Wahrscheinlichkeit und Binomialverteilung

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1 und Binomialverteilung Umwas geht es? Häufigkeit in der die Fehlerzahl auftritt Fehlerzahl in der Stichprobe Wozu dient die? Häfigkeit der Fehlerzahl Häufigkeit der Fehlerzahlen Fehlerzahl je Stichprobe Wie wird vorgegangen? Zufälle sind im Einzelfall nicht vorhersehbar. Bei einer großen Zahl von Ereignissen können in der Regel dennoch Aussagen gemacht werden, nämlich man kann bestimmen, mit welcher ein Ereignis eintritt. Kennt man erstdie, mit der z.b. ein Fehler auftritt, dann kann man in Stichproben feststellen, ob ein Prozeß beherrscht ist. Fehler in Stichproben sind in der Regel binomialverteilt. Mit Hilfe der Binomialverteilung kann man errechnen, bei welcher Fehlerzahl in der Stichprobe eingegriffen werden muß. en kann man... aus Tabellen ablesen berechnen mit dem Larson- Nomogramm bestimmen Fehleranteil in der Grundgesamtheit = 2% n x g(x) G(x) g(x) G(x) g(x) G(x) g(x) G(x) g(x) G(x),939,939,,,666,666,362,362,326,326,922,9962,66,93,225,9,36,35,2,33 2,3,9999,53,999,52,9929,5,926,23,66 3,,,,,65,999,6,922,23,59,,,,,6,,5,996,92,992 5,,,,,,,2,9995,353,95 6,,,,,,9999,,9959,,,,,,,3,999,,, p=2%,,,,,,,999 9,,,,,2,,,,,,,,,,,,,,, 2,,,,,, 3,,,,,, n! g(x) = px ( - p) (n- x) x! (n - x)! P( A und B ) = PA PB Wahrsch.dtp Seite

2 Um was geht es bei der slehre? Einzelerscheinungen wie die Zufallszahl auf dem Würfel, oder das zufällig streuende Meßergebnis, sind nicht vorhersehbar und nicht berechenbar. Massenerscheinungen, bei denen eine große Zahl von Einzelerscheinungen zusammengefaßt sind, weisen sehr wohl Gesetzmäßigkeiten auf, die mit den Mitteln der slehre vorhersehbar sind. Istdas Ergebnis einer Zählung oder Messung für die Einzelmessung nicht vorherzusagen, so wird dies als zufällig bezeichnet. Für eine große Zahl von gleichartigen Beobachtungen kann in der Regel dennoch eine Aussage gemacht werden, nämlich die, mit der ein bestimmtes Ereignis eintritt. P(E)= für das Ereignis E. P(E) = P(E) = Sicheres Ereignis P(E) = Unmögliches Ereignis P(E) =,5 z.b.p(adler) bei Münzwurf Anzahl der für das Ereignis günstigen Anzahl der möglichen Fälle Fälle Experiment Ein Fertigungsprozeß liefert % Fehler. Diese Fehlerrate wird als akzeptabel angesehen. Es geht jetz darum,zuprüfen, ob die Fehlerrate konstant bleibt. Dazuwerden Stichproben (jeweils n = Teile) entnommen. Dieser Praxisversuch wird mit einem Kugelmodell simuliert. Im Kugelbehälter sind Kugeln (grün), davon sind fehlerhaft (blau). Ziehen Sie 2 Stichproben n = und tragen Sie die gefundene Fehlerzahl in das Häufigkeitsschaubild ein. Häufigkeit in der die Fehlerzahl auftritt Fehlerzahl in der Stichprobe Wahrsch.dtp Seite 2

3 Ergebnis: Es ist offensichtlich ganz normal, wenn man neben dem erwarteten Fehler (da %) auch, 2, 3, usw. Fehler findet. Wenn allerdings oder Fehler entdeckt werden, dann kann eine Prozeßstörung vermutet werden. Da2 Stichproben gezogen wurden, lassen sichdie Häufigkeiten, nachdenen, 2, 3 usw. Fehler gefunden werden, auchprozentual ausrechnen. Zum Beispiel: Relative Häufigkeit (2 Fehler) = Häufigkeit in der 2 Fehler gefunden wurden / 2 Aufgabe: Berechnen Sie alle Häufigkeiten in % und schreiben Sie diesean die Balken. Die srechnung liefert die Möglichkeit, für eine sehr große Zahl von Versuchen, das Ergebnis zu berechnen. Die Darstellung Häufigkeit der Fehlerzahlen zeigt die theoretische Berechnung. Häfigkeit der Fehlerzahl Häufigkeit der Fehlerzahlen Fehlerzahl je Stichprobe Wie wird die bestimmt?. Sind die Verhältnisse eindeutig, wie z.b. beim Würfel, dann kann man die nach der Formel bestimmen. P(E) = Anzahl der für das Ereignis Anzahl der möglichen günstigen Fälle Fälle 2. Bei zufälligen Ereignissen wird die durchdie Häufigkeit ersetzt. Die Häufigkeit istein umsobesserer Schätzwert für die, je größer die Anzahl von Versuchen ist. Beispiel zu.: Die Losgröße beträgt N= Schrauben. Sie enthält 6 fehlerhafte Schrauben. Wie groß istdie P, eine fehlerhafte Schraube bei der Entnahme eines Teils zu finden? Wahrsch.dtp Seite 3

