Systemdynamische Modellierung eines Flugs einer Wasserrakete

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1 Systemdynamische Modellierung eines Flugs einer Wasserrakete Maturaarbeit Adrian Ryser 1g Gymnasium Thun Schadau Robert Märki August 2009

2 Abstract In der vorliegenden Arbeit wurde der Flug einer Wasserrakete anhand eines systemdynamischen Computermodells simuliert. Es wurde untersucht, mit welcher Wassermenge die Rakete die optimale Weite erzielte. Nebst dem Computermodell wurden Experimente durchgeführt, welche später mit dem Modell verglichen wurden. Dabei wurde gemessen wie weit die Rakete unter einem bestimmten Abschusswinkel und Startrduck og und welche Geschwindigkeit sie dabei erreichte. Zwischen Modell und Wirklichkeit traten Abweichungen auf. Diese lassen sich dadurch erklären, dass der Luftausstoss, welcher einen kleineren Beitrag zur Beschleunigung der Rakete leistet, nur in einer Näherung realisiert wurde. Zudem tritt das Wasser nicht in einem Strahl mit konstanter Querschnittsäche aus. Desweitern stellte sich heraus, dass die Flugweite nicht nur vom Startdruck und des anfänglich eingefüllten Volumens des Wassers abhängt, sondern auch vom gewählten Startwinkel.

3 Vorwort Motiviert zu dieser Arbeit wurde ich durch mein Interesse an Raketen und der Raumfahrt. Mir war schnell bewusst, dass ich meine Arbeit auf einem dieser Gebiete schreiben wollte. Da Raketen jedoch sehr komplexe Gebilde sind und wohl den Rahmen dieser Arbeit gesprengt hätten, entschied ich mich dafür den Flug einer Wasserrakete genauer zu analysieren. Die Wasserrakete ist zwar im Aufbau einfacher, funktioniert jedoch nach den selben Prinzipien wie eine normale Rakete. Danksagung Mein Dank geht vor allem an Herrn Robert Märki und Herr Werner Maurer, ohne deren Unterstützung ich die vorliegende Arbeit nicht hätte realisieren können. Desweitern danke ich meiner Familie, die mich sehr stark bei den Experimenten unterstützt hat, welche ich ohne Hilfe nicht hätte durchführen können. Desweitern danke ich Herr und Frau Sutter, welche mir ihr Grundstück für die Experimente zur Verfügung gestellt haben.

4 INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Aufbau einer Wasserrakete Funktionsweise einer Wasserrakete Grundprinzip Beschleunigungsphase Freiugphase Fragestellung Hypothesen Material und Methoden Vorgehen Material Experimente Flugweite Geschwindigkeit Bestimmung des Strömungswiderstandskoezienten c w Berkley Madonna TM Reservoirs Flows Variables Links Globals Computermodell Wasserrakete Festlegung der Globals und Startbedingungen Berechnen der Anfangsparameter Masse

5 INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS Austrittsgeschwindigkeit des Wassers Austrittsgeschwindigkeit der Luft Wasser- und Luftausstoss Impulsänderung Gewichtskraft Luftwiderstand Geschwindigkeit und Ort Anwendung des Modells Resultate Flugweite und Geschwindigkeit bar c W -Wert Diskussion 47 5 Anhang Quellenverzeichnis Literatur Bilder und Skizzen Resultate Eidesstattliche Erklärung 50 4

6 1 EINLEITUNG 1 Einleitung 1.1 Aufbau einer Wasserrakete Eine Wasserrakete besteht aus einem Drucktank, einer Spitze, einer Düse und den Finnen. Am Unteren Ende des Drucktanks bendet sich die Düse, die auf den Tank geschraubt werden kann. Als Düse dient normalerweise ein Hahnstück einer Gartenschlauch-Kupplung. Am oberen Ende bendet sich eine aerodynamisch geformte Spitze. Damit die Rakete einen stabilen Flug vollbringt, sind aussen am Tank Stabilisierungsächen, sogenannte Finnen, angebracht. Wasserraketen können relativ leicht aus Polyethylenterephthalat(PET)- Flaschen hergestellt werden. Aus Gründen der Robustheit, wurde in dieser Arbeit jedoch eine Rakete der Firma Klimamodellbau GmbH benutzt. 5

7 1.2 Funktionsweise einer Wasserrakete 1 EINLEITUNG Abbildung 1: Wasserrakete 1.2 Funktionsweise einer Wasserrakete Damit die Rakete betrieben werden kann, wird sie zuerst mit Wasser befüllt. Danach wird sie mit der Düse in die Startrampe gesteckt. Die Startrampe besteht aus einen massiven Metall-Fuss, auf welchem das Schlauchstück einer Gartenschlauch-Kupplung befestigt ist. Somit kann die Rakete wie in Bild 3 zu sehen ist, mit dem Hahnstück in das Schlauchstück gesteckt werden. Am unteren Ende des Schlauchstücks, ist ein Ventil eingebaut. Daran wird nun eine Fahrrad-Pumpe befestigt. Mithilfe dieser Pumpe, kann nun Luft in die Rakete gepumpt werden. Das Ventil verhindert dabei, dass das Wasser und die Luft wieder aus der Rakete ausströmen. Sobald der gewünschte Startdruck erreicht ist, wird der Startauslöser betätigt. Dieser zieht das Schlauchstück der Kupplung zurück. Die Rakete ist nun nicht mehr fest mit der Startrampe verbunden. Sofort beginnt das Wasser auszuströmen und die Rakete hebt ab. 6

8 1.2 Funktionsweise einer Wasserrakete 1 EINLEITUNG Abbildung 2: Düse Abbildung 3: Startrampe mit Gartenschlauch-Kupplung 7

