(a) Zunächst benötigen wir zwei Richtungsvektoren der Ebene E; diese sind zum Beispiel gegeben durch die Vektoren

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "(a) Zunächst benötigen wir zwei Richtungsvektoren der Ebene E; diese sind zum Beispiel gegeben durch die Vektoren"

Transkript

1 Aufgabe Gegeben seien die Punkte A(,,, B(,,, C(,,. (a Geben Sie die Hesse-Normalform der Ebene E, welche die drei Punkte A, B und C enthält, an. (b Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (,, 5 zur Ebene E. (c Berechnen Sie die Orthogonalprojektion der Punktes P (,, 5 auf die Ebene E. (a Zunächst benötigen wir zwei Richtungsvektoren der Ebene E; diese sind zum Beispiel gegeben durch die Vektoren b = AB =, c = AC = Ein Normalenvektor u der Ebene E ist gegeben durch u = b c =, daraus erhält man als Normaleneinheitsvektor n = u u = Wegen a, n = erhalten wir als Hesse-Normalform der Ebene x = x, n = a, n =. (b Der Abstand d(p, E eines Punktes P mit Ortsvektor p = OP von einer Ebene E mit Stützvektor a = OA und Normaleneinheitsvektor n ist gegeben als Länge der Projektion des Verbindungsvektors AP = p a auf die durch n gegebene Richtung, d.h. d(p, E = p a, n =, =. 5 (c Den Ortsvektor OΠ E (P der Orthogonalprojektion Π E (P eines Punktes P mit Ortsvektor p = OP auf eine Ebene E mit Stützvektor a = OA und Normaleneinheitsvektor n erhält man, indem man von p die Länge der Projektion des Verbindungsvektors AP = p a auf die durch n gegebene Richtung abzieht, d.h. OΠ E (P = p + a p, n n = +, = 5 } 5 {{ } = Somit ist die Orthogonalprojektion von P auf E gegeben durch (,,.

2 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren v =, v = und v = im R gegeben. (a Zeigen Sie, dass die Vektoren v, v, v linear unabhängig sind. (b Bestimmen Sie aus den Vektoren v, v, v mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormierungsverfahrens eine Orthonormalbasis des R. (a Um nachzuweisen, dass die drei gegebenen Vektoren linear unabhängig sind, muss man zeigen, dass aus α v + α v + α v = o α = α = α = folgt. Dies ist äquivalent dazu, dass das folgende homogene lineare Gleichungssystem für die Unbekannten α, α, α nur die triviale Lösung α = α = α = besitzt: Dabei wurde im ersten Schritt die letzte Zeile von der zweiten abgezogen und dann nach oben als erste Zeile geschrieben; im zweiten Schritt wurde das zweifache der zweiten Zeile zur letzten Zeile addiert. Da das homogene lineare Gleichungssystem nun in Zeilenstufenform geschrieben ist und keine Null auf der Diagonalen steht, ist es nur trivial lösbar, was zu zeigen war. (b Wir beginnen mit der Normierung des ersten Vektors, d.h. b = v v = Im nächsten Schritt bestimmen wir einen Vektor c in der linearen Hülle [ b, v ], der orthogonal zu b ist: c = v v, b b =, = ; } {{ } = nach Normierung folgt b = c c =

3 Zuletzt benötigen wir noch einen Vektor c [ b, b, v ](= R, der im orthogonalen Komplement von [ b, b ] liegt. Diesen bestimmt man mittels der Formel c = v v, b b v, b b =, } {{ } = 4/ nach Normierung erhält man, } {{ } = b = c c = 6 = + 4 Die gewünschte Orthonormalbasis ist damit gegeben durch b, b, b. = ;