4 Was sagt die UND-Regel Bei der UND-Regel werden en mehrerer Ereignisse verknüpf die gleichzeitig eintreffen. Zum Beispiel die, nach P A und B = PA der aus einem Kartenspiel einmal ein König UND dann nocheinmal ein König gezogen wird. Beispiel Skatspiel: Wie groß ist die, daß beim ersten UND beim zweiten Mal ein König gezogen wird? P (König UND Dame) = P König * P König = /32 * /32 = / * / = /6 =,56 = 5,6% Aufgabe Würfel: Wie groß istdie, daß eine 2 und dann nocheine 2 gewürfelt wird? P (2 UND 2) = P 2 * P 2 = Aufgabe Würfel: Wie groß istdie, daß mal keine 6 gewürfelt wird? P ( mal keine 6) = Was ist, wenn die Karten nicht zurückgelegt werden? Die, mal hintereinander ein Ass zuziehen beträgt: P (mal Ass) = P(Ass) * P(Ass) * P(Ass) * P(Ass) = /32 * /32 * /32 * /32 =,2% Werden die Karten aber nicht zurückgelegt, soergibt sichein anderes Bild: P ( mal Ass) = /32 * 3/3 * 2/3 * /29 =,2% Wie groß istdie für 6 Richtige im Lotto? ( ) PB Was sagt die ODER-Regel? Sie gilt für zwei sicheinander ausschließende Ereignisse A oder B (Kopf oder Zahl), von denen entweder das eine oder das andere eintritt. ( A oder B) = PA PB P + Beispiel mit einem Würfel: Wie groß istdie, daß entweder ein König oder ein Ass gezogen wird? P (Kö oder Ass) = P (Kö) + P (Ass) = / + / = 2/ = / =,25 = 25% Im obigen Beispiel schließen sich die Ereignisse aus,d.h. es kann nur entweder ein König oder ein Ass gezogen werden werden. Was ist, wenn die Ereignisse Aund B unabhängig voneinander sind? Wenn man z.b. mit 2 Würfeln wirft? Dann gilt die allgemeine ODER-Regel für zwei unabhängige Ereignisse ( ) = P + P(B) - P(A) P(B) Beispiel: Wie groß istdie, daß der erste Wurf eine 2 ODER der 2.Wurf eine 2 ist? A oder B (A) P (2 oder 2) = P(2) + P(2) - P(2) * P(2) = /6 + /6 - /6 * /6 =,36 = 3,6% P Wahrsch.dtp Seite

5 Die Fakultät Die vorherigen Aufgaben lassen sicherleichtert berechnen, wenn man die Rechenoperation Fakultät beherrscht. Bei abgebrochenen Reihen gilt folgende Regel: * 3 * 2 * =! 2 * 9 * * = 2! / 6! Die Binomialverteilung Entnimmtman einer Grundgesamtheit von Teilen Stichproben vom Umfang n, sosind die gefundenen Fehler Binomialverteilt. Damit istdie Binomialverteilung einsetzbar für die Frage: Wie groß ist die, in einer Stichprobe genau x fehlerhafte Teile zu finden? g(x) =, in der Stichprobe genau xfehlerhafte Teile zufinden x= Fehler in der Stichprobe n = Anzahl der Teile in der Stichprobe p = Fehleranteil in der Gesamtheit g(x) = n! x! (n - x)! p x (- p) (n-x) G(x) =, in der Stichprobe bis zuxfehlerhafte Teile zufinden. Um G(x) zu berechnen, müssen alle en von g(x) bis zuxzusammenaddiert werden. Mit EXCEL läßt sichauchg(x) direkt ausrechnen. Ansonsten wird zur Bestimmung der Summenwahrscheinlichkeit G(x) das Larson-Nomogramm benutzt. Beispiel Glühlampen In einer Lieferung von Glühlampen befinden sich2,5% fehlerhafte Einheiten. Mit welchen en findet man in einer Stichprobe des Umfangs n = genau x =,, 2, 3,... fehlerhafte Lampen. x = : g() =! ( -),25 (-,25)! ( - )! =,95 =,95% x = : x = 2 : x = 3 : x = : Die Berechnung in EXCEL für g(x): =BINOMVERT(A3;;,25;FALSCH) x steht in Zelle A3 n = p =,25 (2,5%) Die Berechnung in EXCEL für G(x): =BINOMVERT(A3;;,25;WAHR) Wahrsch.dtp Seite 5

