Kapitel 5. Schwingungen

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1 Kapitel 5 Shwingungen 5

2 5 Shwingungen 5.1 Grundbegriffe Freie Shwingungen Ungedämpfte freie Shwingungen Federzahlen elastisher Systeme Gedämpfte freie Shwingungen Erzwungene Shwingungen Ungedämpfte Shwingungen Gedämpfte Shwingungen Systeme mit zwei Freiheitsgraden Freie Shwingungen Erzwungene Shwingungen Zusammenfassung Lernziele: Shwingungen spielen in der Natur und Tehnik eine große Rolle. Wir wollen in diesem Kapitel das Verhalten von shwingungsfähigen Systemen mit einem bzw. zwei Freiheitsgraden untersuhen. Dabei beshränken wir uns auf Systeme, bei denen die Bewegungsgleihungen lineare Differentialgleihungen sind. Damit können bereits viele wihtige Ersheinungen bei Shwingungen beshrieben werden. Die Studierenden sollen lernen, wie man sowohl freie als auh erzwungene Shwingungen ohne bzw. mit Dämpfung analysiert. D. Gross et al., Tehnishe Mehanik 3, DOI / _5, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 22

3 5.1 Grundbegriffe Grundbegriffe In der Natur und in der Tehnik unterliegt häufig eine Zustandsgröße x = x (t) wie z.b. die Lage eines Partikels mehr oder weniger regelmäßigen zeitlihen Shwankungen. Solhe Vorgänge heißen Shwingungen. Als Beispiele seien der Wellengang der See, die Bewegung eines Kolbens in einem Motor und die Shwingung in einem elektrishen Stromkreis genannt. Entsprehende Ersheinungen treten in vielen Bereihen unserer Umwelt auf. Wir wollen im folgenden eine Einführung in die Shwingungslehre mehanisher Systeme geben. Solhe Systeme bezeihnet man kurz auh als Shwinger. 5.1 x x(t) x(t+t ) t t+t t Abb. 5.1 T Bei vielen Bewegungen wiederholt sih der Verlauf einer Größe x(t) jeweils nah einer Zeit T (Abb. 5.1): x (t + T )=x (t). (5.1) Diese Vorgänge werden periodishe Shwingungen genannt. Die Zeit T heißt Periode der Shwingung oder Shwingungsdauer. Ihr reziproker Wert f = 1 T (5.2) ist die Frequenz der Shwingung. Sie gibt die Zahl der Shwingungen pro Zeiteinheit an. Die Dimension der Frequenz ist 1/Zeit; ihre Einheit wird nah Heinrih Hertz ( ) benannt und mit Hz abgekürzt: 1Hz = 1/s. Ein wihtiger Sonderfall der periodishen Shwingungen sind

4 222 5 Shwingungen x A x=a os ωt x B x=b sin ωt π 2π 3π ωt π 2π 3π ωt a P ωt=2π x P x=c os (ωt α) ω ωt α P 0 P 0 C C α π 2π 3π ωt b Abb. 5.2 die harmonishen Shwingungen; bei ihnen ändert sih eine Größe x(t) kosinus- bzw. sinusförmig (Abb. 5.2a): x (t) =A os ωt bzw. x (t) =B sin ωt. (5.3) Dabei nennt man A bzw. B die Amplitude der Shwingung und ω die Kreisfrequenz. Wegen ωt = 2 π (vgl. Abb. 5.2a) und f = 1/T besteht zwishen der Kreisfrequenz ω und der Frequenz f der Zusammenhang ω = 2 π T =2πf. (5.4) Der reinen Kosinus- bzw. der reinen Sinusshwingung sind spezielle Anfangsbedingungen zugeordnet. So gilt für x (t) = A osωt zum Zeitpunkt t =0:x (0) = A; ẋ (0) = 0. Entsprehend sind bei einer reinen Sinusshwingung x (0) = 0 und ẋ (0) = Bω. Harmonishe Shwingungen bei beliebigen Anfangsbedingungen lassen sih

5 5.1 Grundbegriffe 223 immer durh x (t) =C os (ωt α) (5.5) darstellen. Darin sind C die Amplitude und α die Phasenvershiebung (vgl. Abb. 5.2b). Man kann die harmonishen Shwingungen (5.5) auh durh eine Überlagerung der beiden Shwingungen (5.3) erhalten. Mit der Umformung x (t) =C os (ωt α) =C os ωt os α + C sin ωt sin α (5.6) und den Abkürzungen folgt A = C os α, B = C sin α (5.7) x (t) =A os ωt + B sin ωt. (5.8) Die beiden Darstellungen (5.5) und (5.8) sind demnah gleihwertig und lassen sih ineinander überführen. So erhält man A und B aus C und α nah (5.7). Andererseits liefert Auflösen dieser Gleihungen nah C und α C = A 2 + B 2, α =artan B A. (5.9) Eine harmonishe Shwingung lässt sih durh die Bewegung eines Punktes auf einer Kreisbahn erzeugen. Wenn ein Punkt P (Ausgangslage P 0 ) auf einem Kreis (Radius C) mitkonstanter Winkelgeshwindigkeit ω umläuft (vgl. Abb. 5.2b), so führt seine Projektion P auf die Vertikale eine harmonishe Shwingung aus. Ihr zeitliher Verlauf ist in der Abbildung dargestellt. Shwingungen mit konstanter Amplitude heißen ungedämpfte Shwingungen. Nimmt die Amplitude mit der Zeit ab (Abb. 5.3a), so spriht man von einer gedämpften Shwingung, während eine Shwingung mit wahsender Amplitude angefaht genannt wird (Abb. 5.3b). Es gibt mehrere Möglihkeiten, Shwingungen zu klassifizieren. So kann man zum Beispiel die Zahl der Freiheitsgrade eines

6 224 5 Shwingungen x x t t a b Abb. 5.3 shwingenden Systems als typishes Kennzeihen wählen. Dies führt zu einer Einteilung in Shwinger mit einem, zwei... (allgemein: n) Freiheitsgraden. Wir wollen uns auf Systeme mit einem bzw. mit zwei Freiheitsgraden beshränken.damitlassensihbereits viele wesentlihe Ersheinungen bei Shwingungen beshreiben. Man kann Shwingungen auh nah dem Typ der Differentialgleihung harakterisieren, welhe die Bewegungen des Systems beshreibt. So spriht man bei linearen (nihtlinearen) Differentialgleihungen auh von linearen (nihtlinearen) Shwingungen. Eine dritte Einteilung geht von dem Entstehungsmehanismus der Shwingung aus. Wir befassen uns nur mit zwei Fällen: den freien Shwingungen und den erzwungenen Shwingungen. Freie Shwingungen oder Eigenshwingungen sind die Bewegungen eines Shwingers, auf den keine äußeren Erregerkräfte wirken (der Shwinger wird sih selbst überlassen), während erzwungene Shwingungen gerade unter dem Einfluss äußerer Kräfte entstehen Freie Shwingungen In den folgenden Abshnitten untersuhen wir lineare ShwingungenvonSystemenmiteinem Freiheitsgrad. Solhe Systeme heißen auh einfahe Shwinger Ungedämpfte freie Shwingungen Wir beshränken uns zunähst auf die Behandlung ungedämpfter Shwingungen. Als Beispiel betrahten wir einen reibungsfrei geführten Klotz (Masse m) mit einer Feder der Federsteifigkeit

7 5.2 Freie Shwingungen 225 (Abb. 5.4a). Zur Ermittlung der Bewegungsgleihung führen wir die von der Ruhelage (entspannte Feder) gezählte Koordinate x nah Abb. 5.4b ein. Die einzige in horizontaler Rihtung wirkende Kraft ist die Federkraft x. Sie ist eine Rükstellkraft, die der Auslenkung aus der Ruhelage entgegenwirkt. Damit liefert das Newtonshe Grundgesetz (1.38) : mẍ = x mẍ + x=0. (5.10) Abb. 5.4 a x m x b Mit der Abkürzung ω 2 = m (5.11) folgt daraus ẍ + ω 2 x =0. (5.12) Dies ist eine lineare, homogene Differentialgleihung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Ihre allgemeine Lösung lautet x (t) =A os ωt + B sin ωt (5.13) mit den Integrationskonstanten A und B. Sie können aus den Anfangsbedingungen x (0) = x 0 und ẋ (0) = v 0 ermittelt werden. Man erhält A = x 0 und B = v 0 ω, (5.14) und damit wird aus (5.13) x (t) =x 0 os ωt + v 0 ω sin ωt. (5.15) Nah Abshnitt 5.1 ist die allgemeine Lösung (5.13) gleihwertig