4 Aufgabe Es sei die Matrix gegeben. (a Berechnen Sie die Eigenwerte von A. A = (b Bestimmen Sie den Eigenraum von A zum Eigenwert. (c Ist A diagonalisierbar? (d Ist A invertierbar? (a Um die Eigenwerte zu berechnen, stellen wir zunächst das charakteristische Polynom auf: λ p A (λ = det(a λe = λ λ = λ 4 λ 4 λ λ λ = 4 λ = (4 λ λ λ λ λ = (λ 4( λ + 4 = (λ 4(λ 4 = (λ 4(λ (λ +. Dabei haben wir im ersten Schritt die letzte Zeile zur zweiten addiert, im zweiten Schritt die letzte Spalte von der zweiten abgezogen; zuletzt wurde nach der letzten Spalte entwickelt. Die Eigenwerte sind somit gegeben durch 4,,. (b Zur Bestimmung des Eigenraumes E = { x R (A ( E x = o} zum Eigenwert müssen wir das folgende homogene lineare Gleichungssystem lösen: Dabei wurde im ersten Schritt die erste Zeile zur zweiten addiert und von der dritten subtrahiert, im zweiten Schritt die letzte Zeile durch 6 dividiert, mit der zweiten vertauscht und dreimal zur ersten addiert. Als Lösung erhält man somit [ E = (c A ist diagonalisierbar, da A drei verschiedene Eigenwerte besitzt: Zu jedem Eigenwert ist der Eigenraum per definitionem mindestens -dimensional, und somit existiert eine Basis des R aus Eigenvektoren von A. ]. (d A ist invertierbar, denn det(a = p A ( = 4 ( = 6.

5 Aufgabe 4 Es sei das folgende homogene System linearer Differentialgleichungen gegeben: y (t = y (t + 4 y (t y (t = y (t y (t (a Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem und die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems. (b Berechnen Sie die Lösung für das durch y( = ( gegebene Anfangswertproblem. (a Wir schreiben das homogene lineare Differentialgleichungssystem zunächst in der Matrixform ( y 4 = y. } {{ } =A Um ein Fundamentalsystem zu bestimmen, benötigen wir zunächst die Eigenwerte von A; dazu berechnet man das charakteristische Polynom p A (λ = det(a λe = λ 4 λ = ( λ( λ + 4 = 6 λ + λ + 4 = λ λ. Nullstellen davon erhält man mit Hilfe der Mitternachtsformel: λ, = ± + 8 = ±, d.h. λ =, λ =. Weiter benötigt man zu jedem der beiden Eigenwerte einen Eigenvektor; zunächst betrachten wir λ = : ( ( 4 4 E 4 = [ ( 4 ]. Für λ = erhalten wir ( 4 4 ( E = [ ( ]. Ein Fundamentalsystem des gegebenen Systems bilden daher die zwei Funktionen ( ( ( ( u (t = e λ t 4 = e t 4, u (t = e λ t = e t ; die allgemeine Lösung lautet y(t = c u (t + c u (t = c e t ( 4 + c e t (, c, c R. (b Um das Anfangswertproblem zu lösen, macht man den Ansatz ( ( ( ( = y( = c e 4 + c e 4 = c + c ( ;

6 man hat also folgendes inhomogenes lineares Gleichungssystem für die Unbekannten c, c zu lösen: ( ( ( Die Lösung des Anfangswertproblems lautet daher y(t = ( 4 et 4 ( e t.

7 Aufgabe 5 Gegeben sei die folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung: y (t y (t = 9. (a Geben Sie die Störfunktion an. (b Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen Gleichung. (c Geben Sie die allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung an. (a Die Störfunktion lautet b(t = 9. (b Um ein Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen Differentialgleichung y (t y (t = zu bestimmen, benötigt man die Lösungen der charakteristischen Gleichung = r r = r(r ; diese sind r =, r =. Ein Fundamentalsystem bilden daher die Funktionen y (t = e rt =, y (t = e rt = e t. (c Eine spezielle Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung erhält man zum Beispiel mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten. Der Ansatz dafür lautet y p (t = t c, da b(t ein Polynom vom Grad ist, und r = eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung ist. Einsetzen von y p(t = c, y p(t = in die Differentialgleichung liefert die Gleichung c = 9, also c =. Eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung ist daher gegeben durch y p (t = t. Die allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung lautet somit y(t = c y (t + c y (t + y p (t = c + c e t t, c, c R.