6 Darstellung des Ergebnisses des Kugelversuchs von Seite 2 (blaue Kugeln = Fehler). Die en für,, 2... Fehler werden berechnet mit der Formel für g(), g()... für blaue Kugeln der blauen Kugeln in % Fehlerzahl je Stichprobe Frage: Mit welcher G(x) findet man in der Stichprobe bis zu 2 fehlerhafte Einheiten? Entweder sind die Einzelwahrscheinlichkeiten zuaddieren, oder man verwendet die EXCEL Tabellenkalkulation mit der Formel von Seite 5. Aufgabe: Ermitteln Sie für das Experiment von Seite 2 die theoretischen Werte. Das Larson-Nomogramm Ein praktisches Hilfsmittel beim Umgang mit der Binomialverteilung stellt das Larson-Nomogramm dar. Es zeigt in graphischer Form den Zusammenhang zwischen dem Anteil fehlerhafter Einheiten in der Grundgesamtheit (p), der Anzahl fehlerhafter Einheiten in der Stichprobe (x), vom Umfang der Stichprobe (n) und der dazugehörigen ssumme (G(x). Wird jedoch die Einzelwahrscheinlichkeit g(x) gesucht (Wie wahrscheinlich ist es, genau x fehlerhafte Teile zufinden), dann gilt g(x) = G(x) - G(x-). zum Beispiel: g(5) = G(5) - G() G(5) = bis zu5 Fehler zufinden G() = bis zu Fehler zufinden g(5) = genau 5 Fehler zufinden Wahrsch.dtp Seite 6

7 Demonstrationsbeispiel Larson-Nomogramm Aufgabe: Der Fehleranteil in einer Fertigungsserie ist%, d.h. p =,. Die entnommenen Stichproben haben den Umfang n = 5 Es istmit dem Larson-Nomogramm zuermitteln, wie groß die ist, in der Stichprobe genau fehlerhafte Einheiten zufinden. Es wird alsog() gesucht. Dadas Larson-Nomogramm nur die Summenwahrscheinlichkeit G(x) liefert, muß g() mit Hilfe der Beziehung g() = G() - G(3) bestimmtwerden. Wie G(), also die bis zu fehlerhafte Teile zufinden, ermittelt wird, istim Larson-Schaubild an der eingetragenen Linie zu erkennen. Es wird eine Linie von p =, (links), durch den Kreuzungspunkt X= und n=5 bis zur Skala G(x) (rechts) gezogen. Für G() ergibt sich also 63%. Ebenso ist G(3) zu bestimmen und dann wird G() - G(3) gerechnet. Die Differenz ist g(), also die genau Fehler zufinden. Übungsbeispiel : p = 5%, n=2 Wie groß istdie genau 2 fehlerhafte Teile in der 2er Stichprobe zufinden? Lösung mit Larson Nomogramm. Übungsbeispiel2: Eine Fertigung läuft mit p = 6%, es werden Stichproben mit n=2 gezogen. Bei welcher Fehlerzahl xwird die des Auffindens erstmals kleiner als %, man kann auch sagen, bei welcher Fehlerzahl x wird der Zufallsstreubereich größer als 9%? Wahrsch.dtp Seite

8 Larson-Nomogramm G(x,n,p) = x i = n! p x! (n - x)! x (- p) n - x Musterbeispiel Gegeben: Fehler in der Grundgesamtheit p =, Gesucht: Wie wahrscheinlichist es, in einer Stichprobe von n =, bis zu Fehler zu finden? Lösung: Linie von Links, über den Kreuzungspunkt n= und x= eine Linie bis nachg ziehen. Ergebnis: Die bis zu Fehler (= oder ) zu finden, beträgt, = % Die genau Fehler zu finden beträgt % minus 3% (für Fehler) = 3% Wahrsch.dtp Seite