9 1.3 Grundprinzip 1 EINLEITUNG 1.3 Grundprinzip Eine Rakete funktioniert nach dem Prinzip des dritten newtonschen Axiom actio gleich reactio". Das nach hinten ausgestossene Wasser beschleunigt die Rakete in die entgegengesetzte Richtung. Sowohl das ausgestossene Wasser wie auch die Rakete selbst erhalten dabei einen Impuls. Die beiden Impulse sind bis auf das Vorzeichen gleich. p W = p R (1) Der Flug einer Wasserrakete gliedert sich in zwei Phasen: der Beschleunigungsund der Freiugphase Beschleunigungsphase Beim Start strömt hinten zuerst das Wasser und anschliessend die Luft aus. Das Wasser trägt dabei den Haupteil zur Beschleunigung bei. Während dieser Phase sind die Kräfte am grössten, da die Rakete stark beschleunigt wird. Diese Phase ist sehr kurz und dauert typischerweise nur Bruchteile einer Sekunde Freiugphase Nachdem das Wasser und die Luft ausgestossen worden sind, bendet sich die Rakete im Freiug. Diese Phase wird stark durch die Erdanziehung und den Luftwiderstand beeinusst. 1.4 Fragestellung Wird die Rakete in einem schrägen Winkel abgeschossen, iegt sie je nach Startdruck und Wassermenge unterschiedlich weit. Zudem hat der Startwin- 8

10 1.5 Hypothesen 2 MATERIAL UND METHODEN kel einen Einuss auf die erzielte Weite. Im Rahmen dieser Arbeit soll untersucht werden, mit welcher Wassermenge, bei vorher festgelegtem Druck und Abschusswinkel, die optimale Weite erreicht wird. 1.5 Hypothesen Je höher der Startdruck, desto weiter iegt die Rakete Je mehr Wasser in die Rakete gefüllt wird, desto steiler sollte der Abschusswinkel gewählt werden, da die Rakete aufgrund der höheren Masse zu ach wegiegt und zu früh wieder auf dem Boden aufschlägt. Je höher der Startdruck gewählt wird, desto höher ist die Wassermenge, mit der die optimale Weite erzielt wird. 2 Material und Methoden 2.1 Vorgehen Die Leitfragen sollen anhand eines systemdynamischen Computermodells näher betrachtet und beantwortet werden. Das Modell soll hauptsächlich den Wasserausstoss simulieren, da dieser den Hauptteil zur Geschwindigkeit der Rakete beiträgt. Der Luftausstoss soll nicht ganz vernachlässigt werden, wird hier aber nur in einer Näherung realisiert. Um die erhaltenen Daten des Computermodells besser einschätzen zu können, wurden zudem Experimente mit der Rakete durchgeführt. Dabei wurde gemessen, wie weit die Rakete unter einem bestimmten Abschusswinkel bei verschiedenen Wassermengen og und die Geschwindigkeit wurde anhand von Stroboskop-Aufnahmen ermittelt. Ausserdem wurde in einem kleineren Ex- 9

11 2.2 Material 2 MATERIAL UND METHODEN periment der Strömungswiderstandskoezient ermittelt. Die Resultate des Modells und der Experimente wurde später verglichen. 2.2 Material Für die Experimente wurde eine Rockyman TM Wasserrakete der Firma Raketenmodellbau Klima GmbH benutzt. Wie Tabelle 1 zu entnehmen ist, wurde der Rakete ein Ballast hinzugefügt. Ohne dieses Zusatzgewicht lag der Schwerpunkt der Rakete zu weit hinten. Dies führte dazu, dass sich die Rakete nach der Beschleunigungsphase zu überschlagen begann. Der Ballast wurde vorne in der Spitze untergebracht. Er bestand aus Papier, welches mit Wasser befeuchtet wurde. Die Rakete wurde von einer Abschussrampe mit Fernauslöser gestartet, welche ebenfalls von der Firma Raketenmodellbau Klima GmbH vertrieben wird. Sonstiges verwendetes Material: Tabelle 1: Einzelteile Rockyman TM Wasserrakete Teil Gewicht Drucktank Spitze Finnen Ballast Düse Gesamtgewicht 45g 24g 52g 42g 9g 172g Rockyman TM Wasserrakete Startrampe mit Fernauslöser 10

12 2.3 Experimente 2 MATERIAL UND METHODEN Handstroboskop, Frequenzbereich: Hertz 50 m Messband Berkley Madonna TM, Simulationssoftware 2.3 Experimente Flugweite Bei vorher festgelegtem Abschusswinkel und Überdruck wurde mit verschiedenen Wassermengen gemessen, wie weit die Rakete og. Dabei wurde bei allen Experimenten ein Winkel von 45 gewählt. Der Winkel wurde mithilfe einer Schablone aus Karton eingestellt. Die Messungen wurden auf einem ebenen Stück Land und bei möglichst windfreien Verhältnissen durchgeführt. Die Experimente wurden an ungefähr 10 verschiedenen Tagen und für drei verschiedene Startdrücke durchgeführt Geschwindigkeit Die Geschwindigkeit der Rakete wurde anhand einer Stroboskop-Aufnahme bestimmt. Ein Stroboskop ist ein Lichtblitzgerät. Die Wasserrakete wurde nachts gestartet und mit einem Stroboskop beleuchtet, gleichzeitig wurd eine Langzeitaufnahme mit einer Kamera aufgenommen. Da die Lichtblitze des Stroboskops die einzige grosse Lichtquelle waren, wurde der Flug nicht kontinuierlich sondern in einzelnen Abbildungen dargestellt. Die Zeit zwischen zwei solchen Abbildungen entspricht dabei der Zeit zwischen zwei Lichtblitzen. Somit konnte die Distanz zwischen zwei Bildern gemessen werden und dadurch die Geschwindigkeit ermittelt werden. Da das Licht des Stroboskops relativ schwach war, wurde der Rakete ein rückstrahlendes Stück Sto eng um den Tank genäht. 11

13 2.3 Experimente 2 MATERIAL UND METHODEN Dieses Verfahren konnte jedoch nur angewendet werden, wenn die Bildebene der Kamera parallel zur Flugebene der Rakete zu liegen kommt. Somit wurde versucht die beiden ebenen möglichst parallel zueinander zu stellen. Bevor die Geschwindigkeit ermittelt werden konnte, musste jedoch der Abbildungsmassstab bestimmt werden. Über ein Standbild wurd die Bildgrösse B der Rakete ermittelt. Aus bekannter Gegenstandsgrösse G konnte der Abbildungsmassstab β ermittelt werden. β = B G (2) Nun wurde die Strecke s B zwischen zwei Abbildungen, der Rakete, auf der Fotograe gemessen. Dabei wurde immer eine markante Stelle beobachtet, zum Beispiel die Ecke des Stostücks oder die Kante der Finnen. Über den vorher ermittelten Abbildungsmasstab konnte die Strecke s G, welche in Realität zurück gelegt wurde, bestimmt werden. s G = s B β Die eingestellte Frequenz f des Stroboskop gibt die Zeit t zwischen zwei Abbildungen an: t = 1 f Mit der vorher ermittelten Strecke s G kann nun die Durchschnittsgeschwindigkeit, die die Rakete zwischen zwei Bildern besessen hatte, bestimmt werden. (3) (4) v = s G t Dieses Verfahren wurde für alle Bilder der Rakete auf einer Fotograe angewendet, um dabei zu sehen, wie lange die Beschleunigungsphase dauert. Für die Auswertung der Bilder wurde ein kleines Computerprogramm 12 (5)