8 226 5 Shwingungen mit x (t) =C os (ωt α), (5.16) wobei nun C und α die Integrationskonstanten sind. Sie können ebenfalls aus den Anfangsbedingungen berehnet werden, ergeben sih mit (5.14) aber auh unmittelbar aus (5.9) zu C = x 2 0 +(v 0/ω) 2, α =artan v 0. (5.17) ωx 0 Die Eigenshwingung der Masse m ist nah (5.16) eine harmonishe Shwingung. Die Kreisfrequenz ω = /m der Eigenshwingung nennt man auh kurz Eigenfrequenz. Wir betrahten nun eine Masse m, die an einer Feder mit der Federkonstanten hängt und vertikale Shwingungen ausführen soll (Abb. 5.5a). Durh die Gewihtskraft G = mg erfährt die Feder zunähst eine statishe Verlängerung x st = mg/ gegenüber ihrer Länge im entspannten Zustand. Wenn wir die Koordinate x von dieser Gleihgewihtslage aus nah unten zählen, so wirken bei einer Auslenkung in x-rihtung an der Masse das Gewiht G = mg und die Federkraft (Rükstellkraft) F = (x st + x), vgl. Abb. 5.5b. Das dynamishe Grundgesetz (1.38) liefert dann : mẍ = mg (x st + x) mẍ + x=0. Dies ist wieder die Bewegungsgleihung (5.10). Das Gewiht der Masse hat demnah keinen Einfluss auf die Shwingung eines Feder-Masse-Systems. Wir brauhen daher bei solhen Systemen das Gewiht niht zu berüksihtigen, wenn wir die Auslenkung von der Ruhelage aus zählen. Die Eigenfrequenz eines einfahen Shwingers kann bei vertikaler Shwingung aus der statishen Absenkung x st infolge des Eigengewihts des Systems bestimmt werden. Dabei ist eine Kenntnis der Masse und der Federsteifigkeit niht nötig. So verlängert sih zum Beispiel die Feder in Abb. 5.5a durh das Anbringen der Masse m vom Gewiht G = mg um den Wert x st = mg/, d.h. /m = g/x st. Durh Vergleih mit (5.11) folgt daher ω 2 = g/x st. (5.18)

9 Freie Shwingungen 227 x st m x F = (x st+x) G=mg Abb. 5.5 a Es gibt viele Systeme, deren Bewegungen durh eine Differentialgleihung vom Typ der Gleihung (5.12) beshrieben werden. Diese Systeme führen dann harmonishe Shwingungen aus. Daher wird die Gleihung ẍ + ω 2 x = 0 auh die Differentialgleihung der harmonishen Shwingung genannt. So lautet zum Beispiel nah Abshnitt die Bewegungsgleihung eines mathematishen Pendels (Abb. 5.6a) b ϕ + g l sin ϕ =0. (5.19) Für kleine Ausshläge (sin ϕ ϕ) ergibt sih daraus die Differentialgleihung ϕ +(g/l) ϕ = 0 einer harmonishen Shwingung. Die Eigenfrequenz der Shwingung eines mathematishen Pendels ist demnah durh ω = g/l (5.20) gegeben. Als Anwendungsbeispiel betrahten wir ein physikalishes Pendel (Abb. 5.6b). Hierunter versteht man einen starren Körper, der in einem Punkt drehbar gelagert ist und Shwingungen ausführt. Der Shwerpunkt S habe den Abstand l vom Drehpunkt A. Zur Ermittlung der Bewegungsgleihung wenden wir den Momentensatz (3.33) an. Wir zählen den Winkel ϕ von der Gleihgewihts-

10 228 5 Shwingungen A A A l ϕ l S ϕ S G=mg G a b Abb. 5.6 lage (vertikale Lage) aus entgegen dem Uhrzeigersinn positiv. Mit dem Moment des Gewihts M A = mgl sin ϕ und dem Trägheitsmoment Θ A erhalten wir : Θ A ϕ = mgl sin ϕ Θ A ϕ + mgl sin ϕ =0. Für kleine Auslenkungen (sin ϕ ϕ) wird daraus ϕ + ω 2 ϕ =0 mit ω 2 = mgl/θ A.Wennmandie reduzierte Pendellänge l red = Θ A /(ml) = i 2 A /l einführt, so lässt sih die Eigenfrequenz der Shwingungen eines physikalishen Pendels in Analogie zu (5.20) als ω = g/l red shreiben. Demnah shwingt ein physikalishes Pendel wie ein mathematishes Pendel, dessen Länge gleih l red ist. Alle bisher betrahteten Shwinger sind konservative Systeme. Für sie gilt der Energiesatz E k + E p = E k0 + E p0 = E =onst. (5.21) Dabei ist E die Gesamtenergie des Shwingers. Wir wollen am E E k E p π 2π 3π ωt Abb. 5.7

11 5.2 Freie Shwingungen 229 Beispiel des Feder-Masse-Shwingers die einzelnen Energieanteile angeben. Unter Verwendung der allgemeinen Lösung (5.16) der Bewegungsgleihung (5.10) und mit Hilfe der Umformungen sin 2 β = 1 2 (1 os 2 β), os2 β = 1 2 (1+os2β) erhält man E k = 1 2 mẋ2 = 1 2 mω2 C 2 sin 2 (ωt α) = 1 4 mω2 C 2 [1 os (2 ωt 2 α)], E p = 1 2 x2 = 1 2 C2 os 2 (ωt α) (5.22) = 1 4 C2 [1+os(2ωt 2 α)]. Kinetishe und potentielle Energie ändern sih hiernah periodish mit der Frequenz 2 ω. Ihre Amplituden sind wegen mω 2 = gleih. Die Energien sind für α = 0 in Abb. 5.7 aufgetragen. Man sieht, dass ein periodisher Wehsel von potentieller in kinetishe Energie und umgekehrt stattfindet. Wenn die kinetishe (potentielle) Energie Null ist, hat die potentielle (kinetishe) Energie ein Maximum. Die Summe der beiden Energieformen ist zu jedem Zeitpunkt die Gesamtenergie E. Beispiel 5.1 Ein masseloser, starrer Stab trägt an seinem oberen Ende eine Masse m und wird durh eine Feder mit der Federkonstanten abgestützt (Abb. 5.8a). Wie bewegt sih der Stab, wenn er nah einer kleinen Auslenkung ohne Anfangsgeshwindigkeit losgelassen wird? x m x mg B5.1 l ϕ Abb. 5.8 a Lösung Wir zählen den Winkel ϕ von der vertikalen Lage (Gleihgewihtslage) aus entgegen dem Uhrzeigersinn positiv (Abb. 5.8b). b A

12 230 5 Shwingungen Die Verlängerung der Feder in einer ausgelenkten Lage ist dann durh x = l sin ϕ gegeben. Mit Θ A = ml 2 liefert der Momentensatz (1.67) bezüglih A die Bewegungsgleihung : ml 2 ϕ = l sin ϕmg l os ϕx ml ϕ mg sin ϕ + lsin ϕ os ϕ =0. Für kleine Ausshläge (sin ϕ ϕ, osϕ 1) wird daraus ml ϕ mgϕ + lϕ=0 ϕ + l mg ml ϕ =0. Dies ist für l>mg die Differentialgleihung einer harmonishen Shwingung. Der Vergleih mit (5.12) liefert die Eigenfrequenz: ω 2 = l mg ml l mg ω =. ml Die Konstanten in der allgemeinen Lösung ϕ (t) =A os ωt + B sin ωt bestimmen wir aus der Anfangsauslenkung ϕ (0) = ϕ 0 und der Anfangsgeshwindigkeit ϕ (0) = 0 zu A = ϕ 0 und B =0. Damit folgt ϕ (t) =ϕ 0 os ωt. Für l < mg ist das Rükstellmoment durh die Federkraft stets kleiner als das Moment des Gewihts: der Stab fällt um. Für l = mg ist die Frequenz gleih Null: der Stab ist in der ausgelenkten Lage im Gleihgewiht Federzahlen elastisher Systeme Bei einer linearen Feder besteht zwishen der Federkraft F und der Verlängerung Δl der Zusammenhang F = Δl. Für die Federkonstante gilt demnah = F Δl. (5.23) Ein linearer Zusammenhang zwishen Kraft und Verformung tritt auh bei vielen anderen elastishen Systemen auf. Wir be-

