Labor zur Vorlesung Physik

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1 Labor zur Vorlesung Physik 1. Vorbereitung Die folgenden Begriffe sollten Sie kennen und erklären können: Freie und erzwungene harmonische Schwingungen, Eigenfrequenz, Schwingungsdauer, Dämpfungsgrad, bklingkonstante, logarithmisches Dekrement, uslenkung, Erregerfrequenz, Resonanz Schwingungen.doc Seite 1 von 8 Stand: 1.9.8

2 Inhaltsverzeichnis Vorbereitung Gerätebeschreibung Theoretische Grundlagen Beschreibung des Effekts Differentialgleichung der freien harmonischen Drehschwingung3 3.3 Erzwungene harmonische Drehschwingungen Versuchsdurchführung Freie harmonische Schwingungen Erzwungene Schwingungen rbeitsprogramm Literatur Gerätebeschreibung Das Pohlsche Rad Das schwingende System ist ein kugelgelagertes Rad aus Kupfer. n dessen chse ist eine Spiralfeder befestigt, deren anderes Ende mit einem Hebel verbunden ist. Über diesen Hebel wird mit einem Exzenter und einer Schubstange die Drehbewegungen eines Gleichstromgetriebemotors in periodische Druck- und Zugbewegungen der Spiralfeder umgesetzt. Der Motor wird mit einer Gleichspannung von 4V und 65m betrieben. Die Regelung der Drehzahl und damit der Erregerfrequenz geschieht durch Potentiometer für die Grob- bzw. Feineinstellung. Die Drehfrequenz des Motors kann mittels einer Reflexionslichtschranke und eines Digitalzählers bestimmt werden. Eine zweite Reflexionslichtschranke ist in der Nähe des schwingenden Kupferrades angebracht, um die Frequenz bei freien Schwingungen zu ermitteln. Die mplitude des Erregers lässt sich durch Verschieben der Schubstange in der Führung des Hebels einstellen. Die eigentliche Dämpfung des schwingenden Systems, von der Lager- und Luftreibung einmal abgesehen, wird durch eine Wirbelstrombremse über einen Elektromagneten, zwischen dessen Pole das Rad schwingt, bewirkt. Durch Änderung der Stromstärke im Elektromagneten lässt sich die Dämpfung kontinuierlich regeln. Wir arbeiten mit den Strömen.,.3 und Theoretische Grundlagen 3.1 Beschreibung des Effekts Wirkt auf ein schwingungsfähiges Drehsystem (in unserem Fall das Pohlsche Rad) von außen periodisch ein Drehmoment mit der Frequenz E, so stellt sich nach bklingen des Einschwingvorgangs ein stabiler Schwingungszustand ein. Die ntwort des Systems ist eine erzwungene Schwingung mit der Kreisfrequenz E des Erregers. Die sich einstellende Schwingungsamplitude ist stark von E abhängig. Sie erreicht bei schwacher Dämpfung ein stark ausgeprägtes Maximum. Dieses Verhalten heißt Resonanz, die zum Maximum gehörende Frequenz Resonanzfrequenz. Bei starker Dämpfung wird das Maximum flacher und die Resonanzfrequenz wird kleiner. Schwingungen.doc Seite von 8 Stand: 1.9.8

3 3. Differentialgleichung der freien harmonischen Drehschwingung Zunächst stellen wir die Differentialgleichung für eine freie gedämpfte harmonische Schwingung eines Drehpendels auf. Lenken wir das Pohlsche Rad um einen bestimmten uslenkungswinkel zur Senkrechten aus und lassen das System einfach los, so wird es harmonische Schwingungen ausführen. uf das Kupferrad wirken während der Schwingung folgende Drehmomente: das Drehmoment M 1, das von der Spiralfeder mit der sogenannten Winkelrichtgröße c * erzeugt wird: M1 (1) * c das Drehmoment M, das von der Wirbelstrombremse mit der Dämpfungskonstante b erzeugt wird und proportional der Winkelgeschwindigkeit ɺ ist: M - b ɺ () Das resultierende Drehmoment bewirkt eine Winkelbeschleunigung. Daraus folgt: M1 + M ɺ (3) wobei das Massenträgheitsmoment des Schwingungssystems bedeutet. Somit erhalten wir die DGL einer freien gedämpften harmonischen Drehschwingung: ɺ + bɺ * + c (4) oder ɺ + δɺ + (5) * b c mit δ und δ nennt man die bklingkonstante und die Eigen(kreis)frequenz (Begründung siehe 3..) Lösung der DGL Mit den Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen aus Mathematik (Exponentialansatz) kann die DGL (5) wie folgt gelöst werden: p + δp + (6) (charakteristische Gleichung) p (7) -δ ± δ - 1, (Lösungen der char. Gleichung) Wir beschränken uns auf den Fall δ < (schwache Dämpfung), d.h. die Lösungen p 1 und p sind in diesem Fall komplex und führen zu (gedämpften) Schwingungen als Lösungen der DGL: Schwingungen.doc Seite 3 von 8 Stand: 1.9.8

