Grundlagen der Planimetrie und Stereometrie

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1 Überblick über die wichtigsten Formeln

2 Inhaltsverzeichnis 1. Planimetrie Dreieck, Viereck, Vieleck, Kreis. Stereometrie.1. Ebenflächig begrenzte Körper Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, Pyramidenstumpf, Polyeder.. Krummflächig begrenzte Körper Kreiszylinder, Kegel, Kegelstumpf, Kugel

3 3 1. Planimetrie Unter Planimetrie (griech., Flächenmessung) versteht man allgemein metrische Problemstellungen der ebenen Geometrie, insbesondere die Flächeninhaltsberechnung in der Ebene. Der Flächeninhalt einfacher Flächen in der Ebene kann aus bekannten Längenwerten berechnet werden. Die Errechnung komplizierter Flächen wird meist über Zerlegung in Flächenstücke erreicht.

4 Das Dreieck Die Eckpunkte eines Dreiecks werden im mathematischen Drehsinn mit den Buchstaben A, B und C bezeichnet. Die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten erhalten die Bezeichnungen a, b und c. Die jeweiligen Winkel zu den Eckpunkten werden α, β und γ genannt. Die mit α1, β1 und γ1 bezeichneten Winkel sind Außenwinkel und entstehen, wenn die Dreiecksseiten über die Endpunkte hinaus verlängert werden.

5 Das Dreieck Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 Grad, dadurch lassen sich Dreiecke nach der Größe der in ihnen auftretenden Winkel einteilen (stumpf-, spitz- und rechtwinklig) Außerdem lässt sich auch Eine Einteilung hinsichtlich der Beschaffenheit der Seiten vornehmen (ungleichseitige, gleichschenklige und gleich- Seitige Dreiecke) stumpf spitz ungleichseitig gleichschenklig gleichseitig Übersicht über die möglichen Dreiecksarten nach Euler. rechtwinklig Pester (1989), S. 35

6 Das Dreieck Sätze am Dreieck, die in der Schule behandelt werden: - Satz des Euklid - Winkelsummensatz - Satz des Pythagoras - Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck - Kongruenzsätze - Satz des Thales - Strahlensätze - Ähnlichkeitssätze - Kreise am Dreieck: Umkreis, Inkreis, Ankreise Flächeninhalt Umfang A = 1 ah a = U = a + b + c 1 bh b = 1 ch c

7 7 1.. Vierecke: Quadrat Eigenschaften: Die Gegenseiten sind gleich lang Die Gegenseiten sind parallel Die Diagonalen halbieren sich Die Diagonalen sind orthogonal Die Diagonalen sind gleich lang Flächeninhalt Umfang A = a² U = 4a Diagonale Umkreisradius Inkreisradius e = a a ru = a ri =

8 8 1.. Vierecke: Rechteck Eigenschaften: Die Gegenseiten sind gleich lang Die Gegenseiten sind parallel Die Diagonalen halbieren sich Die Diagonalen sind gleich lang Flächeninhalt Umfang Diagonale Umkreisradius A = ab U = a + b e = a² + b² 1 ru = a² + b²

9 9 1.. Vierecke: Raute oder Rhombus Eigenschaften: Die Gegenseiten sind gleich lang Die Gegenseiten sind parallel Die Diagonalen halbieren sich Die Diagonalen sind orthogonal Umfang U = 4a Flächeninhalt A = ef oder A = ah a = bh b

10 Vierecke: gleichschenkliges Trapez Eigenschaften: Ein Gegenseitenpaar ist gleich lang Ein Gegenseitenpaar ist parallel Die Diagonalen sind gleich lang Flächeninhalt Umfang A = a + c h + b + c U = a + d

11 Vierecke: Parallelogramm Eigenschaften: Die Gegenseiten sind gleich lang Die Gegenseiten sind parallel Die Diagonalen halbieren sich Flächeninhalt A = ah a = bh b Umfang U = a + b

12 Unregelmäßiges Vieleck Ein Vieleck heißt unregelmäßig, wenn mindestens ein Winkel oder eine Seite gegenüber den anderen Winkeln und Seiten verschieden ist. Zieht man von allen Eckpunkten Strecken zu einem beliebigen im Inneren des Vielecks gelegenen Punkt P, so erkennt man, dass die Summe W der inneren Winkel eines unregelmäßigen Vielecks bei n Ecken: W = (n-)*180 beträgt.