13 5.2 Freie Shwingungen 231 trahten zunähst einen masselosen Stab (Länge l, Dehnsteifigkeit EA) mit einer Endmasse m (Abb. 5.9a). Wird die Masse nah unten ausgelenkt und der Stab dabei um den Wert Δl verlängert, so wirkt auf die Masse eine Rükstellkraft F. Die gleih große Gegenkraft wirkt auf den Stab, und es gilt Δl = Fl EA (vgl. Band 2). In Analogie zu (5.23) erhalten wir damit als Federsteifigkeit des Zugstabs = F Δl = EA l. (5.24) Wir können daher das Ersatzsystem nah Abb. 5.9b als gleihwertig dem Ausgangssystem nah Abb. 5.9a auffassen, wenn die Federkonstante nah (5.24) gewählt wird. Als weiteres Beispiel betrahten wir einen einseitig eingespannten, masselosen Balken (Länge l, Biegesteifigkeit EI) mit einer Masse m am freien Ende (Abb. 5.9). Wird die Masse nah unten ausgelenkt, so wirkt auf sie eine Rükstellkraft F, deren Gegenkraft am Balken angreift. Aus w = Fl3 3 EI (vgl. Band 2) erhalten wir die Federzahl = F w = 3 EI l 3. (5.25) Wenn wir beim Ersatzsystem nah Abb. 5.9b die Federkonstante entsprehend (5.25) wählen, so ist es dem Balken mit Endmasse gleihwertig. Wir bestimmen nun noh die Federkonstante für einen Torsionsstab (Länge l, Torsionssteifigkeit GI T ) nah Abb. 5.9d. Sie ergibt sih aus der linearen Beziehung zwishen der Verdrehung ϑ und dem Torsionsmoment M T (vgl. Band 2): ϑ = M T l GI T = M T T ϑ = GI T l. (5.26)

14 232 5 Shwingungen l, EI m l, EA w m Δl F a F m l, GI T Θ ϑ M T b d Abb. 5.9 Die Dimension dieser Drehfederzahl T ist Moment/Winkel. Wenn eine Sheibe (Massenträgheitsmoment Θ), die mit dem Ende eines Torsionsstabes fest verbunden ist, Drehshwingungen ausführt, dann wird die Bewegung durh Θ ϑ + T ϑ = 0 beshrieben (Abb. 5.9d). Es gibt Systeme, bei denen mehrere Federn Längenänderungen erfahren, wenn sih eine Masse bewegt. Wir wollen zunähst den Fall betrahten, dass zwei Federn mit den Steifigkeiten 1 und 2 bei einer Auslenkung der Masse stets die gleihe Verlängerung erfahren (Abb. 5.10a). Man spriht dann von einer Parallelshaltung der Federn. Die beiden Federn können gleihwertig durh eine einzige Feder ersetzt werden, deren Steifigkeit wir im folgenden ermitteln. Wenn wir die Masse um x auslenken, so entstehen in den zwei Federn die Kräfte F 1 = 1 x und F 2 = 2 x, und auf die

15 5.2 Freie Shwingungen = = x 2 Abb a b x Masse wirkt F = F 1 + F 2. Da die Ersatzfeder gleihwertig sein soll, muss bei gleiher Auslenkung x die gleihe Kraft F = x wirken. Damit folgt F = 1 x + 2 x = x = Allgemein erhalten wir bei einer Parallelshaltung beliebig vieler Federn mit den Steifigkeiten j für die Steifigkeit der Ersatzfeder = j. (5.27) Nun seien nah Abb. 5.10b zwei Federn so angeordnet, dass sih bei einer Auslenkung der Masse die gesamte Verlängerung x aus den Verlängerungen x 1 und x 2 der einzelnen Federn zusammensetzt. In diesem Fall spriht man von einer Reihenshaltung der Federn. Die Kraft F ist dann in beiden Federn gleih. Mit F = 1 x 1 = 2 x 2 und x = x 1 + x 2 ergibt sih x = F 1 + F 2 = F 1 = Bei beliebig vielen hintereinander geshalteten Federn erhalten wir somit für die Steifigkeit der Ersatzfeder 1 = 1. (5.28) j Führt man mit h = 1/ die Federnahgiebigkeit ein, so gilt bei

16 234 5 Shwingungen Reihenshaltung für die Nahgiebigkeit h der Ersatzfeder h = h j. (5.29) B5.2 Beispiel 5.2 Ein masseloser, elastisher Balken (Biegesteifigkeit EI) trägt in der Mitte eine Masse m (Abb. 5.11a). Wie groß ist die Eigenfrequenz? m EI B a l 2 F l 2 b m G=mg w d w st Abb Lösung Der masselose Balken mit Einzelmasse ist gleihwertig dem Ersatzsystem nah Abb. 5.11b, dessen Federkonstante B bestimmt werden muss. Zu ihrer Ermittlung belasten wir den Balken nah Abb an der Stelle, an der sih die Masse befindet (hier Balkenmitte) durh eine Kraft F. Dannbeträgt dort die Durhbiegung (vgl. Band 2) w = Fl3 48 EI. Analog zu (5.25) erhalten wir somit B = F w = 48 EI l 3, und (5.11) liefert die Eigenfrequenz B 48 EI ω = m = ml 3. (a) Wir können die Eigenfrequenz auh nah (5.18) aus der sta-

17 5.2 Freie Shwingungen 235 tishen Absenkung der Masse m infolge ihres Gewihts G = mg bestimmen. Entsprehend (a) gilt (vgl. Abb. 5.11d) w st = Gl3 48 EI = mgl3 48 EI. Durh Einsetzen in (5.18) erhält man wieder das Ergebnis g 48 EI ω = = w st ml 3. Beispiel 5.3 Die shwingungsfähigen Systeme nah Abb. 5.12a, b bestehen jeweils aus einem masselosen Balken (Biegesteifigkeit EI), einer Feder (Federkonstante ) und einer Masse m. Wie groß sind die Eigenfrequenzen? EI EI B5.3 a Abb l 2 m l 2 b Lösung Wir ersetzen die gegebenen Systeme jeweils durh ein Ersatzsystem nah Abb Im System nah Abb. 5.12a sind bei einer Shwingung die Durhbiegung in Balkenmitte und die Verlängerung der Feder immer gleih groß: Balken und Feder sind parallel geshaltet. Die Federsteifigkeit B des Balkens übernehmen wir aus Beispiel 5.2: 48 EI B = l 3. Damit erhalten wir nah (5.27) für die Steifigkeit der Ersatzfeder 48 EI = + B = + l 3, und die Eigenfrequenz des Systems wird l 2 m l 2 m

18 236 5 Shwingungen ω = m = l3 +48EI ml 3. Beim System nah Abb. 5.12b ist die Auslenkung der Masse gleih der Summe aus der Durhbiegung in Balkenmitte und der Verlängerung der Feder. Balken und Feder sind demnah in Reihe geshaltet. Die Steifigkeit der Ersatzfelder folgt damit nah (5.28) aus 1 = B = B + B, und die Eigenfrequenz des Systems lautet ω = m = 48 EI (l 3 +48EI) m. Die Eigenfrequenz des Systems b ist kleiner als die von a (das System b hat eine weihere Ersatzfeder). B5.4 Beispiel 5.4 Der Rahmen nah Abb. 5.13a besteht aus zwei elastishen Stielen (h =3m,E =2, N/mm 2, I = 3500 m 4 ) und einem starren Riegel, der einen Kasten (Masse m =10 5 kg) trägt. Wie groß ist die Eigenfrequenz des Systems, wenn Stiele und Riegel als masselos angenommen werden? Lösung Die Stiele sind elastish. Daher kann sih der Riegel mit dem Kasten waagreht vershieben (Abb. 5.13b). Die entsprehende Shwingung kann mit Hilfe des Ersatzsystems nah Abb beshrieben werden. Zur Ermittlung der Eigenfrequenz muss zuerst die Federsteifigkeit bestimmt werden. Da der Rahmen symmetrish ist, betrahten wir zunähst nur einen Stiel (Abb. 5.13d). Der starre, waagrehte Riegel wirkt am oberen Stielende A wie eine Parallelführung. Greift dort eine Kraft F an, so vershiebt sih A um die Streke w. Die Federsteifigkeit S eines Stiels berehnet sih dann aus S = F/w. Das System in Abb. 5.13d ist einfah statish unbestimmt. Wenn wir das Moment an der Parallelführung als statish Unbe-

19 5.2 Freie Shwingungen 237 m a EI h b m h, EI Abb d e stimmte X wählen und die Parallelführung entfernen (Abb. 5.13e), so ergeben sih die Vershiebung w und der Neigungswinkel ϕ am freien Ende zu w = Fh3 3 EI Xh2 2 EI, ϕ = Fh2 2 EI Xh EI (vgl. Band 2). Die Verträglihkeitsbedingung ϕ = 0 liefert für die statish Unbestimmte X = Fh/2. Damit wird w = Fh3 3 EI Fh3 4 EI = Fh3 12 EI, und die Federsteifigkeit eines Stiels folgt zu S = F 12 EI = w h 3. Da der Rahmen zwei gleihe Stiele hat (Parallelshaltung), ist die Federsteifigkeit des Rahmens = 2 S. Die Eigenfrequenz des Systems ergibt sih damit zu 24 EI ω = m = mh 3. Mit den gegebenen Zahlenwerten erhält man F A w F X w ϕ

