Tage = 7 / durchschnittlich =>> teilen 5. nicht nötig 6. Gesamtstrecke : Anzahl Tage = durchschnittliche Strecke 420 km : 7 d = 60 km/d 7. 7 * 60 km = 420 km 8. Sie legen pro Tag durchschnittlich 60 km zurück. - 1 / m -

14 1.14. Begriffe des Handels Seite 40 Ak = Anschaffungskosten Preis der Ware (Ankauf) allenfalls + Verpackung + Frachtkosten (Transport) + Zoll, Versicherung Gk = Gemeinkosten Miete, Löhne, Werbung, Steuern, etc. Sk = Selbstkosten Alle Kosten, welche ein Verkaufsartikel bis zum Weiterverkauf verursacht (Ak + Gk). G = Gewinn Erlös - Selbstkosten oder V = Verlust Selbstkosten - Erlös E = Erlös Preis der beim Verkauf erzielt wird (Verkaufspreis) Beispiel Ein Elektronikgeschäft kauft in Honkong einen Discman für 24 Fr, für Transport und Zoll kommen 3,50 Fr dazu. Für Werbung und Löhne berechnet der Verkäufer 10 Fr. Wie teuer muss er das Gerät verkaufen, wenn er pro Gerät 8 Fr Gewinn erzielen will? Ak Gerät Fr Transp., Zoll Fr 3.50 Gk Werbung, Löhne Fr Sk Fr G Fr 8.00 E Fr / n -

15 1.15. Klammern in einem Term (1.10.) Seite 43 Wenn in einem Rechenausdruck Klammern vorkommen, werden zuerst die Werte in den Klammern berechnet. Beispiel ( 53 - ( )) - ( 18-12) = ( ) - ( 18-12) = 30-6 = 24 Bei der Darstellung der Aufgabe ist es empfehlenswert, entsprechende Zahlen und Zeichen untereinander zu schreiben. Dies erleichtert die nachträgliche Kontrolle der Aufgabe. - 1 / o -

16 1.16. Gleichungen und Ungleichungen Seite 45 / 47 Gleichung Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, welche durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Links und rechts des Gleichheitszeichens steht der gleiche Betrag. x + 15 = 21 Lösen der Gleichung Beim Lösen der Gleichung verwenden wir das Operator-Modell und die Tatsache, dass die Umkehr-operation der Addition die Subtraktion (und umgekehrt) ist. x x + 15 = 21 x = x = 6 Ungleichungen Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, welche durch ein Ungleichheitszeichen verbunden sind. Links und rechts des Ungleichheitszeichens stehen ungleiche Beträge. x + 15 > 21 Lösen der Ungleichung Ungleichungen werden genau gleich gelöst wie Gleichungen (siehe oben). Dabei bestimme ich die Grenze der möglichen Zahlen (Lösungsmenge = L). Diese ist abhängig von der Grundmenge G. Beim Schlussresultat muss ich entscheiden, wie das Ungleichheitzeichen gesetzt werden muss. Dabei setze ich in der Ungleichung für die Variable je eine Zahl ein, welche oberhalb und unterhalb des Resultates liegt. Anschliessend kann ich entscheiden, wie das Ungleichheitszeichen gesetzt werden muss. x + 15 > 21 x + 15 = 21 x = 6 Untere Zahl einsetzen (x < 6): > 21 Unsinnige Lösung Obere Zahl einsetzen (x > 6): > 21 Sinnvolle Lösung Resultat x > 6 Resultat aufschreiben: G = N (natürliche Zahlen) L = {7, 8, 9,... } oder L = {x / x > 6} und x N G = Dezimalbrüche L = {x / x > 6} - 1 / p -

