j 2 j b i =2 f g Grenzfrequenz des Tiefpaßes 1 a i j b i j 2 = e j2 i arctan a i

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1 6. Versuch AlIpaßflter (Phasenschebegled) (Durchführung Sete J- 8). Her handelt es sch um ene Schaltung, deren Verstärkung konstant und deren Phasenverschebung zwschen En- und Ausgangsspannung annähernd proportonal zur Frequenz st. Man verwendet se zur Phasenentzerrung und zur Sgnalverzögerung. Mathematsch errecht man des ndem man n der Übertragungsfunkton des Tefpasses, de Konstante (A o ) m Zähler, durch den konjugert komplexen Ausdruck des Nenners ersetzt. Es glt: A Tp j= A 0 a j b j 2 Tefpaß n_ter Ordnung j= j g = jf f g mt g =2 f g Grenzfrequenz des Tefpaßes Es ergbt sch für den Allpaß n-ter Ordnung damt: oder: A j= 1 a j b j 2 1 a j b j 2 A j = 1 b 2 2 a 2 2 e j 1 b 2 2 a 2 2 e j = e j2 mt =arctan[ a 1 b 2] mt: = 2= 2 arctan a 1 b 2 De Phasenlaufzet φ st defnert als de Phasenverschebung zwschen En- und Ausgangsspannung dvdert durch de Frequenz. Nur wenn de Phasenverschebung lnear mt der Frequenz anstegt, st de Phasenlaufzet für alle Frequenzen de gleche. t ph = J - 1

2 Se lautet für den AlIpaß n normerter Form: T ph = t ph f g = 1 2 = 1 f g st de Grenzfrequenz des AlIpaßes. (Defnton Sete J-3) arctan a 1 b 2 Daneben gbt es noch den Begrff der Gruppenlaufzet. Se gbt an mt welcher Zetverzögerung en Sgnal das aus mehreren Frequenzen (z.b. ampltudenmodulertes Sgnal) besteht durch ene Anordnung (her Allpaß) hndurch läuft. Se st gegeben durch: t gr = d d Se lautet n normerter Form für den Allpaß: T gr = t gr f g = 1 2 d d = 1 a 1 b 2 1a 2 2b 2 b 2 4 Ist n der Übertragungsfunkton enes Verpols (z.b. Tefpaß, Allpaß usw.) de Phasenfunktonφ(ω) ncht lnear, so unterscheden sch Phasen und Gruppenlaufzet. Am folgenden ampltudenmodulerten Sgnal st de Gruppenlaufzet erläutert, de gestrchelte Lne gbt dabe de Hüllkurve des Sgnals an. De Gruppenlaufzet stellt den Zetuntersched enes gedachten Punktes auf der Hüllkurve bem Durchlaufen des Sgnals durch den Verpol dar. J - 2

3 De Grenzfrequenz f g enes Allpaßes st defnert als dejenge Frequenz, be der T gr auf T gr o abgefallen st. T gr o st de normerte Gruppenlaufzet für Ω 0. T gr o st bs etwa 2 n=0,5 praktsch konstant (sehe Abb. 2). Man defnert weterhn f als dejenge Frequenz, be der de Phasenverschebung bem Allpaß 1. Ordnung -90 Grad und be dem Allpaß 2. Ordnung -180 Grad beträgt. Se st wesentlch lechter zu messen, als de Grenzfrequenz f g der Gruppenlaufzet. f und f g stehen für jeden Allpaß n enem festen Verhältns zuenander. Ene genauere Beschrebung der Theore st be Tetze Schenk (sehe Lteratur [1]) vorhanden. J - 3

4 Für f << f g st de normerte Phasenlaufzet T ph o glech der normerten Gruppenlaufzet T gr o wegen: lm 0 =2 a d und lm 0 d =2 a Gruppenlaufzet. (sehe Sete J-2) nederfrequenter Grenzwert der normerten Phasenlaufzet (sehe Sete J- 2) nederfrequenter Grenzwert der normerten De Messung der Gruppenlaufzet kann also n desem Fall auf ene enfache Phasenlaufzetmessung zurückgefuhrt werden. Man kann auch de Gruppenlaufzet drekt bestmmen ndem man de Näherung benutzt: t gr d d = ω 1 und ω 2 stellen benachbarte Frequenzen, φ 1 und φ 2 de zugehörgen Phasen dar. Dese Meßmethode stellt jedoch höhere Anforderungen an den Meßplatz um genaue Ergebnsse zu erhalten. Man benutzt dazu enen quarzgesteuerten Generator (Syntheszer) und en Vektorvoltmeter zur Bestmmung der genauen Phasenablage. 1.) AlIpaßflter 1. Ordnung De folgende Schaltung st en Allpaß 1. Ordnung. Se bestzt be tefen Frequenzen de Verstärkung + 1 und be hohen Frequenzen -:1.. De Phasenverschebung geht also von 0 auf -180 Grad. De Verstärkung muß aber auch m mttleren Frequenzberech glech 1 sen. De Übertragungsfunkton A (jω) lautet: J - 4