20 238 5 Shwingungen ω =8, 1s 1 bzw. f = ω =1, 3Hz. 2 π Gedämpfte freie Shwingungen Die Erfahrung zeigt, dass eine freie Shwingung mit konstanter Amplitude in Wirklihkeit niht auftritt. Bei realen Systemen werden die Ausshläge im Lauf der Zeit kleiner, und die Shwingung kommt shließlih ganz zum Stillstand. Ursahe hierfür sind Reibungs- und Dämpfungskräfte (z.b. Lagerreibung, Luftwiderstand). Dem System wird bei der Bewegung mehanishe Energie entzogen (Energiedissipation). Daher gilt bei gedämpften Shwingungen der Energieerhaltungssatz niht. x a m rauh b x v R x R v x 0 x r r t 1 = π ω x 0 2r x 0 4r t t 1 t 2 Abb Wir wollen zunähst in einem Anwendungsbeispiel die trokene Reibung betrahten. Ein Klotz (Masse m) bewegt sih nah Abb. 5.14a auf einer rauhen Unterlage (Reibungskoeffizient μ). Die Reibungskraft R = μn hat hier wegen N = mg den Betrag R = μmg und ist stets entgegen der Geshwindigkeit gerihtet. Wenn sih der Klotz nah rehts (links) bewegt, zeigt R somit nah links (rehts), vgl. Abb. 5.14b. Unter Berüksihtigung der Rükstellkraft x der Feder liefert das Newtonshe Grundgesetz (1.38)

21 5.2 Freie Shwingungen 239 : mẍ = { x R für ẋ>0, x+ R für ẋ<0 mẍ + x= { R für ẋ>0, + R für ẋ<0. Mit den Abkürzungen ω 2 = m, wird daraus ẍ + ω 2 x = r = R { ω 2 r für ẋ>0, + ω 2 r für ẋ<0. (a) Wir erhalten demnah untershiedlihe Bewegungsgleihungen für die Bewegung des Klotzes nah rehts bzw. nah links. Wir wollen bei der Umkehr der Bewegungsrihtung jeweils mit einer neuen Zeitzählung beginnen. Wenn wir als Anfangsbedingungen x (t 1 =0)=x 0 > 0, ẋ (t 1 =0)=0wählen, so bewegt sih der Klotz in einem ersten Bewegungsabshnitt von rehts nah links: ẋ<0. Dann gilt ẍ + ω 2 x = ω 2 r. Im Gegensatz zur Bewegungsgleihung (5.12) ist hier die rehte Seite niht Null. Man nennt eine solhe Differentialgleihung inhomogen. Ihre allgemeine Lösung setzt sih aus der allgemeinen Lösung x h der homogenen Differentialgleihung (ẍ+ω 2 x = 0) und einer Partikularlösung x p der inhomogenen Differentialgleihung zusammen: x = x h + x p. Die Lösung x h ist nah (5.13) durh x h (t 1 )=A 1 os ωt 1 + B 1 sin ωt 1 gegeben; die Partikularlösung lautet (b)

22 240 5 Shwingungen x p = r. Damit wird x (t 1 )=A 1 os ωt 1 + B 1 sin ωt 1 + r. Die beiden Konstanten A 1 und B 1 folgen aus den Anfangsbedingungen: x (t 1 =0)=A 1 + r = x 0 A 1 = x 0 r, ẋ (t 1 =0)=ωB 1 =0 B 1 =0. Somit wird die Bewegung nah links im ersten Bewegungsabshnitt durh x (t 1 )=(x 0 r)osωt 1 + r, ẋ (t 1 )= (x 0 r)ω sin ωt 1 () beshrieben. Zum Zeitpunkt t 1 = π/ω werden der Ausshlag x(π/ω) = x 0 +2r und die Geshwindigkeit ẋ(π/ω) = 0; anshließend kehrt die Bewegung ihre Rihtung um. Dann gilt nah (a) ẍ + ω 2 x = ω 2 r. Wir beginnen den zweiten Bewegungsabshnitt mit einer neuen Zeitzählung. Dann lautet die allgemeine Lösung von (d) x (t 2 )=A 2 os ωt 2 + B 2 sin ωt 2 r. Ausshlag und Geshwindigkeit zu Beginn des zweiten Abshnitts müssen mit denen am Ende des ersten Abshnitts übereinstimmen. Die Konstanten A 2 und B 2 können daher aus folgenden Übergangsbedingungen ermittelt werden: ( x (t 2 =0)=x t 1 = π ) A 2 = x 0 +3r, ω ( ẋ (t 2 =0)=ẋ t 1 = π ) ω B 2 =0. (d)

23 Im zweiten Bewegungsabshnitt gilt demnah x (t 2 )= (x 0 3 r)osωt 2 r. 5.2 Freie Shwingungen 241 Der Weg-Zeit-Verlauf der Shwingung ist in Abb dargestellt. Die erste Gleihung in () stellt eine um +r vershobene kosinusförmige Halbshwingung mit der Amplitude x 0 r dar. Die Halbshwingung nah (e) ist um r vershoben und hat die Amplitude x 0 3 r. Der weitere Verlauf der Shwingung kann entsprehend ermittelt werden. Die Amplituden nehmen bei jeder weiteren Halbshwingung jeweils um 2r ab. Wenn an einem Umkehrpunkt der Betrag des Ausshlags kleiner als r wird, so reiht die Rükstellkraft der Feder niht mehr aus, die Haftungskraft zu überwinden: der Klotz bleibt dann dort liegen. Abb a glatt Widerstandskräfte infolge Flüssigkeitsreibung wurden bereits in Abshnitt eingeführt. Solhe Kräfte können in shwingenden Systemen z.b. beim Stoßdämpfer eines Autos auftreten. Wir beshränken uns hier auf den Fall eines linearen Zusammenhangs zwishen der Geshwindigkeit v und der Widerstandskraft F d (Dämpfungskraft): F d = dv. Der Faktor d wird Dämpfungskonstante genannt; er hat die Dimension Kraft/Geshwindigkeit. Symbolish stellen wir Dämpfer wie in Abb. 5.15a dar. Die Kraft, die bei einer Bewegung auf den Körper wirkt, ist der Geshwindigkeit entgegen gerihtet (Abb. 5.15b). Wir betrahten nun einen gedämpften Feder-Masse-Shwinger (Abb. 5.16a). Wenn wir die Koordinate x von der Ruhelage aus zählen, so brauhen wir das Gewiht niht zu berüksihtigen. Mit der Rükstellkraft x und der Dämpfungskraft d ẋ (Abb. 5.16b) d b v F d (e)

24 242 5 Shwingungen d x d ẋ m x a b Abb folgt die Bewegungsgleihung : mẍ = x d ẋ mẍ + d ẋ + x=0. (5.30) Wir führen die Abkürzungen 2 δ = d m, ω2 = m (5.31) ein. Die Konstante δ heißt Abklingkoeffizient, und ω ist nah (5.11) die Eigenfrequenz der ungedämpften Shwingung. Damit wird aus (5.30) die Differentialgleihung der gedämpften Shwingung ẍ +2δẋ + ω 2 x =0. (5.32) Zur Bestimmung der allgemeinen Lösung dieser Differentialgleihung mit konstanten Koeffizienten mahen wir einen Exponentialansatz x = A e λt (5.33) mit den noh unbestimmten Konstanten A und λ. Einsetzen in (5.32) liefert die harakteristishe Gleihung λ 2 +2δλ + ω 2 =0. (5.34) Diese quadratishe Gleihung für λ hat die beiden Lösungen λ 1,2 = δ ± δ 2 ω 2. (5.35) Wenn wir den Dämpfungsgrad (Lehrshes Dämpfungsmaß) (Ernst Lehr, )

25 5.2 Freie Shwingungen 243 D = δ ω (5.36) einführen, so können wir (5.35) auh folgendermaßen shreiben: λ 1,2 = δ ± ω D 2 1. (5.37) Je nah Größe von D zeigen die Lösungen von (5.32) sehr untershiedlihes Verhalten. Wir untersheiden drei vershiedene Fälle. 1. Starke Dämpfung: D>1 Bei starker Dämpfung sind λ 1 und λ 2 reell: λ 1,2 = δ ± μ mit μ = ω D 2 1. Zu jedem λ i gehört eine Lösung der Differentialgleihung (5.32); die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination der beiden Teillösungen: x (t) =A 1 e λ1t + A 2 e λ2t =e δt (A 1 e μt + A 2 e μt ). (5.38) Die Konstanten A 1 und A 2 können aus den Anfangsbedingungen x (0) = x 0 und ẋ (0) = v 0 bestimmt werden. Wegen δ>μ stellt (5.38) eine exponentiell abklingende Bewegung dar. Der Ausshlag besitzt höhstens einen Extremwert und höhstens einen Nulldurhgang. Wir nennen einen solhen Vorgang, der eigentlih gar keine Shwingung ist, eine Kriehbewegung. In Abb sind Kriehkurven für untershiedlihe Anfangsgeshwindigkeiten qualitativ dargestellt. x v 0 >0 x 0 v0 =0 Abb v 0 <0, v 0 <δx 0 v 0 <0, v 0 >δx 0 t 2. Grenzfall: D =1 Für D = 1 (manhmal aperiodisher Grenzfall genannt) hat die harakteristishe Gleihung nah (5.37) die beiden zusammenfal-