8 Aufgabe 6 Untersuchen Sie, ob das Vektorfeld V : R R mit xy + yz V (x, y, z = x + xz + 6 y z xy + y ein Potentialfeld ist und geben Sie gegebenenfalls ein Potential an. Wir überprüfen zunächst die Integrabilitätsbedingungen. Dazu benötigen wir die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen V, V, V y V = y (xy + yz = x + z, z V = z (xy + yz = y, x V = x (x + xz + 6y z = x + z, z V = z (x + xz + 6y z = x + 6y, x V = x (xy + y = y, y V = z (xy + y = x + 6y. Wegen x V = y V, y V = z V und z V = x V sind die Integrabilitätsbedingungen erfüllt; da R sternförmig ist, handelt es sich bei V um ein Potentialfeld. Um ein Potential f : R R zu bestimmen, verwendet man wegen der zu erfüllenden Identität gradf = V die drei Gleichungen Für f muss also insbesondere x f = V, y f = V, z f = V. xy + yz = V = x f gelten; dies ist erfüllt für jede Funktion f : R R der Form f(x, y, z = x y + xyz + g(y, z mit einer Funktion g : R R zweier Variabler. Betrachtet man nun die zweite Gleichung y f = V, so muss weiter gelten x + xz + 6y z = V = y f = x + xz + y g; Vergleich der beiden Seiten liefert die Bedingung: y g = 6y z, d.h. g(y, z = y z + h(z mit einer Funktion h : R R. Diese erhält man aus der dritten Gleichung z f = V, d.h. xy + y = V = z f = z (x y + xyz + y z + h(z = xy + y + h (z. Es muss also h (z = und damit h(z = C gelten mit einer Konstanten C R. Jedes Potential von V ist somit von der Form f : R R, (x, y, z x y + xyz + y z + C mit C R.

9 Aufgabe 7 Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x, y = x + y auf der Ellipse {(x, y R x xy + y = }, also unter der Nebenbedingung x xy + y =. Zum Auffinden der möglichen Kandidaten für lokale Extremstellen unter der Nebenbedingung h(x, y = x xy+y = wenden wir die Methode der Lagrange-Multiplikatoren an. Dies ist erlaubt, da für die Funktion h : R R, h(x, y = x xy + y ( ( x y = grad h(x, y = x + y nur im Punkt (, gilt, für den h(, = ist. In den kritischen Stellen muss also λ R existieren, sodass die Gleichung grad f(x, y λ grad h(x, y = o ( erfüllt ist; wegen grad f(x, y = entspricht dies genau den zwei Gleichungen ( x y = x λ(x y = ( λx + λy, = y λ( x + y = λx + ( λy. Subtrahiert man das y-fache der ersten Zeile vom x-fachen der zweiten, so ergibt sich die Gleichung = λx λy = λ(x y, die als Lösungen λ = oder x = y besitzt. Im ersten Fall würde aus ( x = y = folgen, was wiederum h(x, y zur Folge hätte; im zweiten Fall muss y = x oder y = x gelten. Eingesetzt in die Nebenbedingung erhält man im Fall y = x im Fall y = x = x x x + x = x, also x = ±, = x x ( x + ( x = x, also x = ±. Die einzig möglichen Stellen für lokale Extrema von f auf der gegebenen Ellipse sind daher die Punkte (,, (,, (,, (,. Weiter gilt f(, = f(, = + = 6, f(, = f(, = + =. Da die Menge E = {(x, y R x xy +y = } beschränkt ist, nimmt nach Bemerkung 4.5 des Skripts die Funktion f auf E ihr Maximum und Minimum an. Bei (,, (, handelt es sich daher um lokale Maximalstellen, bei (,, (, um lokale Minimalstellen.

Höhere Mathematik III WS 05/06 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt 2

Höhere Mathematik III WS 05/06 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt 2 Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt Die zu optimierende Zielfunktion ist der Abstand zum Ursprung. Ein bekannter Trick (Vereinfachung der Rechnung) besteht darin, das Quadrat

Mehr

Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II

Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2011 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit

Mehr

Lösungsskizzen zur Klausur

Lösungsskizzen zur Klausur sskizzen zur Klausur Mathematik II Sommersemester 4 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren des R 4 gegeben: b = b = b 3 = b 4 = (a) Prüfen Sie ob die Vektoren b b 4 linear unabhängig sind bestimmen Sie

Mehr

C. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS Extremwerte

C. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS Extremwerte C. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS 05 Extremwerte Gelöste Aufgabenbeispiele:. Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion f(x) = x x + x auf dem Intervall [ 4, ]. a. Bestimmung der

Mehr

Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.2012

Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.2012 Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.0 Aufgabe : Entscheiden Sie in dieser Aufgabe, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Begründungen sind nicht erforderlich. Ein korrekt gesetztes

Mehr

Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1.

Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1. Systeme von Differentialgleichungen Beispiel : Chemische Reaktionssysteme System aus n Differentialgleichungen Ordnung: y (x = f (x, y (x,, y n (x Kurzschreibweise: y y 2 (x = f 2(x, y (x,, y n (x y n(x

Mehr

Betriebsanleitung für gewöhnliche lineare Differentialgleichungen. Prof. Dr. Dirk Ferus

Betriebsanleitung für gewöhnliche lineare Differentialgleichungen. Prof. Dr. Dirk Ferus Betriebsanleitung für gewöhnliche lineare Differentialgleichungen Prof. Dr. Dirk Ferus Version vom 30.10.2005 Inhaltsverzeichnis 1 Homogene skalare Gleichungen. 1 1.1 Einfache reelle Nullstellen.............................

Mehr

Lineare Differenzengleichungen

Lineare Differenzengleichungen Lineare Differenzengleichungen Die Fibonacci-Zahlen F n sind definiert durch F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n 1 +F n 2 für n >= 2 Die letzte Zeile ist ein Beispiel für eine homogene lineare Differenzengleichung

Mehr

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2

Mehr

3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z

3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z R Es sei f : R n D R eine einmal stetig differenzierbare Funktion, für die in einer Umgebung eines Punkte a = a 1, a,, a n D gilt: fa 1, a,, a n = 0, f xn a 1, a,, a n 0 Dann gibt es eines Umgebung U des

Mehr

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen . Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe 6: Gegeben seien die Ebene E : 4x + x + 8 =, der Punkt P = ( und die Gerade H : x(λ = (4,, + λ(,,, λ R. (a Bestimmen Sie eine Gerade durch den Punkt P, die senkrecht

Mehr

, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3

, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3 Prof. Dr. Eck Höhere Mathematik 3 9.3.9 Aufgabe ( Punkte) Gegeben ist der Körper K mit der Parametrisierung x r cos ϕ cos ϑ K : x = Φ(r,ϕ,ϑ) = r sin ϕ cos ϑ, r [, ], ϕ [,π/], ϑ [,π/6]. x 3 r sin ϑ a) Berechnen

Mehr

10 Extremwerte mit Nebenbedingungen

10 Extremwerte mit Nebenbedingungen 10 Extremwerte mit Nebenbedingungen 49 10 Extremwerte mit Nebenbedingungen Wir betrachten nun Extremwertaufgaben, bei denen nach dem Extremwert einer fx 1,, x n gesucht wird, aber die Menge der zulässigen

Mehr

Multivariate Analysis

Multivariate Analysis Kapitel Multivariate Analysis Josef Leydold c 6 Mathematische Methoden I Multivariate Analysis / 38 Lernziele Funktionen in mehreren Variablen Graph und Niveaulinien einer Funktion in zwei Variablen Partielle

Mehr

Musterlösung Höhere Mathematik I/II Di. Aufgabe 1 (11 Punkte) Geben Sie die Matrixbeschreibung der Quadrik

Musterlösung Höhere Mathematik I/II Di. Aufgabe 1 (11 Punkte) Geben Sie die Matrixbeschreibung der Quadrik Aufgabe Punkte Geben Sie die Matrixbeschreibung der Quadrik {x R 3x 3x 8x x +x +4x +7 = 0} an Berechnen Sie die euklidische Normalform der Quadrik und ermitteln Sie die zugehörige Koordinatentransformation

Mehr

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe / Dr Hanna Peywand Kiani 722 Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lineare Differentialgleichungssysteme,

Mehr

Optimieren unter Nebenbedingungen

Optimieren unter Nebenbedingungen Optimieren unter Nebenbedingungen Hier sucht man die lokalen Extrema einer Funktion f(x 1,, x n ) unter der Nebenbedingung dass g(x 1,, x n ) = 0 gilt Die Funktion f heißt Zielfunktion Beispiel: Gesucht

Mehr

Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen

Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 1. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen zunächst die kritischen Stellen und entscheiden