4 -δ ± -δ 1, p j. Die Lösung der DGL (5) hat somit folgende Form: (t) e -δt (c 1 cos t + c sin t) oder (t) e -δt cos (t +γ) mit -δ und und γ werden aus den nfangsbedingungen bestimmt. Mit den Bezeichnungen der Physik (t) ˆ ( t +γ) mit - δt e cos d d δ (8) 3.. Dämpfungsgrad D Der Dämpfungsgrad ist wie folgt definiert: D δ (9) Wir unterscheiden 4 Fälle: a) Die ungedämpfte harmonische Schwingung bei D (d.h. δ ) Die Lösung nimmt folgende Form an: ( t +γ) (t) ˆ cos (1) d.h. ist die Frequenz der freien ungedämpften Schwingung. heißt Eigenfrequenz. b) Die gedämpfte harmonische Schwingung bei < D < 1 Die Lösung ergibt sich aus (8) mit (9) zu ( t +γ) mit der Frequenz 1- D ˆ e -D t cos d d (11) c) Der aperiodische Grenzfall bei D 1 Die Lösung ist eine abklingende Exponentialfunktion (charakteristische Gleichung hat eine doppelte reelle Nullstelle). d) Der Kriechfall bei D > 1 (charakteristische Gleichung hat zwei reelle Nullstellen). Die Lösung ist eine abklingende Exponentialfunktion Das logarithmische Dekrement Das Dämpfungsverhältnis k ist definiert als k n n+1 (1) wobei n und n+1 zwei aufeinanderfolgende gleichsinnige mplituden bei der Dämpfung δ bedeuten. D.h. n und n+1 unterscheiden sich zeitlich um eine Schwingungsdauer T d π/ d. Mit Gleichung (11) folgt: Schwingungen.doc Seite 4 von 8 Stand: 1.9.8

5 k n n+1 (t) e (t + T ) d δ T d (13) d.h. der Quotient zweier aufeinanderfolgenden mplituden ist konstant. Gleichung (13) aufgelöst nach δ ergibt: 1 n δ ln T d n+1 (14) Daraus ist das logarithmische Dekrement definiert zu: Λ ln n δt n+1 d (15) Durch Umformen von Gleichung (15) mit den Logarithmenregeln folgt: Λ ln - ln δt bzw. n n+1 d lnn+1 - lnn - Λ (16) d.h. der bstand zwischen aufeinanderfolgenden logarithmierten mplituden ist immer konstant. Daraus folgt: Trägt man ln n über n auf, entsteht eine Gerade mit der Steigung -Λ, das negative Dekrement. Der chsenabschnitt dieser Geraden kann aus Gleichung (11) bestimmt werden. 3.3 Erzwungene harmonische Drehschwingungen Lösung der Differentialgleichung nalog zu 3. kann man die DGL einer erzwungenen Schwingung aufstellen. Für ein Erregersystem, das ein harmonisches Moment auf das System ausübt, ergibt sich folgende Gleichung: ɺ + b+c ɺ * M cose t (17) mit M - maximal "erzwungenes" Drehmoment E - Frequenz der erzwungenen Schwingung Division mit ergibt: ɺ + δ ɺ + cose t (18) mit b δ, * c und M Schwingungen.doc Seite 5 von 8 Stand: 1.9.8

6 Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung, deren Lösung eine Summe aus homogener Lösung und partikulärer Lösung ist. Der homogene nteil ist flüchtig und verschwindet nach dem Einschwingvorgang. Der partikuläre nteil kann z.b. mit Hilfe des Störgliedansatzes bestimmt werden: (t) cos ( ) E t -α (19) und α (die Phasendifferenz zwischen Erreger und Resonator) be- Durch Einsetzen in die DGL müssen ˆ stimmt werden. Es ergibt sich: 1 E 1 δe + () δe und α arctan E Setzen wir : δ D Dämpfungsgrad und so vereinfacht sich die Lösung zu: E ( ) η ( normierte Kreisfrequenz) ( 1 η ) 1 + (Dη) (1) und Dη arctan 1 η α Im folgenden Diagramm ist der Phasenwinkel α für verschiedene Dämpfungsgrade D über η dargestellt: Für kleine E ist die Phasenverschiebung nahe bei, bei der Eigenfrequenz π/ und für große E nahe π. Schwingungen.doc Seite 6 von 8 Stand: 1.9.8