26 244 5 Shwingungen lenden Wurzeln λ 1 = λ 2 = δ. Die allgemeine Lösung der Differentialgleihung (5.32) lautet dann x (t) =A 1 e λ1t + A 2 t e λ1t =(A 1 + A 2 t)e δt. (5.39) Sie beshreibt ebenfalls eine exponentiell abklingende Bewegung. Das Abklingen erfolgt wie bei starker Dämpfung kriehend. Nah (5.36) wird im Grenzfall δ = ω. Mit (5.31) gilt dann für die Dämpfungskonstante d =2 m. Man kann zeigen, dass der Ausshlag im Fall D = 1 shneller gegen Null geht als bei starker Dämpfung. Tehnishe Anwendung findet der Grenzfall z.b. bei der Auslegung von Messgeräten. 3. Shwahe Dämpfung: D<1 Bei shwaher Dämpfung (D <1) ist der Radikand in (5.37) negativ. Wir shreiben daher die beiden Lösungen der harakteristishen Gleihung in der Form mit λ 1,2 = δ ± iω 1 D 2 = δ ± iω d, (i = 1) ω d = ω 1 D 2. (5.40) Damit ergibt sih als allgemeine Lösung der Differentialgleihung (5.32) x (t) =A 1 e λ1t + A 2 e λ2t =e δt (A 1 e iω dt + A 2 e iω dt ). Mit e ±iω dt =osω d t ± isinω d t erhalten wir daraus x (t) =e δt [(A 1 + A 2 )osω d t +i(a 1 A 2 )sinω d t] =e δt (A os ω d t + B sin ω d t), wobei wir mit A und B zwei neue, reelle Konstanteneingeführt haben. Nah Abshnitt 5.1 können wir x (t) auh in folgender Form shreiben: x (t) =C e δt os (ω d t α). (5.41)

27 5.2 Freie Shwingungen 245 x Ce δt C os α x(t) x(t+t d ) t t+t d t T d = 2π ωd Abb Ce δt Demnah ist die Bewegung bei shwaher Dämpfung eine Shwingung, deren Ausshläge mit der Zeit exponentiell abnehmen. Die Integrationskonstanten C und α können aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Für t geht der Ausshlag gegen Null. In Abb ist der Weg-Zeit-Verlauf mit den Einhüllenden ±C e δt dargestellt. Die Kreisfrequenz ω d der gedämpften Shwingung nah (5.40) ist kleiner als die Kreisfrequenz ω der ungedämpften Shwingung. Die Shwingungsdauer T d =2π/ω d ist daher größer als diejenige der entsprehenden ungedämpften Shwingung. Die Shwingungsausshläge betragen zur Zeit t x (t) =C e δt os (ω d t α) bzw. zur Zeit t + T d x (t + T d )=C e δ(t+t d) os [ω d (t + T d ) α] = C e δ(t+t d) os (ω d t α). Für das Verhältnis von je zwei Ausshlägen im Zeitabstand T d gilt daher x (t) x (t + T d ) =eδt d. (5.42) Den Logarithmus dieses Verhältnisses x (t) Λ=ln x (t + T d ) = δt d = 2 πδ D =2π ω d 1 D 2 (5.43)

28 246 5 Shwingungen nennt man logarithmishes Dekrement. Wenn sih das Dekrement Λ aus Experimenten bestimmen lässt, kann das Lehrshe Dämpfungsmaß D nah (5.43) berehnet werden. B5.5 Beispiel 5.5 Eine masselose, starre Stange mit Feder und Dämpfer trägt eine Masse m (Abb. 5.19a). Welhe Bedingung muss die Dämpfungskonstante d erfüllen, damit die Masse eine shwah gedämpfte Shwingung ausführt? Wie lautet die Lösung der Bewegungsgleihung, wenn die Stange zu Beginn der Bewegung mit der Winkelgeshwindigkeit ϕ 0 die Gleihgewihtslage durhläuft? F =aϕ m A a a a a d b ϕ F d =d(3a) ϕ Abb Lösung Wir beshreiben die Bewegung der Stange durh den von der Gleihgewihtslage aus gezählten Winkel ϕ (Abb. 5.19b). Der Momentensatz bezüglih A liefert dann bei kleinen Auslenkungen mit dem Trägheitsmoment Θ A =(2a) 2 m, der Federkraft F = aϕ und der Dämpfungskraft F d = d (3 a) ϕ: : Θ A ϕ = af 3 af d 4 m ϕ +9d ϕ + ϕ=0. Mit den Abkürzungen 2 δ =9d/(4m), ω 2 = /(4m) folgt daraus die zu (5.32) analoge Differentialgleihung ϕ +2δ ϕ + ω 2 ϕ =0. Die Shwingung ist shwah gedämpft, wenn der Dämpfungsgrad D kleiner als Eins ist: D = δ ω = 9 d m 8 m 2 = 9 d 4 m < 1.

29 5.2 Freie Shwingungen 247 Für die Dämpfungskonstante ergibt sih daher die Bedingung d< 4 9 m. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleihung lautet nah (5.41) ϕ (t) =C e δt os (ω d t α). Im Beispiel ist die Frequenz ω d = ω 1 D 2 = 1 81 d2 1 2 m 16 m. Die beiden Konstanten folgen aus den Anfangsbedingungen ϕ (0) = 0 und ϕ (0) = ϕ 0 zu α = π/2 und C = ϕ 0 /ω d.damitwird ϕ (t) = ϕ ( 0 e δt os ω d t π ) = ϕ 0 e δt sin ω d t. ω d 2 ω d Beispiel 5.6 Die Anfangsbedingungen für die Bewegungdes Shwingers nah Abb. 5.16a seien x (0) = x 0 und ẋ (0) = 0. Man berehne für D = 0, die während der ersten vollen Shwingung dissipierte Energie. Lösung Da die Anfangsgeshwindigkeit Null ist, ist zu Beginn der ersten Shwingung die Gesamtenergie E 0 des Shwingers gleih der in der Feder gespeiherten potentiellen Energie: B5.6 E 0 = E p0 = 1 2 x2 0. Entsprehend wird die Gesamtenergie nah der ersten Shwingung E 1 = E p1 = 1 2 x2 1, wobei x 1 der Ausshlag zur Zeit T d =2π/ω d ist. Nah (5.42) gilt mit (5.36) und (5.40) x 0 1 D 2. x 1 =e δt d x 1 = x 0 e δt d = x 0 e 2πD Damit ergibt sih die dissipierte Energie

30 248 5 Shwingungen ΔE = E 0 E 1 = 1 2 x2 0 1 ( ) 2 x2 1 = 1 e 4πD 1 D x2 0. Für D =0, folgt ΔE =0, x2 0. Es werden daher während der ersten vollen Shwingung 13 % der Energie dissipiert Erzwungene Shwingungen Ungedämpfte Shwingungen Wir wollen nun das Verhalten eines einfahen Shwingers untersuhen, der durh eine äußere Kraft zu Shwingungen angeregt wird. Dazu betrahten wir als Beispiel einen ungedämpften Feder- Masse-Shwinger nah Abb. 5.20a. Die Erregung erfolge durh eine mit der Erregerfrequenz Ωharmonishveränderlihe Kraft F = F 0 os Ωt (andere Erregermöglihkeiten werden in Abshnitt behandelt). Wenn wir die Koordinate x vonder Ruhelageaus zählen, welhe die Masse ohne die Einwirkung der Erregerkraft einnimmt (F = 0), so erhalten wir die Bewegungsgleihung (vgl. Abb. 5.20b) : mẍ = x+ F 0 os Ωt mẍ + x= F 0 os Ωt. (5.44) Im Gegensatz zu (5.10) ist hier die rehte Seite niht Null: die Differentialgleihung ist inhomogen. Wir führen die Abkürzungen ω 2 = m, x 0 = F 0 (5.45) ein. Dabei ist ω die Eigenfrequenz der freien Shwingung, und x 0 ist die statishe Verlängerung der Feder infolge einer konstanten Kraft F 0. Damit wird aus (5.44) ẍ + ω 2 x = ω 2 x 0 os Ωt. (5.46) Die allgemeine Lösung x(t) dieser inhomogenen Differentialgleihung setzt sih aus der allgemeinen Lösung x h der homogenen