Mehr

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte : und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 009 Dienstag 3.6 $Id: quadrat.tex,v.4 009/06/3 4:55:47 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6.3 Quadratische Funktionen und die Hauptachsentransformation

Mehr

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross / Mai Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Algebraisch abgeschlossener Körper) Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen,

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Ergänzung Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Definitionen Beispiele im IR 2 Beispiele im IR 3 Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor Lineare Abbildungen

Mehr

Tutorium Mathematik II, M Lösungen

Tutorium Mathematik II, M Lösungen Tutorium Mathematik II, M Lösungen März 03 *Aufgabe Bestimmen Sie durch Hauptachsentransformation Lage und Typ der Kegelschnitte (a) 3x + 4x x + 3x 4x = 0, (b) 3x + 4x x + 3x 4x 6 = 0, (c) 3x + 4x x +

Mehr

Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:

Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist: Musterlösung Aufgabe a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [, ] R, die folgendermaßen definiert ist: f(x) := { für x R \ Q für x Q f ist offensichtlich beschränkt. Wir zeigen,

Mehr

Rückblick auf die letzte Vorlesung

Rückblick auf die letzte Vorlesung Rückblick auf die letzte Vorlesung Lineare Differentialgleichungen Ausblick auf die heutige Vorlesung Lineare autonome Differentialgleichungen 2 Bestimmung des Fundamentalsystems 3 Jordansche Normalform

Mehr

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Differentialgleichungssysteme Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 20 PV-Kurs HM 3 DGlSysteme - Zusammenfassung Allgemeine Differentialgleichungssysteme.Ordnung

Mehr

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 8 Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe 6: Matrix Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des Differentialgleichungssystems u x = Aux für die A =, 9 indem Sie das System auf eine einzelne gewöhnliche

Mehr

f f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0.

f f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0. Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung 9 Optimierung Definition Seien U R n oen, f : U R, x U x heiÿt lokales Maximum, falls eine Umgebung V U von x existiert mit y V : fx fy x heiÿt lokales

Mehr

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 8. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS / 6..-.. Aufgabe G (Matrixinversion mit Gauß-Algorithmus

Mehr

Eigenwerte und Diagonalisierung

Eigenwerte und Diagonalisierung Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende

Mehr

f(x) f(x 0 ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x 0 isoliertes lokales Minimum lokales Minimum Ferner nennen wir x 0 Extremum.

f(x) f(x 0 ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x 0 isoliertes lokales Minimum lokales Minimum Ferner nennen wir x 0 Extremum. Fabian Kohler Karolina Stoiber Ferienkurs Analsis für Phsiker SS 4 A Extrema In diesem Abschnitt sollen Extremwerte von Funktionen f : D R n R diskutiert werden. Auch hier gibt es viele Ähnlichkeiten mit

Mehr

Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung

Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D

Mehr

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen . Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen

Mehr

Lösungen zu Mathematik I/II

Lösungen zu Mathematik I/II Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx

Mehr

18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1

18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung Eine Menge von Vektoren a 1, a 2,, a k heisst linear unabhängig, wenn eine Linearkombination c 1 a 1 + c 2 a 2 + + c k a k = k c i a i (1) i=1 nur dann Null sein

Mehr

Lina II - Aufgaben zur Vorbereitung für die Klausur (Teil 1) - Lösungen

Lina II - Aufgaben zur Vorbereitung für die Klausur (Teil 1) - Lösungen Lina II - Aufgaben zur Vorbereitung für die Klausur (Teil 1) - en Kommentare an HannesKlarner@FU-Berlinde FU Berlin SS 1 Dia- und Trigonalisierbarkeit Aufgabe (1) Gegeben seien A = i i C 3 3 und B = 1

Mehr

40 Lokale Extrema und Taylor-Formel

40 Lokale Extrema und Taylor-Formel 198 VI. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 40 Lokale Extrema und Taylor-Formel Lernziele: Resultate: Satz von Taylor und Kriterien für lokale Extrema Methoden aus der linearen Algebra Kompetenzen:

Mehr

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012 c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d der Punkte P 1 und

Mehr

MC-Serie 11: Eigenwerte

MC-Serie 11: Eigenwerte D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung

Mehr

y hom (x) = C e p(x) dx

y hom (x) = C e p(x) dx Gewöhnliche Differentialgleichungen F (x, y, y,..., y n ) = 0 Gleichung, die die Veränderliche x sowie die Funktion y = y(x) und ihre Ableitungen y,..., y n beinhaltet. Klassifiaktion: implizit F (...)