7 3.3. Resonanzfrequenz Offensichtlich hängt die mplitude der erzwungenen Schwingung von der Erregerfrequenz E ab. Unter der Resonanzfrequenz res verstehen wir die Erregerfrequenz, bei der die mplitude maximal wird. Diese erhalten wir durch bleiten der Wurzelfunktion nach. (Maximum der mplitude ergibt sich beim Minimum der Wurzelfunktion) Die Lösung lautet: η 1- D und daraus folgt für res res 1- D () e größer der Dämpfungsgrad, desto kleiner wird die Resonanzfrequenz. Im folgenden Diagramm ist die mplitude der erzwungenen Schwingung für verschiedene Dämpfungsgrade D über η dargestellt: 4. Versuchsdurchführung 4.1 Freie harmonische Schwingungen Eigenfrequenz-Messung Für die gemessene Frequenz f gilt: f (3) π Um freie Schwingungen mit dem Pohlschen Rad zu erzeugen, muss lediglich das Rad auf circa. 18 Skalenteile ausgelenkt und danach losgelassen werden. Das System schwingt frei und harmonisch. Um die Eigenfrequenz zu messen, ist eine Reflexionslichtschranke in der Nähe des Schwingers angebracht. Das Kabel (FR) der Lichtschranke für freie Schwingungen wird mit dem Frequenzzähler verbunden. Ein Reflektor befindet sich bei Ruhelage unmittelbar vor der Lichtschranke und erzeugt einen Reflex. Bei jeder vollständigen Schwingung wird -mal die Reflexionslichtschranke ausgelöst. Der Frequenzzähler zeigt daher die doppelte Frequenz an. Schwingungen.doc Seite 7 von 8 Stand: 1.9.8

8 4.1. Bestimmung des logarithmischen Dekrements Das logarithmische Dekrement ist nach Gleichung (15) wie folgt definiert: n Λ ln( ). n+ 1 Um die statistischen Fehler der Messung zu verringern, bietet sich hier eine graphische Lösung an. Man liest für verschiedene Dämpfungen immer auf der gleichen Seite 6 aufeinanderfolgende mplituden ab und logarithmiert die Werte. Danach trägt man für jede Dämpfung ln n über n auf. Die Punkte konstanter Dämpfung liegen alle auf einer Geraden. Ermittelt man die Steigung der Geraden mit linearer Regression, so ist die negative Steigung der Geraden nach Gleichung (16) das logarithmische Dekrement. 4. Erzwungene Schwingungen 4..1 Resonanzkurven Mit einem Gleichstrommotor wird über eine Schubstange das Pohlsche Rad zum Schwingen angeregt. Die Erregerfrequenz wird direkt über eine Reflexionslichtschranke am Motor und einem Reflektor auf der Welle mit einem Frequenzzähler analog 4.1 gemessen. Das entsprechende Kabel (EZ) muss mit dem Frequenzzähler noch verbunden werden. Nun lassen sich die Frequenzen im Messbereich.4 bis.8hz einstellen. Nach Erreichen der Messfrequenz beginnt der sog. Einschwingvorgang; erst nach dessen Ende (d.h. nach bklingen des homogenen nteils der Lösung, siehe 3.3.1) stellt sich eine konstante mplitude ein, die erfasst wird. Um die Lage der Resonanzfrequenz graphisch gut auflösen zu können, müssen in der Nähe der Resonanz mehrere Messpunkte gesetzt werden. Die Resonanzkurve entsteht, wenn die mplitude über der Frequenz aufgetragen wird. Dies ist für die Dämpfungsströmen.,.3 und.4 durchzuführen. Zeichnet man alle 3 Resonanzkurven in ein Diagramm ein, so kann man die Verlagerung der Kurven bei höherer Dämpfung zu kleineren Frequenzen gut erkennen. 4.. Phasenlage Die Phasenlage bei kleinen bzw. bei hohen Frequenzen lässt sich leicht erkennen. Die Phasenlage bei ermittelt man am besten aus der Gleichung durch Limesbildung E nach. 5. rbeitsprogramm Finden Sie in der Excel-Datei Schwingungen.xls 6. Literatur 1. Hering, Martin, Stohrer; Physik für Ingenieure; VDI-Verlag. Bergmann, Schäfer; Band 1, Mechanik, kustik, Wärme; Walter de Gruyter-Verlag 3. Hauger, Schnell, Gross; Technische Mechanik 3; Springer Verlag 4. Eichler, Kronfeldt, Sahm; Das Neue Physikalische Grundpraktikum; Springer Verlag 5. Walcher, Praktikum der Physik, Teubner Studienbücher Schwingungen.doc Seite 8 von 8 Stand: 1.9.8