Lorenz' sche Konzentrationskurve und Disparitätsindex nach Gini

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1 Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk Lorez' sche Kozetratoskurve ud Dspartätsdex ach G Übuge Aufgabe Lösuge

2 Begrff Lorez' sche Kozetratoskurve 1 De Lorez-Kurve (auch Lorezkurve) wurde 1905 vo Max Otto Lorez zur grafsche Darstellug vo statstsche Verteluge ud der Veraschaulchug des Ausmaßes a Kozetrato bzw. Uglechhet egeführt. Se wrd sbesodere zur Aalyse der Ekommesvertelug verwedet. Modellaufgabe I eer repräsetatve Stchprobeerhebug wurde Haushalte aoym ach hrem Vermöge befragt. De Befragug ergab folgedes Ergebs: Haushalte Ø-Vermöge Azahl Bereche Se de relatve Haushalts- ud Vermögesatele. Bereche Se de relatve kumulerte Haushalts- ud Vermögesatele 3. Stelle Se de Lorezkurve graphsch dar. 4. We vel Prozet des Gesamtvermöges etfalle auf 5 % der "Rechste"? 5. We vel Prozet der "Ärmste" bestze ur 5% des Gesamtvermöges? 6. Bereche Se das Kozetratos-Maß KMG ach G. 7. Werte Se KMG für deses Bespel aus.

3 Lösug der Modellaufgabe Lorezkurve Zur Lösug der ezele Telaufgabe erstelle wr ee Arbetstabelle Haushalte % % kum. Ø-Vermöge % % kum. 0 0,000 0, ,000 0, ,37 0, ,014 0, ,33 0, ,07 0, ,8 0, ,137 0, ,159 0, ,74 0, ,05 1, ,548 1, , ,00 De Berechuge zu 1 ud köe mt Excel problemlos automatsert werde. Zu 1: Spalte zegt de relatve Atele der Azahl der Haushalte. Spalte 3 zegt de aufsummerte (kumulerte) relatve Atele der Azahl der Haushalte. zu : Spalte 4 zegt de relatve Atele des Ø-Vermöges. Spalte 5 zegt de aufsummerte relatve Atele des Ø-Vermöges. Zu 3: Lorez' sche Kozetratoskurve De Dagoale, Glechvertelugsgerade, Partätskuve, stellt ee 100%-ge Glechvertelug des Vermöges auf alle Haushalte dar. De Lorezkurve, Dspartätskurve, st sehr "bauchg", d. h., dass ee sehr starke Kozetrato des Ø-Vermöges auf ur wege Haushalte vorlegt.

4 zu 4: 3 Aus dem Bld köe wr ablese, dass 5 % der "Rechste" kapp 50% des Gesamtvermöges auf sch kozetrere. zu 5: Nur 5% des Gesamtvermöges tele sch fast 60% der "ärmste" Haushalte. Zu 6: Kozetratos-Maß KMG ach G. Der G-Koeffzet (G-Idex, Dspartätsdex) st e statstsches Maß, das vom talesche Statstker Corrado G zur Darstellug vo Uglechverteluge etwckelt wurde. Dese Kezahl wrd für de Uglechvertelug vo Ekomme oder Vermöge egesetzt. Der Wert legt zwsche 0 ud 1 (bzw. 0 ud 100 Prozet). Je äher der G-Koeffzet a 1 legt, desto größer st de Uglechhet eer Vertelug. Klassfzerug:

5 4 Berechug des KMG KMG st das Doppelte der Fläche A Fläche G st de Fläche uter der Glechvertelugskurve. Fläche L st de Fläche uter der Lorezkurve. Somt: KMG = A = * ( G L ) G st ee efache Dreecks- Fläche: G = 1 1 0, 5 L st de Summe ees Dreecks (lks) plus 4 Trapezfläche. Aus der Arbetstabelle: Dreeck: A = (0,37 * 0,014) / A = 0,00 Trapeze: ATR = m * h Klee Erweterug der Arbetstabelle zur Gewug vo m ud h der Trapeze: Zur Verdeutlchug am Bespel des Trapezes TR

6 De Fläche L uter der Lorezkurve beträgt: L = 0,11 5 De Fläche uter der Glechvertelug beträgt: G = 0,5000 Dfferez A = 0,3788 Das Kozetratos-Maß KMG ach G: KMG = * A = 0,7576 zu 7: Auswertug: Wr wsse: Mt eem KMG = 0,7576 legt also ee sgfkate Kozetrato des Vermöges be wege Haushalte vor. Sostges I der Lteratur werde z. T. abeteuerlche Lösuge ud Formel zur Berechug des Kozetratos-Maßes KMG ach G agebote. Ege Berechugsverfahre sd z. T. umstrtte. Me Berechugsvorschlag st der Lteratur aerkat ud das Thema ka so auch m 11. Jahrgag behadelt werde. Der G-Koeffzet st jedem Fall als relatves Streuugsmaß zu terpretere. Übugsaufgabe De ladwrtschaftlche Betrebe ees Ladkreses wurde 1990 ud 000 gezählt ud ach hrer Betrebsgröße (Merkmal x) klassfzert. Azahl Azahl Größe ha vo - bs a) Zeche Se de Lorezkurve für bede Jahre e gemesames Dagramm b) Köe Se berets ahad der Graphk ee Aussage mache, welchem Jahr de Kozetrato größer war? c) Überprüfe Se de Vermutug durch Verglech der bede G-Koeffzete. Hlfe: Blde Se Klassemtte ud gewchte Se dese.

7 Lösug der Übugsaufgabe 6 zu a: zu b: Im Jahre 1990 war de Kozetrato größer; der "Bauch" der Lorezkurve hägt deutlch weter durch.

8 zu c: Berechug der G-Koeffzete 7 Auswertug: Für bede Jahre legt ee deutlche Kozetratos vor. I der Tat, m Jahre 1990 war de Kozetrato um ca. 0% stärker. Das bedeutet für de Aufgabestellug, dass es vo 1990 bs 000 mmer mehr Bauer gab. Stmmt das wrklch, oder st de Erhebug "getürkt"?

9 Formelblatt Statstk 8 Mttelwerte Streuug Schefe Σxf x = Σf s = Σ(x - x) f Σf s V 100 x sk = 3 ( x - Z) s M = x x x... x = g x f M = x x x... x = x g f1 f f3 f w (1 1 w ) -1 Zetrehe Regresso Korrelato y* = m1 x + c1 x* = m x + c y m1x c1 x my c xy mx c x 1 1 xy my c y c 1 = y - m1x c 1 = x - m y Σxy - yσx Σxy - xσy m = m = Σx - xσx Σy - yσy Σ(x - x)(y - y) r = = m m Σ(x - x) Σ(y - y) BP 1 * Σ(y - y ) 1 Σ(x - x ) k = k = Σ(y - y) Σ(x - x) * Progose V = V + α (T - V ) V = α (1 - α) T =1-1 =1 α (1 - α) 1 Idzes P L p m P P p m M L p m M P

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