Mehr

Vorlesungen: 16.1. 2006 30.1. 2006. 7 Differentialgleichungen. Inhaltsverzeichnis

Vorlesungen: 16.1. 2006 30.1. 2006. 7 Differentialgleichungen. Inhaltsverzeichnis Vorlesungen: 16.1. 2006 30.1. 2006 7 Differentialgleichungen Inhaltsverzeichnis 7 Differentialgleichungen 1 7.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung...................... 2 7.1.1 Allgemeine Bemerkungen zu

Mehr

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr

Klausurähnliche Aufgaben

Klausurähnliche Aufgaben Sommersemester 2007/08 Lineare Algebra Klausurähnliche Aufgaben Aufgabe 1 Seien v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 die Vektoren in R 5 mit v 1 = (1, 2, 3, 1, 2), v 2 = (2, 4, 6, 2, 4), v 3 = ( 1, 1, 3, 0, 3),

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 $Id: quadrat.tex,v. 9/6/9 4:6:48 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6. Symmetrische Matrizen Eine n n Matrix heißt symmetrisch wenn

Mehr

Folgerungen aus dem Auflösungsatz

Folgerungen aus dem Auflösungsatz Folgerungen aus dem Auflösungsatz Wir haben in der Vorlesung den Satz über implizite Funktionen (Auflösungssatz) kennen gelernt. In unserer Formulierung lauten die Resultate: Seien x 0 R m, y 0 R n und

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen

11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen 11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen Ziel: Wir wollen lokale Extrema von Funktionen f : M R untersuchen, wobei M R n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des

Mehr

Stroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (7 Punkte) Gegeben seien folgende Potenzreihen: ( 2) n n xn,

Stroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (7 Punkte) Gegeben seien folgende Potenzreihen: ( 2) n n xn, Stroppel Musterlösung 0. 09. 03, 80min Aufgabe 7 Punkte) Gegeben seien folgende Potenzreihen: ) n fx) = n xn, gx) = n= + ) n n x+) n. 3 n= a) Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius und den Entwicklungspunkt.

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4

Mehr

9.4 Lineare gewöhnliche DGL

9.4 Lineare gewöhnliche DGL 9.4 Lineare gewöhnliche DGL Allgemeinste Form einer gewöhnlichen DGL: Falls linear in ist, sprechen wir von einer "linearen" DGL: und eine Matrix zeitabhängigen Komponenten ein zeitabhängiger Vektor In

Mehr

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse

Mehr

Rückblick auf die letzte Vorlesung

Rückblick auf die letzte Vorlesung Rückblick auf die letzte Vorlesung 1. Anwendungen des Satzes über implizite Funktionen 2. Stationäre Punkte implizit definierter Funktionen 3. Reguläre Punkte 4. Singuläre Punkte Ausblick auf die heutige

Mehr

Klausur zur Mathematik für Maschinentechniker

Klausur zur Mathematik für Maschinentechniker SS 04. 09. 004 Klausur zur Mathematik für Maschinentechniker Apl. Prof. Dr. G. Herbort Aufgabe. Es sei f die folgende Funktion f(x) = 4x 4x 9x 6 x (i) Was ist der Definitionsbereich von f? Woistf differenzierbar,

Mehr

Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom

Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eine Fragestellung, die uns im weiteren beschäftigen wird, ist das Finden eines möglichst einfachen Repräsentanten aus jeder Äquivalenzklasse

Mehr

Prüfungsklausur Höhere Mathematik II (20. Juli 2005) - Lösungen zum Theorieteil - für MB, EC, TeM, FWK, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM

Prüfungsklausur Höhere Mathematik II (20. Juli 2005) - Lösungen zum Theorieteil - für MB, EC, TeM, FWK, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM Prüfungsklausur Höhere Mathematik II (2. Juli 25) für MB, EC, TeM, FWK, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM - Lösungen zum Theorieteil - Aufgabe : Sei f(x, y) eine in einem Gebiet zweimal stetig differenzierbare