13 Kreis Sätze im und am Kreis, die in der Schule behandelt werden: Satz des Thales Umfangswinkelsatz Durchmesser Radius Flächeninhalt Länge eines Kreisbogens Fläche Kreissektor (in Grad) d = r d r = π A = r² π = d ² 4 α b = rπ 360 α As = π 360 r²

14 14. Stereometrie Die Stereometrie (griech., Körpermessung) befasst sich mit geometrischen Gebilden im dreidimensionalen Raum. Statt Stereometrie werden auch die Begriffe Raumgeometrie oder räumliche Geometrie verwendet. Berechnung von Oberfläche bzw. Mantelfläche und Volumen

15 15.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Würfel Eigenschaften: Alle Kanten sind gleich lang Seine Flächen- und Kantenwinkel sind untereinander gleich; 90 Die sechs quadratischen Begrenzungsflächen stoßen senkrecht aufeinander. Volumen Oberflächeninhalt A = a³ AO = 6a² Flächendiagonale Raumdiagonale f = a d = a 3

16 16.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Quader Eigenschaften: Der Quader besitzt sechs rechteckige Flächen, deren Winkel alle rechte Winkel sind zwölf Kanten, von denen jeweils vier gleiche Längen besitzen und zueinander parallel sind. Volumen Oberflächeninhalt Mantelflächeninhalt Raumdiagonale V = abc = ( ab + ac bc) AO + = ( ac bc) AM + d = a² + b² + c²

17 17.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Prisma Die angegebenen Formeln sind für jedes Prisma mit beliebiger Grundfläche gültig. Volumen V = A Grundfläch e* h Mantelflächeninhalt A = U M Grundfläche * h Oberflächeninhalt A = A O + A M

18 18.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Pyramide & Pyramidenstumpf Eine Pyramide ist ein Polyeder, das von einem Vieleck und so vielen Dreiecken begrenzt wird, wie das Vieleck Seiten hat. Ein Pyramidenstumpf entsteht immer, wenn eine Pyramide zwischen der Spitze und der Grundfläche durch eine zur Grundfläche parallele Ebene geschnitten wird. Volumen Oberflächeninhalt V A = 1 3 h * A A Grundfläche O = Grundfläche + A M h V = ( A + A1 + A + 3 A A 1 A O = A A M )

19 19.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Polyeder Unter einem regelmäßigen Polyeder oder Platonischen Körper versteht man einen Körper, der von lauter regelmäßigen und untereinander kongruenten Vielecken begrenzt wird. Name des regelmäßigen Polyeders Volumen Oberflächeninhalt Tetraeder a³ V = 1 Ao = a² 3 Oktaeder a³ V = 3 Ao = a² 3 Hexaeder V = a³ Ao = 6a² Ikosaeder V 5 = a³(3+ 1 5) Ao = 5a² 3 Dodekaeder V ³ = a ( ) Ao = 3 a² 5(5 + 5)

20 0.. Krummflächig begrenzte Körper: Kreiszylinder Unter einem geraden Kreiszylinder versteht man einen krummflächig begrenzten Körper mit zwei konzentrischen, kongruenten und zueinander parallelen Kreisflächen als Grundflächen und einer regelmäßig gekrümmten Mantelfläche, deren Krümmung mit der Krümmung des Umfanges der Grundflächen übereinstimmt. Volumen V = r² πh Mantelfläche Oberfläche AM = dhπ = rπ ( r h) AO +

21 1.. Krummflächig begrenzte Körper: Kegel & Kegelstumpf Unter einem Kreiskegel versteht man einen krummflächig begrenzten Körper, dessen Grundfläche eine Kreisfläche ist und dessen gekrümmte Mantelfläche einerseits der Krümmung der Grundfläche entspricht und andererseits zu einer Spitze zusammenläuft. Volumen Mantelfläche Oberfläche 1 V = r² h 3 AM = rsπ = rπ ( r s) AO + V = π ( r ² + r1r + ²) 3 r 1 = sπ ( r1 r ) AM + = π[ r ² + r ² + s( r r 1 )] 1 AO +

22 .. Krummflächig begrenzte Körper: Kugel Beyer (1986), S. 05f Volumen Kugelschicht Oberflächeninhalt Kugelzone 1 V = hπ (3ρ ² + 3ρ ² + ²) 6 h 1 O = rπh

23 3.. Krummflächig begrenzte Körper: Kugel Unter einer Kugel versteht man einen Körper, von dem jeder Punkt der Oberfläche den gleichen Abstand zum Mittelpunkt hat (Radius). Volumen einer Kugel Kugeloberfläche 4 V = r ³π 3 AO = d ²π Beyer (1986), S. 05f

24 4.. Krummflächig begrenzte Körper: Kugel Beyer (1986), S. 05f Volumen Kugelsegment Oberflächeninhalt Kugelkappe 1 1 V = πh ²(3r h1) = πh1(3ρ ² + 1²) h O = rπh

25 5.. Krummflächig begrenzte Körper: Kugel Volumen Kugelsektor V = r² πh 3 Oberflächeninhalt Kugelsektor O = rπ ( h + ρ) Beyer (1986), S. 05f

26 6 Literaturverzeichnis Pester, Heinz (1989). Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie der Ebene. Leipzig: VEB Fachbuchverlag Leipzig. Beyer, & andere. (1986). Handbuch der Mathematik. Köln: Buch und Zeit Verlagsgesellschaft mbh. Müller-Philipp, S., & Gorski, H.-J. (005). Leitfaden Geometrie (3. überarbeitete Ausg.).Wiesbaden: Vieweg. Alle Grafiken wurden falls nicht anders gekennzeichnet mit Euklid DynaGeo erstellt. Anna Reinelt Sommersemester 010