14 2.3 Experimente 2 MATERIAL UND METHODEN geschrieben, bei dem nur die Punkte, die Stroboskopfrequenz und das Abbildungsverhältnis eingegeben werden mussten. Diese Resultate wurden später mit denen des Computermodells verglichen. Abbildung 4: Stroboskop-Aufnahme Bestimmung des Strömungswiderstandskoezienten c w Der Strömungswiderstandskoezient, meistens nur c w -Wert genannt, ist ein dimensionsloser Wert, der die Windschlüpfrigkeit eines Körpers ausdrückt. Der c W -Wert wird zum Berechnen des Luftwiderstands benötigt. F W = c W 1 2 ρ A v2 (6) Die Widerstandskraft wächst dabei quadratisch mit der relativen Geschwindigkeit. Das bedeutet, es spielt keine Rolle, ob die Rakete mit der Geschwindigkeit v durch das Strömungsmedium, hier Luft, iegt oder ob das Strömungsmedium, mit der Geschwindigkeit v um die Rakete herum strömt. Aus diesem Grund, wurde die Wasserrakete an einem Arm einer Drehwaage festgemacht. Am anderen Arm wurde ein Kraftmesser befestigt. Die Apparatur wurde dann vor einem Windkanal platziert. Danach wurde bei verschiedenen Windgeschwindigkeiten gemessen, wie stark die Rakete abgelenkt wurde. 13

15 2.4 Berkley Madonna TM 2 MATERIAL UND METHODEN Abbildung 5: Skizze der Apparatur Wie Abb. 8 zu entnehmen ist, entsprach die gemessene Kraft F 1 dem Kraftarm l 1. Über das Hebelgesetz musste zuerst die Kraft F 2 bestimmt werden, welche wirklich auf die Rakete wirkte: F 2 = F 1 l 1 l 2 (7) Die so erhaltene Kraft F 2 enstprach der Widerstandskraft F w, die die Rakete erfährt. Die Widerstandskraft entspricht dabei dem Luftwiderstand. Die Formel für den Luftwiderstand umgestellt nach dem c w -Wert ergibt: c w = 2 F w A ρ v 2 (8) A entspricht dabei der Querschnittsäche der Rakete, ρ der Luftdichte. 2.4 Berkley Madonna TM Berkley Madonna TM ist eine Software, zum Lösen dynamischer Systeme. Sie wurde in dieser Arbeit verwendet, um den Flug einer Wasserrakete zu simulieren. Dabei wurde zuerst ein Flussdiagramm erstellt, welches die Abhängigkeit der verschiedenen Grössen Druck, Wassergeschwindigkeit, Wasseraustoss usw. darstellt. Dabei werden die Grössen zueinander in Abhängigkeit gestellt. Es wird bestimmt, wie eine bestimmte Grösse sich aus einer anderen Grösse berrechnet. Das so erhaltene Flussdiagramm entspricht dem 14

16 2.4 Berkley Madonna TM 2 MATERIAL UND METHODEN gesamten Ablauf des Flugs. Da diese Grössen während des Flugs jedoch sehr stark ändern, durchläuft Berkley Madonna TM das Flussdiagramm viele Male. Berkley Madonna TM zerlegt dabei den Flug der Rakete in winzige Zeitabschnitte. Während eines solchen Zeitabschnitts werden die Grössen als konstant errachtet. Aus den Startgrössen oder denen des letzten Zeitschritts werden die Werte für die Grössen des nächsten Zeitschritts errechnet. Da die Beschleunigungsphase Bruchteile einer Sekunde dauert, muss der Zeitschritt angemessen klein gewählt werden, damit die Abweichung am Schluss nicht zu gross wird. Der kontinuierliche Vorgang, des Flugs einer Wasserrakete, wird so in kleine Stücke aufgeteilt. Wird dabei der Zeitschritt klein genug gewählt, kann die Berrechnung trotzdem als kontinuierlich betrachtet werden. Dieses Vorgehen wird Iteration 1 genannt. Zum Erstellen des Flussdiagramms stellt Berkley Madonna TM eine eigene, kleine und einfache Programmiersprache bereit. Dabei können die verschiedenen physikalischen Grössen und Werte zueinander in Abhängigkeit gestellt werden. Die im Flussdiagramm hergestellten Beziehungen, werden von Berkley Madonna TM in Dierentialgleichungen umgewandelt. Der Benutzer kann zudem die Berechnungsmethode wählen, mit dieser Berkley Madonna TM dann den Flug simuliert. Für diese Arbeit wurde das Verfahren Runge-Kutta 4 gewählt. Zum Erstellen des Flussdiagramms stellt Berkley Madonna TM vier Objekte(Reservoirs, Flows, Variables, Links) und die Globals zur Verfügung. 1 v. lat. iterare: wiederholen 15

17 2.4 Berkley Madonna TM 2 MATERIAL UND METHODEN Reservoirs Ein Reservoir ist ein Speicher einer Grösse. Jedes Reservoir erhält einen Startwert. Dieser Initialisierungswert kann durch Zu- und/oder Abüsse verändert werden. Ein Beispiel für ein Reservoir stellt die Masse dar. In unserem Modell hat die Rakete eine Startmasse, im Laufe des Flugs jedoch, wird sie immer leichter. Abbildung 6: Reservoir, Speicher einer Grösse Flows Ein Flow ist ein Zu- oder Abuss in ein oder aus einem Reservoir hinaus. Er verändert den Initialisierungswert oder den Wert des vorhergehenden Zeitschritts. Ein Beispiel für einen Flow, stellt der Massenabuss, in Form des auströmenden Wassers aus der Rakete, dar. Abbildung 7: Flows 16