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Anwendungen des Eigenwertproblems

Anwendungen des Eigenwertproblems Anwendungen des Eigenwertproblems Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung Lineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung Verhalten der Lösung von linearen autonomen DGLS Hauptachsentransformation

Mehr

Übungen zur Analysis II Blatt 27 - Lösungen

Übungen zur Analysis II Blatt 27 - Lösungen Prof. Dr. Torsten Wedhorn SoSe 22 Daniel Wortmann Übungen zur Analysis II Blatt 27 - Lösungen Aufgabe 5: 6+6+6* Punkte Bestimme alle lokalen Extrema der folgenden Funktionen: a b c* f : R 3 R g : R 2 R

Mehr

Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie "Träger" oder "Fahrer".

Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie Träger oder Fahrer. Was ist ein Vektor? Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie "Träger" oder "Fahrer". Vektoren sind Listen von Zahlen. Man kann einen Vektor darstellen, indem man seine Komponenten

Mehr

Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler

Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (differenzierbaren) Funktionen f : R n R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen überhaupt ein

Mehr

8 Lineare Abbildungen

8 Lineare Abbildungen 80 8 Lineare Abbildungen In diesem Kapitel untersuchen wir lineare Abbildungen von R n nach R m wie zum Beispiel Spiegelungen, Drehungen, Streckungen und Orthogonalprojektionen in R 2 und R 3 Man nennt

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. F. Hettlich Dr. S. Schmitt Dipl.-Math. J. Kusch Karlsruhe, den 09.06.20 Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik

Mehr

( ) Lineare Gleichungssysteme

( ) Lineare Gleichungssysteme 102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv

Mehr

Analysis II WS 11/12 Serie 9 Musterlösung

Analysis II WS 11/12 Serie 9 Musterlösung Analysis II WS / Serie 9 Musterlösung Aufgabe Bestimmen Sie die kritischen Punkte und die lokalen Extrema der folgenden Funktionen f : R R: a fx, y = x + y xy b fx, y = cos x cos y Entscheiden Sie bei

Mehr

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 14/15 Dr. Hanna Peywand Kiani 06.07.2015 Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Die ins Netz gestellten

Mehr

Rechnen mit Vektoren

Rechnen mit Vektoren () Der Ortsvektor Definition: Der Ortsvektor beginnt im Koordinatenursprung und endet in einem beliebigen Punkt P. Die Koordinaten des Punktes stimmen mit den Koordinaten des Ortsvektors überein. Schreibweise:

Mehr

42 Lokale Extrema mit Nebenbedingungen

42 Lokale Extrema mit Nebenbedingungen 4 Lokale Extrema mit Nebenbedingungen 09 4 Lokale Extrema mit Nebenbedingungen Lernziele: Resultate: Kriterien für lokale Extrema mit Nebenbedingungen Methoden: Lagrange-Multiplikatoren Kompetenzen: Bestimmung

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER

PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER ( Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f(x mit f(x = (3x x + und Vereinfachen Sie so weit wie möglich. ( Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F (x von ( π f(x =

Mehr

8 Extremwerte reellwertiger Funktionen

8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 34 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen Wir wollen nun auch Extremwerte reellwertiger Funktionen untersuchen. Definition Es sei U R n eine offene Menge, f : U R

Mehr

Markus' Formelsammlung für die Vektorgeometrie

Markus' Formelsammlung für die Vektorgeometrie Markus' Formelsammlung für die Vektorgeometrie Markus Dangl.4. Zusammenfassung Dieses Dokument soll eine Übersicht über die Vektorgeometrie für die Oberstufe am Gymnasium geben. Ich versuche hier möglichst

Mehr

Anhang B. Regression

Anhang B. Regression Anhang B Regression Dieser Anhang rekapituliert die in der Analysis und Statistik wohlbekannte Methode der kleinsten Quadrate, auch Regression genannt, zur Bestimmung von Ausgleichsgeraden Regressionsgeraden

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Eigenwerte. Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1)

Eigenwerte. Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1) Eigenwerte 1 Eigenwerte und Eigenvektoren Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1) für einen Vektor x 0. Vektor x heißt ein

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = x sin( x + ) Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral

Mehr

10.2 Linearkombinationen

10.2 Linearkombinationen 147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition

Mehr

Algorithmus zur Berechnung der Jordannormalform

Algorithmus zur Berechnung der Jordannormalform Algorithmus zur Berechnung der Jordannormalform Olivier Sète 19. Januar 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 1 2 Algorithmus Wie und warum funktioniert das? 2 2.1 Zutat 1 Für einen Jordanblock.........................