17 1.17. Gerade Linien Seite 102 Punkt Definition: Der Punkt hat keine Ausdehnung. Beschriftung: A, B, C,... (immer mit grossen Buchstaben) Zeichnung: X P (Punkt P) Gerade Definition: Eine Gerade ist eine gerade Linie, welche nach beiden Seiten nicht begrenzt ist (unendlich lang). Beschriftung: g, h, k, l,.. (immer kleine Buchstaben) AB, PQ,... (A und B bzw. P und Q sind zwei Punkte, welche auf der Geraden liegen) Zeichnung: A g = AB B Strahl Definition: Ein Strahl ist eine gerade Linie mit einem Endpunkt (P) auf der einen Seite. Auf der andern Seite ist sie nicht begrenzt (unendlich lang / Sonnenstrahl, Wasserstrahl). Beschriftung: s, t,... (immer kleine Buchstaben) m Zeichnung: P s Strecke Definition: Eine Strecke ist eine gerade Linie mit zwei Endpunkten. Beschriftung: a, b, c,... immer kleine Buchstaben AB, PQ,... (Angabe der Endpunkte) a = AB Zeichnung: A B C b = CD Streckenlänge AB Länge der Strecke AB D a Länge der Strecke a b = 4 cm - 1 / q -

18 Senkrechte / Orthogonale Definition: Zwei Geraden, welche sich unter einem Winkel von 90 Grad schneiden, sind Senkrechten oder Orthoganalen. Sie stehen senkrecht oder orthogonal zueinander. Beschriftung: g h (g ist senkrecht / orthogonal / rechtwinklig zu h) Zeichnung: h g!! Achtung!! horizontal, waagrecht vertikal, lotrecht wie der Horizont, das Wasser, die Waage wie das Lot g h Parallele Definition: Zwei Geraden, welche sich nie schneiden, sind Parallelen (sie haben immer den gleichen Abstand). Beschriftung: g // h (g ist parallel zu h) Zeichnung: g h g // h - 1 / r -

19 1.18. Gitter, Koordinatensystem (1.1.) Seite 117 Die Koordinatenachsen stehen senkrecht zueinander. Das Koordinatensystem ist definiert durch die Lage des Nullpunktes und durch die Einheitsstrecken der beiden Achsen. Diese müssen nicht identisch sein. - 1 / s -

20 1.19. Kreis Seite 122 Definitionen: b3 P s Q M = Kreismittelpunkt r d r = Kreisradius d = Kreisdurchmesser M s = Sehne b2 b1 b1 = Kreisbogen QR b2 = Kreisbogen PR R b3 = Kreisbogen PQ k k = Kreislinie = Kreisfläche Konzentrische Kreise haben einen gemeinsamen Mittelpunkt - 1 / t -

21 1.20. Vierecke (1.17.) Seite 128 Parallele Geradenpaare bilden einen Streifen. Wenn zwei Streifen sich schneiden, entstehen als Schnittfiguren spezielle Vierecke. Gleichbreite Streifen: Quadrat oder Raute (Rhombus) Verschieden breite Streifen Rechteck oder Parallelogramm Eigenschaften im Vergleich Name der Schnittfigur Quadrat Raute Rechteck Parallelogramm Eckenzahl Seitenzahl Verlauf der Gegenseiten // // // // Verlauf der Nebenseiten Länge der Gegenseiten = = = = Länge der Nebenseiten = = Quadrate sind Spezialfälle der Rechtecke, Rechtecke sind Spezialfälle der Parallelogramme, etc. Rechteck Parallelogramm Quadrat Raute - 1 / u -

22 1.21. Abstand Seite 132 Die Senkrechte zu zwei Parallelen schneidet diese in zwei Punkten (A, B). Die Strecke AB ist die kürzeste Verbindung und heisst Abstand. A g h B AB = Abstan d Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die kürzeste Verbindung zwischen dem Punkt und der Geraden (Senkrechte). Der Schnittpunkt der Senkrechten mit der Geraden ist der Fusspunkt F. P g F FP = Abstand F = Fusspunkt - 1 / v -