18 2.4 Berkley Madonna TM 2 MATERIAL UND METHODEN Variables Eine Variable ist ein Platzhalter für einen Wert. Eine Variable wird normalerweise als Funktion in Abhängigkeit anderer Grössen ausgedrückt. In jedem Zeitschritt wird über die Funktion und die eingehenden Werte, der Zahlenwert der Variable für diesen Zeitschritt errechnet. Ein Beispiel dafür ist der Druck, in Abhängigkeit des Volumens der Luft. Abbildung 8: Variable Links Ein Link hat selbst keine Funktion, er verbindet bloss zwei andere Objekte. Um den Druck berrechnen zu können, muss das aktuelle Luftvolumen bekannt sein. Dieses wird in einer Variable berrechnet. Durch die Verbindung der Luft-Variable mit der Druck-Variable über einen Link, kann nun in der Funktion für den Druck, der Wert der Luft-Variable beliebig verwendet werden. Abbildung 9: Reservoir über einen Link mit einer Variable verbunden 17

19 2.4 Berkley Madonna TM 2 MATERIAL UND METHODEN Globals Globals sind Werte, die während des gesamten Programmablaufs konstant bleiben. Das können sowohl Konstanten wie der Ortsfaktor g sein oder Grössen, die sich während des Programmablaufs nicht ändern, wie zum Beispiel, die Leermasse der Rakete m R. Globals können dabei explizit mit einem Wert belegt werden, dem Ortsfaktor g wird der Wert 9.81 zugewiesen oder können über eine Funktion deniert werden. So kann die Anfangsmasse des Wassers erst berrechnet werden, nachdem das eingefüllte Wasservolumen bekannt ist. Es ist also erlaubt in den Globals Funktionen zu denieren, die erst nach dem Übergeben der Anfangsparameter(Wassermenge, Druck, Startwinkel), berrechnet werden können. Da die Gloabls ihren einmal erhaltenen Wert nicht mehr ändern, kann auf sie von überall her im Programm zugegrien werden. Abbildung 10: Globals Fenster 18

20 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN 2.5 Computermodell Wasserrakete Festlegung der Globals und Startbedingungen Zu Beginn des Modellierens werden alle Konstanten festgelegt und im Fenster "Globals abgespeichert. Auf diese Werte kann von überall her im Programm zugegrien werden. Dies erleichtert das weitere Arbeiten, da es einfacher ist, mit Abkürzungen zu rechnen als mit konkreten und teils unhandlichen Zahlen. Zudem wird das Flussdiagramm kleiner und übersichtlicher. In Tabelle 2 sind die Bezeichnungen der Konstanten, deren Abkürzungen im Computerprogramm und ihre konkreten Werte mit den Masseinheiten aufgelistet. Tabelle 2: Verwendete Globals Bezeichnung Abkürzung Wert Masseinheit Leermasse der Rakete m R kg Volumen der Rakete V R m 3 Querschnittsläche Düse a m 2 Umgebungsdruck p U pa Strömunsgwiderstandsbeiwert c w Querschnittsäche der Rakete A m 2 Ortsfaktor g 9.81 Dichte Luft ρ L 1.22 Dichte Wasser ρ W 1000 m s 2 kg m 3 kg m 3 19

21 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Berechnen der Anfangsparameter Der Flug der Wasserrakete kann erst simuliert werden, wenn gewisse Anfangsgrössen bekannt sind. Dies sind die anfänglich eingefüllte Wassermenge V W 0, der Angfangsdruck p 0 und der Abschusswinkel α. Alle diese Grössen sind einfach zu messen. Das Wasservolumen wurde mit einer Messspritze abgemessen und in die Rakete eingefüllt. Der Anfangsdruck ist vom Manometer der Fahrradpumpe ablesbar und der Startwinkel kann einfach eingestellt werden. Diese Grössen werden vor jedem Flug anhand von Schaltern innerhalb des Programms festgelegt. Die Variablen, welche dann die eingestellten Werte zugewiesen bekommen, werden aber bereits vorher deniert und in die Globals aufgenommen. Dies aus dem Grund, weil diese drei Startgrössen sich während des Flugs nicht ändern. Aus den Anfangsbedingungen und Tabelle 3: Anfangsbedingungen Bezeichnung Abkürzung Wert Masseinheit Wasservolumen V W 0 - m 3 Anfangsdruck p 0 - pa Abschusswinkel α - rad den restlichen Globals lassen sich erste Paramter berechnen, welche für die Simulation von Bedeutung sind. So lassen sich relativ einfach die Masse des Wassers m W 0 und die Masse der Luft m L0 bestimmen. Die Masse des Wassers errechnet sich über die Dichte des Wassers ρ W und das anfängliche Volumen V W 0. m W 0 = ρ W V W 0 (9) Die Luft liegt in komprimierter Form in der Rakete vor. Um die Masse m L0 zu bestimmen, muss zuerst ermittelt werden, welches Volumen V 1 die Luft 20

22 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN unter Normalbedingungen einnehmen würde. Dies lässt sich anhand der adiabatischen Zustandsänderung berrechnen. Eine Zustandsänderung wird dann adiabatisch genannt, wenn ein System, hier die Rakete, keine Wärme mit der Umgebung austauschen kann. Dies trit hauptsächlich bei sehr schnellen Vorgängen zu. In Wirklichkeit ist der Pumpvorgang zu wenig schnell, als dass keine Wärme zwischen der Rakete und der Umgebung ausgetauscht werden könnte. Allerdings ist die Berechnung über die adiabatische Zustandsänderung, anstelle der isothermen Zustandsänderung sicher wesentlich genauer. V k L0 p 0 = V k 1 p 1 (10) V L0 entspricht hierbei dem Anfangsvolumen der Luft in der Rakete und errechnet sich über das Leervolumen der Rakete abzüglich des Volumens des anfänglich eingefüllten Wassers: V L0 = V R V W 0 (11) Uns interessiert das Volumen V 1, welches die Luft bei Normdruck einnehmen würde. Dabei enstrpicht p 0 dem Startdruck, welcher auf dem Manometer angezeigt wird plus dem Umgebunsdruck von ca. 1 bar, und p 1 dem Umgebungsdruck p U. Die Gleichung 11 eingesetzt in Gleichung 10 und umgestellt ergibt sich: V 1 = (V R V W 0 ) ( p0 p U ) 1 k (12) Durch die Multiplikation mit der Dichte ergibt sich die Masse m L0 der Luft. m L0 = ρ L V 1 (13) Die nun so algebraisch festgelegten Grössen m W 0 und m L0 werden ebenfalls in die Globals aufgenommen. Berkeley Madonna TM berrechnet die konkreten 21