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8 8.1 (Herbst 2012, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (

Mehr

Prüfungs-/Übungsschein-Klausur (Rechenteil) Lineare Algebra für Ingenieure/E-Techniker

Prüfungs-/Übungsschein-Klausur (Rechenteil) Lineare Algebra für Ingenieure/E-Techniker TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 2001 Fachbereich 3 - Mathematik Pohst / Lusala Prüfungs-/Übungsschein-Klausur (Rechenteil) Lineare Algebra für Ingenieure/E-Techniker Name:................................................................................

Mehr

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 14/15 Dr. Hanna Peywand Kiani 27.01.2015 Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Die ins Netz gestellten

Mehr

Mathematik 2, SS 2015 Prof. F. Brock Zusammenfassung. Permutationen, Inversionen. Explizite Formel für die Determinante einer n n-

Mathematik 2, SS 2015 Prof. F. Brock Zusammenfassung. Permutationen, Inversionen. Explizite Formel für die Determinante einer n n- I. Lineare Algebra Mathematik 2, SS 2015 Prof. F. Brock Zusammenfassung 1. Determinanten (siehe Fischer/Kaul I, S.329-339) Matrix. Determinanten von 2 2- und 3 3-Matrizen. Alternierende Multilinearformen

Mehr

2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Eine Dgl der Gestalt a n (x)y (n) +a n 1 (x)y (n 1) +...+a 2 (x)y +a 1 (x)y +a 0 (x)y = b(x) heißt lineare Dgl n-ter Ordnung. ( ) Dabei sind a 0, a 1,...,

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Niedersachsen. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Niedersachsen. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Niedersachsen Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der Gleichung zur Kurve... 9 Aufstellen

Mehr

Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten Aufgabe Bestimme die Länge des Vektors x. Die Länge beträgt: x ( ) =. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Aufgabe Es sind die Eckpunkte A(; ), B(

Mehr

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 13. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 13. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Andreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.de Department Biologie II Telefon: 89-8-748 Großhadernerstr. Fax:

Mehr

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen 4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,

Mehr

6. Rechnen mit Matrizen.

6. Rechnen mit Matrizen. 6. Rechnen mit Matrizen. In dieser Vorlesung betrachten wir lineare Gleichungs System. Wir betrachten lineare Gleichungs Systeme wieder von zwei Gesichtspunkten her: dem angewandten Gesichtspunkt und dem

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I Wiederholungsprüfung MUSTERLÖSUNG. April 2008 Name: Studiengang: Aufgabe 2 3 4 5 6 Summe Punktzahl /50 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Aufgabe. Sei A R 3 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a Ist det(a =, dann ist A eine orthogonale Matrix. b Ist A eine orthogonale Matrix,

Mehr

Lösen einer Gleichung

Lösen einer Gleichung Zum Lösen von Gleichungen benötigen wir: mindestens einen Term eine Definition der in Frage kommenden Lösungen (Grundmenge) Die Grundmenge G enthält all jene Zahlen, die als Lösung für eine Gleichung in

Mehr

a b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2,

a b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2, Aufgabe I Es sei Q die folgende Teilmenge von C 2 2 : { ( ) a b Q a, b C b a Hier bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation Zeigen Sie: (a) Mit den üblichen Verknüpfungen + und für Matrizen ist

Mehr

Tutorium Mathematik II, M Lösungen

Tutorium Mathematik II, M Lösungen Tutorium Mathematik II, M Lösungen 7. Juni 201 *Aufgabe 1. Gegeben seien fx, y = xy 2 8e x+y und P = 1, 2. Der Gradient von f ist genau an der Stelle P Null. a Untersuchen Sie mit Hilfe der Hesse-Matrix,

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Analytische Geometrie Übungsaufgaben Punkte, Vektoren, Geradengleichungen Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com März 04 Aufgabe : Gegeben sind die Punkte O(0/0/0), A(6/6/0), B(/9/0),

Mehr