31 5.3 Erzwungene Shwingungen 249 m x x a F =F 0 os Ω t b F V x 1 t 1 η Abb d Differentialgleihung (ẍ + ω 2 x = 0) und einer Partikularlösung x p der inhomogenen Differentialgleihung zusammen: x = x h + x p. Die Lösung x h der homogenen Gleihung ist nah Abshnitt durh x h = C os (ωt α) (5.47a) gegeben. Für die Partikularlösung x p mahen wir einen Ansatz vom Typ der rehten Seite: x p = x 0 V os Ωt. (5.47b) Dabei ist V eine dimensionslose Größe, die sih durh Einsetzen von x p in (5.46) bestimmen lässt: x 0 V Ω 2 os Ωt + ω 2 x 0 V os Ωt = ω 2 x 0 os Ωt V = ω 2 ω 2 Ω 2. Wenn wir das Frequenzverhältnis (die Abstimmung)

32 250 5 Shwingungen η = Ω ω (5.48) einführen, so wird V = 1 1 η 2. (5.49) Die allgemeine Lösung der Differentialgleihung (5.46) lautet mit (5.47a, b): x (t) =x h + x p = C os (ωt α)+x 0 V os Ωt. (5.50) Die Integrationskonstanten C und α können aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Da bei realen Systemen wegen der stets vorhandenen Dämpfung die Lösung der homogenen Differentialgleihung mit der Zeit abklingt (vgl. Abshnitt 5.2.3), bleibt als Lösung nah hinreihend großer Zeit (Einshwingvorgang) nur die Partikularlösung x p. Dann gilt x (t) =x p = x 0 V os Ωt. Hierin ist V ein Maß für das Verhältnis der Shwingungsamplitude zur statishen Auslenkung x 0. Man bezeihnet V deshalb als Vergrößerungsfunktion. In Abb ist der Betrag von V in Abhängigkeit vom Frequenzverhältnis η dargestellt. Wenn die Erregerfrequenz gegen die Eigenfrequenz des Shwingers geht (η 1), wahsen die Shwingungsausshläge über alle Grenzen (V ). Dieses Verhalten nennt man Resonanz. Den Bereih η < 1 nennt man unterkritish, der Bereih η>1heißtüberkritish. Für η 0gehtV 1 (statisher Ausshlag bei sehr kleiner Erregerfrequenz), für η geht V 0 (kein Ausshlag bei sehr großen Erregerfrequenzen). Im Resonanzfall Ω = ω ist die Partikularlösung (5.47b) niht gültig. Dann erfüllt der Ansatz x p = x 0 V tsin Ωt = x0 V tsin ωt die Differentialgleihung (5.46). Bilden der Ableitungen

33 5.3 Erzwungene Shwingungen 251 ẋ p = x 0 V sin ωt + x0 Vωtos ωt, ẍ p =2x 0 Vωos ωt x0 Vω 2 t sin ωt und Einsetzen liefert 2 x 0 Vωos ωt x0 Vω 2 t sin ωt + ω 2 x 0 V tsin ωt = ω 2 x 0 os ωt V = ω 2. Im Resonanzfall beshreibt die Partikularlösung x p = 1 2 x 0 ωt sin ωt demnah eine Shwingung mit zeitlih linear anwahsender Amplitude (Abb. 5.20d). Beispiel 5.7 Eine Masse m (Abb. 5.21a) wird durh eine Feder (Federsteifigkeit 1 ) gehalten. Sie wird über eine weitere Feder (Federsteifigkeit 2 ) von einer rotierenden Exzentersheibe (Radius r, Exzentrizität e) zum Shwingen angeregt. Das Federende in B liege stets an der glatten Exzentersheibe an. Wie groß muss die Kreisfrequenz Ω der Sheibe sein, damit der Maximalausshlag der Masse im eingeshwungenen Zustand gleih 3 e ist? Lösung Wir zählen die Koordinate x von der Gleihgewihtslage aus, die m bei ruhender Exzentersheibe (in der dargestellten Lage) hat. Der jeweilige Ort des Punktes B wird durh die weitere Koordinate x B angegeben (Abb. 5.21b). Mit der Verlängerung x x B der rehten Feder erhalten wir die Bewegungsgleihung : mẍ = 1 x 2 (x x B ) mẍ +( ) x = 2 x B. (a) Bei der Rotation der Sheibe vershiebt sih ihr Mittelpunkt in der Zeit t aus der Ausgangslage M in die neue Lage M (Abb. 5.21). Die Vershiebung des Punktes B stimmt mit der Horizontalkomponente der Vershiebung von M überein. Daher gilt x B = e sin Ωt. Einsetzen in (a) liefert B5.7

34 252 5 Shwingungen r a m B Ω e x x B b 1 x 2 (x x B ) B M Ωt e M e sin Ω t Abb ẍ + ω 2 x = 2 e sin Ωt m (b) mit ω 2 = m. () Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Differentialgleihung setzt sih aus der Lösung x h der homogenen Differentialgleihung und einer Partikularlösung x p der inhomogenen Differentialgleihung zusammen. Im eingeshwungenen Zustand brauhen wir nur die Partikularlösung x p zu betrahten. Wir mahen dafür einen Ansatz vom Typ der rehten Seite: x p = X sin Ωt. Dabei ist der Maximalausshlag X noh unbestimmt. Durh Einsetzen in (b) erhalten wir Ω 2 X + ω 2 X = 2 m e X = 2 e m (ω 2 Ω 2 ). Der Verlauf von X wird qualitativ durh Abb dargestellt. Aus der Forderung X =3e folgen mit () zwei Frequenzen (je eine im unterkritishen und im überkritishen Bereih):

35 2 e m (ω 2 Ω 2 ) = ±3 e 5.3 Erzwungene Shwingungen 253 Ω 2 1 = ω2 2 3 m = m, Ω 2 2 = ω m = m Gedämpfte Shwingungen Wir wenden uns nun erzwungenen Shwingungen zu, wobei wir uns auf Systeme mit Flüssigkeitsdämpfung beshränken. Dabei untersheiden wir drei vershiedene Fälle. 1. Fall: Krafterregung oder Erregung über eine Feder Ein gedämpfter Feder-Masse-Shwinger wird durh eine harmonish veränderlihe Kraft F = F 0 os Ωt zu Shwingungen angeregt (Abb. 5.22a). Dann lautet die Bewegungsgleihung : mẍ = x dẋ + F 0 os Ωt mẍ + dẋ + x = F 0 os Ωt. (5.51) Wenn wir die Abkürzungen 2 δ = d m, ω2 = m, x 0 = F 0 einführen (vgl. (5.31) und (5.45)), so folgt (5.52) ẍ +2δ ẋ + ω 2 x = ω 2 x 0 os Ωt. (5.53) Wir betrahten nun einen Shwinger nah Abb. 5.22b, bei dem der obere Endpunkt der Feder harmonish bewegt wird: x F = x 0 os Ωt. Dann ist die Verlängerung der Feder durh x F x gegeben, und wir erhalten die Bewegungsgleihung für die Masse (beahte, dass keine äußere Kraft auf den Klotz wirkt): : mẍ = (x F x) d ẋ mẍ + d ẋ + x= x 0 os Ωt.

36 254 5 Shwingungen Mit den Abkürzungen nah (5.52) folgt daraus wieder die Gleihung (5.53): ẍ +2δ ẋ + ω 2 x = ω 2 x 0 os Ωt. x F =x 0 os Ω t x D =x 0 sin Ω t F =F 0 os Ω t d m x m x m x d d F (x F x) d (ẋ D ẋ) x x x x dẋ d ẋ x a b m u r Ωt m 0 d x r m u S os Ω t S S S os Ω t Ωt m 0 x x u d x d ẋ Abb Die Bewegung der Masse wird demnah bei Kraft- oder bei Federerregung durh die gleihe Differentialgleihung beshrieben. 2. Fall: Erregung über einen Dämpfer Bei dem in Abb dargestellten Shwinger wird der obere Endpunkt des Dämpfers harmonish bewegt: x D = x 0 sin Ωt.