23 1.22. Umfang von Flächen (1.20.) Seite 134 Die Gesamtlänge der Begrenzungslinien einer Figur heisst Umfang. Beispiel: Viereck C c D d b A a B Allgemeines Viereck: u = a + b + c + d Quadrat: u = 4 a Raute (Rhombus): u = 4 a Rechteck: u = 2 a + 2 b = 2 (a + b) Parallelogramm: u = 2 a + 2 b = 2 (a + b) Multiplikation (Bezeichnungen) Seite = Faktor Multiplikand mal 2. Faktor Multiplikator gleich Produkt - 1 / w -

24 1.24. Potenzen Seite 59 Wir vereinbaren eine Kurzschrift für Produkte mit gleichen Faktoren = 5 4 a a a a = a 4 a 3 Exponent, Hochzahl Basis, Grundzahl Quadratzahlen a a Zehnerpotenzen (Basis = 10) 10 0 = = = 10 = = = = = = = = = Merke! 0 a = = 0 1 a = = 1 a 0 = = 1-1 / x -

25 1.25. Grosse Zahlen Seite 62 1 Million = = Milliard = = Billion = = Billiard = = Trillion = = Trilliard = = Quadrillion = = Quadrilliard = = Quintillion = = Quintilliard = = Sextillion = = Sextilliard = = Septillion = = Septilliard = = Oktillion = = Oktilliard = = Nonillion = = Nonilliard = = Dekillion = = Dekilliard = = Division (Bezeichnungen) Seite 65 dividiert durch gleich 21 : 7 = 3 Dividend Divisor Quotient - 1 / y -

26 1.27. Rechengesetze (Addition und Subtraktion) (1.15.) div. Seiten a) Bei einer Summe darf man die Summanden vertauschen. a + b = b + a = = 11 b) Bei mehrgliederigen Summen darf man einzelne Summanden zu Teilsummen zusammenfassen. a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = ( ) + 9 = 3 + ( ) = 19 c) Bei einer Summe darf man den 1. Summanden verkleinern und den 2. Summanden um gleich viel vergrössern oder umgekehrt. a + b = ( a + x ) + ( b - x ) = ( ) + ( 6-1 ) = 15 a + b = ( a - x ) + ( b + x ) = ( 11-1 ) + ( ) = 18 d) Bei Differenzen mit mehreren Subtrahenden darf man die Subtrahenden vertauschen. a - b - c = a - c - b = = 7 e) Bei Differenzen mit mehreren Subtrahenden darf man einzelne Subtrahenden addieren und ihre Summe subtrahieren. a - b - c = a - ( b + c ) = 17 - ( ) = 10 f) Bei einer Differenz darf man den Minuenden und den Subtrahenden je um gleich viel vergrössern oder je um gleich viel verkleinern a - b = ( a + x ) - ( b + x ) = ( ) - ( ) = 22 a - b = ( a - x ) - ( b - x ) = ( 91-1 ) - ( 16-1 ) = 75 Neutrales Element: 0 a + 0 = a a - 0 = a - 1 / z -

27 1.28. Rechengesetze (Multiplikation und Division) div. Seiten a) Bei Produkten darf man die Reihenfolge der Faktoren vertauschen. a b = b a 7 8 = 8 7 = 56 b) Bei Produkten mit mehreren Faktoren darf man einzelne Faktoren zu Teilprodukten zusammenfassen. a b c = ( a b ) c = a ( b c ) = ( 2 3 ) 4 = 2 ( 3 4 ) = 24 c) Bei einem Produkt darf man einen Faktor mit einer geeigneten Zahl multiplizieren und gleichzeitig einen anderen Faktor durch die gleiche Zahl dividieren. a b = ( a x ) ( b : x ) = ( 25 4 ) ( 16 : 4 ) = 400 d) Bei einem Quotienten darf man den Dividenden und den Divisor gleichzeitig mit der gleichen Zahl multiplizieren oder durch die gleiche Zahl dividieren. a : b = ( a x ) : ( b x ) 8 : 50 = ( 8 2 ) : ( 50 2 ) = 0,16 a : b = ( a : x ) : ( b : x ) = ( 16 : 4 ) : ( 40 : 4 ) = 0,4 e) Eine Summe oder eine Differenz darf man gliedweise multiplizieren und gliedweise dividieren. ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) ( ) 5 = ( 3 5 ) + ( 5 5 ) ( a - b ) c = ( a c ) - ( b c ) ( a + b ) : c = ( a : c ) + ( b : c ) ( a - b ) : c = ( a : c ) - ( b : c ) Neutrales Element: 1 a 1 = a a 1 = a - 1 / aa -