23 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Werte am Anfang der Simulation aus den übergebenen Parametern Startdruck p 0 und Wasservolumen V W 0 und den restlichen, vorher festgelegten Globals Masse Das eigentlich Modellieren beginnt erst nachdem die Globals festgelegt worden sind. Anfangspunkt bildet die Gesamtmasse der Rakete m. Die Masse der Rakete ist sehr zentral, da durch ihre Abnahme im Laufe des Flugs die Rakete beschleunigt wird. Die Masse der Rakete wird im Flussdiagramm als Reservoir dargestellt. Dem Reservoir wird ein Anfangswert, die Startmasse, übergeben. Die Anfangsmasse setzt sich aus der Leermasse der Rakete m R, der Masse des Wassers m W 0 und der Masse der Luft m L0 zusammen. Abbildung 11: Masse als Reservoir dargestellt m 0 = m R + m W 0 + m L0 (14) Die Masse verändert sich währende des Flugs sehr stark. Die Masseänderung wird anhand von Flows dargestellt. Es gibt zwei Massenabüsse. Zum einen den Wasserausstoss und zum anderen den Luftausstoss. Damit diese 22

24 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN genauer bestimmt werden können, muss zuerst die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers und der Luft bestimmt werden Austrittsgeschwindigkeit des Wassers Die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers hängt vom Druck ab, der im Innern der Rakete herrscht. Nach dem Gesetz von Bernoulli, setzt sich der Gesamtdruck p aus dem statischen Druck p U und dem Staudruck 1 2 ρ v2 zusammen. Der statische Druck entspricht dabei dem Umgebungsdruck von ca. 1 bar.die Bernoullische Gleichung gilt für inkompressible und reibungsfreie Flüssigkeiten und Gase. Wasser ist inkompressibel, jedoch sicherlich nicht reibungsfrei. In diesem Modell wird jedoch von der vereinfachten Annahme ausgegangen, dass das Wasser reibungsfrei aus der Rakete ausströmen kann. p = p U ρ v2 (15) Die Gleichung umgestellt nach der Geschwindigkeit v erhalten wir die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers in Abhängigkeit des herrschenden Drucks in der Rakete. v W = 2 (p p U ) ρ W (16) Der Druck im Innern der Rakete ist jedoch nicht konstant. Durch das ständige Austreten des Wassers, vergrössert sich das Volumen der Luft, dadurch sinkt der Druck in der Rakete. Dies wiederum führt dazu, dass sich die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers verringert. Um den jeweils aktuellen Druck zu ermitteln benötigen wir wieder die Formel der adiabatischen Zustandsänderung aus Gleichung 10. Der Anfangsdruck p 0, ist vom Manometer der Fahrradpumpe her bekannt, das anfängliche Volumen V L0 der Luft errechnet sich nach Gleichung 11 über das Leervolumen V R der Rakete abzüglich des Volumens des am Anfang eingefüllten Wassers V W 0. Das aktuelle Volumen 23

25 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN der Luft errechnet sich über das Leervolumen der Rakete und das aktuelle Volumen V W des Wassers, welches sich noch in der Rakete bendet. Eingesetzt in Gleichung 10 und umgestellt nach dem aktuellen Druck p ergibt sich: p = p 0 ( VL0 V L ) k (17) ( ) k (VR V W 0 ) p = p 0 (18) (V R V W ) Das Volumen des Wassers in der Rakete ändert sich ebenfalls mit der Zeit. Im Modell steht die aktuelle Masse m der Rakete immer zur Verfügung. Auf diese Weise kann das aktuelle Volumen V W des Wassers, das sich noch in der Rakete bendet, über die Gesamtmasse m bestimmt werden. Durch Abziehen der Raketenmasse m R und der Anfangsmasse der Luft m L0, da ja noch keine Luft ausgestossen wurde, erhält man die Masse des Wassers m W. Die Masse geteilt durch die Dichte ergibt das Volumen. V W = (m m R m L0 ) ρ W (19) Modell: Dank Berkley Madonna TM müssen die einzelnen Formeln nicht zusammengefügt werden. Sie können, wie in Abbildung 12 gezeigt wird, nur über eine Verbindung(Link) miteinander verbunden werden. In der Variable Wassergeschwindigkeit wird zudem eine Sicherheitsabfrage eingebaut, da dort eine Wurzelfunktion benützt wird. Aus Gleichung 16 geht hervor, dass nur solange Wasser ausgestossen werden kann als der Druck p im Innern der Rakete grösser ist als der herrschende Umgebungsdruck p U. Der Computer beachtet dies jedoch nicht einfach ohne weiteres und würde im Laufe der Simulation versuchen die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen. Dies führte natürlich zu einer Fehlermeldung und die Simulation würde abgebrochen werden. Deshalb wird vor jedem Durchlauf geprüft, ob der aktuelle Druck grösser ist als der Umgebungsdruck. Trit dies nicht mehr 24

26 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN zu, wird die Austrittsgeschwindigkeit auf null gesetzt und es wird dementsprechend kein Wasser mehr ausgestossen. Dabei läuft die Simulation weiter ohne Fehler. Der Inhalt der Wassergeschwindigkeit -Variable lautet demnach folgendermassen: Wassergeschwindigkeit: if p > pu then SQRT(2*(p-pu)/rw) else 0 Nachdem das Wasser ausgestossen wurde, beginnt der Luftaustoss. Um die- Abbildung 12: Wasserausstossgeschwindigkeit sen näher zu bestimmen muss ebenfalls die Austrittsgeschwindigkeit der Luft berrechnet werden. 25