5 A j= A= 1 jc R R 1 jc Für ρ = -90 glt: ω=ω mt: 1 jrc jrc2 = =1 jrc1 2 R 2 C 2 1 =[ 12 R 2 C 2 e j arctan RC 2 ] 1 2 R 2 C 2 A =1 ; = 2arctan RC = 1 RC oder f = 1 2 RC De Frequenz ω oder f läßt sch messtechnsch enfach ermtteln. De Phasenverschebung zwschen En- und Ausgangsspannung beträgt 90. Se st jedoch ncht glech der Grenzfrequenz. De Grenzfreuenz ω g bzw f g erhält man aus der Defnton: t gr fg t gr o = 1 2 = 2RC 1 R 2 C 2 g 2 RC 12 = 1 1 R 2 C 2 2 g 1 R2 C 2 2 g = 2 g = 1 RC 2 1 oder f g = 1 2 RC 2 1 t gru = d d = 2RC 1 R 2 C 2 2 t gr o =2 RC ; g = 1 RC 2 1 oder f g = RC f De Phasenverschebungen snd be fester Frequenz enfach durch Varaton des Wderstandes R (Potentometer errechbar und zwschen 0 und -180 Grad enstellbar ohne de Ampltude (la = 1) zu beenflussen. t gr o stellt den nederfrequenten Grenzwert der Gruppenlaufzet dar. J - 5

6 De Funktonswese der Schaltung st folgende: Be tefen Frequenzen (ω 0) st der Wderstand von C unendlch. Am OP legen an beden Engängen und am Ausgang U e. Folglch st A = 1. Be hohen Frequenzen stellt der Kondensator enen Kurzschluß dar,(u N = U P = 0V), und wr haben den nverterenden Verstärker. Folglch st A = ) AlIpaßflter 2. Ordnung En Allpaß zweter Ordnung kann man bespelswese dadurch realseren, daß man von der Engangsspannung de Ausgangsspannung enes Bandpasses subtrahert. Dann lautet de Übertragungsfunkton der Anordnung: A r Q j A j=1 1 1 = Q j j2 1 1 A r Q 1 1 Q j j2 j j2 mt A r = Verstärkung be Resonanzfrequenz Q = Güte des Bandpasses Man erkennt, daß sch für A r = 2 de Übertragungsglechung enes Allpasses ergbt. Vergleche dazu de allgemene Übertragungsfunkton A(jΩ) des Allpasses (Sete J-1). De folgende Schaltung, bestehend aus enem Bandpaß mal enem Umkehradderer, ( ) ( ) Abb. 5 Bandpaß 2. Ordnung Umkehradderer stellt enen Allpaß 2. Ordnung dar. Se hat folgende normerte Übertragungsfunkton: A j= 12 R R C j R R C g 1 2 g j 2 für = 4 R 1 12 R 1 C g j R 1 R 2 C 2 2 g j 2 erhält man de Übertragungsfunkton enes Allpasses 2. Ordnung. De Normerung auf g =2 f g st auf Sete J-3 beschreben. J - 6 R 2

7 En Koeffzentenausglech mt der allgemenen Übertragungsfunkton des Allpasses 2. Ordnung (Sete J-1) ergbt: 2 R 1 C g = a 1 R 1 R 2 C 2 g 2 = b 1 a 1, b 1 snd de Koeffzenten aus der Allpaßtabelle und lauten: a 1 = 1,6278 b 1 = 0,8832 Auflösen nach R 1, R 2 ergbt: R 1 = a 1 2 g C ; R 2 = = 4 R 1 = a 2 1 =3 R 2 b 1 b 1 g 2 a 1 Zur Verdeutlchung des Sachverhalts snd n Abb. 7 nochmals de Ortskurve des Bandpasses (durchgezogene Lne) und de des Bandpasses mt Subtraherer, also des Umkehradderers (gestrchelte Lne) dargestellt. 3.) Versuchsdurchführung 3.1 Se begnnen mt der Schaltung nach Abb. 4 und dmensoneren folgendermaßen: C = 10 nf J - 7

8 R = 15 k R 1 = 30 k Am Engang wrd en Snusgenerator angeschlossen und am En- bzw. Ausgang je en Kanal enes 2-Kanal-Oszlloskop. Von 10 Hz bs 100 KHz wrd jewels U e, U a und de Phasenverschebung gemessen. Zechnen Se das Bode-Dagramm der Übertragungsfunkton (Ampltuden- und Phasengang). Bestmmen Se graphsch de Frequenz f (f = -90 Grad) und berechnen dann daraus t gr o und f g. Wenn Se gut auf den Nulldurchgang der Engangsspannung trggern und de Ausgangsspannung am Oszlloskop stark überhöhen (Ampltude = 3 x Bldschrmhöhe) können Se de Phasenlaufzet t ph drekt als Phasenverschebung glechartger Nulldurchgänge ablesen und schon bem Verändern der Frequenz von f = 100 Hz bs etwa 1 KHz de Konstanz von t gr o wegen t gr o t ph o drekt sehen. Verglechen Se desen drekt gemessenen Wert von t gr o mt dem vorher berechneten Wert. 3.2 Anschleßend benutzen Se de Schaltung nach Abb. 5 mt folgenden Dmensonerungen. C = 10 nf. R 1 = 13 k R 2 = 17,3 k 1/α R = 20 k Bevor Se de Messungen begnnen st zu überprüfen ob über den gesamten Frequenzberech IA a I = 1 glt. Man fährt dazu de Frequenz durch und beobachtet dabe U a und U e am Oszlloskop. Führen Se de glechen Messungen we be 3.1 durch und untersuchen de Unterschede zum AlIpaß 1. Ordnung. J - 8