37 5.3 Erzwungene Shwingungen 255 Dann ist die Dämpfungskraft proportional zur Relativgeshwindigkeit ẋ D ẋ zwishen Kolben und Gehäuse. Damit lautet die Bewegungsgleihung : mẍ = x+ d (ẋ D ẋ) mẍ+d ẋ+x= d Ωx 0 os Ωt. Mit den Abkürzungen 2 δ = d m, ω2 = m, D = δ ω, η = Ω ω (5.54) (vgl. (5.31), (5.36) und (5.48)) erhalten wir daraus ẍ +2δ ẋ + ω 2 x =2δΩ x 0 os Ωt ẍ +2δ ẋ + ω 2 x =2Dηω 2 x 0 os Ωt. (5.55) 3. Fall: Erregung durh eine rotierende Unwuht Ein Shwinger der Masse m 0 wird durh eine rotierende Unwuht (Masse m u ) zu Shwingungen angeregt (Abb. 5.22d). Die Lage des Shwingers bzw. der Unwuht beshreiben wir durh die von der gleihen Stelle nah oben gezählten Koordinaten x bzw. x u. Dann gilt x u = x + r os Ωt ẍ u =ẍ r Ω 2 os Ωt. Mit der Kraft S zwishen Shwinger und Unwuht lauten die Bewegungsgleihungen für m u bzw. für m 0 in vertikaler Rihtung : m u ẍ u = S os Ωt, : m 0 ẍ = x d ẋ + S os Ωt. Daraus erhält man durh Eliminieren von S und Einsetzen von ẍ u : (m 0 + m u )ẍ + d ẋ + x= m u r Ω 2 os Ωt. Wenn wir die Abkürzungen m = m 0 + m u, x 0 = m u m r (5.56)

38 256 5 Shwingungen einführen, so erhalten wir mit (5.54) die Bewegungsgleihung für die Masse m 0 : ẍ +2δ ẋ + ω 2 x = ω 2 η 2 x 0 os Ωt. (5.57) Die drei Bewegungsgleihungen (5.53, 5.55, 5.57) untersheiden sih nur durh den Faktor, der jeweils auf der rehten Seite vor der Kosinus-Funktion steht. Sie lassen sih daher mit D = δ/ω zu einer einzigen Gleihung zusammenfassen: 1 ω 2 ẍ + 2 D ω ẋ + x = x 0E os Ωt. (5.58a) Dabei ist für E je nah der Art der Erregung einer der folgenden Werte einzusetzen: Fall 1: E =1, Fall 2: E =2Dη, (5.58b) Fall 3: E = η 2. Die allgemeine Lösung von (5.58a) setzt sih (wie bei der ungedämpften erzwungenen Shwingung) aus der allgemeinen Lösung x h der homogenen Differentialgleihung und einer Partikularlösung x p der inhomogenen Gleihung zusammen. Da x h nah Abshnitt exponentiell mit der Zeit abklingt, sind jedoh nah hinreihend großer Zeit die zugehörigen Ausshläge klein und im Vergleih zu x p vernahlässigbar. Die Shwingung bis zu dieser Zeit nennt man den Einshwingvorgang. Für die Partikularlösung x p mahen wir (wie im ungedämpften Fall) einen Ansatz vom Typ der rehten Seite, wobei wir eine möglihe Phasenvershiebung ϕ zwishen Erregung und Ausshlag berüksihtigen müssen: x p = x 0 V os(ωt ϕ). (5.59)

39 5.3 Erzwungene Shwingungen 257 Wenn wir x p = x 0 V (os Ωt os ϕ + sin Ωt sin ϕ), ẋ p = x 0 V Ω( sin Ωt os ϕ +osωt sin ϕ), ẍ p = x 0 V Ω 2 ( os Ωt os ϕ sin Ωt sin ϕ) in die Differentialgleihung (5.58a) einsetzen, so folgt x 0 V Ω2 ω 2 ( os Ωt os ϕ sin Ωt sin ϕ) +2Dx 0 V Ω ω ( sin Ωt os ϕ +osωt sin ϕ) + x 0 V (os Ωt os ϕ + sin Ωt sin ϕ) =x 0 E os Ωt. Mit η =Ω/ω ergibt sih durh Ordnen ( Vη 2 os ϕ +2DV η sin ϕ + V os ϕ E)osΩt +( Vη 2 sin ϕ 2 DV η os ϕ + V sin ϕ) sin Ωt =0. Diese Gleihung ist für alle t nur dann erfüllt, wenn beide Klammerausdrüke vershwinden: V ( η 2 os ϕ +2Dηsin ϕ +osϕ) =E, (5.60a) η 2 sin ϕ 2 Dηos ϕ +sinϕ =0. (5.60b) Aus der zweiten Gleihung lässt sih die Phasenvershiebung ϕ (auh Phasen-Frequenzgang genannt) berehnen: Mit tan ϕ = 2 Dη 1 η 2. (5.61) sin ϕ = tan ϕ 1+tan 2 ϕ, os ϕ = 1 1+tan 2 ϕ folgt dann aus (5.60a) die Vergrößerungsfunktion V (auh Amplituden-Frequenzgang genannt):

40 258 5 Shwingungen V = E (1 η2 ) 2 +4D 2 η 2. (5.62) Entsprehend den drei Werten von E nah (5.58b) erhalten wir drei vershiedene Vergrößerungsfunktionen V i. Sie sind in den Abb. 5.23a für vershiedene Dämpfungen D dargestellt. Bei Er- V 1 D =0 (ungedämpft) V a V 1m η m 0, 25 0, η 1 b 1 D =1 V 2m 0,5 0 0,25 η V V 3m η m D =0 0, 25 0, η ϕ π π/2 D =0 D = , 25 0, 5 1 d Abb regung durh eine Kraft oder über eine Feder (Fall 1: E =1)muss V 1 betrahtet werden. Hier gilt insbesondere (Abb. 5.23a): V 1 (0) = 1, V 1 (1) = 1 2 D, V 1 (η ) 0. Für D 2 0, 5 nehmen die Kurven an den Stellen η m = 1 2 D 2 die Maximalwerte V 1m =1/(2 D 1 D 2 ) an. Es sei darauf hingewiesen, dass der Maximalwert niht an der Stelle der Eigenfrequenz des gedämpften Shwingers liegt. Für kleine Dämpfung (D 1) werden η m 1 und V 1m 1/2D (Resonanz); im Grenzfall D 0gehtV 1 in die Vergrößerungsfunktion (5.49) über. Wenn D 2 > 0, 5 ist, fallen die Kurven monoton gegen Null. η

41 5.3 Erzwungene Shwingungen 259 Bei Erregung über einen Dämpfer (Fall 2: E =2Dη) erhält man für V 2 (Abb. 5.23b) die ausgezeihneten Werte V 2 (0) = 0, V 2 (1) = 1, V 2 (η ) 0. Der Maximalwert V 2m = 1 ist unabhängig von D und tritt immer bei η m =1auf. Bei Erregung durh eine rotierende Unwuht (Fall 3: E = η 2 ) gilt die Funktion V 3 (Abb. 5.23) mit den speziellen Werten V 3 (0) = 0, V 3 (1) = 1 2 D, V 3 (η ) 1. Für D 2 0, 5 haben die Kurven ihre Maxima V 3m = 1/(2 D 1 D2 ) an den Stellen η m =1/ 1 D 2,während sie für D 2 > 0, 5 monoton gegen Eins wahsen. Bei kleiner Dämpfung folgt wie im Fall 1: η m 1, V 3m 1/2D. Die Phasenvershiebung ϕ hängt nah (5.61) niht von E ab und ist daher für alle drei Fälle gleih. Sie gibt an, um wieviel der Ausshlag hinter der Erregung naheilt. Abb. 5.23d zeigt ϕ als Funktion des Frequenzverhältnisses η. Insbesondere gilt: ϕ (0) = 0, ϕ(1) = π/2, ϕ(η ) π. Für kleine Erregerfrequenzen (η 1) sind Erregung und Ausshlag in Phase (ϕ 0), für große Erregerfrequenzen (η 1) in Gegenphase (ϕ π). Im Grenzfall D 0 findet bei η =1ein Sprung des Phasenwinkels ϕ von 0 nah π statt. C U(t) L Abb R Zum Abshluss dieses Abshnitts wollen wir noh auf eine Beziehung zwishen elektrishen Shwingkreisen und mehanishen Shwingern hinweisen. Hierzu betrahten wir als Beispiel den

42 260 5 Shwingungen Shwingkreis nah Abb Er besteht aus einem Kondensator mit der KapazitätC, einer Spule mit der Induktivität L und einem Widerstand R. Wenn man eine Spannung U(t) =U 0 os Ωt anlegt, dann ändert sih die Ladung Q (Stromstärke I = Q) nahder Gleihung L Q + R Q + 1 C Q = U 0 os Ωt. Ersetzen wir darin L durh m, R durh d, 1/C durh, U 0 durh F 0 und Q durh x, so erhalten wir die Bewegungsgleihung (5.51) für einen mehanishen Shwinger. Zwishen einem elektrishen Shwingkreis und einem mehanishen Shwinger besteht hiernah eine Analogie. Tabelle 5.1 zeigt die einander zugeordneten Größen. Tabelle 5.1 Mehanisher Shwinger Elektrisher Shwingkreis x Vershiebung Q Ladung v =ẋ Geshwindigkeit I = Q Stromstärke m Masse L Induktivität d Dämpfungskonstante R Widerstand Federkonstante 1/C 1/Kapazität F Kraft U Spannung B5.8 Beispiel 5.8 In Abb. 5.25a ist ein Shwingungsmeßgerät shematish dargestellt. Sein Gehäuse wird nah dem Gesetz x G = x 0 os Ωt bewegt. Wie müssen die Parameter und m des Geräts gewählt werden, damit bei beliebiger Dämpfung Anzeige und Erregeramplitude x 0 in einem weiten Frequenzbereih übereinstimmen?