28 1.29. Teilbarkeitsregeln (Endstellenregel) Seite 72 2 / 5 Eine Zahl ist durch 2 (5) teilbar, wenn ihr 10-er Rest durch 2 (5) teilbar ist : 2 = 2 teilbar durch : 5 = 1 teilbar durch : 2 = 3,5 nicht teilbar durch : 5 = 0,8 nicht teilbar durch 5 4 / 25 Eine Zahl ist durch 4 (25) teilbar, wenn ihr 100-er Rest durch 4 (25) teilbar ist : 4 = 19 teilbar durch : 25 = 3 teilbar durch : 4 = 5,5 nicht teilbar durch : 25 = 0,6 nicht teilbar durch 25 8 / 125 Eine Zahl ist durch 8 (125) teilbar, wenn ihr 1000-er Rest durch 8 (125) teilbar ist : 8 = 123 teilbar durch : 125 = 7 teilbar durch : 8 = 100,5 nicht teilbar durch : 125 1,75 nicht teilbar durch / ab -

29 1.30. Teilbarkeitsregeln (Quersummenregel) Seite 74 3 Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist = : 3 = : 3 = Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist = : 9 = : 9 = Kombination von mehreren Regeln Durch Kombination von zwei oder mehr Regeln kann eine neue Regel hergeleitet werden, z.b.: Wenn eine Zahl durch 3 und 5 teilbar ist, dann ist sie auch durch 15 (3 5) teilbar. Bedingung: Die beiden Teiler müssen teilerfremd sein, d.h. sie dürfen keinen gemeinsamen Faktor enthalten!! Beispiele teilerfremd - 3 und 4 haben keinen gemeinsamen Teiler teilerfremd - 4 und 6 haben die 2 als gemeinsamen Teiler nicht teilerfremd Zahlenbeispiele - 12 ist teilbar durch 3 und 4 (teilerfremd) - 12 ist teilbar durch 2 und 4, aber nicht durch 8 (nicht teilerfremd) Kombinationen Wenn die Zahl durch 2 und 3 teilbar ist, dann ist sie auch durch 6 teilbar. Wenn die Zahl durch 2 und 5 teilbar ist, dann ist sie auch durch 10 teilbar. Wenn die Zahl durch 2 und 9 teilbar ist, dann ist sie auch durch 18 teilbar. Wenn die Zahl durch 3 und 4 teilbar ist, dann ist sie auch durch 12 teilbar. Wenn die Zahl durch 3 und 5 teilbar ist, dann ist sie auch durch 15 teilbar. Wenn die Zahl durch 3 und 8 teilbar ist, dann ist sie auch durch 24 teilbar. - 1 / ac -

30 1.31. Primzahlen Seite 76 Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei Teilern, 1 und die Zahl selbst. 1 ist keine Primzahl. Zahlen mit mehr als zwei Teilern sind zerlegbare Zahlen. Beispiele: Primzahlen : 1 = : 13 = 1 Zerlegbare Zahlen 6 6 : 1 = 6 6 : 2 = 3 6 : 3 = 2 6 : 6 = 1-1 / ad -