27 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Austrittsgeschwindigkeit der Luft Bei der Austrittsgeschwindigkeit der Luft gestaltet es sich wesentlich schwerer, ein genaues Ergebnis zu bekommen. Die genaue Berechnung würde den Rahmen einer solchen Arbeit übersteigen und tiefergehende Kenntnisse voraussetzen. Damit der Luftstoss jedoch nicht ganz vernachlässigt wird, wurde hier eine Näherung in Form des Bernoullischen Gesetzes angewendet. Die verwendete Formel ist fast dieselbe wie in Gleichung 16, allerdings an Stelle der Dicht des Wassers, wird die Dichte ρ L der Luft verwendet. 2 (p p U ) v L = (20) ρ L ( ) k (VR V Um den Druck zu berechnen, wird wieder die Formel W 0 ) p = p 0 (V R V W ) der adiabatischen Zustandsänderung aus Gleichung 18 verwendet. Allerdings muss der Ausdruck V R V W erweitert werden. Sobald die Luft beginnt auszuströmen, setzt sich das Volumen der Luft aus dem Volumen der Rakete V R und dem Volumen der ausgeströmten Luft V La zusammen: ( ) k (V R V W 0 ) p = p 0 (21) ((V R V W ) + V La ) Modell: Um die oben erklärte Formel für den Druck im Modell anwenden zu können, muss ein neues Reservoir, welches für das Volumen der ausgstossenen Luft V La steht, erstellt werden. Der Anfangswert wird auf null gesetzt. Der Zuuss wird im nächsten Unterkapitel näher erläutert. Genau gleich wie bei der Austrittsgeschwindigkeit des Wassers, wird auch bei der Luft eine Kontrollabfrage vor jedem Durchlauf gemacht, ob der Druck p in der Rakete grösser ist, als der Umgebungsdruck p U. Luftgeschwindigkeit: if p > pu then SQRT(2*(p-pu)/rl) else 0 26

28 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Abbildung 13: Reservoir: ausgestossene Luft Wasser- und Luftausstoss Aus den beiden Ausstossgeschwindigkeiten, kann nun der Massenausstoss, welcher in einer Beschleunigung der Rakete resultiert, berrechnet werden. Der Wasserausstoss berrechnet sich über den Querschnitt der Düse a, der Dichte des Wassers ρ W und der Austrittsgeschwindigkeit des Wassers v W. I W = a v W ρ W (22) Die so erhaltene Gleichung entspricht dem Massenausstoss pro Sekunde. Der Luftausstoss wird im Modell gleich berechnet wie der Wasserausstoss, nur dass die Dichte der Luft ρ L verwendet wird. Zudem wird der Luftstrom mit einem Verhältnis zwischen dem herrschenden Druck p in der Rakete und dem Umgebungsdruck p U multipliziert, da davon ausgegangen wird, dass die Luft in komprimierter Form ausgestossen wird. I L = a v L ρ L p p U (23) 27

29 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Modell: Im Modell werden der Wasser- und der Luftausstoss in zwei separaten Abüssen dargestellt. Das austretende Wasser und später auch die Luft wird von der aktuellen Masse der Rakete abgezogen. Dies bedeutet, die Rakete wird leichter. Allerdings muss sichergestellt werden, dass nur soviel Wasser ausgestossen wird, als auch wirklich eingefüllt wurde, da sonst die Rakete zu leicht würde, und der Luftausstoss muss nach dem Wasserausstoss beginnen. Dies wird über eine if/else-abfrage realisiert. Der Wasseraustoss dauert solange, als die Masse der Rakete grösser ist als die Leermasse m R plus der Anfangsmasse der Luft m L0. Wenn die Masse grösser ist, als m R + m L0 bedeutet dies, dass sich noch Wasser in der Rakete bendet. Wasserausstoss: if Masse > MR+ML0 then vw*a*rw else 0 Danach beginnt der Luftausstoss. Dieser beginnt, wenn die Masse kleiner ist als die Leermasse m R plus die Masse der Luft m L0 und dauert solange wie die Masse grösser ist als die Leermasse m R. Luftausstoss: if Masse < MR+ML0 and > MR then vl*rl*a*p/pu else 0 Abbildung 14: Luft- und Wasserausstoss 28

30 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Der nun so berechnete Luftausstoss, wird über einen Zuuss, Luft genannt, direkt in ein neues Reservoir geleitet. Dies aus dem Grund, weil wir daran interessiert sind, wie gross, das Volumen der Luft ausserhalb der Rakete ist. Dieses Volumen wird wiederum benötigt, um den aktuellen Druck berechnen zu können. Da der Abuss Luftausstoss jedoch der Massenänderung entspricht, muss dieser noch durch die Dichte ρ L der Luft geteilt werden. So erhalten wir das Volumen der Luft V La, die bereits aus der Rakete ausgestossen wurde. Das Reservoir ausgestossene Luft wird wiederum mit der Druck-Variable verbunden. Nun ist der Massenaustoss bestimmt. Dieser muss nun in die Impulsänderung der Rakete umgerechnet werden Impulsänderung Zu Beginn haben die Rakete und das darin bendliche Wasser keinen Impuls, da sie still stehen. Wenn das Wasser dann hinten ausströmt, erhält es dabei einen Impuls. Dies führt dazu, dass die Rakete in die entgegengesetzte Richtung beschleunigt wird, also auch einen Impuls erhält. Der Impuls der Rakete entspricht dabei bis auf das Vorzeichen genau dem Impuls des Wassers und der Luft. Die Impulsänderung der Rakete, oder auch Beschleunigung, berrechnet sich über die Geschwindigkeit, mit der das Wasser austritt multipliziert mit dem vorher errechneten Wasseraustoss. Die Austrittsgeschwindigkeit entspricht der vorher errechneten Geschwindigkeit v W. p = I W v W (24) Die obere Formel entspricht dabei der Antriebskraft oder auch dem Schub. Hier wird vereinfacht angenommen, dass die Rakete in einer Ebene iegt. Aus diesem Grund, teilt sich der Impuls, als additive Grösse, auf die zwei Komponenten x und y auf. Die Gleichung 24 muss also ebenfalls auf die 29