43 5.3 Erzwungene Shwingungen 261 m a Abb d x G =x 0 os Ω t (x x G ) d (ẋ ẋ G ) Lösung Wir zählen die Koordinate x von einem raumfesten Punkt nah oben (Abb. 5.25b). Dann sind die Vershiebung bzw. die Geshwindigkeit der Masse in Bezug auf das Gehäuse durh x x G bzw. ẋ ẋ G gegeben, und die Bewegungsgleihung lautet : mẍ = (x x G ) d (ẋ ẋ G ). (a) Das Messgerät registriert den Ausshlag x r = x x G relativ zum Gehäuse. Mit ẋ r = ẋ ẋ G, ẍ r = ẍ ẍ G und ẍ G = x 0 Ω 2 os Ωt wird aus (a) mẍ r + d ẋ r + x r = mω 2 x 0 os Ωt. Nah Division durh m ergibt sih daraus mit den Abkürzungen (5.54) eine zu (5.57) analoge Differentialgleihung (Fall 3): ẍ r +2δ ẋ r + ω 2 x r = ω 2 η 2 x 0 os Ωt. Ihre Lösung ist im eingeshwungenen Zustand durh das Partikularintegral (5.59) gegeben: x r = x p = x 0 V 3 os (Ωt ϕ). Die gemessene Amplitude und die Erregeramplitude stimmen überein, wenn V 3 = 1 ist. Dies ist nah Abb unabhängig von D näherungsweise für η 1erfüllt. Daraus folgt ω 2 Ω 2 m Ω2. Die Eigenfrequenz des ungedämpften Shwingers muss demnah wesentlih kleiner als die Erregerfrequenz sein (weihe Feder!). b x

44 262 5 Shwingungen Systeme mit zwei Freiheitsgraden Freie Shwingungen Wir wollen im folgenden die freien Shwingungen von Systemen mit zwei Freiheitsgraden untersuhen. Dazu betrahten wir als Beispiel den aus zwei Massen und zwei Federn bestehenden Shwinger nah Abb. 5.26a. Die beiden Koordinaten x 1 und x 2, welhe die Lage von m 1 und m 2 beshreiben, zählen wir von der Gleihgewihtslage der jeweiligen Masse aus (Abb. 5.26b). Wir wenden zum Aufstellen der Bewegungsgleihungen die Lagrangeshen Gleihungen 2. Art an. Dazu benötigen wir die kinetishe und die potentielle Energie des Systems: E k = 1 2 m 1 ẋ m 2 ẋ 2 2, E p = x (x 2 x 1 ) 2. (5.63) Mit der Lagrangeshen Funktion L = E k E p erhalten wir dann nah (4.36) die Bewegungsgleihungen oder m 1 ẍ x 1 2 (x 2 x 1 )=0, m 2 ẍ (x 2 x 1 )=0 m 1 ẍ 1 +( )x 1 2 x 2 =0, m 2 ẍ 2 2 x x 2 =0. (5.64) Zur Lösung dieses Systems von zwei gekoppelten, homogenen Differentialgleihungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten mahen wir den Lösungsansatz x 1 = A os ωt, x 2 = C os ωt. (5.65) Darin sind A, C und ω noh unbestimmt. Einsetzen in (5.64) führt auf das homogene algebraishe Gleihungssystem

45 5.4 Systeme mit zwei Freiheitsgraden 263 ( m 1 ω 2 )A 2 C =0, 2 A +( 2 m 2 ω 2 ) C =0 (5.66) für die Konstanten A und C. Die triviale Lösung A = C = 0 liefert nah (5.65) keine Ausshläge. Bedingung dafür, dass auh nihttriviale Lösungen existieren, ist das Vershwinden der Determinante der Koeffizientenmatrix: 1 m 1 A 1 A x m 2 x 2 1, 78 A 1 0, 28 A 2 Abb a b m 1 ω 2 2 Δ(ω) = =0. (5.67) 2 2 m 2 ω 2 Auflösen liefert die harakteristishe Gleihung ( m 1 ω 2 )( 2 m 2 ω 2 ) 2 2 = 0 (5.68) oder m 1 m 2 ω 4 (m m m 2 2 ) ω =0. (5.69)

46 264 5 Shwingungen Dies ist eine quadratishe Gleihung für ω 2.IhreLösungen ω1 2 und ω2 2 sind nah den Vietashen Wurzelsätzen positiv: ω 2 1 ω 2 2 = 1 2 m 1 m 2 > 0, ω ω 2 2 = m m m 2 2 m 1 m 2 > 0. (5.70) Die beiden Wurzeln ω 1 und ω 2 sind die zwei Eigenfrequenzen des Systems. Wir wollen sie so numerieren, dass ω 2 >ω 1 ist. Die Konstanten A und C sind niht unabhängig voneinander. Einsetzen einer Eigenfrequenz z.b. von ω 1 in die erste Gleihung (5.66) liefert das Verhältnis der zugeordneten Amplituden A 1 und C 1 : ( m 1 ω 2 1)A 1 2 C 1 =0 μ 1 = C 1 A 1 = m 1 ω (5.71) (Einsetzen in die zweite Gleihung führt auf das gleihe Ergebnis.) Mit (5.71) wird aus (5.65) x 1 = A 1 os ω 1 t, x 2 = μ 1 A 1 os ω 1 t. (5.72) Wenn man in eine der Gleihungen (5.66) die zweite Eigenfrequenz ω 2 einsetzt, erhält man entsprehend μ 2 = C 2 A 2 = m 1 ω (5.73) und x 1 = A 2 os ω 2 t, x 2 = μ 2 A 2 os ω 2 t. (5.74) Zwei weitere unabhängige Lösungen von (5.64) ergeben sih, wenn man in (5.72) bzw. in (5.74) den Kosinus durh den Sinus ersetzt. Die allgemeine Lösung von (5.64) ist eine Linearkombination dieser vier unabhängigen Lösungen. Sie lautet daher x 1 = A 1 os ω 1 t + B 1 sin ω 1 t + A 2 os ω 2 t + B 2 sin ω 2 t, (5.75) x 2 = μ 1 A 1 os ω 1 t + μ 1 B 1 sin ω 1 t + μ 2 A 2 os ω 2 t + μ 2 B 2 sin ω 2 t.

47 5.4 Systeme mit zwei Freiheitsgraden 265 Die vier Integrationskonstanten können aus Anfangsbedingungen bestimmt werden (ω 1 und ω 2 sowie μ 1 und μ 2 sind dagegen unabhängig von den Anfangsbedingungen). Bei passender Wahl der Anfangsbedingungen werden in der allgemeinen Lösung (5.75) alle Integrationskonstanten bis auf eine einzige gleih Null. Dann shwingen beide Massen kosinusförmig (bzw. sinusförmig) nur mit der ersten oder nur mit der zweiten Eigenfrequenz (vgl. (5.72) oder (5.74)). Die Klötze erreihen ihre maximalen Auslenkungen gleihzeitig und gehen gleihzeitig durh ihre Gleihgewihtslagen. Diese Shwingungen nennt man Hauptshwingungen. Wir wollen nun das Beispiel mit den speziellen Werten m 1 = m, m 2 =2m und 1 = 2 = durhrehnen. Einsetzen in (5.69) liefert die harakterishe Gleihung 2 m 2 ω 4 5mω = 0 (5.76) mit den Lösungen ω 2 1 = 1 4 (5 17) m =0, 219 m, ω 2 2 = 1 4 (5 + 17) m =2, 28 m. (5.77) Daraus folgen die Eigenfrequenzen ω 1 =0, 468 m, ω 2 =1, 51 m. (5.78) Die Amplitudenverhältnisse ergeben sih nah (5.71) und (5.73) zu μ 1 = 2 mω2 1 μ 2 = 2 mω2 2 =2 m ω2 1 =1, 78, =2 m ω2 2 = 0, 28. (5.79) Shwingen die Massen nur mit der ersten Eigenfrequenz ω 1 (erste Hauptshwingung), so haben die Ausshläge x 1 und x 2 wegen μ 1 > 0 immer das gleihe Vorzeihen: die beiden Massen shwingen gleihphasig. Dagegen sind bei einer Shwingung mit der

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