31 1.32. Dezimalbrüche in Divisionsaufgaben (1.26.) Seite 78 Dezimalbruch : ganze Zahl Die Division eines Dezimalbruches durch eine ganze Zahl erfolgt gleich wie jene von zwei ganzen Zahlen, mit dem Unterschied, dass im Quotienten das Komma gesetzt wird, wenn im Dividenden die erste Ziffer nach dem Komma nach unten genommen wird. 10, 9 6 : 4 =2, , : 6 = 0, Dezimalbruch : Dezimalbruch Ein Dezimalbruch wird durch einen Dezimalbruch dividiert, indem man: 1. beim Dividenden und Divisor das Komma um gleichviele Stellen nach rechts schiebt, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. 2. die Division wie oben beschrieben durchführt. 42,379 : 2,83 = 4237,9 : 283 = Runden von Quotienten (1.11.) Seite 82 Bei der Mehrzahl aller Divisionen entstehen Quotienten (Dezimalbrüche), welche viele (eventuell unendlich viele) Stellen nach dem Komma aufweisen. Solche Resultate sind nicht sinnvoll! Vereinbarung: - Grössen werden auf die nächstkleinere Sorte gerundet. - Resultate ohne Sorten werden auf Hundertstel gerundet. - 1 / ae -

32 1.34. Multiplikation von Dezimalbrüchen Seite 85 Dezimalbrüche werden zunächst wie natürliche Zahlen multipliziert, wobei das Komma unberücksichtigt bleibt. Im Ergebnis werden durch ein Komma so viele Dezimalstellen abgetrennt, wie beide Faktoren zusammen besitzen. 2 3, 0 4 4, Stellen 99, Verbindung der vier Grundoperationen, Rechengesetz (1.27./1.28.) Seite 90 Operationen der höheren Stufe binden stärker. - Operation der III. Stufe: Potenzieren und Radizieren - Operation der II. Stufe: Multiplikation und Division - Operation der I. Stufe: Addition und Subtraktion Punkt vor Strich : 2 = : 2 = = 27-1 / af -

33 1.36. Zweisatz Dreisatz, Darstellung Seite 95, div. Grundsätzliche Bemerkungen: In der Darstellung steht die gesuchte Grösse rechts, die gegebene Grösse links. Die Pfeile bedeuten: entsprechen Die einzelnen Rechenschritte werden nur einmal, in der ersten Zeile, aufgeschrieben (zur Wahrung der Übersicht) Zweisatz von der Einheit zur Vielheit Bei der Berechnung einer Vielheit wird multipliziert. Beispiele: 1 kg Äpfel kosten 3 Fr. Wieviel kosten 2,5 kg (0,4 kg)? mult. 1 kg 3 Fr. 2,5 = 7,5 Fr. 2,5 kg mult. 1 kg 3 Fr. 0,4 = 1,2 Fr. 0,4 kg Zweisatz von der Vielheit zur Einheit Bei der Berechnung der Einheit wird dividiert. Beispiele: 4 kg (0,6 kg) Äpfel kosten 12 Fr. (1,8 Fr.). Wieviel kostet 1 kg? div. div. 4 kg 12 Fr. : 4 = 3 Fr. 1 kg 0,6 kg 1,8 Fr. : 0,6 = 3 Fr. 1 kg - 1 / ag -

34 Dreisatz von der Vielheit zur Vielheit Wenn wir aus einer Mengenangabe eine andere Menge berechnen müssen, berechnen wir zuerst die Einheit und anschliessend die Vielheit. Wir kombinieren die beiden Zweisätze zu einem Dreisatz. Beispiele: 3 kg Äpfel kosten 9 Fr. Wieviel kosten 5 kg? div. mult. 3 kg 9 Fr. : 3 5 = 15 Fr. 1 kg 5 kg 0,9 kg Äpfel kosten 2,7 Fr. Wieviel kosten 1,7 kg? div. mult. 0,9 kg 2,7 Fr. : 0,9 1,7 = 5,1 Fr. 1 kg 1,7 kg Später wird der Berechnungsterm als Bruch dargestellt: 9 5 bzw 3 Fr. 2,7 1,7 0,9 Fr Einheiten der Fläche (1.6.) Seite 139 Bei Flächenmassen ergibt das Hundertfache einer Einheit die nächstgrössere Einheit. Wenn ein Flächenmass in dezimaler Schreibweise in der nächstgrösseren (nächstkleineren) Masseinheit geschrieben wird, muss das Komma um zwei Stellen nach links (rechts) verschoben werden. : 100 : 100 : 100 : 100 : 100 : mm 2 Quadratmillimeter a Are cm 2 Quadratzentimeter ha Hektare dm 2 Quadratdezimeter km 2 Quadratkilometer m 2 Quadratmeter - 1 / ah -