31 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Komponenten in x- und y-richtung aufgeteilt werden. Wie Abbildung 15 zu entnehmen ist, bilden die Komponenten der Austrittsgeschwindigkeit v W x und v W y des Wassers zusammen mit der Austrtittsgeschwindigkeit v W ein rechtwinkliges Dreieck. Der Gesamtschub wirkt dabei entlang der Achse der Austrittsgeschwindigkeit v W und der Geschwindigkeit v. Wird er mit der entsprechenden trigonometrischen Funktion multipliziert, ergibt sich der Schub in x- bzw. y-richtung. Abbildung 15: Ähnliche Dreiecke p x = I W v W cos θ p y = I W v W sin θ (25a) (25b) Der Winkel zwischen v W und v W x, hier mit θ bezeichnet, entspricht zu Beginn dem Startwinkel α, doch im Laufe des Flugs ändert er sich ständig. Da jedoch die Geschwindigkeit der Rakete v mit ihren Komponenten ein ähnliches Dreieck bildet, können die Winkelfunktionen als Verhältnisse von v und den Komponenten v x und v y angegeben werden. cos θ = v x v sin θ = v y v (26a) (26b) In Gleichung 25 eingesetzt und vereinfacht ergibt sich: 30

32 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Abbildung 16: Impuls und Schub p x = I W vx v v w p y = I W vy v v w (27a) (27b) Die Impulsänderung durch den Luftausstoss wurde genau gleich berechnet, ausser dass an Stelle der Austrittsgeschwindigkeit des Wassers v W, die Austrittsgeschwindigkeit der Luft v L verwendet wurde. Modell: Im Modell wird der Impuls in Form eines Reservoirs dargestellt. Der Initalisierungswert wird auf null gesetzt. Dabei wird je ein Reservoir für die x- und y-komponente erstelllt. Die Zuüsse zu diesen beiden Reservoirs stellen den Schub dar. Da die Rakete in einem Winkel zur Horizontale abgeschossen wird, und dieser Startwinkel α zweifellos einen Einuss auf den Flug hat, muss er irgendwie in das Modell eingebaut werden. In Formel 27 ist der Flugwinkel als Verhältnis der Komponenten v x und v y und der Geschwindigkeit v deniert. Im Modell wurde nun für die ersten paar Durchläufe des Modells der feste Startwinkel α verwendet und nicht das Verhältnis der Geschwindigkeitskomponenten. Schub x: Schub y: if TIME<t then IW*(vw-v)*cos(a) else iw*(vw/v-1)*vx if TIME<t then IW*(vw-v)*sin(a) else iw*(vw/v-1)*vy 31

33 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Abbildung 17: Gewichtskraft, ein Abuss aus dem Impuls Reservoir Solange, dass die vergangen Zeit TIME kleiner ist als die Variable t gilt die erste Bedingung, sonst die zweite. Typischerweise wurden für t Werte von ca. 0.03s verwendet, da dies der Zeit entspricht, die die Rakete benötigt, um mit der Düse die Startvorrichtung zu verlassen und frei iegen kann Gewichtskraft Während des gesamten Flugs wirkt die Gravitation der Erde auf die Rakete. Die Gravitation ist dafür verantwortlich, dass die Rakete nach einer gewissen Zeit wieder auf dem Boden aufschlägt. Die Gewichtskraft, welche senkrecht nach unten wirkt, berrechnet sich aus der Masse der Rakete m und des Ortsfaktors g. F G = m g (28) Modell: Da die Gewichtskraft senkrecht nach unten wirkt, hat sie nur Ein- uss auf den Impuls in y-richtung. Wie jede Kraft wird sie durch einen Abuss aus dem Impuls Reservoir dargestellt Luftwiderstand Der Luftwiderstand ist der zeite Faktor, der die Rakete abbremst. Je schneller die Rakete iegt, desto grösser ist die Widerstandskraft. Der Luftwiderstand 32

34 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN nimmt mit dem Quadrat der Geschwindigkeit v zu und beinhaltet ausserdem die Luftdichte ρ L, die Projektionsäche des Objekts A sowie den Luftwiderstandsbeiwert c W. F W = c W A 1 2 ρ L v 2 (29) Da der Luftwiderstand eine Kraft ist, lässt er sich ebenfalls in Komponenten zerlegen. Da die Rakete in einer Ebene iegt, hat er wie auch die Geschwindigkeit und der Impuls zwei Komponenten. Dabei bilden der Luftwiderstand mit seinen Komponeten und die Geschwindigkeit mit ihren Komponenten zwei rechtwinklige und ähnliche Dreiecke. Abbildung 18: Ähnliche Dreiecke F W x = F W cos φ F W y = F W sin φ (30a) (30b) Der Winkel φ entspricht am Anfang des Flugs dem Startwinkel α, aber während des Flugs ändert er sich laufend. Der Winkel φ lässt sich über ein Verhältnis ausdrücken: cos φ = v v x sin φ = v y v 33 (31a) (31b)

35 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Abbildung 19: Luftwiderstand als Abuss dargestellt In Formel 30 eingesetzt und vereinfacht ergibt sich: F W x = c W A 1 2 ρ L v v x (32a) F W y = c W A 1 2 ρ L v v y (32b) Modell: Im Modell wurde der Ausdruck c W 1 2 ρ L A v in einer Variable WFaktor deniert, da er für beide Komponenten gleich ist. So musste im jeweiligen Abuss dieser Faktor nur noch mit der Geschwindigkeit in x oder y Richtung multipliziert werden. In Abbildung 19 ist gezeigt, wie der Luftwiderstand in y-richtung dargestellt und berrechnet wurde. In x-richtung wurde genau dasselbe getan. 34

36 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Geschwindigkeit und Ort Aus dem Impuls und der Masse lässt sich die Geschwindigkeit leicht errechnen. v x = p x (33a) m v y = p y (33b) m v = vx 2 + vy 2 (34) 35

37 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Abbildung 20: Geschwindigkeit als Zuuss zum Orts-Reservoir Modell: Im Modell wird die Geschwindigkeit als Zuuss zum Orts- Reservoir dargestellt. Da die Rakete in einer Ebene iegt, kann ihre Position durch zwei Koordinaten ausgedrückt werden. Die Geschwindigkeit v x in x- Richtung stellt einen Zuus zum Reservoir der x-koordinate, die Geschwindigkeit v y in y-richtung einen Zuuss zum Reservoir der y-koordinate dar. Der Anfangswert des x-reservoirs wird auf null gestellt, derjenige des y- Reservoirs auf 0.2, da die Rakete 20 cm über dem Boden startet. Damit ist das Modellieren des Modells beendet. In Abbildung 21 ist das ganze Modell abgebildet. 36

38 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Abbildung 21: Bild des gesamten Modells 37

39 2.5 Computermodell Wasserrakete 2 MATERIAL UND METHODEN Anwendung des Modells Das nun fertig programmierte Modell, kann erst benutz werden, wenn noch einige Dinge deniert worden sind. Zuerst müssen die Anfangsparamete ins Programm gebracht werden. Dies geschieht über sogenannte Sliders. Mithilfe dieser Schiebregler kann der Anfangsdruck p 0, das Anfangsvolumen des Wassers V W 0 und der Startwinkel α eingestellt werden. In Abbildung sind die drei Schieberegler zu sehen. Beim Einstellen des Startdrucks muss darauf geachtet werden, dass zum abgelesenen Wert auf dem Manometer noch der Umgebungsdruck p U addiert wird. Zudem muss Berkley Madonna TM noch mitgeteilt werden, wie gross der Berechnungsschritt t gewählt werden soll und anhand welcher Berechnungsmethode das Modell berechnet werden soll. Als Zeitschritt wurde s und als Berechnungsmethode wurde Runge- Kutta 4 gewählt. Abbildung 22: Festlegung der Parameter und Anfangsgrössen 38

40 3 RESULTATE 3 Resultate 3.1 Flugweite und Geschwindigkeit Die Rakete wurde in einem Winkel von 45 zur Horizontale gestartet. Dabei wurde mit unterschiedlichen Wassermengen gemessen, wie weit die Rakete mit 3 bar Überdruck og. Die erhaltenen Ergebnisse sind in einem Diagramm dargestellt. Die eine Kurve repräsentiert die Werte des Modells und die zweite die Resultate der Experimente. Zudem ist im Anschluss zum Diagramm eine Tabelle abgebildet, damit die genauen Werte ersichtlich sind. In einer weiteren Spalte wurde die Standardabweichung dargestellt. Diese soll ungefähr einen Eindruck ermitteln, wie genau der hier abgedruckte Mittelwert jeweils ist. Dabei ist zu beachten, dass 68% der erhaltenen Ergebnisse im Bereich von minus einer bis plus einer Standardabweichung zum Mittelwert liegen. Zudem wurde in der letzten Spalte die Anzahl durchgeführter Flüge für die jeweilige Wassermenge aufgeführt. Dies soll ebenfalls einen Eindruck der Genauigkeit vermitteln. Dabei ist klar ersichtlich, dass für kleine und grosse Wassermengen weniger Flüge absolviert wurden, als für den Rest. Das rührt daher, dass bei kleinen Wassermengen die Rakete, immer etwa gleich weit og und dass bei grossen Wassermengen die Rakete wieder kürzer og und deshalb für die Beantwortung der Leitfrage nicht von zentraler Bedeutung war. Wie dem Diagramm 23 zu entnehmen ist, ergaben sich beträchtliche Abweichungen zwischen der errechneten Flugweite des Modells und der gemessenen im Experiment. Dabei fällt auf, dass bei tiefen Wassermengen die Rakete im Modell zu kurz und bei grösseren Wassermengen zu weit og. Ein Blick auf das Geschwindigkeitsdiagramm 24 kann diese Beobachtungen teilweise erklären. Die Geschwindigkeit ist bei tiefen Wassermengen in der Simulati- 39

41 3.1 Flugweite und Geschwindigkeit 3 RESULTATE on kleiner und bei grossen Wassermengen grösser als im Experiment. Die Flugweite hängt jedoch nicht nur von der Geschwindigkeit sondern auch von der Flugbahn ab. Die Flugbahn wiederum wird direkt durch die Beschleunigungsdauer beeinusst. Aus diesem Grund sind in Tabelle 5 sowohl die Geschwindigkeiten als auch die Beschleunigungszeiten dargestellt. Daraus ist ersichtlich, dass die Rakete im Modell wesentlich schneller beschleunigt als in Wirklichkeit. Das bedeutet, dass das Wasser schneller aus der Rakete austritt, als in Wirklichkeit. Aus diesem Grund wurde ein Korrekturfaktor beim Wasserausstoss-Fluss eingeführt. Dieser sorgt dafür, dass in jedem Zeitschritt nur ein Bruchteil des Wasser ausgestossen wird. Somit verlängert sich die Beschleunigungsdauer. Dabei wurde darauf geachtet, dass die Beschleunigungzeiten des Modells im Bereich von 150ml-200ml Wasser mit denen des Experiments übereinstimmen. Dies aus dem Grund, weil dort die maximale Flugweite erzielt wurde. Der Faktor liegt bei einem Wert von Dies bedeutet, anders ausgedrückt, dass der Wasserstrahl einen Querschnitt von durchschnittlich 68 Prozent der Querschnittsäche der Düse aufwies. Die nun erhaltenen Werte für die Flugweite sind im Diagramm 25 abgebildet. Die beiden Kurven aus Experiment und Modell stimmen nach wie vor nicht überein, haben jedoch einen ähnlichen Verlauf, so dass bei beiden die optimale Flugweite zwischen ml liegt. Wie aus Abbildung 26 hervorgeht, hat die Verlängerung der Beschleunigungsdauer nur eine minimale Abnahme der Maximalgeschwindigkeit zur Folge. Die Flugbahn ändert sich jedoch beträchtlich. Das Modell berechnet nun immer noch zu grosse Flugweiten bei den mittleren Wassermengen, was jedoch mit der zu optimalen Berechung erklärt werden kann. Im nächsten Kapitel werden ein paar mögliche Erklärungen für die immer noch vorhandenen Abweichungen aufgezeigt werden. 40

42 3.1 Flugweite und Geschwindigkeit 3 RESULTATE Abbildung 23: Flugweite bei 3 bar Überdruck Tabelle 4: Durchschnittliche Flugweite bei 3 bar Überdruck Wassermenge Modell Experiment Standardabweichung Anzahl Flüge ml m m m

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