35 1.38. Flächeninhalt von Rechtecken (1.20./1.23./1.37) Seite 144 b A a Der Flächeninhalt der Rechtecke wird berechnet als Produkt der beiden Seiten a und b. Fläche A = a b Umfang u = 2 (a + b) Achtung: Die Längeneinheiten für a und b müssen gleich sein, z.b. m m = m 2 Spezialfall Im Quadrat sind die Seiten gleich lang. Darum wird die Berechnung einfacher! Fläche A = a a = a 2 (Quadratzahl!!) Umfang u = 4 a Beispiel Wie gross ist der Flächeninhalt eines Rechteckes mit den Seiten 2 cm und 3 cm? 2 cm 1 cm 2 3 cm A = 2 cm 3 cm = 6 cm 2 (dies sind 6 Einheitsquadrate mit der Fläche 1 cm 2 ) - 1 / ai -

36 1.39. Quader und Würfel (1.38.) Seite 157 Dieser geometrische Körper heisst Quader. Ein Quader - hat 8 Ecken. - wird aus 6 rechteckigen Flächen gebildet, wobei jeweils 2 gleich gross sind. - hat 12 Kanten, davon sind jeweils 4 gleich lang. - hat nur rechte Winkel (= 90 ). Bei einem Quader mit den Seiten a, b und c gelten folgende Formel: Kantensumme = 4 a + 4 b + 4 c = 4 (a + b + c) Oberfläche = 2 ab + 2 ac + 2 bc = 2 (ab + ac + bc) Der Würfel ein Spezialfall des Quaders Alle oben genannten Eigenschaften des Quaders gelten auch für den Würfel, allerdings mit folgenden Vereinfachungen! - Alle 6 Flächen sind Quadrate. - Alle 12 Kanten sind gleich lang. - Kantensumme = 12 a - Oberfläche = 6 a 2-1 / aj -

37 1.40. Schrägbild Seite 158 Körper (3-dimensional) können auf dem Zeichenblatt (2-dimensional) nicht real dargestellt werden. Körper werden mit Hilfe des Schrägbildes abgebildet. H G E F D C A B 45 Zeichenregeln Strecken, welche parallel zur Bildebene verlaufen, behalten ihre wirkliche Länge. Strecken, welche senkrecht zur Bildebene verlaufen, werden um 45 gegen die Waagrechte geneigt und um die Hälfte gekürzt. Sichtbare Strecken werden ausgezogen. Unsichtbare Strecken werden gestrichelt gezeichnet. Beschriftung von Körpern Die Standfläche (Grundfläche) wird im Gegenuhrzeigersinn mit den Buchstaben A, B, C und D bezeichnet. A liegt vorne links. Die Deckfläche wird mit den Buchstaben E, F, G und H bezeichnet. E liegt über A Netz eines Körpers (Abwicklung) Seite 160 Wird ein Körper aufgeschnitten und werden alle Flächen auf die Zeichenebene geklappt, so erhalten wir eine ebene Figur, das Netz (oder Abwicklung). Alle Strecken werden real abgebildet. - 1 / ak -

38 1.42. Raummass und Hohlmass (1.37.) Seite 165 Raummass Hohlmass mm : cm 3 : ml cl dl : 10 : 10 dm 3 10 l : : : 100 hl m 3 Vergleich zwischen Längen-, Flächen- und Volumeneinheiten - 1 / al -

39 1.43. Rauminhalt von Quadern und Würfeln (1.39.) Seite 175 c a b Volumen des Quaders: V = a b c a a a Volumen des Würfel: V = a a a = a 3 Beachte: Bei der Berechnung muss auf gleiche Masseinheiten geachtet werden!! z.b. m m m = m 3-1 / am -